2018高考数学一轮复习方案第13讲变化率与导数、导数的

2018高考数学一轮复习方案 第13讲 变化率与导数、导数的运算 第15讲 导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例]配套测
评 文 北师大版
45分钟滚动基础训练卷(四)
(考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝ax 2
＋c ，且f′(1)＝2，则a 的值为( ) A. 2 B ．1 C ．－1 D ．0
2．曲线y ＝x 3
－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 3．[2018·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a ，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为( )
A ．[a ，b]
B ．[－b ，－a]
C ．[－b ，b]
D ．[a ，－a]
4．[2018·银川一中月考] 过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1
x －1
在点(3，2)处的切线垂直的直
线的方程为( )
A ．2x －y ＋1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．x －2y ＋2＝0
5．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x>0，
0，x ＝0，－1，x<0，
g(x)＝x 2
f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞)
6．[2018·鹰潭一中模拟] 定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>1
2
，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )
A ．{x |－1<x <1}
B ．{x |x <1}
C ．{x |x <－1或x >1}
D ．{x |x >1}
7．设f (x )＝x (ax 2
＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )
A ．(a ，b )
B ．(a ，c )
C ．(b ，c )
D ．(a ＋b ，c )
8．[2018·山西四校联考] 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *
)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，则log 2 012x 1＋log 2 012x 2＋…＋log 2 012x 2018的值为( )
A ．－log 2 0122 011
B ．－1
C ．－1＋log 2 0122 011
D ．1
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．[2018·福州质检] 函数f (x )＝x 3
＋ax (x ∈R )在x ＝1处有极值，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程是________．
10．[2018·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．[2018·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每
件x 元)为50＜x ≤80时，每天售出的件数为P ＝10
5（x －40）
2，若要使每天获得的利润最多，
销售价格每件应定为多少元？
13．已知函数f (x )＝e x (ax 2
＋x ＋1)． (1)设a >0，讨论f (x )的单调性；
(2)设a ＝－1，证明：对任意x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.
14．已知函数f (x )＝e x
＋1x －a
.
(1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；
(2)当a >1时，判断方程f (x )＝0实根的个数．
45分钟滚动基础训练卷(四)
1．B [解析] 因为f ′(x )＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ＝2，所以a ＝1.故选B.
2．A [解析] 因为y ′＝3x 2－2，切线的斜率为k ＝3×12
－2＝1，所以切线方程为y ＝x －1，故选A.
3．D [解析] 因为函数f (x )的定义域为[a ，b ]，且b >－a >0，所以函数f (－x )的定义域为[－b ，－a ]，所以g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[a ，b ]∩[－b ，－a ]＝[a ，－a ]．故选D.
4．A [解析] y ′＝x －1－（x ＋1）（x －1）2＝－2
（x －1）
2，曲线在点(3，2)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝3＝－1
2
，所以与该切线垂直的直线的斜率为2，所以所求直线方程为y －1＝2x .故选
A.
5．A [解析] 依题意得，g (x )＝x 2
f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
，x >1，
0，x ＝1，－x 2，x <1，
所以g (x )的递减区间为(0，1)．故选A.
6．B [解析] 令F (x )＝f (x )－12x ，F ′(x )＝f ′(x )－1
2
>0，所以函数F (x )为增函数，
而F (1)＝f (1)－12＝12，2f (x )<x ＋1的解即为F (x )<1
2
的解．故选B.
7．A [解析] f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0(a ≠0)
的两根，∴1－1＝－2b
3a
⇒b ＝0.故选A.
8．B [解析] y ′＝(n ＋1)x n
，曲线在点(1，1)的切线斜率为(n ＋1)，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝
n n ＋1，即切线与x 轴的交点横坐标x n ＝n
n ＋1
，所以x 1x 2…
x 2 011＝12×23×…×
2 0112 012＝1
2 012
，所以log 2 012x 1＋log 2 012x 2＋…＋log 2 012x 2 011＝－1.故选B.
9．3x ＋y ＝0 [解析] 因为函数f (x )＝x 3＋ax (x ∈R )在x ＝1处有极值，则f ′(1)＝3×12
＋a ＝0，a ＝－3，所求切线的斜率为k ＝a ＝－3，因此所求切线方程为y ＝－3x .
10．y ＝4x －3 [解析] y ′＝3ln x ＋1＋x ·3
x
＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4.故所求切线方
程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.
11．(－∞，－3)∪(0，3) [解析] 由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0得[f (x )g (x )]′>0，所以F (x )＝f (x )g (x )在(－∞，0)上是增函数．又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F (x )＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数．因为g (－3)＝0，所以F (－3)＝0，F (3)＝0.当x <0时，
f (x )
g (x )<0的解集为(－∞，－3)；当x >0时，不等式f (x )g (x )<0的解集为(0，3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0，3)．
12．解：设销售价格定为每件x 元，50＜x ≤80，每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －
50)·P ＝105
（x －50）
（x －40）
2，
令x －50＝t ，y ＝105t （t ＋10）2＝105t
t 2
＋20t ＋100
＝105t ＋100t
＋20
≤10520＋20＝2 500，
所以当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答：销售价格每件应定为60元．
13．解：(1)因为f ′(x )＝e x
(ax 2
＋x ＋1＋2ax ＋1)＝e x
(x ＋2)(ax ＋1)． 令f ′(x )>0，得(x ＋2)(ax ＋1)>0，注意到a >0，
所以当a ∈0，12时，f (x )在－∞，－1a 上递增，在－1
a
，－2上递减，在(－2，＋∞)上递
增；
当a ＝1
2时，f (x )在(－∞，＋∞)上递增；
当a ∈12，＋∞时，f (x )在(－∞，－2)上递增，在－2，－1a 上递减，在－1
a
，＋∞上递
增．
(2)证明：因为a ＝－1，由(1)，f ′(x )＝－e x
(x ＋2)(x －1)， 所以f (x )在[0，1]上单调递增，
故f (x )在[0，1]的最大值为f (1)＝e ，最小值为f (0)＝1. 从而对任意x 1，x 2∈[0，1]，有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1<2.
14．解：(1)f (x )＝e x ＋1x －a ，f ′(x )＝e x
－1（x －a ）2，f ′(0)＝1－1a
2.
当a ＝1
2
时，f ′(0)＝－3.又f (0)＝－1.
所以f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x －1. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)．
当x ∈(a ，＋∞)时，e x >0，1x －a >0，所以f (x )＝e x
＋1x －a
>0.
即f (x )在区间(a ，＋∞)上没有实数根．
当x ∈(－∞，a )时，f (x )＝e x
＋1x －a ＝e x
（x －a ）＋1x －a
，
令g (x )＝e x
(x －a )＋1.
只要讨论g (x )＝0根的个数即可． g ′(x )＝e x (x －a ＋1)，g ′(a －1)＝0.
当x ∈(－∞，a －1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．
所以g (x )在区间(－∞，a )上的最小值为g (a －1)＝1－e a －1
.
因为a >1时，g (a －1)＝1－e a －1
<0，所以g (x )＝0有两个实根，即f (x )＝0有两个实根．。