7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】

7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和
扭曲程度。

在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地
质学、材料科学等领域。

一、空间曲线的曲率
空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。

假设曲线的参数方程为
$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为
$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为
$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为
$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|
\mathbf{T}(t)\right\|} $$
曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：
其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。

空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。

假设曲线的单位切向量为
$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别
为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。

则曲线的挠率为
其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。

挠率的单位也是长度的倒数，通
常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。

对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何
一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。

三、曲率与挠率的关系
曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。

可以证明，曲线的挠率
$\tau$等于曲率$\kappa$乘上曲线的弯曲方向和扭曲方向之间的夹角余弦值（即
$\cos\alpha$）：
$$ \tau=\kappa\cos\alpha $$
其中，$\alpha$为弯曲方向和扭曲方向之间的夹角。

四、应用举例
1. 圆柱曲线的曲率和挠率
考虑一个沿着$x$轴方向延伸的圆柱曲线，其半径为$R$。

曲线的参数方程为
$$\mathbf{r}(t)=(R\cos t,R\sin t,ht)$$
其中，$h$为圆柱曲线在$z$轴上的截距。

计算曲线在$t=0$的曲率和挠率。

曲线在$t=0$处的切向量为$\mathbf{T}(0)=(0,1,0)$，单位切向量为
$\mathbf{T}(0)=(0,1,0)$。

此外，$\mathbf{T}'(0)=(0,0,1)$。

因此，在$t=0$处的曲率为
考虑一个弯曲的管道曲线$\mathbf{r}(s)=(x(s),y(s),z(s))$，其中$s$为沿曲线的
弧长。

假设曲率和挠率在整个曲线上都有定义，且曲线宽度不变。

证明，当曲率为最大值时，挠率为零。

由定义，曲线的曲率$\kappa$表示曲线在某一点处的弯曲程度，而挠率$\tau$表示曲线沿着切线方向的扭曲程度。

因此，在曲率最大的点处，切线方向的变化最小，也就是说挠率最小，为零。

参考文献
1. Chen, X. (2015). Multivariable Calculus with MATLAB. Boca Raton, FL: CRC Press.。