1.3.1函数的单调性与导数

二次函数 f ( x) ax 2
2 y 3 x 3 x 的单调区间。 （1）求函数
解法一： 利用二次函数图象特征，对称轴求单调区间。 解法二： y ' 6 x 3 1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 1 2 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( , ) 2 1 单调递减区间为 ( , ) 2
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
1 y x
y
y x 2x 1
2
y 3
y
x
y
o
x
o
1
x
1 o
x
在（－ ∞ ，0），（0, ＋∞） 在（－ ∞ ，1）上是减 上是减函数。但在定义域 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。 上不是减函数。
在(－ ∞,＋∞)上 是增函数
判断函数单调性有哪些方法？ 定义法 图象法
(1) 1 (ln x ) . x
（4）.对数函数的导数:
(2)
1 (log a x) . x ln a
（5）.指数函数的导数:
(1) ( 2) (e x ) e x . (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
一、复习回顾
函数 y = f (x) 在给定区间 I上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
y
o y
1
2
x
y f '( x )
１ 2 x
(A)
y f ( x)
2 x o
(B) y y f ( x)
1 2
x
o
o 1
(C)
(D)
函数 y f ( x)的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状
y y=f(x) O a y
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它是定义域内的某个区间。
补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0,则f(x) 在区间(a,b)上是增函数; 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0,则 f(x)在区间(a,b)上是减函数;
函数及图象
3 2
2 y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 解： 2 2 令y ' 0得x 或x 0，令y ' 0得0 x 3 3
（2）求函数 y 3e 3 x 的单调区间。
x
解:
y ' 3e 3
x
令y ' 0得e x 1 e 0 x 0
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。附近几乎没有升降
y f ( x)
y A B
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A
o
B
2
3 x
o
A,B两点为“临界点”（极值点）
2
3 x
y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
o y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
f ( x) x2
在(,0)上递减
在(0, )上递增
x
k<0 k>0
－ ＋
＋ －
递增
b x
y f ( x)
k>0 k<0
o a
y
递减
o a
b x
题型一：利用导数信息确定函数大致图象 例1 已知导函数 f ( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ( x) 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ( x) 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ( x) 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ( x) 0, 可知 f ( x)在此区间内
或 (, a)
内的图象“平
五、课后探究
若函数f(x) ax3 - x 2 x - 5在(-,+)上单调 递增，求a的取值范围 1 提示：导数法，求参数取值范围。a 3
定义法判断函数的单调性,即在假设x1＜ x2的前
提下,比较f(x1)与f(x2) 的大小, 在已知函数y=f(x)
解析式比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小
并不容易.
今天，介绍一种判断函数单调性的新方法——
二、观察探究
①运动员从起跳到最高点,离
水面的高度h随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应地,
该函数在( , 2 )上为增函数。
四、总结反思
1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的，或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 ２°证明可导函数在区间(a,b)内单调性的步骤：
(1)求 f ( x )
(2)确认在 f ( x ) 区间(a,b)内的符号 (3)作出结论
1 17 1 17 , . 单调递减区间: 2 2
问题探究：
bx c(a 0) 的单调区间. 2 f ( x ) ax bx c(a 0) 解: f ( x) 2ax b. (1) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ,); 相应地, 函数的递减区间是 (, ) 2a 2a (2) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( , ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ,) 2a 2a
令y ' 0得e 1 e x 0 x y 3e 3 x的单调递增区间为(0, ) 单调递减区间为(,0)
x 0
求函数 y 3 x 3 3 x 2 在 x -1,9 单调区间。
解：
y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 2 令y ' 0得x 或x 0，令y ' 0得0 x 3 3
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的 切线斜率
f (x1)<0 f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
三、形成概念
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x )在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递减 如果恒有 f ' ( x) 0 ，则 f ( x)是常数函数。
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 间内单调递减;
f ( x) 0, 可知 f ( x) 在此区
y
当 x = 4 , 或 x = 1时 ,
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
f ( x) 0.
O
1
4
x
已知导函数的下列信息： 分析：
当2 x 3时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x)在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是减函数； y y
o
a
b
x
o
a
b
xபைடு நூலகம்
若 f(x) 在I上是增函数或减函数， I 称为单调区间 则 f(x) 在I上具有严格的单调性。
解： y ' x 'cos x x(cos x)' (sin x)'
cos x x sin x cos x x sin x y y sin x
o
2

3
x
复 合 函 数
如图,当x ( , 2 )时， sin x 0, x sin x 0,
即：y ' 0
(4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1.
(4) f ( x) 2 x 3x 24 x 1.
3 2
解:因为 f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1, 所以 f ( x) 6 x 2 6 x 24
当 f ( x) 0, 即 x 函数 f ( x) 单调递增;
（2）求函数
1 y x
的单调区间。
y
解:
又定义域 x x 0 ,
1 y ' 2 0, x
o
x
1 y 的单调递减区间为( , 0)， (0, ) x
3 2 y 3 x 3 x （1）求函数 的单调区间。
2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( ,0),( , ) 3 单调递减区间为 (0, 2 ) 3
v(t ) h(t ) 0.
②从最高点到入水,运动员离水 面的高度h随时间t的增加而减少, 即h(t)是减函数.相应地,
ｈ
(1)
v(t ) h(t ) 0.
O v
a
b t
(2)
O a b t
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 y 数正负的关系. y
y y o
2
o
３°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求函数的定义域
②求 f '( x )
③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递减区间 ④作出结论
”出现。 注：单调区间不能以“并集
通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减， 还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角 度解释变化快慢的情况。 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝 对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y f ( x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在 (b,)
x
o
x
x
o
1 y x
x
yx
函数在R上
yx
（-∞，0） （0，+∞）
yx
3
函数在R上
（-∞，0）
f '( x) 1 0 f '( x) 2 x 0 f '( x) 3x2 0 f '( x) x2 0
f '( x) 2 x 0
（0，+∞） f '( x) x2 0
f ( x)
y f x
O
a
b
c
x
b
c
x
题型二：利用导数求单调性、单调区间
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 3x;
3
(2) f ( x) x 2 x 3;
2
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
2
2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( 1,0), ,9 3 2 单调递减区间为 (0, ) 3
3 2
又 x -1,9，
尝试高考
能力拓展
函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) 3 3 5 A. ( , ) B. ( , 2 ) C . ( , ) D. (2 , 3 ) 2 2 2 2
1.3.1 函数的单调性与导数
高二数学 选修 2-2
第一章
导数及其应用
基本初等函数导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1 （3）.三角函数 ：
(cos x) sin x （ 1） (sin x) cos x （2）
1 17 1 17 或x 2 2
y
时,
当 f ( x) 0, 即 2 函数 f ( x) 单调递减.
1 17
x
1 17 2
时,
O
x

1 17 1 17 , ， 2 , 单调递增区间: 2