5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)

等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:
1 1 4 a b
例2 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值.
2 2
(3) 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
(x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
作业 补充:
1.求函数y 2 1 x 2 x 1 的最大值.
2.已知x , y , z R, 且x y z 8, x y z 24, 求证 :
2 2 2
4 4 4 x 4, y 4, z 4. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3. 求证: x y y zy z x z 3 xz
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac ห้องสมุดไป่ตู้d
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd