吉林省长春市2015届新高三起点调研考试数学(文)试题Word版含答案

长春市2014—2015学年新高三起点调研考试
数学试题卷(文科)
考生须知：
1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.
3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.
4. 考试结束，只需上交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{1,2,4}A =，{1,}B x =，若B A ⊆，则x =
A. 1
B. 2
C. 2或4
D. 1或2或4
2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则
1
2
z z = A. 12
33i -
B. 1233i -+
C. 12
55
i -
D. 1255
i -+
3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是
A. 3
y x = B. ln()y x =- C. x
y xe -= D.2y x x
=+
4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n
，||-=m n ⋅=m n
A.
B. 1-
C. 2-
D. 4-
5. 已知4
sin cos 5
αα+=，则sin2α=
A. 1225
-
B. 925-
C. 925
D.
12
25
6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.
323π
B. 8π
C. 163
π
D.
83
π
7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =
A. 2-
B. 2
C. 4-
D. 4
8. 若2x
a =，12
log b x =，则“a b >”是“1x >”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 9. 某圆的圆心在直线2y x =上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为
正视图侧视图
俯视图
A. 22
(2)(4)20x y -+-= B. 2
2
(4)(2)20x y -+-=
C. 2
2
(2)(4)20x y -+-=或2
2
(2)(4)20x y +++=
D. 2
2
(4)(2)20x y -+-=或2
2
(4)(2)20x y +++= 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17 11. 函数ln ||
()x f x x
=
的图像可能是 O
y
x
x
O
y
O
y x
x
O
y
A
B C 12. 过抛物线2
2y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、
B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是
A. [(0,3]
B. (,[22,)-∞-+∞
C. (,[3,)-∞+∞
D. [(0,22]-
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 若实数,x y 满足22
11y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩
≥≥≤，则2z x y =+的最小值为___________.
14. 某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为___________.
15. 若函数()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++(||)2
π
ϕ<
为偶函数，则ϕ=__________.
16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为a 的正三棱柱外接球的表面积为__________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）
已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24a =，3424a a +=.
(1) 求数列}{n a 的通项公式；
(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
18.（本小题满分12分）
在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ； (2) 若△ABC
的面积S =4=+c a ，求b 的值. 19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如
下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所
示，现将频率视为概率.
(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率； (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.
20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥
111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.
(1) 求证：11AC ⊥平面MBD ；
(2)
11D A BC -的体积.
21.（本小题满分12分）
如图，椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为F ，
过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是
M
A
C 1
D
B
C
D 1
A
1
50
M ，BF 的最小值是m ，满足23
4
M m a ⋅=.
(1) 求该椭圆的离心率；
(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1
2
S S 的取值范围. 22.（本小题满分12分）
已知函数2
()1x
e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718
e =.
(1) 若1
3
x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；
(2) 当a 取正实数时，求函数()f x 的单调区间；
(3) 当4a =-时，直接写出函数()f x 的所有减区间.
长春市2014—2015学年新高三起点调研考试
数学（文科）试题答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. C
2. D
3. D
4. C
5. B
6. D
7. B
8. B
9. C 10. C 11. A 12. D 简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.
【试题解析】C 由题可得2x =或4x =才能满足集合的互异性. 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要
求.
【试题解析】D 由图可知：1z i =，22z i =-，则1212
255z i i z i ==-+-. 故选D.
3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3
y x =单调递增（无极值），
而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D. 4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一
定的要求.
【试题解析】C
由||-=m n 222
||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，
2⋅=-m n . 故选C.
5. 【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.
【试题解析】B 将4sin cos 5αα+=两边平方得，16
12sin cos 1sin 225
ααα=+=+，可得
9
sin 225
α=-，故选B.
6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.
【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=314182422333
ππ
π⋅⋅-⋅⋅=
，选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.
【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.
8. 【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.
【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b >”，而 “a b >”/⇒ “1x >”，因此“a b >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 9. 【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.
【试题解析】C 由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，则有2224416R a a =+=+或2221644R a a =+=+，解得2a =±，故选C.
10. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.
【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.
11. 【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.
【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且
ln ||ln ||
()()x x f x f x x x
--==-=--，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B 、
C ，当01x <<时，ln 0x <，从而排除D. 故选A.
12. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.
【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4
B p
x ≤
时，满足OB FB ≤
，此时2
2
B y -
≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 1
14. 960
15.
4
π
16.
2
73
a π 简答与提示：
13. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.
【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数
2z x y =+的几何意义为过区域内点的直线2y x z =-+的截距大小，故z 的最小值是1.
14.
【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.
【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有560
80M
=
，从而估算出M =960. 15. 【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用.
【试题解析】由题意可知())(||)42
f x x ππ
ϕϕ++<为偶函数，所以
()42k k Z π
π
ϕπ+
=
+
∈，根据||2π
ϕ<
，有4
π
ϕ=
16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体表面积问题.
【试题解析】，圆心到底面的距离为2
a
，从而其外
接圆的半径22227()212a R a =+=，则该球的表面积22
743
S R a ππ==. 三、解答题
17. (本小题满分10分)
【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法.
【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为q ，有12311
424a q a q a q =⎧
⎨+=⎩，
解得12,2a q ==，所以2n n a =；
（5分）
(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，
从而21(1)
(222)(12)222
n n n n n T n ++=++
+++++=+
-. （10分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理
c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-
整理得2sin cos sin
C B C =，即1cos 2B =
，3
B π=. （6分）
(2) 由面积1
sin 2
S ac B =
=4ac =，而4a c +=， 所以2a c ==，由3
B π
=
可得△ABC 为等边三角形，所以2b =.
（12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.
【试题解析】(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则
1501005
()501501006
P A +==++.
（6分） (2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其
中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个，则4
()15
P B =.
（12分） 20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：
(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，
11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫
⇒⊥⎬⎪
=⎭⎪
⎪=⎫⎪
⇒⊥⇒⊥⎬
⎬=⎪
⎭⎪
⎪
⎪ =⎭
平面 ； （6分）
(2)
由题意知BD =M 到BD
则△MBD 的面积为12MBD S ∆
==，由
(1)知11AC
⊥平面M
BD 所以11111133D A BC MBD V S AC -∆=⋅=
（12分） 21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得
,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=
，所以有2223
4
a c a -=， 即22
4a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12
c e a
==.
（4分）
(2) 由(1)可知2a c =，b ==，椭圆的方程为2222143x y c c
+=.
根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+， 并设1122(,),(,)A x y B x y 则由22
22()
143y k x c x y c c
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 22222
2(43)84120k x ck x k c c +++-=
从而有21212122286,(2)4343
ck ck
x x y y k x x c k k +=-+=++=++，
（6分）
22243(,)4343
ck ck G k k -++.
因为DG AB ⊥，所以2
2
23431443
D ck k k ck
x k +⋅=---+，2
2
43D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以
22222
2221222
22243()()943434399()43
ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++==
=+>-+. （12分）
22. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】(1)解：222
(21)()(1)
x
ax ax e f x ax -+'=+ （2分）
因为13x =
是函数()f x 的一个极值点，所以1
()03f '=， 即12910,935
a a a -+==. 而当95a =时，2
29591521(2)()()59533
ax ax x x x x -+=-+=--，
可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此9
5
a =.
（4分）
(2) 当a 取正实数时，222
(21)()(1)x
ax ax e f x ax -+'=+，
令()0f x '=得2
210ax ax -+=，
当1a >
时，解得12a a x x a a
-+==.
所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是 x
(-∞
)
+∞
()
f x '
+
-
+
()f x
极大值
极小值
所以()f x
的单调递增区间为(,
a
-∞，()a a +∞， 单调减区间为(
a a a a
-+； 当01a <≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 的单调增区间是(,
)-∞+∞. （9分）
(3) 当4a =-时， (
)f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，
(1)++∞. （12分）。