整体最小二乘求取坐标转换参数

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总体最小二乘的迭代解法

第35卷第11期2010年11月武汉大学学报信息科学版G eomatics and Infor matio n Science o f Wuhan U niv ersity V ol.35N o.11N ov.2010收稿日期:2010 09 15。

项目来源:国家自然科学基金资助项目(40874010);江西省自然科学基金资助项目(2007GZC0474,2008GQC 0001,2008GZS0041);武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放研究基金资助项目(080104);现代工程测量国家测绘局重点实验室开放研究基金资助项目(T JES0802);数字国土江西省重点实验室开放研究基金资助项目(DLLJ200506)。

文章编号:1671 8860(2010)11 1351 04文献标志码:A总体最小二乘的迭代解法鲁铁定1,2周世健1,3(1 东华理工大学地球科学与测绘工程学院,抚州市学府路56号,344000)(2 武汉大学测绘学院,武汉市珞喻路129号,430079)(3 江西省科学院,南昌市上访路,330029)摘要:针对总体最小二乘解算问题,应用测量平差中的间接平差原理推导了总体最小二乘的迭代逼近解算公式,通过与奇异值分解法进行比较,得出两种解算方法具有等价性。

实验数据分析验证了算法的有效性。

关键词:总体最小二乘;奇异值分解;迭代算法;测量平差中图法分类号:P207.2在经典的高斯马尔可夫模型中,通常情况下是假设偶然误差仅存在于观测向量中,而系数矩阵不含误差。

然而由于观测条件的限制,观测向量、系数矩阵都有可能存在误差。

文献[1]讨论了共线方程解算外方位元素的解算问题[1]和坐标转换问题[2],认为得到的计算结果精度更高。

在应用总体最小二乘法解决顾及系数矩阵误差的平差解算中,基本上是用Golub 和Lan Loan 奇异值分解解法[3]。

在解算算法研究方面,文献[4 7]探讨了总体最小二乘的解算以及求解问题,并用于解决坐标转换等问题。

坐标转换四参数解算的整体最小二乘新方法

，：ＡａｒｔｏｆａｒａｍｅｔｅｒｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｂｏｔｈｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒａｎｄｌａｎｅｆｏｕｒｂｓｔｒａｃｔＩｎｐｐｐｒｏｏｓｅｓａｅｒｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｉｓｔｈｅｅｒｒｏｒｅｕａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍａｔｒｉｘｅｌｅｍｅｎｔｓｃａｎｈａｖｅｅｒｒｏｒｓ．Ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｐｐｐｐｑａｒａｍｅｔｅｒｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｕｓｉｎａｎｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｏｆｌａｎｅｆｏｕｒａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｐｇｐｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｕａｒｅｓ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｎｌｃｏｒｒｅｃｔｓｔｈｅｅｒｒｏｒｓｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍａｔｒｉｘ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｑｙ，ｏｓｉｔｉｏｎｓｏｆｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍａｔｒｉｘｔｏｔｈｅｓａｍｅｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｔｉｍｅｉｔａｄｕｓｔｓｔｈｅｓａｍｅｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｊａｒａｍｅｔｅｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｌａｎｅｆｏｕｒｅｘｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｉｓｄｅｓｉｎｅｄｕｓｉｎｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｐｐｇｇ，ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ．Ｂｃｏｍａｒｉｎｗｉｔｈｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓｏｆｃｌａｓｓｉｃａｌｌｅａｓｔｓｕａｒｅｓｔｏｔａｌｌｅａｓｔｙｐｇｑ，ｓｕａｒｅｓａｎｄｍｉｘｅｄＬＳｒｏｖｅｄａｎｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｏｆｔｈｉｓｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｓＬＳｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｏｆｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｓ－Ｔｑｐｙｙｈｉｈｅｒｔｈａｎｏｔｈｅｒｓ．ｇ：；；；；Ｋｅｗｏｒｄｓｌａｎｅｆｏｕｒａｒａｍｅｔｅｒｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌｌｅａｓｔｓｕａｒｅｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｕａｒｅｐｐｑｑｙｕｍｉｘｅｄｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓａｒｅｑ平面四参数模型广泛应用于地方独立坐标系及工程施工控制网的建立，在测绘工程应用中，通常针对不同的平面坐标系进行相互转换以满足实际需要。坐标转换的精度好坏直接影响到工程质量与安全，因此，选用合适的坐标转换模型与算法非常重要

最小二乘法在平面直角坐标换算中的应用

第 3期 2009 年 9 月
四川林勘设计
SI CHUAN FORESTRY EXPLORAT I ON AND D ES IGN
No. 3 Sep. 2009
最小二乘法在平面直角坐标换算中的应用
李明贵
(四川省林业勘察设计研究院工程队 ,四川成都 610081 )
3
摘要 : 平面直角坐标转换可采用最小二乘法矩阵表达的法方程解算 ,但由于工程测量坐标数位通常较多 ,矩阵求解常超过 E - 500 等小型计算设备的数据处理能力 ,为此 ,根据最小二乘原理 ,本文推导了用于平面直角坐标转换的另类平差方法 ,即公式计算法。利用公式计算坐标转换参数 ,无需专用矩阵程序 ,普通函数类计算器亦可方便求解 ,具有较强的野外实用价值。关键词 : 最小二乘法 ; 坐标 ; 转换 ; 应用
[ Y′ x′ ] - [ X′ y′ ] T = [ x′ x′ ] + [ y′ y′ ] S
n i=1 n i=1
式中 : X ′ = Xi - X, Y′ = Yi - Y, X ′ = xi - x, y′
= yi - y, [ ]为和函数 Σi = 1简记形式 , R = [ X ′ x′ ] + [ Y′ y′ ] , T = [ Y′ x′ ] - [ X′ y′ ] , S = [ x′ x′ ] + [ y′ y′ ]。
3 = 1, …, n)的偏差距离平方和为最小的曲线 S ( ak ) 。函
联立求解。
( 14 )式得 : 由 ( 11 ) 、 x0 = X - Ax +By ( 15 ) y0 = Y - B x - Ay ( 16 )
数 S3 ( ak ) 称为拟合函数或最小二乘解 , 求拟合函数 S3

坐标系转换问题及转换参数的计算方法

坐标系转换问题及转换参数的计算方法对于坐标系的转换，给很多GPS的使用者造成一些迷惑，尤其是对于刚刚接触的人，搞不明白到底是怎么一回事。

我对坐标系的转换问题，也是一知半解，对于没学过测量专业的人来说，各种参数的搞来搞去实在让人迷糊。

在我有限的理解范围内，我想在这里简单介绍一下，主要是抛砖引玉，希望能引出更多的高手来指点迷津。

我们常见的坐标转换问题，多数为WGS84转换成北京54或西安80坐标系。

其中WGS84坐标系属于大地坐标，就是我们常说的经纬度坐标，而北京54或者西安80属于平面直角坐标。

对于什么是大地坐标，什么是平面直角坐标，以及他们如何建立，我们可以另外讨论。

这里不多罗嗦。

那么，为什么要做这样的坐标转换呢？因为GPS卫星星历是以WGS84坐标系为根据而建立的，我国目前应用的地形图却属于1954年北京坐标系或1980年国家大地坐标系；因为不同坐标系之间存在着平移和旋转关系（WGS84坐标系与我国应用的坐标系之间的误差约为80），所以在我国应用GPS进行绝对定位必须进行坐标转换，转换后的绝对定位精度可由80提高到5-10米。

简单的来说，就一句话，减小误差，提高精度。

下面要说到的，才是我们要讨论的根本问题：如何在WGS84坐标系和北京54坐标系之间进行转换。

说到坐标系转换，还要罗嗦两句，就是上面提到过的椭球模型。

我们都知道，地球是一个近似的椭球体。

因此为了研究方便，科学家们根据各自的理论建立了不同的椭球模型来模拟地球的形状。

而且我们刚才讨论了半天的各种坐标系也是建立在这些椭球基准之上的。

比如北京54坐标系采用的就是克拉索夫斯基椭球模型。

而对应于WGS84坐标系有一个WGS84椭球，其常数采用IUGG第17届大会大地测量常数的推荐值。

WGS84椭球两个最常用的几何常数：长半轴：6378137±2(m)；扁率：1：298.257223563之所以说到半长轴和扁率倒数是因为要在不同的坐标系之间转换，就需要转换不同的椭球基准。

空间直角坐标系转换参数计算

空间直角坐标转换参数计算
当需要将不同基准（参考椭球）的坐标相互转换时，例如54椭球的坐标转换为WGS－84椭球坐标、或在RTK测量中计算坐标转换参数时，可以利用GS P的空间直角坐标转换功能。

平面坐标平移旋转参见这里
利用GSP可以
•
通过计算两个空间直角坐标系间的转换参数，也可以直接利用转换参数进行坐标转换。

•
•
转换参数计算可以选用布尔莎模型或莫洛金斯基模型，
•
•
可以选用计算出3个平移、3个旋转和1个尺度的7参数或计算3个旋转和1个尺度的4参数模型。

利用3个及以上公共点时，采用最小二乘平差方法按等权方式计算转换参数，同时计算出单位权中误差，及每个转换点的转换误差。

4参数计算，是以第一个点为基准，计算到其他点的坐标增量，然后再计算旋转参数与尺度参数。

布尔莎模型与莫洛金斯基模型转换参数中仅平移参数不同（因旋转中心不同），当然由于计算原因可能出现旋转和尺度参数有微小差异。

莫洛金斯基模型的转换中心采用网的重心。

•
计算时，首先导入或输入公共点的两套空间直角坐标和需要转换的其他点的坐标，公共点的点数需要2个以上，然后在表格中选择公共点为采样点，选择转换参数个数和模型，单击“转换”按钮，GSP将首先计算出转换参数，然后利用转换参数计算转换坐标，并将公共点的转换坐标残差计算出来。

当有转换参数时，可以将转换参数先输入，并选择“使用下列参数转换坐标”
选项，单击“转换”按钮，即可完成坐标的转换工作。

整体最小二乘求取坐标转换参数

Ｘ′Ａ１
＝－（ａΔＸ－ｂΔａＹ２－＋ａｂＸ２Ｂ＋１１＋ｂＸＢ１
－ＸＡ１）

Ｙ′Ａ１
＝－（ｂΔＸ＋ａΔａＹ２－＋ｂｂＸ２Ｂ＋１１－ａＹＢ１
－ＹＡ１）

（６）

Ｘ′Ａｎ
＝－（ａΔＸ－ｂΔａＹ２－＋ａｂＸ２Ｂ＋ｎ１＋ｂＸＢｎ
－ＸＡｎ）

Ｙ′Ａｎ
＝－（ｂΔＸ＋ａΔａＹ２－＋ｂｂＸ２Ｂ＋ｎ１－ａＹＢｎ
（８）
按整体最小二乘原理得参数估计公式：
（ａ２＋ｄ２＋１）ｘ２′ ＋（ａｂ＋ｄｅ）ｙ２′ ＝
－ａｃ＋ａｘ１－ｄｆ＋ｄｙ１＋ｘ２

（ａｂ＋ｄｅ）ｘ２′
＋（ｅ２
＋ｂ２
＋１）ｙ２′
＝
－ｂｃ＋ｂｘ１－ｅｆ＋ｅｙ１＋ｙ２
（９）
∑（Ｘ１′ｉ）２ ∑Ｘ１′ｉＹ１′ｉ ∑Ｘ１′ｉ
１）获取转换参数ａ、ｂ、△Ｘ、△Ｙ初值；
２）由获得的坐标转换参数的初值以及式（６），
计算坐标的平差值；
３）由计算得到的坐标平差值利用式（７）计算新
的坐标转换参数；
４）重复２）和３），直到两次计算的参数值之差
小于一定的域值退出迭代，输出结果。
２．３仿射变换模型的整体最小二乘估计公
－ＹＡｎ）
从式（６）可以看出，有了原始的坐标观测值以
及坐标转换参数的平差值就可以求得Ａ系坐标的
平差值，进而由式（３）求得Ｂ系坐标平差值。根据
式（５）中对转换参数求导的公式整理得：
∑（Ｘ′Ａ１）２＋∑（Ｙ′Ａ１）２
０
∑Ｘ′Ａ１

０
∑（Ｘ′Ａ１）２＋∑（Ｙ′Ａ１）２ ∑Ｙ′Ａ１

一种加权整体最小二乘估计的高效算法

第49卷第5期2021年5月同济大学学报（自然科学版）JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）Vol.49No.5May2021论文拓展介绍一种加权整体最小二乘估计的高效算法王建民1，2，倪福泽3，赵建军2（1.太原理工大学矿业工程学院，山西太原030024；2.成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川成都610059；3.中煤（西安）航测遥感研究院有限公司，陕西西安710100）摘要：加权整体最小二乘法（WTLS）是估计errors-in-variables（EIV）模型参数严密的方法，当面临大数据集时，其计算效率有限。

针对EIV模型中设计矩阵呈现出的结构性特征，在最小二乘准则的约束条件下，通过仅给设计矩阵的随机列赋予权重，推证了适用于EIV模型参数估计的部分加权整体最小二乘法（PWTLS）。

PWTLS无需借助拉格朗日辅助法，能够精确估计EIV模型参数；另外，该算法缩减了矩阵的维数，同时在迭代过程中避免了估计设计矩阵的随机误差，从而减小了矩阵运算量，提升了计算效率。

最后以真实数据和模拟数据为例与其他7种同类算法进行对比，结果表明，PWTLS取得了与同类算法相同的精度，但计算效率显著提高，验证了算法的可行性。

关键词：整体最小二乘；变量误差模型；计算效率；坐标转换中图分类号：P207文献标志码：AAn Efficient Algorithm for Weighted Total Least Squares MethodWANG Jianmin1，2，NI Fuze3，ZHAO Jianjun2（1.College of Mining Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024；2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu610059，China；3.Aerial Photogrammetry and Remote Sensing Research Institute Co.，Ltd.，Xi’an710100，China）Abstract：The weighted total least-squares（WTLS）adjustment is a rigorous method for estimating parameters in the errors-in-variables（EIV）model.However，the WTLS are not proper for larger data problem in terms of computational efficiency.Aimed at the structural characteristics of the design matrix in the EIV model，a partially weighted total least-squares（PWTLS）algorithm is proposed based on weighted least-squares（WLS）adjustment by weighting the random column of the design matrix.The PWTLS can obtain an exact solution of the EIV model without applying Lagrange multipliers in a straightforward manner.In addition，the PWTLS reduces the dimensions of the cofactor matrix and does not estimate the random error of the design matrix，as this would greatly improve the computational efficiency. Finally，real and simulated examples are used to demonstrate the accuracy and computational performance of the proposed algorithms.The results show that the PWTLS can obtain the same accuracy as the existing seven improved algorithms，but the computational efficiency is significantly improved.Key words：total least-squares；errors-in-variables；computational efficiency；coordinate transformations高斯‒马尔可夫模型在许多工程实践中得到成功应用，通常认为模型中的设计矩阵是无误差的。

坐标转换四参数解算的整体最小二乘新方法

坐标转换四参数解算的整体最小二乘新方法彭思淳;邓兴升【摘要】在平面四参数坐标转换模型中,观测向量和误差方程系数矩阵中部分元素都存在误差.提出一种使用整体最小二乘迭代法求解坐标转换四参数的新方法,只改正系数矩阵中含误差的元素,同时使系数矩阵中不同位置的相同元素具有相同改正数,理论上更严谨.设计了平面四参数模型坐标转换实验数据,通过与经典最小二乘、整体最小二乘、混合整体最小二乘3种方法结果对比,验证了新方法的可行性且解算结果更优.%In plane four parameters coordinate transformation model, both observation vector and part of the error equation coefficient matrix elements can have errors.To solve this problem, this paper proposes a new method to obtain the plane four parameters coordinate transformation using an iterative method of total least squares.The method only corrects the errors elements in the coefficient matrix.At the same time, it adjusts the same elements in different positions of coefficient matrix to the same correction.The experimental data is designed using the new method to solve the plane four parameter coordinate transformation model.By comparing with the results of three methods of classical least squares, total least squares and mixed LS-TLS, the feasibility of new method is proved and the accuracy of this new method is higher than others.【期刊名称】《测绘工程》【年(卷),期】2017(026)009【总页数】5页(P10-13,22)【关键词】平面四参数;坐标转换;最小二乘;整体最小二乘;混合整体最小二乘【作者】彭思淳;邓兴升【作者单位】长沙理工大学交通运输工程学院,湖南长沙 410114;长沙理工大学交通运输工程学院,湖南长沙 410114【正文语种】中文【中图分类】P207平面四参数模型广泛应用于地方独立坐标系及工程施工控制网的建立，在测绘工程应用中，通常针对不同的平面坐标系进行相互转换以满足实际需要。

多元加权总体最小二乘新解法

多元加权总体最小二乘新解法汪奇生【摘要】将多元加权总体最小二乘模型进行变换,转化为加权总体最小二乘模型,推导构造新的系数矩阵和系数矩阵元素协因数阵的公式,研究多元加权总体最小二乘的解算流程.以Jazaeri加权总体最小二乘为例,给出多元总体最小二乘参数的解算过程.通过算例分析和比较,验证了该方法的有效性.%The new model of multivariate weighted total least squares by transposition processing,which is similar to the weighted total least squares model,is proposed in this paper.The formula for constructing the new coefficient matrix and its variance-covariance matrix is deduced and the solution flow multivariate weighted total least squares is studied.Applying this method,the solution process by the Jazaeri algorithm is deduced.The proposed method is proven to be effective and feasible through example analysis and comparison with other algorithms.【期刊名称】《大地测量与地球动力学》【年(卷),期】2017(037)012【总页数】5页(P1281-1284,1290)【关键词】多元加权总体最小二乘;EIV模型;参数估计;迭代算法【作者】汪奇生【作者单位】湖南软件职业学院,湘潭市开源路1号,411100【正文语种】中文【中图分类】P207近年来，总体最小二乘[1]在测量数据处理领域得到了众多学者的关注和研究。

测量坐标系转换问题讨论及最小二乘坐标转换程序设计

测量坐标系转换问题讨论及最小二乘坐标转换程序设计————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：测量坐标系转换问题讨论及最小二乘坐标转换程序设计摘要：在工程实践中，常常会遇到坐标基准的选择和坐标系的建立问题，这会关系的后续工作的进行。

进行基准的选择，要考虑到多方面的因素，包括基准面和基准线的选择问题。

而在进行数据处理的时候，有要将外业观测数据先归算至椭球面，然后再投影至高斯投影面，最后在进行平差计算，在归算和投影中，要注意中央子午线和投影高程面的选择，以减小投影变形，满足精度要求。

由于根据需要选择了不同的坐标系，所以就不可避免的产生了坐标转换的问题。

本文就着重阐述了工程控制网的建立和坐标系的选择以及归算和高斯投影方面的知识。

关键词：坐标系高斯投影坐标转换精度分析The conversion of measurement coordinate system and the programme design the least squarecoordinate transformationAbstract: In engineering practice, we often encounter the problem of how to choose coordinates of reference and coordinate system, which has close relationship with the following works. For the choice of benchmark, many various factors should be taken into consideration, including the choice of datum level(基准面) and central meridian. When in the course of data processing, we should firstly operator the field observation data to ellipsoid, and then projected to the Gauss projection plane, and the last course is adjustment calculation. In the return calculation(归算) and projection, we should pay attention to the choice of central meridian and the projection surface elevation, in order to reduce the projection distortion and meet the required precision. Because we have chosen the different coordinate system for different engineering practice, so it is inevitable that we should do the work of coordinate transformation. This article focuses on the establishment of project control network, the choice of coordinate; return calculation (归算) and the Gauss projection knowledge, and the transformation of different coordinate system and the precision of coordinate transformationKey word: Coordinate system，Gauss projection，coordinates transformation precision analysis目录第一章绪论 (1)第二章常用大地测量坐标系及其转换关系 (2)2.1大地测量参考系统和大地测量参考框架 (2)2.1.1 大地测量参考系统 (2)2.1.2 大地测量参考框架 (3)2.2大地测量常用坐标系 (3)2.2.1 北京54坐标系 (4)2.2.2 1980国家坐标系 (4)2.2.3 新北京54坐标系 (5)2.2.4 2000国家大地坐标系 (5)2.3 坐标系间的转换关系 (6)2.3.1 不同空间直角坐标系间的转换关系 (6)2.3.2 不同大地坐标系间的转换关系 (7)第三章高斯投影概述 (9)3.1 地图数学投影和投影变形 (9)3.2 地图投影的分类 (10)3.3 高斯投影 (11)3.3.1 高斯投影的基本概念 (11)3.3.2 高斯投影的分带 (12)3.3.3 高斯投影正算的公式 (13)3.3.4 高斯投影反算公式 (14)3.3.5 高斯投影的性质 (15)3.4 高斯投影的换带计算 (16)3.5 高斯投影正反算程序设计 (17)第四章工程控制网建立的基本原理 (19)4.1 工程控制网的特点 (19)4.2 工程控制网的分类 (19)4.3 工程平面控制网的布设原则 (20)4.4 工程测量中投影带和投影面的选择 (21)4.4.1 有关投影变形的基本概念 (21)4.4.2 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念 (22)4.4.3 工程测量投影带和投影面选择的基本出发点 (22)4.4.4 工程测量中几种可能采用的坐标系 (23)第五章平面直角坐标的转换 (25)5.1 概述 (25)5.2 常用的平面坐标的转换方法 (25)5.2.1 直接参数法 (25)5.2.2 相似变换法 (26)5.2.3 多项式逼近法 (28)5.3 影响平面坐标转换的精度的因素 (30)5.4 最小二乘法坐标转换程序设计 (31)第六章总结 (33)致谢 (34)参考文献 (35)第一章绪论测量坐标系的选择及其相互间的转换是测量工作经常遇到的问题，也是在测量中需要解决的重要问题，坐标系选择的科学与否，将直接影响到测量速度与后续工作的进行。

三维坐标转换的通用整体最小二乘算法

三维坐标转换的通用整体最小二乘算法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换

基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换1非线性最小二乘算法非线性最小二乘算法（Nonlinear Least Squares，NLS）是一种常用的数值优化算法，用于拟合非线性函数。

特别是当非线性函数的模型较复杂而拟合数据多的情况下，非线性最小二乘算法可以快速准确的解决此类问题。

非线性最小二乘算法一般采用最小二乘求解偏微分方程，用于求解未知参数的值。

2空间坐标转换空间坐标转换是指把一个空间中的点由一个空间坐标系转换到另一个空间坐标系的方法。

空间坐标转换分为旋转转换和平移转换。

转换时，需要知道每个空间坐标系的原始点坐标，各个坐标系间旋转角度，平移距离，这些参数定义了两个空间坐标系之间的实际转换关系。

3基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换，是指利用非线性最小二乘优化技术对空间坐标转换进行优化的方法。

该方法具有可稳定收敛，计算速度快，改进度大的特点，并针对坐标校正中的综合多项条件实现收敛。

在空间坐标转换中，非线性最小二乘算法可以实现空间坐标快速转换。

基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换方法包括两个主要步骤：首先，采用基准误差和和平移量来确定两个坐标系的旋转和平移参数；然后，采用精确的迭代算法来优化转换参数。

这种优化方法通过比较和更新转换参数，不断改善转换结果，最终获得优化转换结果。

基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换有利于量化分析设备的精度，并可以基于各设备之间的空间关系实现图形拼接，从而获得较低误差和较好的精度水平。

4结论非线性最小二乘优化技术在空间坐标转换中有着重要作用，可以实现快速准确的转换。

通过基于非线性最小二乘算法的空间坐标转换，可实现对不同设备之间的精确校正，有效地改善空间坐标转换的准确性和可靠性。

中海达七参数坐标数据转换方法

中海达七参数坐标数据转换方法1.引言中海达七参数坐标数据转换方法是用于将一个坐标系统的坐标数据转换到另一个坐标系统的方法。

七参数包括三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度参数。

在实际应用中，七参数转换常用于地理信息系统(GIS)、测量和导航等领域。

2.数据准备在进行坐标数据转换之前，需要准备两个坐标系的坐标数据。

每个坐标数据包括坐标点的三维坐标(x,y,z)和相应的椭球高(h)。

3.参数计算根据已知的源坐标系和目标坐标系的坐标数据，可以计算七个参数的值。

参数计算可采用多种方法，其中较常用的方法是最小二乘法。

最小二乘法的计算步骤如下：3.1.根据坐标数据，计算相应的坐标系平移中心。

平移中心的计算可以采用几何平均法、最大似然法等方法。

3.2.将源坐标系中的坐标点平移到平移中心。

3.3.计算源坐标系和目标坐标系的旋转矩阵。

旋转矩阵的计算可以采用相似性变换法、最小二乘法等方法。

3.4.计算旋转矩阵的欧拉角。

3.5.根据平移、旋转和尺度的定义，计算平移参数、旋转参数和尺度参数。

3.6.利用最小二乘法求解得到七参数的最优解。

4.坐标数据转换得到七参数的值之后，可以将源坐标系的坐标数据转换到目标坐标系。

转换步骤如下：4.1.将源坐标系的坐标点减去平移中心得到坐标差值。

4.2.根据旋转矩阵将坐标差值旋转到目标坐标系中。

4.3.根据尺度参数对坐标差值进行尺度变换。

4.4.将坐标差值加上目标坐标系的平移中心得到目标坐标系的坐标点。

5.转换精度评估完成坐标数据转换后，需要对转换结果的精度进行评估。

评估方法可以采用坐标残差法、平差误差法等方法。

通过比较转换后的坐标数据与目标坐标数据的差异，可以评估转换结果的精度和可靠性。

6.应用案例中海达七参数坐标数据转换方法已在许多应用案例中得到成功应用。

例如，在陆地测量中，可以将不同基准坐标系的测量数据转换到统一的坐标系统中，以实现数据的一致性和比较。

在导航领域，可以将GPS接收到的坐标数据转换到地理信息系统中使用的坐标系统，以实现位置的准确定位和导航。

利用加权整体最小二乘DSM提取DEM的方法

利用加权整体最小二乘DSM提取DEM的方法冷顺绿;郑朝治;施昆【摘要】随着无人机航摄软硬件技术的快速发展,通过倾斜摄影三维建模快速获取DSM的成本越来越低.在小比例尺的地形图测量中,DSM若能通过快速处理得到较为精确的DEM,即可节省大量的人力物力.针对林地范围内DSM数据的特点,采用加权整体最小二乘法对DEM进行提取.【期刊名称】《地理空间信息》【年(卷),期】2019(017)007【总页数】3页(P118-120)【关键词】林地;DSM;加权整体最小二乘法;DEM【作者】冷顺绿;郑朝治;施昆【作者单位】云南省地图院,云南昆明 650034;云南省地图院,云南昆明 650034;昆明理工大学,云南昆明 650093【正文语种】中文【中图分类】P231数字表面模型（DSM）和数字高程模型（DEM）是测绘地理信息领域常见的栅格数据。

栅格格网中的每个单元值代表了由该行该列决定的位置上空间现象的特征。

DSM是地物表面的模拟，包括植被、房屋等的顶面；DEM是地面高程信息的栅格表达，是对地貌形态的虚拟表示，可派生出等高线、坡度坡向图、山体阴影等信息。

对DSM进行加工，去掉植被、房屋等高于地面部分的高程值，即可形成DEM数据。

在科学、工程等领域中，通过采样、实验等方法可提取多个离散数据，再以这些数据为基础，通过拟合可以得到一个连续的函数（曲线）或更加密集的离散方程与已知数据相吻合[1]。

形象地说，拟合就是把平面上一系列的点尽可能地用一条光滑的曲线连接起来[2]。

数据拟合在化学工程、生物学、计算机图像与信号处理、人工智能、计算机图形学等领域的研究价值极高。

该研究课题历史悠久，拟合方法众多，包括样条函数、最小二乘法和支持向量机法等[3]。

理论上，林地区域内的DSM通过减去树高即可得到DEM，但真实数据中DSM往往包含林木树冠信息。

现有的通过人工编辑高程采样点的方法效率低、易出错，无法获得令人满意的高程精度。

林地地面往往起伏平滑，把局部去除平均树高后的DSM表面自动运算为更接近真实平滑的DEM表面问题，即可看作将包含起算误差的曲面数学拟合到平滑曲面的问题。

求解三维坐标转换参数的总体最小二乘新方法

求解三维坐标转换参数的总体最小二乘新方法曾昭福【摘要】针对三维坐标转换模型中系数矩阵部分元素存在误差的问题,将观测向量和系数矩阵中的误差项组成新的改正数向量,重新构造拉格朗日方程.提出总体最小二乘(Total Least Square,TLS)迭代法求解三维坐标转换参数的新方法,只对系数矩阵中含误差的元素进行改正,同时保证系数矩阵中不同位置的相同元素具有相同改正数,理论模型更加严谨.最后,通过算例数据验证,结果表明新方法可行且解算结果更优.【期刊名称】《廊坊师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(018)002【总页数】5页(P20-24)【关键词】三维坐标转换;七参数;TLS;混合总体最小二乘【作者】曾昭福【作者单位】广东省东莞市塘厦测绘队,广东东莞523710【正文语种】中文【中图分类】TP3110 引言在测量工作中，利用GPS、北斗、三维激光扫描等技术进行测量时，经常遇到三维直角坐标之间的转换工作［1］。

求解三维坐标转换的实质是解算坐标转换参数，参数解算精度好坏直接关系到测量工作是否合格，所以，选用合适的坐标转换模型与算法十分关键。

针对三维坐标转换问题，文献［2］分别采用最小二乘（Least Squares，LS）、混合总体最小二乘（Least Squares-Total Least Squares，LS-TLS）和加权总体最小二乘（Weight Total Least Squares，WTLS）求解小角度的空间直角坐标转换，得出了利用WTLS可以得到比较合理的计算结果。

文献［3］针对小角度空间直角坐标转换中的适用性及优越性问题，对比分析了总体最小二乘与最小二乘方法，得出了利用TLS能够得到更高精度的参数估值。

文献［4］提出使用高程趋近法求解三维空间与二维空间的转换参数。

文献［5］通过将模型中的源坐标与坐标转换参数一并作为待估参数，推导了三维坐标转换模型的总体最小二乘（total least squares，TLS）通用算法，该算法适用于大角度和小角度的转换模型。

坐标转换最小二乘法求参数

坐标转换最小二乘法求参数坐标转换最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用于拟合曲线或者求解最优参数。

在很多实际问题中，我们需要根据给定的数据点来拟合一个曲线或者找到最优的参数值。

坐标转换最小二乘法就是一种可以帮助我们实现这一目标的数学方法。

我们需要了解什么是最小二乘法。

最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。

在拟合曲线的问题中，我们可以将数据点表示为(x, y)，其中x是自变量，y是因变量。

我们的目标是找到一个函数关系y=f(x)，使得该函数与给定的数据点最为接近。

最小二乘法通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的误差平方和，来找到最优的拟合曲线。

在坐标转换最小二乘法中，我们需要将给定的数据点(x, y)转换为新的坐标系(u, v)，其中u和v是新的自变量和因变量。

通过坐标转换，我们可以将原始数据点映射到新的坐标系中，并利用最小二乘法来求解最优的拟合曲线。

坐标转换最小二乘法的具体步骤如下：1. 将给定的数据点(x, y)转换为新的坐标系(u, v)。

这一步可以通过一种特定的映射函数来实现，具体的映射函数取决于问题的特定需求。

2. 在新的坐标系(u, v)中，通过最小二乘法来拟合数据点。

这一步可以使用多项式拟合、指数拟合或者其他适当的拟合方法。

最小二乘法的目标是找到一个函数关系v=g(u)，使得该函数与新的数据点最为接近。

3. 将拟合得到的函数关系v=g(u)转换回原始坐标系中，得到最终的拟合曲线y=f(x)。

这一步可以通过将拟合曲线的坐标点映射回原始坐标系来实现。

需要注意的是，坐标转换最小二乘法的实现需要确定合适的映射函数和拟合方法。

不同的问题可能需要不同的映射函数和拟合方法。

因此，在使用坐标转换最小二乘法时，我们需要根据具体问题的需求进行选择和调整。

总结起来，坐标转换最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用于拟合曲线或者求解最优参数。

通过将原始数据点转换为新的坐标系，然后在新的坐标系中进行最小二乘拟合，最后将拟合结果映射回原始坐标系，我们可以得到最优的拟合曲线。

抗差总体最小二乘方法_陈玮娴

［4 ］
[
0 P
－1 A
]
（ 2）
P （ e y ）为权函数矩阵，式中，为观测向量残差的函 p i （ e y ）为 P （ e y ）的第 i 个对角元素， P （ e y ） = diag 数，（ p1 （ e y ） p2 （ e y ） … p n （ e y ））。分别对式（ 6 ）求 e λ 、 λ、 δξ 偏导数，并令其为零，：求出其极值点得 PA eA + BT λ = 0 δy － Aδξ － e y + Be A = 0 － A λ=0 （ 12 ）得：由式（ 11 ）、 e y = P（ ey ） eA = － P
2 ）从 i = 0 开始， B （ i） = 计算 A （ i） = A － E A（ i）， Q 1 （ i） = P （ e y（ i）） In ， δy （ i） = y － Aξ （ i）， T －1 ^ （ i + 1） = A T Q A B （ i），由式（ 12 ）得 δξ （ i） Q 1 （ i） A （ i）） + B （ i）（ AT （ i）
大地测量与地球动力学 JOURNAL OF GEODESY AND GEODYNAMICS
Vol． 32 No． 6 Dec．， 2012
5942 （ 2012 ） 06011104 文章编号： 1671-
抗差总体最小二乘方法
*
(
摘要
陈玮娴
1）
袁
庆
2）
1 ）武汉市城乡建设委员会，武汉 430023 2 ）中铁第四勘察设计集团有限公司，武汉 430063
中图分类号： P207

最小二乘求变换矩阵

最小二乘求变换矩阵
最小二乘求变换矩阵
在机器视觉中，经常需要求解变换矩阵，如仿射矩阵和旋转矩阵等，其最常用的方法是最小二乘求解。

1、定义
最小二乘法是指利用最小二乘准则来对未知参数进行估计的一类方法，其基本思想是找出使得
所有的
最小的方程。

2、问题描述
设有
两个坐标系
和
,
分别有
个点对：
，
,
……，
一般记作
即
两个坐标系之间有
个点对。

求两个坐标系之间的变换矩阵。

3、最小二乘算法
最小二乘算法：
步骤1：设定变换矩阵为
，其中
由未知变量组成，构造误差函数：
步骤2：计算
的偏导数
，结果为
步骤3：根据
求出
的值，即可求出变换矩阵
4、总结
最小二乘法是求解变换矩阵的最常用的方法，通过最小二乘准则来求解未知参数，可以有效求解仿射矩阵和旋转矩阵等变换矩阵。

七参数转换求解范文

七参数转换求解范文七参数转换是一种用于将一个坐标系转换为另一个坐标系的数学方法。

该方法通常用于大地测量学和地理信息系统中，以实现不同坐标系统之间的转换。

七参数包括三个平移参数（ΔX、ΔY、ΔZ）、三个旋转参数（ω、φ、κ）以及一个尺度参数（s）。

最小二乘法是一种数学优化方法，用于拟合一个数学模型与实际观测数据之间的差异。

在七参数转换中，最小二乘法可用于确定平移参数、旋转参数和尺度参数的最佳数值。

最小二乘法的基本原理是将观测数据的残差的平方和最小化。

残差是指每个观测点的预测值与实际值之间的差异。

通过最小化残差的平方和，可以得到使模型最优的参数。

求解七参数转换的步骤如下：1.收集已知坐标点的变换关系数据，并确定参考坐标系和目标坐标系之间的转换关系。

2.利用最小二乘法，建立七参数转换模型。

模型可以表示为：X'=s(RΔX)+XY'=s(RΔY)+YZ'=s(RΔZ)+Z其中，(X,Y,Z)为目标坐标系中的点的坐标，(X',Y',Z')为参考坐标系中的点的坐标，R为旋转矩阵，s为尺度参数，ΔX、ΔY、ΔZ为平移参数。

3.利用已知坐标点的变换关系数据，求解七个参数的最佳数值。

最小二乘法求解参数的数值可以通过矩阵运算得到。

4.将求得的七个参数代入七参数转换模型中，即可将目标坐标系中的点的坐标转换为参考坐标系中的点的坐标。

在实际应用中，由于测量误差和观测数据的不确定性，七参数转换的求解可能存在一定的误差。

因此，在进行七参数转换时，需要对测量数据进行精确控制，并对求解结果进行误差分析。

此外，也可以采用多个已知坐标点的变换关系数据进行求解，以提高转换的准确性。

总之，七参数转换是一种常用的坐标转换方法，可以实现不同坐标系统之间的转换。

通过最小二乘法，可以求解七个参数的最佳数值，从而实现坐标转换。

在实际应用中，需要对测量数据进行精确控制，并对求解结果进行误差分析，以保证转换的准确性。

三维激光扫描中整体最小二乘坐标转换

三维激光扫描中整体最小二乘坐标转换发表时间：2015-05-29T11:45:51.363Z 来源：《工程管理前沿》2015年第7期供稿作者：王海玉1，刘新1,2*，郭金运1，闫金凤1 [导读] 测量技术快速发展，三维激光扫描技术的应用越来越广泛。

王海玉1，刘新1,2*，郭金运1，闫金凤1 1山东科技大学测绘科学与工程学院，青岛266590 2山东科技大学山东省基础地理信息与数字化技术重点实验室，青岛266590 摘要:三维激光扫描数据往往是多站测量得到的，必须要对数据进行数据配准。

在数据配准中，要对相邻测站之间进行坐标转换。

提取两个测站点云之间的公共点坐标，通过七参数法进行坐标转换。

分别用最小二乘和整体最小二乘法进行平差计算，对各自结果进行比较，并进行精度评定。

最小二乘中，加权比等权精度高，但整体最小二乘的精度比最小二乘高。

关键字:三维激光扫描；三维坐标转换；最小二乘；整体最小二乘1引言近年来，测量技术快速发展，三维激光扫描技术的应用越来越广泛。

三维激光扫描仪受外界环境因素影响小，能够快速有效地获取目标三维数据，并且所获取的数据具有数据量大、精度相对高以及可以直接得到目标点的三维坐标等特点。

目前，三维激光扫描技术已在工程测量、变形监测、地形测量、城市建模、数字城市、文物保护与重建等多个领域得到广泛应用[1-2]。

在三维直角坐标转换模型中，通常有Bursa-Wolf模型、Molodensky模型和武测模型[11]等模型，并得到广泛应用，但这三种模型主要用于小角度的坐标转换。

由于三维激光扫描数据中，两个测站坐标系之间的欧勒角可能很大，以上模型就无法使用了。

目前已有的适用于大角度空间坐标转换模型[12-16]在实际应用过程中都存在一定的缺陷。

本文采用七参数法进行坐标转换，对七参数坐标转换模型进行线性化并取至一次项得到间接平差公式。

分别采用最小二乘和整体最小二乘法进行平差处理。

2七参数转换模型两站七参数坐标转换模型：6结论本文讨论了在三维激光扫描数据配准中，如何求取两个测站之间的转换参数，因此要建立适用于三维激光扫描任意旋转角的坐标转换模型。

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Ｋｅｏｄｓｔｔｌｌａｔｓｕｒｙｗｒ：ｏａｅｓ－ｑａｅ；ｃｏｄｎｔｒｎｆｒａｉｎ；ａｆｎｒｎｆｒａｉｎ；ｓｌｉｇｔｅｎｎ—ｉｅｒｅｕｔｏｏｒｉａｅｔａｓｏｍｔｏｆｉｅｔａｓｏｍｔｏｏｖｎｈｏｌａｑａｉｎ；ｎ
第３卷第３Ｏ期
２０１０年６月
大地测量与地球动力学
ＪＵＲＯＮＡＬＯＯＤＹＦＧＥＥＳＡＮＤＧＥＹＮＯＤＡＭＩＳＣ
Ｖ０．０Ｎｏ３１３．
Ｊｎ２０ｕｅ，０１
文章编号：６１５４（０００－０４５１７．９２２１）３０７－０
Ｋｎｉｎ，ｏＹｉｉｎｈａｇａｏｇＪａＹａｂｎａｄＸｕＳｕｎ ’ ｎ
（ｃｏｌｆＧｏｅｎｅｍｔｓＷｈｎＵｉｒｔＷｕａ４０７）ＳｈｏｏｅｄｓａｄＧｏａｉｕａｎｖｓｙ，ｈｎ３０９ｙｃｏｆｅｉ
整体最小二乘求取坐标转换参数
学测绘学院，汉武武
摘要基于整体最小二乘方法推导求取坐标转换参数的公式，使用参数变换方法求解参数估计公式的非线性
问题，避免了常规的矩阵分解方法计算的复杂性。另外，为了适应不同地区使用不同的转换模型，还推导了仿射变换模型的参数估计公式。
ＡｂｓｒｃＯｅｂｓｆｈａｅａｃｌｅｎｎｆｈｖｒｌｌｓｓｕｒ，ｒｇａｓｒｔｇｃｎｉｔａｔｎｔａｉｏｅｍｔｍｔａｍａｉｇｏｅｏｅａａｔｑａｅｔｏｈｔｎｆｍａｎｏｄ— ｈｓｔｈｉｔｌｅｓｈｕｒｏｉ
关键词整体最ｄＺ乘；＇－坐标转换；仿射变换；非线性方程求解；相似变换
中图分类号：２６３Ｐ２．
文献标识码：Ａ
ＳＬＶＩｏＮＧＣｏｏＲＤＩＮＡＴＥＴＲＡＮＳＦｏＩＡＴＩｏＮＰＡＲＡＭＥＴＥＲＳ
ＢＥＡＳＤｏＮｏＴＥＴ－ＱＵＡＲＥＧＲＥＳｏＮＴＡＬＬＡＳＳＥＳＲＳＩ
ｔｏａｘｒｍｕｍｏｄｒｃｘｒｍｕ，ｔｅｆｒｌｓｏｏｖｎｒｎｓｏａｉｎｐｒｍｅｅｓｂｖｒｌｌａｔｓｕａｅｅｉｎｌｅｔｅｔｉｅｔｅｔｅｍｈｏｍｕａｆｓｌｉｇｔａｆｒｔａａｔｒｙｏｅａｌｅｓ－ｑｒｓｒ — ｍｏｇｅｓｏｒｅｖｄａｄｔｏｌｎａｒｂｅｉａａｔｒｓｉｔｏｓｓｌｅｔｈｅｐｒｍｅｅｒｎｆｒａｉｎｒｓｉｎａｅｄｒｅｎｈｅｎｎｉｅｒｐｏｌｍｎｐｒｍｅｅｓｅｔｉｍａｉｎｉｏｖｄｗｉｔａａｔｒｔａｓｏｈｍｔｏｍｅｈｄｔｖｉｈｓｕｆｌａｉａｉｎ．Ｔｈｅｓｂｉｔｆｔｉｅａｇｒｔｍｓｖｒｆｅｙｍｅｓｒｍｅｔｄｔｎｄｔｏｏａｏｄｔｅｉｓｅｏｉｒｚｔｏｎｅｅｆａｉｌｙｏｈｓｎｗｌｏｉｉｈｉｅｉｄｂａｕｅｎａａａｉｔｅｐｏｌｍｆｔｅｒｅｅｔｉｒｄｔｏａｔｏｓｓｌｅ．Ｆｔｅｒｎｏｄｒｔｅｈｉｅｅｔｃｎｅｓｏｈｒｂｅｏｈｏｙｄｆｃｎｔａｉｎｌｍｅｈｄｗａｏｖｄｉｕｈｒｍｏｅｉｒｅｏｍｅｔｔｅｄｆｒｎｏｖｒｉｎｆｍｏｅｓｕｅｎｄｉｅｅｔｒｇｏｓ，ｔａａｔｒｅｔｍａｉｎｆｒｕｌｏｆｉｅｔａｓｏａｉｎｍｏｅｉｅｖｄ．ｄｌｓｄｉｆｒｎｅｉｎｆｈｅｐｒｍｅｅｓｉｔｏｏｍａｆｒａｆｎｒｎｆｒｔｄｓｄｒｅｍｏｉ
解过程中，往把某一坐标系下的坐标当作是不存往在误差的，对另一坐标系下的坐标进行改正。而仅实际上，量获得的坐标成果都是有误差的，么此测那时的最小二乘估计结果从统计的观点看就不再是最
优的，是有偏的Ｊ为了解决这个问题，文推而。本
ｓｍｉａｔｒｎｓｃａｉｎｉｌｒｙｔａｆｌｔｏｉｍｒ
１引言
现阶段我国大量的测绘成果为北京５４坐标系
或西安８Ｏ大地坐标系，０７年７月１日以后将逐２０步使用ＣＣ２０ＧＳ００坐标系¨ ，以在今后一个相当所长的时期内，存在北京５会４与ＣＣ２０、安８ＧＳ００西０与ＣＣ２０ＧＳ００坐标系的转换问题。对于平面坐标系