小学六年级数学拔高之巧解简单的不定方程

第28讲巧解简单的不定方程巧点睛——方法和技巧所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。

（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。

（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。

（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。

甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。

年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。

问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。

解设马小富在甲公司打工χ个月，在乙公司兼职y个月。

这里χ＞，且χ和y都是不大于12的自然数。

根据题意列方程：470χ＋350y=7 620化简得47χ＋35 y=762由于35y的末位数字一定是5或0，因此47χ的末拉数字是7或2，χ只能是1，11或6。

当χ=1或6时，y不是自然数，不符合题意；当χ=11时，y=7。

所以，马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。

做一做1 有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。

那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？【例2】要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？解设38毫米、90毫米的铜管分别锯χ段、y段，共锯（χ＋y －1）次，损耗铜管（χ＋y－1）毫米。

根据题意列方程：38χ＋90χ＋（χ＋y－1）=1 000化简得39χ＋91y=1 001方程两边除以13，得3χ＋7y= 77Y=7x377 。

即y=11－73χ。

这里有一个隐蔽条件，就要使损耗最少，尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说χ尽可能小。

由于χ、y都必须是自然数，可得χ=7，y=8。

即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗量最小。

做一做2 一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？【例3】某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工工，并有3每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？1的职工各带一个孩子，解设男职工有χ人，女职工有y人。

有3也就是三个成人有一个孩子，每个孩子种6棵树，可以认为每个人多种2棵树，也就是男职工每人种15棵，女职工每人种12棵。

依题意，得15χ＋12y=216即5χ=72－4y因为上式左边能被4整除，所以χ能被4整除，于是有χ： 4 8 12y：13 8 31的职工各带一个孩子”，由此知男、女题目还有隐含条件“有3工人数之和要能被3整除，因此，只有男职工12，女职工3人符合。

故其中女职工3人。

做一做3 一群猴子采摘水蜜桃。

猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。

问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？B 级 培优竞赛·更上层楼【例4】 小明用5天时间看完一本200页的故事书。

已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？解 设小明第一天看了χ页，第二天看了y 页（y ＞χ），则前五天看的页数依次为χ，y ，χ＋y ，χ＋2y ，2χ＋3y 。

根据题意，列方程：χ＋y ＋（χ＋y ）＋（χ＋2y ）＋（2χ＋3y ）=200化简，得5χ＋7y=200因为5χ，200是5的倍数，所以y 一定是5的倍数，又y ＜7200，χ＜y ，经试算可以得到 将两组解代和2χ3=84，5×2＋25×3=85 所以小明第五天至少看了84页。

做一做4 有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。

每次拿出7颗白子，4颗黑子，经过若干次（不到10次）后，剩下的白子数是黑子数的11倍。

问：原来有白子多少颗？【例5】 甲、乙两家共养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占83；乙家养的鸡中，母鸡占115。

问：甲、乙两家共养母鸡多少只？ 解 甲家养的鸡是8的倍数，乙家养的鸡是11的倍数。

设甲家养鸡8χ只，乙家养鸡11y 只。

根据题意，列方程：8χ＋11y=106，即11y=106。

因为106－8χ是偶数，所以11y 也是偶数，从而y 是偶数。

又y ≤9，所以y 只可能是2，4，6，8，。

经试算，当y=6时，χ=5。

所以甲、乙两家共养母鸡8×5×（1－83）＋11×6×115=55（只） 做一做5 商店里面有两种笔记本，厚的每本7角5分，薄的每本4角5分。

李老师买笔记本正好用去12元，问：他买了几本厚笔记本？几本薄的笔记本？把每一种答案都填写在下面的表里。

【例6】有一个算式，左边方框里都是整数，左边答案只写出了1.16。

那么算式左边3个方框中的整数从左至右依次是多少？解 1.155≤3a ＋5b ＋7c ≤1.164， 于是121.275≤35a ＋21b ＋15c ≤122.22所以35a ＋21b ＋15c=122显然a ≤3，b ≤5，c ≤8，21b ＋15c=122－35a.因为21和15是3的倍数，所以122－35a 也必须是3的倍数，则a=1。

原方程变为21b ＋15c=87，即7b ＋5c=29,5c=29－7b ，29－7b 必须是5 的倍数，只有b=2,从而c=3。

所以3个方框中的整数从左至右2依次是1，2，3。

做一做63a 和7b 都是真分数，3a ＋7b ≈1.38，那么b a 为多少？C 级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军【例7】有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都在10以内。

把这三张牌洗好，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。

这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13，15，23。

问：这三张牌的数字是多少？解 设三张牌按照从大到小排列为χ,y,z ，再设共发了n 轮（每轮发3张），χ＋y ＋z=S ，则有：n ×S=13＋15＋23=51=3×17只有n=3，S=17。

χ＋y ＋z=17，则χ＞17÷3，所以χ可取的傎为6，7，8，9。

当χ=6时，y ＋z=11，而y ＋z 最多只能是9，所以不符合题意。

当χ=7时，y ＋z=10，这是只有y=6,z=4，但是丙三次记录的数字和是23，而23显然不可能表示为（7，6，2）中任意三个数之和，故也不符合题意。

当χ=8时，y ＋z=9，（y ，z ）的可能情况有（7，2），（6，3），（5，4），而13（甲的三次牌数字和）不能表示为（8,7,2 ）中任意三个数之各；23不能表示为（8，6，3）和（8，5，4）中任意三个数这和，故χ=8也不符合题意。

当χ=9时，y＋z=8，经观察y=5,z=3可成立。

每人每次得牌如下：答：这三张牌的数字是3，5，9。

巧练习——温故知新（二十八）A级兑现名校·基础点睛1．在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管。

问：两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米的地段？2.植树节那天，六（一）班第三组学生种植127株果树，男生每人种14株，女生每人种5株。

这组学生不多于15人，那么这组学生中男生、女生各有多少人？3.用10元钱买4角、8角、1元的画片共15张，那么最多可以买1元的画片多少张？4.取一角、两角、五角的纸币10张，支付一元八角钱，有多少种不同的取法？5.设A 和B 都是自然数，并且满足11A ＋3B =3317，那么A+B 的值是多少？B 级 培优竞赛·更上层楼6.大旅游车有50个座位，小旅游车有21个座位。

现有284位乘客去黄山旅游，要使每位游客都有座位且车上没有空座位，共需多少辆旅游车？7.一只箱子里装有6只蟋蟀和8只脚的蜘蛛，它们共有40只脚。

求箱子里蟋蟀和蜘蛛各有多少只。

8.学校将80人分成12个小组，有8人一组的。

有7人一组的，有5人一组的。

求：8人一组的共有多少组？9.某地区按下列规定收取电费：每月用电不超过50千瓦时，每千瓦时收4角5分；如果超过50千瓦时，超过部分每千瓦时收费8角。

今年七月，甲用户比乙用户多交了3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少电？（电表的计数取整数）10.100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐。

问：大、中、小马各有多少匹？C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军11.10位小学生的平均身高为1.5米，其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。

那么最多有位学生的身高恰好是1.5米。

12.有两个小堆砖头。

如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍；如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍。

问：第一堆中的砖头最少有多少块？13.某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每1的成人各带一个孩子，总共收了2 160带一个孩子多付60元。

现在3元。

问：这次活动共有多少参加？（成人和孩子）14.有一座山里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，而平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。

那么在这座山里至少有和尚个。

15.某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位和第二位数字之间加上3成为一个七位数，第二次升位是在首位数字前加上2成为一个八位数。

某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好为原来的六位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是。

巧总结本节我的收获是：。

不足之处有：。