第四节_机械能守恒定律 (1)

可见，自由落体中重力做了多少功 就有多少重力势能转化成等量动能！
1 1 2 2 移项得： mgh1 mv 1 mgh2 mV 2 2 2 或：Ep1 E k 1 E p 2 E k 2
物体在自由落体运动中，任何时刻动能与 重力势能之和都保持不变，即它的机械能 保持不变。
可以证明，上述结论不仅适用于自由落体运动， 在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运 动还是曲线运动，上述结论都是正确。
（2）对某一系统，只有重力和弹力做功， 其它力不做功或做功的和为0
乙图 甲图 甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A的机械 能不守恒，但A和弹簧组成的系统机械能守恒。
乙图中，地面光滑，物体沿不固定光滑斜面下滑时， 物体B的机械能不守恒，但B与斜面组成的系统机械能 守恒。
方法二：看研究对象是否向外界 提供能量，或外界向研究对提供 能量。（能量的角度）
例题讲解2：
• 如图所示，物体A、B用绳子 连接穿过定滑轮，已知 mA=2mB, 绳子的质量不计， 忽略一切摩擦，此时物体A、 B距地面高度均为H，释放A， 求当物体A刚到达地面时的 速度多大（设物体B到滑轮 的距离大于H）？
• 分析：以物体A为研究对象，它受 到重力和拉力作用，其中重力做正 功，拉力做负功，物体A的机械能 不守恒。以物体B为研究对象，它 受到重力和拉力作用，其中重力做 负功，拉力做正功，物体B的机械 能不守恒。
θ
v 2gl(1 cos )
• 如图所示，在竖直平面内有 一段四分之一圆弧轨道，半 径 OA 在水平方向，一个小球 从顶端A点由静止开始下滑， 已知轨道半径 R＝10cm，不计 摩擦，求小球刚离开轨道底 端B点时的速度大小？
分析：以小球为研究对象，小球在轨道上作变速圆周运 动，受到重力和支持力作用，支持力是一个大小、方向 均改变的力，但因其方向始终垂直于小球的运动方向， 所以支持力对小球不做功（这是难点），全程只有重力 作功，所以该题可用机械能守恒定律求解。
三、机械能守恒定律
1、内容：
条件
在只有重力或弹力做功的物体系统 内，动能和势能可以互相转化，而 总的机械能保持不变。
2、表达式：
Ek 2 E p 2 Ek1 E p1
EK EP E A EB
3、如何判断机械能是否守恒
方法一：是不是只有重力或弹力做功。
注：“只有”的含义：其它力不做功或 其它力做功的代数和为零
2：一根均匀铁链全长为L，其中1/2L平放在光 滑水平面上，其余1/2L悬垂在桌边，如图所示， 如果由图示位置无初速度释放铁链，则当铁链 刚呈竖直状态时速度多大？
h
【3】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端各系一 个物体，B物体的质量是A物体质量的一半，在 不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高度处由静 止开始下落，且B物体始终在平台上，物体A落 地时B的速度。
第四节
机械能守恒定律
一、功和能之间的相互转化
1、机械能：动能和势能（包括重力势能 和弹性势能）的总和 2、动能和势能之 间的相互转化
机械能转化通过什么手段？
动能和重力势能之间的转化必须通过重力做功 动能和弹性势能之间的转化必须通过弹力做功
二、机械能守恒定律的推导
质量为m的小球自A点自由下落，经过高度为h1的 B点时速度是V1，下落到高度为h2的C点时速度是 V2。自由落体过程中只有重力做功，从B到C过程， 根据动能定理：
为零
【拓展】 如图，被压缩的弹簧将小球弹出的过程中，小球的动
能与弹簧的弹性势能将怎样变化？(水平面光滑)
这时动能和弹性势能相互转化，但动能和弹性势能的
总和保持不变，即机械能守恒。 ——在只有弹力做功的情形下，物体的动能和弹性势能发 生相互转化，但机械能的总量保持不变。
同理：只有弹力做功的情况下，物体的动 能和弹性势能发生相互，而总的机械能保 持不变。———机械能守恒定理 机械能守恒定律成立的条件： ①物体只有弹力做功； ②物体除受弹力作用还受其他力作用，但 其他力不做功； ③物体除弹力外，其他力做功代数和为零。
（做功的角度）
（1）对某一物体，只有重力做功， 其它力不做功，或其它力做功和为0
举例：所有的抛体运动（不计空气阻力） 机械能守恒。
甲
乙
丙
A. 甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A的机械 能不守恒 B. 乙图中，物体B沿固定光滑的斜面上下滑时，物体B 的机械能守恒 （若斜面不固定呢？） C.丙图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆动时，小球的 机械能保持不变。
练习：
• 解：选取 B 点所在水平面 为零势能面，以小球在 A 点时为初态，经过 B 点时 为末态，则依据机械能守 恒定律可知：
∴小球刚离开轨道底端B点时的速度大小为：
本题说明：
• 本题重点要突出物体在变力作 用下运动，又不涉及加速度和 时间问题，在满足机械能守恒 的前提下，用机械能守恒定律 来解方便、快捷，避免了使用 牛顿运动定律的困难。
• 因为对物体A来讲，拉力对它作的功为－FH，对 物体B来讲，拉力对它作的功为FH，其代数和为 0。也就是说若以物体A、B（含地球）这个大系 统为研究对象可得运动过程中只有两物体的重力 做功，没有其他外力做功，这个系统的机械能守 恒。
• 解：设地面处的势能为 0， 以物体出发点为初态，物 体A刚落地时为末态，则在 运动过程中物体 A 、 B 的速 度大小始终相等。 根据机械能守恒定律有：
机械能守恒定律成立的条件： ①物体只有重力做功；例：自由落体、竖 直上抛、平抛等抛体运动 ②物体除受重力作用还受其他力作用，但 其他力不做功； ③物体除重力外，其他力做功代数和为零。
只受重力作用和只有重力做功有什么区别？ ①只受重力作用，是除重力外不受其它力作用； ②只有重力做功，包含受其它力作用但其它力做的总功
2、系统改变的总势能等于系统改变的总动能，
即 －Δ EP=Δ EK
3、若系统只有A、B两物体，则A改变的机械能等于
B改变的机械能，即 － Δ EA= Δ EB
课外练习1：如图质量为m的小球，从离桌面 高H处由静止下落，桌面离地面高为h，设桌 面处物体重力势能为零，空气阻力不计，那 么，小球落地时的机械能为（ ） A.mgh B.mgH C.mg(H+h) D. mg(H-h)
课堂小结
1、机械能

概 念：
表达式：E E k E P
机械能是标量，具有相对性
2、机械能守恒定律
定律内容： 表达式： 机械能守恒定律成立的条件： 应用机械能守恒定律解题的一般步骤：

机械能守恒的三种表达式
1、系统初状态总机械能E1等于末状态机械能E2， 即E1 ＝ E2
1 1 2 2 mgh mv mgh mv 或 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 WG mV2 mV1 (1) 2 2
设地面的重力势能为零，在h1,h2位置的重 力势能分别是mgh1和mgh2,重力做功与重力 势能变化的关系知：
WG mgh1 mgh2
由（1）（2）两式得：
(2)
1 1 2 2 mV 2 mv 1 mgh1 mgh2 2 2
∴物体A刚到达地面时的速度大小为：
• 说明：
• 对于本题所选的大系统来讲，除了物体的 重力做功以外，还有绳拉力对系统内的物 体做功。但拉力所做的功，只是使得机械 能在该系统中进行转移，即拉力对A物体 做负功，使A物体的机械能减少，拉力对 B物体做正功，使B物体的机械能增加， 且减少量和增加量相同（一部分A物体的 机械能转移给了B物体）。该系统没有和 外界发生能量交换，所以该大系统仍然机 械能守恒。今后再处理相关问题时，要注 意系统的选择。
总结
应用机械能守恒定律解题的一般步骤： ①明确研究对象(物体或者系统) ②明确研究对象的运动过程,分析研究对象 的受力情况以及各力做功的情况,判断机 械能是否守恒 ③选取参考平面(零势能面),并确定研究对 象在过程中的始末机械能 ④根据机械能守恒定律列出方程进行求解， 有时不够时再辅之以其它方程
机械能守恒定律 实际生活中的应用
举例：Leabharlann 物体间只有动能和势能的相互转化，系 统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转 化成其他形式的能（如内能），则系统的机 械能守恒。
例题讲解1：
把一个小球用细线悬挂起来，就成为 一个摆，如图所示，摆长为L,最大偏角为 θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低 位置时的速度是多大？ 从最高点到最低点的 过程中机械能守恒 mgL(1-cos@)=1/2mv2