高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；
(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．
【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13
CD →
，则四边形ABCD 是( )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．菱形
D ．矩形
解析：由AB →＝13
CD →
⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．
答案：B
【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →
＝8，则这个三角形的形状是__________．
解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →
|＝|AC →
|，
∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形
2．向量在解析几何中的应用
(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝n
m
，则向量(m ，n )一定与该直线平行．
(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．
(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－1或2 答案：D
【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用
(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．
(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．
【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1
的夹角为60°，则F 1的大小为( )
A ．5 3 N
B ．5 N
C ．10 N
D ．52N 答案：B
1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2
； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →
成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →
＝0；
(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →
，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →
.
2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解
剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P
1P 2→共
线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B
(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )
为直线l 的方向向量．
(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．
3．教材中的“探索与研究”
利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．
结论：
l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
cos θ＝
|A 1A 2＋B 1B 2|
A 21＋
B 21A 22＋B 2
2
.
剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2
＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．
若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 2
1＋B 2
1，|n 2|＝A 2
2＋B 2
2， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝
A 1A 2＋
B 1B 2
A 21
＋B 21A 22＋B 2
2
. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为
cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝
|A 1A 2＋B 1B 2|
A 21＋
B 21A 22＋B 2
2
.
题型一 向量在平面几何中的应用
【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．
分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →
|→还原为几何问题
证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，
F (0,1)．
(1)BE →＝(－1,2)，CF →
＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →
＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →
，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →
＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，
∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →
得y ＝－2x ＋4，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6
5
，
y ＝8
5
.
∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，85.
则|AP →|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫852＝2＝|AB →
|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．
〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，1，OD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，
∴OD →·OE →＝1
2×1＋1×12＝1.
又|OD →|＝|OE →
|＝52
，
∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×
52＝4
5.
题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．
分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →
⊥b 解题即可．
解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →
＝(x ＋2，y －1)．
(1)由题意，知AP →
∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.
故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.
(2)由题意，知AP →
⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，
故所求直线方程为x－2y＋4＝0.
反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．
解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.
又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，
所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.
所以CN·AB＝0.
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，
所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．
题型三向量在物理中的应用
【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.
(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？
分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．
解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以
|ν|＝ν2
1－ν2
2＝100－16≈9.2(km/h)，
ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船
垂直到达对岸所用的时间t ＝
d |ν|＝0.5
9.2
≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间
t ＝0.5
10sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为
t ＝
0.5
10
＝0.05(h)．
反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．
题型四 易错辨析
【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →
.
(1)求证：A ，B ，C 三点共线；
(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB
→|的最小值为1
2
，求实数m 的值．
错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →
，
∴AC →∥AB →
，∴A ，B ，C 三点共线．
(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，
AB →
＝(sin x,0)，从而|AB →
|＝|sin x |.
故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2
＋m 4
＋2.
又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4
＋2＝12，
解得m ＝±1
2
.
错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →
，
AC →
＝OC →－OA →
＝13OA →＋23OB →
－OA →＝23OB →
－23OA →＝23
AB →，∴AC →∥AB →
，∴A ，B ，C 三点共线．
(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，
AB →
＝(sin x,0)，故|AB →
|＝sin x ，
从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2
＋m 4
＋2.
又当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，
∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4
＋2＝12，
化简得m 2
＝14，解得m ＝±12
.
1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )
A ．(1,2)
B ．(1，－2)
C ．(2,1)
D ．(2，－1)
解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．
答案：A
2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C
3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A
4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A ．3003N,3003N
B ．150 N,150 N
C ．3003N,300 N
D ．300 N,3003N
解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，
所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C
5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝0
6．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，
v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．
解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝24
25
.
所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝24
5.
答案：
245
7．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．
解析：如图所示，作
ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .
依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为
顶角．
答案：等腰 8．如图所示，已知
ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．
证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，
∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2
－|AB |2
＝0.
∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．
证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.
∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，
BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，
∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.
∴AC⊥BD，
∴AC⊥BD．。