基于DCT的图像压缩及其MATLAB实现

基于ＤＣＴ的图像压缩及其ＭＡＴＬＡＢ实现覃凤清１，２（１．四川大学，四川成都６１００６５；２．宜宾学院，四川宜宾６４４００２）【摘要】文章在研究近年来图像压缩一般方法的基础上，介绍了基于ＤＣＴ变换的图像压缩的基本原理及其实现步骤。

并使用ＭＡＴＬＡＢ，针对不同量化步长对同一幅原始图像进行压缩，给出了实验仿真结果。

【关键词】图像压缩；离散余弦变换（ＤＣＴ）；量化；ＭＡＴＬＡＢ【中图分类号】ＴＰ３９１．４【文献标识码】Ａ【文章编号】１００８－１１５１（２００６）０３－００９１－０２大众科技ＤＡＺＨＯＮＧＫＥＪＩ２００６年第３期（总第８９期）Ｎｏ．３，２００６（ＣｕｍｕｌａｔｉｖｅｌｙＮｏ．８９）一、图像压缩的必要性与可能性进入２１世纪，人类已步入信息社会，新信息技术革命使人类被日益增多的多媒体信息所包围，这也正好迎合了人类对要示提高视觉信息的需求。

多媒体信息主要有三种形式：文本、声音和图像。

从信息传输的发展史（电报、电话、传真、收音机、电视机直至现在的网络）可以看出，人们逐渐将信息传输的重点从声音转向图像，然而图像是三种信息形式中数据量最大的，这给图像的传输和存储带来了极大的困难。

例如，一幅６４０×４８０分辨率的２４位真彩色图像的数据量约为９００ｋｂ；一个１００Ｍｂ的硬盘只能存储约ｌ００幅静止图像画面。

对于如此巨大的数字图像数据量，如果不经过压缩，不仅超出了计算机的存储和处理能力，而且在现有的通信信道的传输速率下，是无法完成大量多媒体信息实时传输的，数字图像高速传输和存贮所需要的巨大容量已成为推广数字图像通信和最大障碍。

因此，为了存储、处理和传输这些数据，必须进行压缩。

图像压缩之所以能够进行压缩是因为原始图像数据是高度相关的，存在很大的数据冗余。

数字图像包含的冗余信息一般有以下几种：空间冗余、时间冗余、信息熵冗余、统计冗余、结构冗余、视觉冗余以及知识冗余等。

图像压缩算法就是要在保证图像一定的重建质量的同时，尽可能多的去除这些冗余信息，以达到对图像压缩的目的。

二、图像压缩基本原理及模型（一）图像压缩基本原理图像数据压缩的目的是在满足一定图像质量的条件下，用尽可能少的比特数来表示原始图像，以提高图像传输的效率和减少图像存储的容量，在信息论中称为信源编码。

图像压缩是通过删除图像数据中冗余的或者不必要的部分来减小图像数据量的技术，压缩过程就是编码过程，解压缩过程就是解码过程。

压缩技术分为无损压缩和有损压缩两大类，前者在解码时可以精确地恢复原图像，没有任何损失；后者在解码时只能近似原图像，不能无失真地恢复原图像。

假设有一个无记忆的信源，它产生的消息为｛ａｉ｝，１≤ｉ≤Ｎ，其出现的概率是已知的，记为Ｐ（ａｉ）。

则其信息量定义为：由此可见一个消息出现的可能性越小，其信息量就越多，其出现对信息的贡献量越大，反之亦然。

信源的平均信息量称为“熵”（ｅｎｔｒｏｐｙ），可以表示为：对上式取以２为底的对数时，单位为比特（ｂｉｔｓ）：根据香农（Ｓｈａｎｎｏｎ）无噪声编码定理，对于熵为Ｈ的信号源，对其进行无失真编码所可能达到的最低比特数为，这里为一任意小的正数，因此可能达到的最大压缩比为：其中Ｂ是原始图像的平均比特率。

在图像压缩中，压缩比是一个重要的衡量指标。

可以定义压缩比为：（二）图像压缩的基本模型图像编码包括两个阶段，前一个阶段就是利用预测模型或正交模型对图像信号进行变换；后一个阶段是利用已变换信号的统计特性，对其分配适当的代码来进行编码传输。

编码器与解码器的结构分别如图（ａ）、（ｂ）。

在发送端，输入的原始图像首先经过ＤＣＴ变换后，其低频分量都集中在左上角，高频分量分布在右下角（ＤＣＴ变换实际上是空间域的低通滤波器）。

由于该低频分量包含了图像的主要信息，而高频分量与之相比就不那么重要了，所以可以忽略高频分量，从而达到压缩的目的。

将高频分量去掉就要用到量化，这是产生信息损失的根源。

“量化”的主要任务是用有限个离散电平来近似表达已抽取出的信息。

在此采用均匀量化，通过改变程序中的量化因子Ｑ的值以得到不同压缩比的图像。

Ｈｕｆｆｍａｎ编码时，首先对经ＤＣＴ变换及量化后的图像收据扫描一遍，计算出各种像素出现的概率；然后按概率的大小指定不同长度的唯一码字，由此得到一张Ｈｕｆｆｍａｎ表。

编码后的图像记录的是每个像素的码字，而码字与量化后像素值的对应关系记录在码表中。

生成的一维字符矩阵即为实际中要【收稿日期】２００５－１２－２１【作者简介】覃凤清（１９７６－），女，四川南充人，四川大学通信与信息系统专业硕士研究生，宜宾学院讲师，研究方向：多媒体通信。

９１－－传输的序列，压缩后的图像数据在信道中进行传输。

在接收端，接收到的压缩图像数据首先经过Ｈｕｆｆｍａｎ译码，通过搜索已生成的Ｈｕｆｆｍａｎ表，根据码字与量化后像素值的对应关系，搜索出与码字对应的像素值，并转换为二维矩阵。

反量化时将以上二维矩阵中的每一个像素值乘以量化因子Ｑ。

最后通过ＤＣＴ反变换得到重建图像。

三、离散余弦变换（ＤＣＴ）（一）ＤＣＴ的定义ＤＣＴ变换利用傅立叶变换的性质，采用图像边界褶翻将图像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。

二维离散余弦变换ＤＣＴ（ＤｉｓｃｒｅｔｅＣｏｓｉｎｅＴｒａｎｓｆｏｒｍ）的定义为，假设矩阵Ａ的大小为Ｍ×Ｎ，０≤ｐ≤Ｍ－１，０≤ｑ≤Ｎ－１其中，Ｂｐｑ称为矩阵Ａ的ＤＣＴ系数。

在ＭＡＴＬＡＢ中，矩阵的下标从１开始而不是从０开始的，所以ＭＡＴＬＡＢ中的矩阵元素Ａ（１，１）和Ｂ（１，１）分别对应于上面定义中的值Ａ００和Ｂ００，依此类推。

ＤＣＴ是一种可逆变换，离散反余弦变换定义如下：０≤ｍ≤Ｍ－１，０≤ｎ≤Ｎ－１上式的含义是任何Ｍ×Ｎ的矩阵Ａ都可以表示为一系列具有下面形式的函数的和：０≤ｐ≤Ｍ－１，０≤ｑ≤Ｎ－１这些函数称为ＤＣＴ变换的基函数。

这样，Ｂｐｑ就可以看成是应用于每个基函数的加权。

（二）ＤＣＴ和图像压缩ＤＣＴ编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。

变换编码就是将图像光强矩阵（时域信号）变换到系数空间（频域信号）上进行处理的方法。

在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。

我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。

图像经ＤＣＴ变换以后，ＤＣＴ系数之间的相关性已经很小，而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，ＤＣＴ变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准ＪＰＥＧ的核心。

从原理上讲可以对整幅图像进行ＤＣＴ变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。

为此，发送者首先将输入图像分解为８×８或１６×１６的块，然后再对每个图像块进行二维ＤＣＴ变换，接着再对ＤＣＴ系数进行量化、编码和传输；接收者通过对量化的ＤＣＴ系数进行解码，并对每个图像块进行的二维ＤＣＴ反变换，最后将操作完成后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。

对于一般的图像而言，大多数ＤＣＴ系数值都接近于０，可以去掉这些系数而不会对重建图像的质量产生重大影响。

因此，利用ＤＣＴ进行图像压缩确实可以节约大量的存储空间。

在实验中，先将输入的原始ｌｅｎａ图像分为８×８的块，然后再对每个块进行二维ＤＣＴ变换。

ＭＡＴＬＡＢ图像处理工具箱中提供的二维ＤＣＴ变换及ＤＣＴ反变换函数如下。

１．ｄｃｔ２ｄｃｔ２实现图像的二维离散余弦变换，其语法格式为：（１）Ｂ＝ｄｃｔ２（Ａ）返回图像Ａ的二维离散余弦变换值，其大小与Ａ相同，且各元素为离散余弦变换的系数Ｂ（ｋ１，ｋ２）。

（２）Ｂ＝ｄｃｔ２（Ａ，ｍ，ｎ）或Ｂ＝ｄｃｔ２（Ａ，［ｍ，ｎ］）如果ｍ和ｎ比图像Ａ大，在对图像进行二维离散余弦变换之前，先将图像Ａ补零至ｍ×ｎ。

如果ｍ和ｎ比图像Ａ小，则进行变换之前，将图像Ａ剪切。

２．ｉｄｃｔ２ｉｄｃｔ２可以实现图像的二维离散余弦反变换，其语法格式为：Ｂ＝ｉｄｃｔ２（Ａ）；Ｂ＝ｉｄｃｔ２（Ａ，ｍ，ｎ）或Ｂ＝ｉｄｃｔ２（Ａ，［ｍ，ｎ］）。

四、哈夫曼（Ｈｕｆｆｍａｎ）编码Ｈｕｆｆｍａｎ编码是一种熵编码方法，通过利用已变换信号的统计特性，给其分配高效代码来实现数据压缩，用于去除图像数据的统计冗余。

Ｈｕｆｆｍａｎ编码是一种长度不均匀的、平均码率可以接近信息源熵值的一种编码方法。

其编码基本思想是：对于出现概率大的信息采用较短的代码，对于出现概率小的信息采用较长的代码，每个数据的代码各不相同，这些代码都是二进制码，且码的长度是可变的。

编码后使得平均码长减小，以达到压缩目的。

Ｈｕｆｆｍａｎ编码的算法如下：１．首先统计出每个灰度出现的频率。

２．从左到右将上述频率按从小到大的顺序排列。

３．每一次选出频率最小的两个值，将它们相加，形成的新频率值与其它频率值形成一个新的频率集合。

４．重复步骤（３），直到最后得到频率和为１，形成一颗二叉树。

５．分配码字。

将形成的二叉树的左节点标１，右节点标０（反之亦可），把从最上面的根节点到最下面的叶子节点途中遇到的０、１序列串起来，这样就得到了符号的编码。

在计算Ｈｕｆｆｍａｎ表时需要对原始图像数据扫描两遍：第一遍要精确地统计出原始图像中每个灰度值出现的概率；第二遍是建立哈夫曼树并进行编码。

由于需要建立二叉树并遍历二叉树生成编码，因此数据压缩和还原速度都较慢。

但是该编码方法简单有效，而且编码效率相当高，因而得到了广泛应用。

五、ＭＡＴＬＡＢ仿真效果原始图像重建图像１，Ｑ＝５０重建图像２，Ｑ＝１００图像大小２５６×２５６压缩比为６．１０６５压缩比为７．３９４４ＤＣＴ具有算法简单，易于硬件实现等优点，从而广泛应用于图像压缩领域，尤其在较高比特率的传输条件下能取得令人满意的压缩效果。

然而，它在低比特率条件下的“方块效应”成了不容忽视的“瓶颈”缺陷。

原因就在于ＤＣＴ处理的图像是分块进行的，块与块边界两边的像素相关性不能去掉，从而形成了明显的方块边界。

若将ＤＣＴ变换与其它编码方法（如小波变换、分形等）相结合，会得到更好的效果。

【参考文献】［１］钟玉琢，冼伟铨，沈洪编著．多媒体技术基础及应用［Ｍ］．清华大学出版社，２０００．９２－－。