高考数学一轮复习 考点一篇过 专题39 双曲线 理
高考理科数学一轮复习课件双曲线
参数法适用于一些较复杂的双 曲线问题，如求轨迹方程、最 值问题等。
数形结合思想在求解中应用
数形结合思想是将代数问题和几何问题相互转化，通过图形直观理解问题并求解的 方法。
在双曲线问题中，可以通过画出双曲线的图形，利用几何性质来理解和求解问题。
数形结合思想在求解双曲线问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找 到正确的求解方法。
切线问题及其性质探讨
80%Байду номын сангаас
切线的定义
与双曲线只有一个公共点的直线 称为双曲线的切线。
100%
切线的性质
双曲线的切线满足切线方程与双 曲线方程联立后，判别式为零的 条件。
80%
切线的求解
通过联立切线方程和双曲线方程 ，消元后得到一元二次方程，由 判别式为零求得切线的斜率，从 而得到切线方程。
弦长公式应用举例
典型例题分析与解答
• 解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线 实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1| |PF2| = 2a2，由椭圆定义|PF1| + |PF2| = 2a1，可得|PF1| = a1 + a2，|PF2| = a1 - a2，又|PF1|⊥|PF2|，可得 |PF1|^{2} + |PF2|^{2} = 4c^{2}，即有(a1 + a2)^{2} + (a1 - a2)^{2} = 4c^{2}，化为a1^{2} + a2^{2} = 4c^{2}，即 有\frac{1}{{e{1}}^{2}} + \frac{1}{{e{2}}^{2}} = 4，可得 e{1}e{2} = \frac{c^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(a{1} + a{2})}^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4}(1 + \frac{a{1}}{a{2}} + \frac{a{2}}{a{1}}) ≥ 1，当且仅当a{1} = a{2}时等号成立．即有e{1}e{2} ≥ 1．故选A．
2021高考数学一轮复习专题(理科)考点39 双曲线
考点39 双曲线（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）了解双曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为n y x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．二、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0) 图形范围||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0) 下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线by x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e > 2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e =．考向一 双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混.典例1 设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =A ．B ．8C ．D ．4【答案】A【解析】由22F MN F NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，21MF MF -=，12NF NF -=，两式相加得，11||NF MF MN -==.故选A.【名师点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N=，再由定义即可求解.典例2 已知F 为双曲线C:x 29−y 216=1的左焦点，P,Q 为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则ΔPQF 的周长为__________． 【答案】44【解析】易知双曲线C:x 29−y 216=1的左焦点为F (−5,0)，∴点A (5,0)是双曲线的右焦点，虚轴长为8， 双曲线的图象如图：∴|PF |−|AP |=2a =6，① |QF |−|QA |=2a =6，② 而|PQ |=16，则①+②得|PF |+|QF |−|PQ |=12，∴ΔPQF 的周长为|PF |+|QF |+|PQ |=12+2|PQ |=44， 故答案为44.1．已知双曲线22145x y -=上一点P 到()3,0F 的距离为6，O 为坐标原点，且()1=2OQ OF OP +，则=OQA ．1B ．2C ．2或5D ．1或5考向二 求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.典例3 已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为x 23−y 2=1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为__________________.【答案】2213y x -=【解析】由题意得C 1的焦点为(±2,0),所以双曲线C 2的焦点为(±2,0),即c =2.而C 1的一条渐近线为y x =,其斜率tan k α==即C 1的一条渐近线的倾斜角α=π6.而C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C 1的一条渐近线的倾斜角为π23α=,其斜率k =√3,即C 2的一条渐近线为b y x a==,即ba =√3. 而a 2+b 2=c 2,解得a =1,b =√3,所以C 2的方程为2213y x -=.典例4 如图,已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.【解析】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R+1,|MC 2|=R+3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=8.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1).2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于,A B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221312x y -=B ．2213632x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.典例 5 已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，1F 的坐标为()，若双曲线的右支上有一点P ，且满足124PF PF -=，则该双曲线的渐近线方程为A ．y x =B ．y x =±C ．34y x =±D ．43y x =±【答案】A【解析】∵1F 的坐标为（−√7，0），∴c =√7， ∵双曲线的右支上有一点P ，满足124PF PF -=，∴2a =4，即a =2，则b 2=c 2﹣a 2=7﹣4=3，即b =√3，则双曲线的渐近线方程为y x =，故选A. 典例6 如图,已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且满足|F 2P|=a ,(F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ,若|F 2P|=5|F 2Q|,则双曲线C 的渐近线方程为A ．y=±5x B ．y =±12x C ．y=±2x D ．y=±3x 【答案】B【解析】取线段F 2P 的中点E ,连接F 1E , 因为(F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以F 1E ⊥F 2P ,故三角形PF 1F 2为等腰三角形,且|F 1P|=|F 1F 2|=2c .在12Rt △F EF 中，212122cos 24aF E a F F E F F c c∠===, 连接F 1Q , 又|F 2Q |=5a,点Q 在双曲线C 上, 所以由双曲线的定义可得,|QF 1|-|QF 2|=2a , 故|QF 1|=2a+5a =115a.在12△FQF 中,由余弦定理得,()222222122112122112()()|||||55cos 4|2225a a c F F F Q FQ a F F Q a c F F F Qc +-+-∠==⨯⨯⋅=,整理可得4c 2=5a 2,所以b 2a 2=c 2−a 2a2=54-1=14,故双曲线C 的渐近线方程为y =±12x .3．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于B ，C ，且2BC CF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．3y x =± B．y =± C．1)y x =±D．1)y x =±考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c e a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7 设F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率等于 ABCD【答案】B【解析】由121223AF AF a AF AF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩⇒{|AF 1|=3a|AF 2|=a , 由∠F 1AF 2=90°,得2221212AF AF F F +=,即(3a )2+a 2=(2c )2, 得e=2,选B. 典例8 已知F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P ，使得221||PF PF =8a ,则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1,3]【解析】∵P 为双曲线左支上一点,∴|PF 1|﹣|PF 2|=﹣2a ,∴|PF 2|=|PF 1|+2a ①,又221||PF PF =8a ②, ∴由①②可得,|PF 1|=2a ,|PF 2|=4a .∴|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,即2a +4a ≥2c ,∴ca ≤3 ③, 又|PF 1|+|F 1F 2|＞|PF 2|,∴2a +2c ＞4a ,∴ca＞1 ④.由③④可得1＜ca≤3.4．如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．2C ．31－D ．31+1．双曲线2211625y x -=的焦点坐标是A ．())41,0,41,0-B ．((0,41,41-C ．()()3,0,3,0-D ．()()0,3,0,3-2．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为A ．1B ．2C 3D ．233．方程22123x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是A ．30m -<<B ．13m -<<C ．34m -<<D ．23m -<<4．已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A ．1B ．2C ．3D ．45．若双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，则该双曲线的焦距为 A ．10 B ．6 C ．8D ．56．已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点,M N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为A ．()221010y x x -=>B ．()22118y x x -=>C ．()22108y x x -=>D ．()221110y x x -=>7．已知双曲线2212x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12F PF △的面积是 A ．4 B ．2 C ．1D ．128．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的方程为A ．221x y -=B ．22123x y -=C ．2213y x -=D ．221164x y -=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x = 10．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为A ．32BC ．2D ．1211．设12,F F 分别为离心率e =()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12,A A 分别为双曲线C 的左、右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，若四边形21MA NA 的面积为4，则b =A ．2B ．C ．4D ．12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设F 1、F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若|PF 1|,|PF 2|分别是RtΔF 1PF 2的“勾”“股”，且|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，则双曲线的离心率为 A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为A ．(B ．C ．)2D ．(()22++∞14．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =__________． 15．过点M (−6,3)且和双曲线x 2−2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为__________． 16．设F 1 、F 2分别是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0 ，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点，|F 1F 2|=10，PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=163，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =__________． 17．已知双曲线22221x y a b-=上的一点到两渐近线的距离之积为34，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________．18．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点,C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点Q 满足FP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=___________. 19．若双曲线22221x y a b -=的离心率为e 1，双曲线22221x y b a-=的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为___________.20．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是___________.21．已知双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）.（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9，求b 的值.22．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程.（2）若点M 在双曲线上, 12,F F ，试判断12MF F △的形状.1．（2019年高考浙江卷）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．22．（2018浙江）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0D ．(0，−2)，(0，2)3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 4．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．5．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D6．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．（2018新课标全国Ⅱ理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 8．（2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BC D9．（2017新课标全国III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为A B ．2C D11．（2017北京理科）若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．12．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是________________． 13．（2018北京理科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．14．（2017山东理科）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_____________．15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．16．（2017新课标全国I 理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．18．（2019年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .1．【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为1F ，因为()1=2OQ OF OP + 所以Q 是FP 的中点， 由中位线定理知112OQ PF =. 当P 在右支时，由双曲线定义可知：114105;PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 当P 在右支时，由双曲线定义可知：11421,PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 故本题选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义.要注意到点P 在不同位置时，等式的不同. 2．【答案】D 【解析】28,22p y x =∴=，即28y x =的焦点坐标为()2,0，即22221x y a b-=的焦点坐标为()2,0，224a b ∴+=，①又△OAB 的面积为6，x c =-时，2by a =±，22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212262△AOBb S a=⨯⨯=，得23b a =，② 由①②得，2213a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线的方程为2213y x -=，故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 3．【答案】D【解析】由题意知直线BC 的斜率为a b ，12cos bCF F c∠=，又2BC CF =，由双曲线定义知12112CF CF CF BC BF a -=-==，24BF a =，122F F c =.由余弦定理得：222124416cos 222a c a b BF F a c c+-∠==⨯⨯，2232c a ab -=，即22220b ab a --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1b a =故双曲线渐近线的方程为)1y x =±.故选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.求解时，易知直线BC 的斜率为a b，计算24BF a =，122F F c =，利用余弦定理得到22220b ab a --=，化简知1ba=+. 4．【答案】D【解析】连接1AF，依题意知：21AF ，12122cF F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=，所以1ce a ===.故选D. 【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c 的关系式是解题的关键.求解时，连接1AF ，利用三角形边之间的关系得到122c AF =，121)a AF =-，代入离心率公式得到答案.1．【答案】B【解析】由题意得双曲线的焦点在y 轴上， 又c ==，所以双曲线的焦点坐标为((0,,． 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的基本性质，属于简单题．判断双曲线的焦点位置要看正负，即双曲线的焦点在正的项对应的变量所在的轴上．同时解题时要准确判断出,a b 的值，要注意,,a b c 之间关系的利用. 2．【答案】D【解析】双曲线的一个焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为,2y x ==0y -=. = 故选D .【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离.也可熟记双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b 直接求出.3．【答案】B【解析】方程22123x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ⇔+-<⇔-<<，选项是23m -<<的充分不必要条件，∴选项范围是23m -<<的真子集，只有选项B 符合题意，故选B ．【名师点睛】根据充分条件和必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可． 4．【答案】B【解析】抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以a 2+5＝32＝9，结合a ＞0，解得a ＝2， 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值． 5．【答案】A【解析】∵双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，∴53ce a===，解得3a =，∴5c ==，即焦距为210c =，故选A ．6．【答案】B【解析】如图所示，设两切线分别与圆相切于点,S T ，则()()2PM PN PS SM PT TN SM TN BM BN -=+-+=-=-=（定值），且2<[3−(−3)]=6， 所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，其中1,3a c ==，所以28b =，故点P 的轨迹方程为()22118y x x -=>.故选B.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.画出图形，计算PM PN -的值为常数，根据双曲线的定义，可求得点P 的轨迹方程. 7．【答案】C【解析】由双曲线2212x y -=，可知1,a b c ====所以12|||2|PF PF a -==221212||2|8|||||PF PF PF PF +-⋅=， 12PF PF ⊥，则由勾股定理得22212|412|||PF PF c +==，因此可得12|||2|PF PF ⋅=， 所以12121|||12|△PF F S PF PF =⋅=， 故选C 项.【名师点睛】本题考查双曲线的焦点三角形的面积.属于简单题.由双曲线的定义，得到12||||2PF PF a -=，由勾股定理得到22212|4||PF PF c +=，通过这两个式子之间的化简，得到12121||||2△PF F S PF PF =⋅的值. 8．【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，因为1PF ，12FF ，2PF 成等差数列，所以121224F F PF PF c =+=，又点(P 在双曲线的右支上，所以122PF PF a -=，解得：12PF c a =+，22PF c a =-，即22c ac a =+=-，整理得：()()()()2222222224412442c c ac a c c ac a ⎧++=++⎪⎨⎪-+=-+⎩，（1）−（2）得：88c ac =，所以1a =，又点(P 在双曲线上，所以222221ab -=，将1a =代入，解得：21b =，所以所求双曲线的方程为221x y -=， 故选A.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的定义及简单性质、等差数列的概念，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题.求解时，设双曲线左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，由1PF ，12F F ，2PF 成等差数列列方程12122F F PF PF =+，结合双曲线定义即可求得：12PF c a =+，22PF c a =-，用坐标表示出1PF，2PF ，联立方程组即可求得1a =，结合点(P 在双曲线上，即可列方程求得21b =，问题得解. 9．【答案】C【解析】∵抛物线24y x =的焦点为F (1，0)，p =2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p =2c ，即c =1，设P (m ，n )，由抛物线定义知：53||1,222p PF m m m =+=+=∴=. ∴P点的坐标为3,2⎛⎝. 222219614a b a b ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则渐近线方程为by x a=±=. 故选C.【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先由题意确定点P 的坐标，然后列方程确定a ，b 的值即可确定渐近线方程. 10．【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1,F由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠222214424()122c c c c =+-⋅⋅-=，即有1||MF =， 由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，可得c e a ==． 故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．求解时，设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值． 11．【答案】A【解析】由题,2c b e a a==∴=，故渐近线方程为2,y x =以12,F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，联立2222x y c y x⎧+=⎨=⎩，得y=21MA NA 为平行四边形，不妨设M y =则四边形21MA NA 的面积S =24,a =得ac c a=，得a =1，c 2b =. 故选A .【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与直线的交点坐标，考查平行四边形的面积公式，考查计算推理能力，是中档题.由e =222x y c +=联立得M 坐标，利用四边形面积得a ，c 的方程，求解即可得b. 12．【答案】D【解析】由双曲线的定义得|PF 1|−|PF 2|=2a ，所以(|PF 1|−|PF 2|)2=4a 2，即|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，由题意得PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2 =4c 2， 又|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，所以4c 2−8ab =4a 2，解得b =2a ， 从而离心率e =ca =√5.故选D ． 13．【答案】D【解析】不妨设过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左焦点()1,0F c -且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，令x c =-，可得2by a ==±，不妨设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又不妨设()0,D b ，可得2,b AD c b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，220,b AB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为△ABD 为钝角三角形，所以DAB ∠为钝角或ADB ∠为钝角，当DAB ∠为钝角时，可得0AD AB ⋅<，即为22200b b b a a ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭，化为a b >，即有2222a b c a >=-，可得222c a <，即ce a=<又1e >，可得1e <<当ADB ∠为钝角时，可得0DA DB ⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化为4224420c a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，可得e > 综上可得，e的范围为(()22++∞．故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．先解得A ，B 的坐标，再分类讨论钝角，并运用向量数量积的坐标表示，最后解得离心率范围． 14．【答案】14-【解析】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 15．【答案】x 218−y 29=1【解析】设双曲线方程为x 2−2y 2=λ， 双曲线过点M (−6,3)，则λ=x 2−2y 2=36−2×9=18， 故双曲线方程为x 2−2y 2=18，即x 218−y 29=1.16．【答案】−15【解析】由题得22225163a b b a+==⎧⎪⎨⎪⎩,∴a =3,b =4. 则双曲线的方程为x 29−y 216=1，从而点P 的坐标为（5，163）或（5，− 163），故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)⋅(5,163)=−15或OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)⋅(5,−163)=−15. 17．【答案】【解析】由题意可知双曲线的离心率为2，22ce c a a∴==⇒=， 又222c a b =+，223b a ∴=，∴双曲线的渐近线方程为：y =， 设点00(,)P x y 是双曲线上一点，22002213x y a a∴-=2220033x y a ⇒-=①. 由题意可知点00(,)P x y 到两渐近线的距离之积为34，∴22003334x y =⇒-=②，把①代入②得21,1a a =∴=，∴b =【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算.求解时，由离心率可以知道a 、c 的关系，再根据222+=a b c 的关系，求出a 、b 的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为34，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出a 的值，进而求出b 的值，最后求出双曲线的虚轴长. 18．【答案】4【解析】由题意得F(√5,0),渐近线方程为y =±2x ,因为点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线y =2(x −√5)上，联立方程(22214y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,解得P(3√55,−4√55),联立方程(22y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得Q(√52,−√5), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√55,−4√55),PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,−√55), 而FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得λ=4. 19．【答案】2√2【解析】由双曲线的方程可知，12,c c e e a b ==，所以()12c a b c c e e a b ab++=+=，又由222c a b =+，且22a b ab +⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以()()()12244c a b c a b c e e aba b a b +++=≥=++，因为()()()22222222216164822a b a b c a b a b ab a b++⎛⎫=≥= ⎪++++⎝⎭， 所以e 1+e 2的最小值为√8=2√2. 20．【答案】)+∞【解析】设()1:AF y k x c =+，则由题意可得bk a<，所以2a ba k ab e b a=⇒=<⇒<⇒> 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【解析】（1）因为双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =，所以2b =，因此Γ的方程为22:14y x -=.（2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==， 又12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==，所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，即210c =，所以21019b =-=， 因此3b =.【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型. （1）根据双曲线的渐近线方程，得到b ，从而可求出双曲线的方程；（2）根据双曲线定义先得到122PF PF a -=，再由12△PF F 的面积为9，得到12PF PF ，根据2221212PF PF F F +=，求出2c ，即可得出结果.22．【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=,焦点在x 轴上,且c ==解得223,2a b ==，故双曲线的标准方程为22132x y -=.（2）不妨设M 在双曲线的右支上,解得12122MF MF F F c ==== 因此在12MF F △中,1MF 边最长,所以21MF F ∠为钝角, 故12MF F △是钝角三角形.1．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ． 3．【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率． 4．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则222P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 5．【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba =，2b a =，∴c e a ===.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 6．【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ． 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 7．【答案】A。
双曲线知识点归纳总结高中
双曲线知识点归纳总结高中双曲线是高中数学中一个重要的概念，是二次曲线的一种。
它的形状与椭圆和抛物线有所不同，具有独特的特点和性质。
在学习双曲线的过程中，我们需要了解它的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系。
一、双曲线的定义双曲线是平面上所有到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，常数2a则是该双曲线的主轴长度。
二、双曲线的方程对于一个位于坐标原点的双曲线，它的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别表示主轴长度的一半，且a > 0，b > 0。
方程中的符号正负取决于焦点的位置与坐标轴的关系。
三、双曲线的性质1. 双曲线是对称的，关于x轴和y轴都有对称轴。
2. 双曲线是无界的，无论在x轴还是y轴方向都没有范围限制。
3. 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
4. 双曲线的离心率是大于1的实数，可以用来描述其扁平程度。
四、双曲线的焦点和准线1. 焦点：双曲线的焦点是定义中提到的那两个固定点，它们位于双曲线的主轴上。
2. 准线：双曲线的准线是与轨迹上每个点的切线平行的直线。
五、双曲线与其他数学概念的关系1. 长轴和短轴：双曲线的主轴长度由长轴和短轴定义，长轴是两个焦点之间的距离，短轴是主轴上的中线段。
2. 离心率：双曲线的离心率是一个重要的概念，可以用来描述焦点和准线之间的距离比例。
3. 常见双曲线：双曲线有很多变种，常见的有右开口和左开口的双曲线。
六、应用领域双曲线在很多科学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，双曲线可以描述牛顿引力定律中的两个天体之间的运动轨迹。
在电磁学中，双曲线可以表示电荷在电场中的运动轨迹。
在工程学中，双曲线可以用来设计反射器和天线。
双曲线作为一个重要的数学概念，不仅在高中数学中常出现，而且在更高级的数学研究和应用中也有着重要的地位。
通过深入学习双曲线的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系，我们可以更好地理解和应用数学知识。
北师大版高三数学(理)一轮复习《双曲线》课件
第九章
9.6 双曲线
考考纲纲要要求求
知识梳理
双击自测
核心考点
学科素养
-2-
考纲要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简 单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数 形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知知识识梳梳理理
点与点 P 连线的斜率为-3,即33���������������������������������-���-������������++2233-������������������������������++������������������--���0���=-3,化简得 4b2=a2,所以
A25-������ + 9,得两双曲线的焦距相等,选 A.
关闭
解析 答案
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-9-
12345
4.“k>9”是“方程 A.充要条件
������2 9-������
+
������������-24B=.1充表分示不双必曲要线条”的件(
)
第九章
9.6 双曲线
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
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12345
5.设双曲线C经过点(2,2),且与
������2 4
-x2=1
具有相同渐近线,则C的方
程为
;渐近线方程为
.
关闭
设双曲线 C 的方程为������2-x2=λ,将点(2,2)代入上式,得 λ=-3,∴C 的方程
2023版高考数学一轮总复习专题考点精析9-3双曲线及其性质pdf
专题九 平面解析几何／１０３㊀９．３㊀双曲线及其性质考点一㊀双曲线的定义及标准方程㊀㊀１．定义在平面内到两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的差的绝对值等于常数（小于｜Ｆ１Ｆ２｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线，定点Ｆ１，Ｆ２叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．注意㊀（１）设双曲线上的点Ｍ到两焦点Ｆ１，Ｆ２的距离之差的绝对值为２ａ，即｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜＝２ａ，其中０＜２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜，这一条件不能忽略．①若２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹是分别以Ｆ１，Ｆ２为端点的两条射线；②若２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹不存在；③若２ａ＝０，则点Ｍ的轨迹是线段Ｆ１Ｆ２的垂直平分线．（２）若将双曲线定义中的 差的绝对值等于常数 中的 绝对值 去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支（上支）还是右支（下支）视情况而定．２．标准方程，焦点在ｘ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）；，焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）．注意㊀（１）焦点位置的判断：在双曲线的标准方程中，看ｘ２项与ｙ２项的系数正负，若ｘ２项的系数为正，则焦点在ｘ轴上；若ｙ２项的系数为正，则焦点在ｙ轴上，即 焦点位置看正负，焦点随着正的跑 ．（２）ａ，ｂ，ｃ满足ｃ２＝ａ２＋ｂ２，即ｃ最大（ｃ为半焦距）．（３）焦点位置不确定时，可设双曲线方程为ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍｎ＜０）．３．焦点三角形问题（１）Ｐ为双曲线上的点，Ｆ１，Ｆ２为双曲线的两个焦点，且øＦ１ＰＦ２＝θ，则ＳәＦＰＦ１的直线与双曲线的一支交于Ａ㊁Ｂ两点，则Ａ㊁Ｂ与另一个焦点Ｆ２构成的әＡＢＦ２的周长为４ａ＋２｜ＡＢ｜．（３）若Ｐ是双曲线右支上一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，则｜ＰＦ１｜ｍｉｎ＝ａ＋ｃ，｜ＰＦ２｜ｍｉｎ＝ｃ－ａ．（４）Ｐ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）右支上不同于实轴端点的任意一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，Ｉ为әＰＦ１Ｆ２内切圆的圆心，则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．考点二㊀双曲线的几何性质焦点在ｘ轴上焦点在ｙ轴上图形标准方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）几何性质范围｜ｘ｜ȡａ｜ｙ｜ȡａ焦点Ｆ１（－ｃ，０）㊁Ｆ２（ｃ，０）Ｆ１（０，－ｃ）㊁Ｆ２（０，ｃ）顶点Ａ１（－ａ，０）㊁Ａ２（ａ，０）Ａ１（０，－ａ）㊁Ａ２（０，ａ）对称性关于ｘ轴㊁ｙ轴对称，关于原点对称实㊁虚轴长实轴长为２ａ，虚轴长为２ｂ离心率双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘｙ＝ʃａｂｘ㊀㊀ʌ常见结论ɔ（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率ｅ＝２⇔两条渐近线互相垂直．（２）共轭双曲线的性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于１．（３）焦点到渐近线的距离为ｂ．考点三㊀直线与双曲线的位置关系㊀㊀直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题㊁相交弦问题及其他综合问题．解决这样的问题，常用下面的方法：将双曲线方程Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１与直线方程ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ联立，消去ｙ，整理得（ｂ２－ａ２ｋ２）ｘ２－２ａ２ｍｋｘ－ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０．当ｂ２－ａ２ｋ２＝０，即ｋ＝ʃｂａ时，直线ｌ与双曲线Ｃ的一条渐近线平行，直线ｌ与双曲线Ｃ只有一个交点；当ｂ２－ａ２ｋ２ʂ０，即ｋʂʃｂａ时，设该一元二次方程根的判别式为Δ．（１）当Δ＞０时，直线与双曲线有两个公共点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则可结合根与系数的关系，代入弦长公式｜ＭＮ｜＝（ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＝（１＋ｋ２）［（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］求弦长；（２）当Δ＝０时，；（３）当Δ＜０时，直线与双曲线相离．注意㊀有一个交点，可能相交，也可能相切．ʌ常见结论ɔ（１）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为２ｂ２ａ． A 版 高考理数／１０４㊀㊀㊀（２）设Ｐ，Ａ，Ｂ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的三个不同的点，其中Ａ，Ｂ关于原点对称，则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为ｂ２ａ２．（３）弦中点结论：设ＡＢ为双曲线不平行于ｘ轴，ｙ轴的弦，点Ｍ为弦ＡＢ的中点．标准方程点差法结论ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ｂ２ａ２ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ａ２ｂ２方法１利用双曲线的定义解题的方法㊀㊀１．利用双曲线定义解题的主要方向：一是判断平面内与两定点有关的动点的轨迹是不是双曲线；二是利用定义讨论焦点三角形的周长㊁面积或双曲线的弦长㊁离心率等问题．２．求双曲线方程的方法：（１）定义法：根据已知条件，若所求轨迹满足双曲线的定义，则利用双曲线的定义求出参数ａ，ｂ的值，从而得到所求的轨迹方程；（２）待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所求双曲线的标准方程，利用题目条件构造关于ａ，ｂ的方程（组），解得ａ，ｂ的值，即可求得方程．例１㊀（２０２０山西太原部分重点中学４月联考，８）已知双曲线ｘ２４－ｙ２ｂ２＝１（ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２，过点Ｆ２的直线交双曲线右支于Ａ㊁Ｂ两点，若әＡＢＦ１是等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，则әＡＢＦ１的周长为（㊀㊀）Ａ．１６３３＋８Ｂ．４（２－１）Ｃ．４３３＋８Ｄ．２（３－１）解析㊀解法一：由双曲线方程可知ａ＝２，ʑ２ａ＝４，ȵәＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜，由双曲线的定义知｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜＝２ａ＝４，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋４，ʑ｜ＢＦ２｜＝４，由双曲线的定义知｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋４＝８．ȵ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，øＡ＝１２０ʎ，ʑøＡＦ１Ｂ＝３０ʎ．在әＡＢＦ１中，由正弦定理可得｜ＡＢ｜ｓｉｎ３０ʎ＝｜ＢＦ１｜ｓｉｎ１２０ʎ，即｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜㊃ｓｉｎ３０ʎｓｉｎ１２０ʎ＝８３３，ʑәＡＢＦ１的周长为１６３３＋８，故选Ａ．㊀㊀解法二：由双曲线方程得ａ＝２，则２ａ＝４，过Ａ作ＡＤʅＢＦ１，垂足为Ｄ，如图所示．由题意知Ｄ为线段ＢＦ１的中点，设｜ＡＦ２｜＝ｍ，｜ＢＦ２｜＝ｎ，由双曲线定义知｜ＡＦ１｜＝４＋ｍ，｜ＢＦ１｜＝４＋ｎ，由于әＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，即４＋ｍ＝ｍ＋ｎ，解得ｎ＝４．在ＲｔәＡＤＦ１中，øＡＦ１Ｄ＝３０ʎ，ʑ｜ＤＦ１｜＝｜ＡＦ１｜㊃ｃｏｓ３０ʎ＝３２（４＋ｍ），ʑ｜ＢＦ１｜＝２｜ＤＦ１｜＝３（４＋ｍ）＝４＋ｎ，ʑｍ＝８３３－４，ʑәＡＢＦ１的周长为４＋ｍ＋ｍ＋ｎ＋４＋ｎ＝８＋２（ｍ＋ｎ）＝８＋１６３３，故选Ａ．答案㊀Ａ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０２０浙江浙南名校联盟联考，２）双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率为２，且其右焦点为Ｆ２（２３，０），则双曲线Ｃ的标准方程为（㊀㊀）Ａ．ｘ２３－ｙ２９＝１Ｂ．ｘ２９－ｙ２３＝１Ｃ．ｘ２４－ｙ２１２＝１Ｄ．ｘ２１２－ｙ２４＝１解析㊀本题考查双曲线的标准方程及几何性质；考查学生数学运算的能力；考查了数学运算的核心素养．由已知有ｃ＝２３，ｃａ＝２３ａ＝２，所以ａ＝３，ｂ２＝ｃ２－ａ２＝９，故双曲线的标准方程为ｘ２３－ｙ２９＝１，故选Ａ．答案㊀Ａ方法２求双曲线离心率的值或取值范围的方法㊀㊀１．在解析几何中，解决范围问题，一般可从以下几个方面考虑：（１）与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；（２）通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；（３）利用点在曲线内部或外部建立不等关系；（４）利用解析式的结构特点，如ａ２，｜ａ｜，ａ等的非负性来完成范围的求解．２．求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法（１）由ａ㊁ｂ或ａ㊁ｃ的值，得ｅ＝ｃ２ａ２＝ａ２＋ｂ２ａ２＝１＋ｂ２ａ２．（２）列出含有ａ，ｂ，ｃ的齐次方程（或不等式），借助ｂ２＝ｃ２－ａ２消去ｂ，然后转化成关于ｅ的方程（或不等式）求解．（３）构造焦点三角形，利用定义转化为焦点三角形三边的关系，如图，ｅ＝ｃａ＝２ｃ２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜．例２㊀（２０１７课标Ⅰ，１５，５分）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右顶点为Ａ，以Ａ为圆心，ｂ为半径作圆Ａ，圆Ａ与双曲线Ｃ的一条渐近线交于Ｍ，Ｎ两点．若øＭＡＮ＝６０ʎ，则Ｃ的离心率为㊀㊀㊀㊀．解题导引专题九 平面解析几何／１０５㊀解析㊀解法一：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，әＡＭＮ为等边三角形，且｜ＡＭ｜＝ｂ，则Ａ点到渐近线ｙ＝ｂａｘ的距离为３２ｂ，将ｙ＝ｂａｘ变形为一般形式ｂｘ－ａｙ＝０，则Ａ（ａ，０）到渐近线ｂｘ－ａｙ＝０的距离ｄ＝｜ｂａ｜ａ２＋ｂ２＝｜ａｂ｜ｃ，所以｜ａｂ｜ｃ＝３２ｂ，即ａｃ＝３２，所以双曲线的离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．解法二：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，作ＡＣ垂直于ＭＮ，垂足为Ｃ，根据题意知点Ａ的坐标为（ａ，０），则｜ＡＣ｜＝ｂｂ２ａ２＋１＝ａｂａ２＋ｂ２，在әＡＣＮ中，øＣＡＮ＝１２øＭＡＮ＝３０ʎ，｜ＡＮ｜＝ｂ，所以ｃｏｓøＣＡＮ＝ｃｏｓ３０ʎ＝｜ＡＣ｜｜ＡＮ｜＝ａｂａ２＋ｂ２ｂ＝ａａ２＋ｂ２＝ａｃ＝３２，所以离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．答案㊀２３３例３㊀（２０２０四川成都摸底考试，１１）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），又点Ｎ－ｃ，３ｂ２２ａ()．若双曲线Ｃ左支上的任意一点Ｍ均满足｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ，则双曲线Ｃ的离心率的取值范围为（㊀㊀）Ａ．１３３，５æèçöø÷Ｂ．（５，１３）Ｃ．１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）Ｄ．（１，５）ɣ（１３，＋ɕ）解析㊀由双曲线定义知｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜＝２ａ，所以｜ＭＦ２｜＝｜ＭＦ１｜＋２ａ，所以｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ恒成立即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＋２ａ＞４ｂ恒成立，即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ－２ａ恒成立．所以（｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜）ｍｉｎ＞４ｂ－２ａ．由平面几何知识，得当ＭＦ１ʅｘ轴时，｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜取得最小值３ｂ２２ａ，所以３ｂ２２ａ＞４ｂ－２ａ，即３㊃ｂａ()２－８㊃ｂａ＋４＞０，解得０＜ｂａ＜２３或ｂａ＞２．又ｅ＝ｃａ＝１＋ｂａ()２，所以ｅɪ１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）．故选Ｃ．答案㊀Ｃ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０１８山东泰安２月联考，１１）已知双曲线Ｃ１：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０，若双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，则双曲线Ｃ１的离心率的范围是（㊀㊀）Ａ．１，２３３æèçöø÷Ｂ．２３３，＋ɕæèçöø÷Ｃ．（１，２）Ｄ．（２，＋ɕ）解析㊀由双曲线方程可得其渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘ，即ｂｘʃａｙ＝０，圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０可化为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝１４ａ２，圆心Ｃ２的坐标为（ａ，０），半径ｒ＝１２ａ，由双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，得｜ａｂ｜ａ２＋ｂ２＜１２ａ，即ｃ＞２ｂ，即ｃ２＞４ｂ２，又ｂ２＝ｃ２－ａ２，所以ｃ２＞４（ｃ２－ａ２），即ｃ２＜４３ａ２，所以ｅ＝ｃａ＜２３３，又知ｅ＞１，所以双曲线Ｃ１的离心率的取值范围为１，２３３æèçöø÷，故选Ａ．答案㊀Ａ。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
高三数学一轮复习-双曲线 (带答案)
解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。
过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。
情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。
二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。
难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在 轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 个交点． 五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（ ）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2） （1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。
高考数学重点知识点总结：双曲线方程考点归纳_知识点总结
高考数学重点知识点总结：双曲线方程考点归纳_知识点总结
双曲线方程
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑴①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则：
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.。
考点39 双曲线-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点双曲线破解策略高考考纲要求（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）了解双曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e =．考向一 双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混.典例1 设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =A ．2B ．8C ．2D ．4【答案】A【解析】由22F MN F NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，2142MF MF -=，1242NF NF -=，两式相加得，11||82NF MF MN -==.故选A.【名师点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N=，再由定义即可求解.典例2 已知F 为双曲线的左焦点， 为双曲线 上的点．若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段 上，则 的周长为__________． 【答案】44【解析】易知双曲线的左焦点为 ，点 是双曲线的右焦点，虚轴长为 ， 双曲线的图象如图：∴ ，① ，② 而 ，则①+②得 ，的周长为 ， 故答案为 .1．已知双曲线22145x y -=上一点P 到()3,0F 的距离为6，O 为坐标原点，且()1=2OQ OF OP +，则=OQA ．1B ．2C ．2或5D ．1或5考向二 求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.典例3 已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________.【答案】2213yx-=【解析】由题意得的焦点为,所以双曲线的焦点为,即.而的一条渐近线为33y x=,其斜率3tan3kα==,即的一条渐近线的倾斜角.而的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍,所以的一条渐近线的倾斜角为π23α=,其斜率,即的一条渐近线为3by x xa==,即. 而,解得,,所以的方程为2213yx-=.典例4如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解析】依题意,知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为3.设动圆的半径为R,则|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,所以|MC2|-|MC1|=2,因此,圆心M的轨迹是以C1,C2为左、右焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3,所以b2=c2-a2=8.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1).2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于,A B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221312x y -=B ．2213632x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.典例 5 已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，1F 的坐标为()7,0，若双曲线的右支上有一点P ，且满足124PF PF -=，则该双曲线的渐近线方程为 A ．3y x =± B ．23y x = C ．34y x =±D ．43y x =±【答案】A【解析】∵1F 的坐标为（ ，0），∴c = ， ∵双曲线的右支上有一点P ，满足124PF PF -=， ∴2a =4，即a =2，则b 2=c 2﹣a 2=7﹣4=3，即b = ，则双曲线的渐近线方程为y x =，故选A. 典例6 如图,已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且满足|F 2P|=a ,( + )· =0,线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ,若|F 2P|=5|F 2Q|,则双曲线C 的渐近线方程为A ．y =±5B ．y =±12xC ．y =±3D ．y =±3x 【答案】B【解析】取线段F 2P 的中点E ,连接F 1E , 因为( + )· =0,所以F 1E ⊥F 2P ,故三角形PF 1F 2为等腰三角形,且|F 1P|=|F 1F 2|=2c .在12Rt △F EF 中，212122cos 24aF E a F F E F F c c∠===, 连接F 1Q , 又|F 2Q |=5a,点Q 在双曲线C 上, 所以由双曲线的定义可得,|QF 1|-|QF 2|=2a , 故|QF 1|=2a+5a =115a.在12△FQF 中,由余弦定理得,()222222122112122112()()|||||55cos 4|2225a a c F F F Q FQ a F F Q a c F F F Qc +-+-∠==⨯⨯⋅=,整理可得4c 2=5a 2,所以 ==-1= ,故双曲线C 的渐近线方程为y =±12x .3．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于B ，C ，且2BC CF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．3y x =± B ．2y x =± C ．31)y x =±D ．31)y x =±考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即222211c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c e a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7 设F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率等于 A ．52 B ．102C ．152D 5【答案】B【解析】由121223AF AF a AF AF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩⇒, 由∠F 1AF 2=90°,得2221212AF AF F F +=,即(3a )2+a 2=(2c )2,得e 10选B. 典例8 已知F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P ，使得221||PF PF =8a ,则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1,3]【解析】∵P 为双曲线左支上一点,∴|PF 1|﹣|PF 2|=﹣2a ,∴|PF 2|=|PF 1|+2a ①,又221||PF PF =8a ②, ∴由①②可得,|PF 1|=2a ,|PF 2|=4a .∴|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,即2a +4a ≥2c ,∴ca ≤3 ③, 又|PF 1|+|F 1F 2|＞|PF 2|,∴2a +2c ＞4a ,∴ca＞1 ④.由③④可得1＜ca≤3.4．如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A 3B ．2C 31－D 311．双曲线2211625y x -=的焦点坐标是A ．())41,0,41,0-B ．((0,41,41-C ．()()3,0,3,0-D ．()()0,3,0,3-2．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为A ．1B ．2C 3D ．233．方程22123x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是A ．30m -<<B ．13m -<<C ．34m -<<D ．23m -<<4．已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A ．1B ．2C ．3D ．45．若双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，则该双曲线的焦距为 A ．10 B ．6 C ．8D ．56．已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点,M N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为A ．()221010y x x -=>B ．()22118y x x -=>C ．()22108y x x -=>D ．()221110y x x -=>7．已知双曲线2212x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12F PF △的面积是 A ．4 B ．2 C ．1D ．128．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(2,3)P 在双曲线上，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的方程为A ．221x y -=B ．22123x y -=C ．2213y x -=D ．221164x y -=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x = 10．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为A ．32B 51- C ．2 D ．31211．设12,F F 分别为离心率5e =()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12,A A 分别为双曲线C 的左、右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，若四边形21MA NA 的面积为4，则b = A ．2 B ．22C ．4D ．212．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设 、 分别是双曲线， 的左、右焦点， 是该双曲线右支上的一点，若 分别是 的“勾”“股”，且 ，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ．D ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为A ．(B ．C ．)2D ．(()22,++∞14．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =__________． 15．过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________． 16．设 、 分别是双曲线， 的左、右焦点， 为左顶点，点 为双曲线 右支上一点， ， ，， 为坐标原点，则__________． 17．已知双曲线22221x y a b-=上的一点到两渐近线的距离之积为34，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________．18．已知 是双曲线22:14y C x -=的右焦点, 的右支上一点 到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点 满足,则 ___________. 19．若双曲线22221x y a b -=的离心率为 ，双曲线22221x y b a-=的离心率为 ，则 的最小值为___________.20．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是___________.21．已知双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）.（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9，求b 的值.22．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程.（2）若点M 在双曲线上, 12,F F 是双曲线的左、右焦点，且1263MF MF +=，试判断12MF F △的形状.1．（2019年高考浙江卷）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．22．（2018浙江）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，2，(02D ．(0，−2)，(0，2)3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A 2B 3C ．2D 54．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．325．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2 B 3C ．2D 56．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．（2018新课标全国Ⅱ理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．32y x =±8．（2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2B 3C 2D 239．（2017新课标全国III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=10．（2018新课标全国Ⅲ理科）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|6||PF OP ，则C 的离心率为 A 5B ．2 C 3D 211．（2017北京理科）若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．12．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是________________． 13．（2018北京理科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．14．（2017山东理科）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_____________．15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．16．（2017新课标全国I 理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．18．（2019年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .1．【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为1F ，因为()1=2OQ OF OP + 所以Q 是FP 的中点， 由中位线定理知112OQ PF =. 当P 在右支时，由双曲线定义可知：114105;PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 当P 在右支时，由双曲线定义可知：11421,PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 故本题选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义.要注意到点P 在不同位置时，等式的不同. 2．【答案】D 【解析】28,22p y x =∴=，即28y x =的焦点坐标为()2,0，即22221x y a b-=的焦点坐标为()2,0，224a b ∴+=，①又△OAB 的面积为6，x c =-时，2by a =±，22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212262△AOBb S a=⨯⨯=，得23b a =，② 由①②得，2213a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线的方程为2213y x -=，故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 3．【答案】D【解析】由题意知直线BC 的斜率为a b ，12cos bCF F c∠=， 变式拓展又2BC CF =，由双曲线定义知12112CF CF CF BC BF a -=-==，24BF a =，122F F c =.由余弦定理得：222124416cos 222a c a b BF F a c c +-∠==⨯⨯，2232c a ab -=，即22220b ab a --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13b a =+故双曲线渐近线的方程为)31y x =±.故选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.求解时，易知直线BC 的斜率为a b，计算24BF a =，122F F c =，利用余弦定理得到22220b ab a --=，化简知13ba=+. 4．【答案】D【解析】连接1AF ，依题意知：213AF =，12122cF F AF ＝＝， 所以2112(31)a AF AF AF =-=， 所以11231(31)AF ce a AF ===-.故选D. 【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c 的关系式是解题的关键.求解时，连接1AF ，利用三角形边之间的关系得到122c AF =，12(31)a AF =，代入离心率公式得到答案.1．【答案】B【解析】由题意得双曲线的焦点在y 轴上， 又162541c =+=，所以双曲线的焦点坐标为((0,41,41-． 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的基本性质，属于简单题．判断双曲线的焦点位置要看正负，即双曲线的焦点在正的项对应的变量所在的轴上．同时解题时要准确判断出,a b 的值，要注意,,a b c 之间关系的利用. 2．【答案】D【解析】双曲线的一个焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为33,2y x x ==30x y -=. |430|233+1-=故选D .【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离.也可熟记双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b 直接求出.3．【答案】B【解析】方程22123x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ⇔+-<⇔-<<，选项是23m -<<的充分不必要条件，∴选项范围是23m -<<的真子集，只有选项B 符合题意，故选B ．【名师点睛】根据充分条件和必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可． 4．【答案】B【解析】抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以a 2+5＝32＝9，结合a ＞0，解得a ＝2， 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值． 5．【答案】A【解析】∵双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，∴21653ca e a+===，解得3a =， ∴9165c =+=，即焦距为210c =，故选A ．6．【答案】B【解析】如图所示，设两切线分别与圆相切于点,S T ，则()()2PM PN PS SM PT TN SM TN BM BN -=+-+=-=-=（定值），且2<[3−(−3)]=6， 所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，其中1,3a c ==，所以28b =，故点P 的轨迹方程为()22118y x x -=>.故选B.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.画出图形，计算PM PN -的值为常数，根据双曲线的定义，可求得点P 的轨迹方程. 7．【答案】C【解析】由双曲线2212x y -=，可知222,1,3a b c a b ===+=所以12|||2|PF PF a -==221212||2|8|||||PF PF PF PF +-⋅=， 12PF PF ⊥，则由勾股定理得22212|412|||PF PF c +==，因此可得12|||2|PF PF ⋅=， 所以12121|||12|△PF F S PF PF =⋅=， 故选C 项.【名师点睛】本题考查双曲线的焦点三角形的面积.属于简单题.由双曲线的定义，得到12||||2PF PF a -=，由勾股定理得到22212|4||PF PF c +=，通过这两个式子之间的化简，得到12121||||2△PF F S PF PF =⋅的值. 8．【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，因为1PF ，12FF ，2PF 成等差数列，所以121224F F PF PF c =+=， 又点(3P 在双曲线的右支上，所以122PF PF a -=，解得：12PF c a =+，22PF c a =-，即()()()()2222232232c c ac c a ++=+-+=-，整理得：()()()()222222222344123442c c ac a c c ac a ⎧++=++⎪⎨⎪-+=-+⎩，（1）−（2）得：88c ac =，所以1a =， 又点(3P 在双曲线上，所以2222321ab -=，将1a =代入，解得：21b =，所以所求双曲线的方程为221x y -=， 故选A.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的定义及简单性质、等差数列的概念，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题.求解时，设双曲线左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，由1PF ，12F F ，2PF 成等差数列列方程12122F F PF PF =+，结合双曲线定义即可求得：12PF c a =+，22PF c a =-，用坐标表示出1PF ，2PF ，联立方程组即可求得1a =，结合点(3P 在双曲线上，即可列方程求得21b =，问题得解. 9．【答案】C【解析】∵抛物线24y x =的焦点为F (1，0)，p =2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p =2c ，即c =1，设P (m ，n )，由抛物线定义知：53||1,222p PF m m m =+=+=∴=. ∴P点的坐标为3,2⎛⎝. 222219614a b a b ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.则渐近线方程为3by x x a=±=±. 故选C.【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先由题意确定点P 的坐标，然后列方程确定a ，b 的值即可确定渐近线方程. 10．【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1,F由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠222214424()122c c c c =+-⋅⋅-=，即有1||23MF c =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为2322c c a -=， 即有312c a +=，可得312c e a +==． 故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．求解时，设双曲线的左焦点为1,F 运用余弦定理可得1||23MF c =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为2322c c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值． 11．【答案】A【解析】由题5,2c b e a a==∴=，故渐近线方程为2,y x =以12,F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，联立2222x y c y x⎧+=⎨=⎩，得y=，由双曲线与圆的对称性知四边形21MA NA 为平行四边形，不妨设M y =则四边形21MA NA 的面积S =24,a =得ac c a=，得a =1，c 2b =. 故选A .【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与直线的交点坐标，考查平行四边形的面积公式，考查计算推理能力，是中档题.由5e =222x y c +=联立得M 坐标，利用四边形面积得a ，c 的方程，求解即可得b. 12．【答案】D【解析】由双曲线的定义得 ，所以 ，即 ，由题意得 ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 ， 从而离心率.故选D ． 13．【答案】D【解析】不妨设过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左焦点()1,0F c -且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，令x c =-，可得2221c by a a =±-=±，不妨设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又不妨设()0,D b ，可得2,b AD c b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，220,b AB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为△ABD 为钝角三角形，所以DAB ∠为钝角或ADB ∠为钝角，当DAB ∠为钝角时，可得0AD AB ⋅<，即为22200b b b a a ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭， 化为a b >，即有2222a b c a >=-，可得222c a <，即2ce a=< 又1e >，可得12e <<当ADB ∠为钝角时，可得0DA DB ⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化为4224420c a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，可得e >综上可得，e的范围为(()22++∞．故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．先解得A ，B 的坐标，再分类讨论钝角，并运用向量数量积的坐标表示，最后解得离心率范围． 14．【答案】14-【解析】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故11,a b m ==- 依题意可知2b a =12m-=，解得14m =-.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 15．【答案】【解析】设双曲线方程为 ， 双曲线过点 ，则 ， 故双曲线方程为 ，即.16．【答案】【解析】由题得22225163a b b a+==⎧⎪⎨⎪⎩ 则双曲线的方程为，从而点P 的坐标为（5，）或（5，），故 或. 17．【答案】【解析】由题意可知双曲线的离心率为2，22ce c a a∴==⇒=， 又222c a b =+，223b a ∴=，∴双曲线的渐近线方程为：y =， 设点00(,)P x y 是双曲线上一点，22002213x y a a∴-=2220033x y a ⇒-=①. 由题意可知点00(,)P x y 到两渐近线的距离之积为34，∴0000220022333334(3)1(3)1x y x y x y -+=⇒-=++②，把①代入②得21,1a a =∴=， ∴3b =3【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算.求解时，由离心率可以知道a 、c 的关系，再根据222+=a b c 的关系，求出a 、b 的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为34，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出a 的值，进而求出b 的值，最后求出双曲线的虚轴长. 18．【答案】4【解析】由题意得 ,渐近线方程为 ,因为点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线 上，联立方程(222514y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,解得, 联立方程(252y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得, 所以, 而 ,解得 19．【答案】【解析】由双曲线的方程可知，12,c c e e a b ==，所以()12c a b c c e e a b ab++=+=，又由222c a b =+，且22a b ab +⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以()()()12244c a b c a b c e e aba b a b +++=≥=++，因为()()()22222222216164822a b a b c a b a b ab a b++⎛⎫=≥= ⎪++++⎝⎭， 所以 的最小值为 . 20．【答案】)2,+∞【解析】设()1:AF y k x c =+，则由题意可得bk a<，所以22221kc a ba k ab e b ak =⇒=<⇒<⇒>+【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【解析】（1）因为双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =，所以2b =，因此Γ的方程为22:14y x -=.（2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==， 又12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==，所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，即210c =，所以21019b =-=， 因此3b =.【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型. （1）根据双曲线的渐近线方程，得到b ，从而可求出双曲线的方程；（2）根据双曲线定义先得到122PF PF a -=，再由12△PF F 的面积为9，得到12PF PF ，根据2221212PF PF F F +=，求出2c ，即可得出结果.22．【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=,焦点在x 轴上,且c ==设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,则有22229415a b a b ⎧-=+=⎪⎨⎪⎩， 解得223,2a b ==，故双曲线的标准方程为22132x y -=.（2）不妨设M 在双曲线的右支上, 则有1223MF MF -=， 又1263MF MF +=,解得121243,23,225,MF MF F F c ==== 因此在12MF F △中,1MF 边最长, 由余弦定理可得21122048cos 022325MF F +-∠=<⨯⨯，所以21MF F ∠为钝角, 故12MF F △是钝角三角形.1．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则222c a b a =+=，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现直通高考理解性错误. 2．【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ． 3．【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率． 4．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则222P P b y x a =⋅==，1162224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 5．【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =， ∴225c a b e a +===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 6．【答案】B【解析】由题意得2240,14,2210()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ． 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 7．【答案】A。
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
2023版高考数学一轮总复习9-3双曲线及其性质课件
表示椭圆的长半轴长).∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=
122 92 - 122 (5)2 =2,∴|FA|-|FB|=2<14,由双曲线定义知,F点在以A,B为
焦点,2为实轴长的双曲线的下支上,∴点F的轨迹方程为y2- x2 =1(y≤-1).
于e的方程(或不等式)求解.
3)构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图,e=c =
a
2c = | F1F2 | .
2a | MF1 | | MF2 |
例2
(1)(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C:
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右
焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 F1A=
a+c,|PF2|min=c-a.
4)P是双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1、F
2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标
恒为定值a.
标准 方程 图形
范围 焦点
考点二 双曲线的几何性质
焦点在x轴上
x2 y2
a 2 - b2 =1 (a>0,b>0)
双曲线的焦距与实轴长的比e= c
a
y=± b x
a
y=± a x
b
【常见结论】 1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双 曲线.等轴双曲线的离心率e= 2 ,两条渐近线互相垂直. 2)共轭双曲线的性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③ 它们的离心率的倒数的平方和等于1. 3)焦点到渐近线的距离为b.
考点39 双曲线-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点39 双曲线（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）了解双曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支；当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．二、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0) 图形范围||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0) 下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e > 2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e =．考向一 双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混.典例1 设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =A ．B ．8C ．D ．4【答案】A【解析】由22F MN F NM ∠=∠可知，22F M F N =.由双曲线定义可知，21MF MF -=，12NF NF -=，两式相加得，11||NF MF MN -==.故选A.【名师点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.由22F MN F NM ∠=∠得22F M F N=，再由定义即可求解.典例2 已知F 为双曲线C:x 29−y 216=1的左焦点，P,Q 为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则ΔPQF 的周长为__________． 【答案】44【解析】易知双曲线C:x 29−y 216=1的左焦点为F (−5,0)，∴点A (5,0)是双曲线的右焦点，虚轴长为8， 双曲线的图象如图：∴|PF |−|AP |=2a =6，① |QF |−|QA |=2a =6，② 而|PQ |=16，则①+②得|PF |+|QF |−|PQ |=12，∴ΔPQF 的周长为|PF |+|QF |+|PQ |=12+2|PQ |=44， 故答案为44.1．已知双曲线22145x y -=上一点P到()3,0F 的距离为6，O 为坐标原点，且()1=2OQ OF OP +，则=OQA ．1B ．2C ．2或5D ．1或5考向二 求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.典例3 已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为x 23−y 2=1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为__________________.【答案】2213y x -=【解析】由题意得C 1的焦点为(±2,0),所以双曲线C 2的焦点为(±2,0),即c =2.而C 1的一条渐近线为y =,其斜率tan k α==即C 1的一条渐近线的倾斜角α=π6.而C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C 1的一条渐近线的倾斜角为π23α=,其斜率k =√3,即C 2的一条渐近线为b y x a==,即ba =√3. 而a 2+b 2=c 2,解得a =1,b =√3,所以C 2的方程为2213y x -=.典例4 如图,已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.【解析】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R+1,|MC 2|=R+3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=8.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y=1(x ≤-1).2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于,A B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221312x y -=B ．2213632x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.典例 5 已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，1F 的坐标为()，若双曲线的右支上有一点P ，且满足124PF PF -=，则该双曲线的渐近线方程为A ．y x =B ．y x =C ．34y x =±D ．43y x =±【答案】A【解析】∵1F 的坐标为（−√7，0），∴c =√7， ∵双曲线的右支上有一点P ，满足124PF PF -=，∴2a =4，即a =2，则b 2=c 2﹣a 2=7﹣4=3，即b =√3，则双曲线的渐近线方程为y x =±，故选A. 典例6 如图,已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且满足|F 2P|=a ,(F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ,若|F 2P|=5|F 2Q|,则双曲线C 的渐近线方程为A ．yB ．y =±12x C ．y=±2x D ．y=±3x 【答案】B【解析】取线段F 2P 的中点E ,连接F 1E , 因为(F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以F 1E ⊥F 2P ,故三角形PF 1F 2为等腰三角形,且|F 1P|=|F 1F 2|=2c .在12Rt △F EF 中，212122cos 24aF E a F F E F F c c∠===, 连接F 1Q , 又|F 2Q |=5a,点Q 在双曲线C 上, 所以由双曲线的定义可得,|QF 1|-|QF 2|=2a , 故|QF 1|=2a+5a =115a.在12△FQF 中,由余弦定理得,()222222122112122112()()|||||55cos 4|2225a a c F F F Q FQ a F F Q a c F F F Qc +-+-∠==⨯⨯⋅=,整理可得4c 2=5a 2,所以b 2a 2=c 2−a 2a2=54-1=14,故双曲线C 的渐近线方程为y =±12x .3．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于B ，C ，且2BC CF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．3y x =± B．y =± C．1)y x =±D．1)y x =±考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7 设F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率等于 A．2 B．2CD【答案】B【解析】由121223AF AF a AF AF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩⇒{|AF 1|=3a|AF 2|=a , 由∠F 1AF 2=90°,得2221212AF AF F F +=,即(3a )2+a 2=(2c )2, 得e=2,选B. 典例8 已知F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P ，使得221||PF PF =8a ,则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1,3]【解析】∵P 为双曲线左支上一点,∴|PF 1|﹣|PF 2|=﹣2a ,∴|PF 2|=|PF 1|+2a ①,又221||PF PF =8a ②, ∴由①②可得,|PF 1|=2a ,|PF 2|=4a .∴|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,即2a +4a ≥2c ,∴ca ≤3 ③, 又|PF 1|+|F 1F 2|＞|PF 2|,∴2a +2c ＞4a ,∴ca＞1 ④.由③④可得1＜ca≤3.4．如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．2C ．31－D ．31+1．双曲线2211625y x -=的焦点坐标是A ．())41,0,41,0-B ．((0,41,41-C ．()()3,0,3,0-D ．()()0,3,0,3-2．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为A ．1B ．2C 3D ．233．方程22123x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是A ．30m -<<B ．13m -<<C ．34m -<<D ．23m -<<4．已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A ．1B ．2C ．3D ．45．若双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，则该双曲线的焦距为 A ．10 B ．6 C ．8D ．56．已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点,M N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为A ．()221010y x x -=>B ．()22118y x x -=>C ．()22108y x x -=>D ．()221110y x x -=>7．已知双曲线2212x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12F PF △的面积是 A ．4 B ．2 C ．1D ．128．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的方程为A ．221x y -=B ．22123x y -=C ．2213y x -=D ．221164x y -=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x = 10．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为A ．32B ．12C ．2D ．1211．设12,F F 分别为离心率e =()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12,A A 分别为双曲线C 的左、右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，若四边形21MA NA 的面积为4，则b =A ．2B ．C ．4D ．12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设F 1、F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若|PF 1|,|PF 2|分别是RtΔF 1PF 2的“勾”“股”，且|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，则双曲线的离心率为 A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为A ．(B ．C ．)2D ．(()22++∞14．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =__________． 15．过点M (−6,3)且和双曲线x 2−2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为__________． 16．设F 1 、F 2分别是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0 ，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点，|F 1F 2|=10，PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=163，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =__________． 17．已知双曲线22221x y a b-=上的一点到两渐近线的距离之积为34，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________．18．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点,C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点Q 满足FP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=___________. 19．若双曲线22221x y a b -=的离心率为e 1，双曲线22221x y b a-=的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为___________.20．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是___________.21．已知双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）.（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9，求b 的值.22．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程.（2）若点M 在双曲线上, 12,F F ，试判断12MF F △的形状.1．（2019年高考浙江卷）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．22．（2018浙江）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 4．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．5．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D6．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．（2018新课标全国Ⅱ理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x =±8．（2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD9．（2017新课标全国III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP ，则C 的离心率为A B ．2C D11．（2017北京理科）若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．12．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是________________． 13．（2018北京理科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．14．（2017山东理科）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_____________．15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．16．（2017新课标全国I 理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．18．（2019年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .1．【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为1F ，因为()1=2OQ OF OP + 所以Q 是FP 的中点， 由中位线定理知112OQ PF =. 当P 在右支时，由双曲线定义可知：114105;PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 当P 在右支时，由双曲线定义可知：11421,PF PF PF OQ -=⇒=⇒= 故本题选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义.要注意到点P 在不同位置时，等式的不同. 2．【答案】D 【解析】28,22p y x =∴=，即28y x =的焦点坐标为()2,0，即22221x y a b-=的焦点坐标为()2,0，224a b ∴+=，①又△OAB 的面积为6，x c =-时，2by a =±，22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212262△AOBb S a=⨯⨯=，得23b a =，② 由①②得，2213a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线的方程为2213y x -=，故选D.【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 3．【答案】D【解析】由题意知直线BC 的斜率为a b ，12cos bCF F c∠=，又2BC CF =，由双曲线定义知12112CF CF CF BC BF a -=-==，24BF a =，122F F c =.由余弦定理得：222124416cos 222a c a b BF F a c c +-∠==⨯⨯，2232c a ab -=，即22220b ab a --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1b a =+故双曲线渐近线的方程为)1y x =±.故选D.【名师点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.求解时，易知直线BC 的斜率为a b，计算24BF a =，122F F c =，利用余弦定理得到22220b ab a --=，化简知1ba=+. 4．【答案】D【解析】连接1AF，依题意知：21AF =，12122cF F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=，所以1ce a ===.故选D. 【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c 的关系式是解题的关键.求解时，连接1AF ，利用三角形边之间的关系得到122c AF =，121)a AF =，代入离心率公式得到答案.1．【答案】B【解析】由题意得双曲线的焦点在y 轴上， 又c ==，所以双曲线的焦点坐标为((0,,． 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的基本性质，属于简单题．判断双曲线的焦点位置要看正负，即双曲线的焦点在正的项对应的变量所在的轴上．同时解题时要准确判断出,a b 的值，要注意,,a b c 之间关系的利用. 2．【答案】D【解析】双曲线的一个焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为,2y x ==0y -=. = 故选D .【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离.也可熟记双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b 直接求出.3．【答案】B【解析】方程22123x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ⇔+-<⇔-<<，选项是23m -<<的充分不必要条件，∴选项范围是23m -<<的真子集，只有选项B 符合题意，故选B ．【名师点睛】根据充分条件和必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可． 4．【答案】B【解析】抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以a 2+5＝32＝9，结合a ＞0，解得a ＝2， 故选B ．【名师点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值． 5．【答案】A【解析】∵双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，∴53ce a===，解得3a =，∴5c ==，即焦距为210c =，故选A ．6．【答案】B【解析】如图所示，设两切线分别与圆相切于点,S T ，则()()2PM PN PS SM PT TN SM TN BM BN -=+-+=-=-=（定值），且2<[3−(−3)]=6， 所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，其中1,3a c ==，所以28b =，故点P 的轨迹方程为()22118y x x -=>.故选B.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.画出图形，计算PM PN -的值为常数，根据双曲线的定义，可求得点P 的轨迹方程. 7．【答案】C【解析】由双曲线2212x y -=，可知1,a b c ====所以12|||2|PF PF a -==221212||2|8|||||PFPF PF PF +-⋅=， 12PF PF ⊥，则由勾股定理得22212|412|||PF PF c +==，因此可得12|||2|PF PF ⋅=， 所以12121|||12|△PF F S PF PF =⋅=， 故选C 项.【名师点睛】本题考查双曲线的焦点三角形的面积.属于简单题.由双曲线的定义，得到12||||2PF PF a -=，由勾股定理得到22212|4||PF PF c +=，通过这两个式子之间的化简，得到12121||||2△PF F S PF PF =⋅的值. 8．【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，因为1PF ，12FF ，2PF 成等差数列，所以121224F F PF PF c =+=，又点(P 在双曲线的右支上，所以122PF PF a -=，解得：12PF c a =+，22PF c a =-，即22c ac a =+=-，整理得：()()()()2222222224412442c c ac a c c ac a ⎧++=++⎪⎨⎪-+=-+⎩，（1）−（2）得：88c ac =，所以1a =，又点(P 在双曲线上，所以222221ab -=，将1a =代入，解得：21b =，所以所求双曲线的方程为221x y -=， 故选A.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的定义及简单性质、等差数列的概念，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题.求解时，设双曲线左、右焦点坐标分别为()(),0,,0c c -，由1PF ，12F F ，2PF 成等差数列列方程12122F F PF PF =+，结合双曲线定义即可求得：12PF c a =+，22PF c a =-，用坐标表示出1PF，2PF ，联立方程组即可求得1a =，结合点(P 在双曲线上，即可列方程求得21b =，问题得解. 9．【答案】C【解析】∵抛物线24y x =的焦点为F (1，0)，p =2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p =2c ，即c =1，设P (m ，n )，由抛物线定义知：53||1,222p PF m m m =+=+=∴=. ∴P点的坐标为3,2⎛⎝. 222219614a b a b ⎧+=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.则渐近线方程为by x a=±=. 故选C.【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先由题意确定点P 的坐标，然后列方程确定a ，b 的值即可确定渐近线方程. 10．【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1,F由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠222214424()122c c c c =+-⋅⋅-=，即有1||MF =， 由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有12c a +=，可得12c e a +==． 故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．求解时，设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值． 11．【答案】A【解析】由题,2c b e a a==∴=，故渐近线方程为2,y x =以12,F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，联立2222x y c y x⎧+=⎨=⎩，得y=，由双曲线与圆的对称性知四边形21MA NA 为平行四边形，不妨设M y =则四边形21MA NA 的面积S =24,a =得ac c a=，得a =1，c 2b =. 故选A .【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与直线的交点坐标，考查平行四边形的面积公式，考查计算推理能力，是中档题.由e =222x y c +=联立得M 坐标，利用四边形面积得a ，c 的方程，求解即可得b. 12．【答案】D【解析】由双曲线的定义得|PF 1|−|PF 2|=2a ，所以(|PF 1|−|PF 2|)2=4a 2，即|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，由题意得PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2 =4c 2， 又|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，所以4c 2−8ab =4a 2，解得b =2a ， 从而离心率e =ca =√5.故选D ． 13．【答案】D【解析】不妨设过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左焦点()1,0F c -且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，令x c =-，可得2by a ==±，不妨设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又不妨设()0,D b ，可得2,b AD c b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，220,b AB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为△ABD 为钝角三角形，所以DAB ∠为钝角或ADB ∠为钝角，当DAB ∠为钝角时，可得0AD AB ⋅<，即为22200b b b a a ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭，化为a b >，即有2222a b c a >=-，可得222c a <，即ce a=<又1e >，可得1e <<当ADB ∠为钝角时，可得0DA DB ⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化为4224420c a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，可得e >综上可得，e的范围为(()22++∞．故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的离心率以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．先解得A ，B 的坐标，再分类讨论钝角，并运用向量数量积的坐标表示，最后解得离心率范围． 14．【答案】14-【解析】双曲线方程化为标准方程得2211y xm-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 15．【答案】x 218−y 29=1【解析】设双曲线方程为x 2−2y 2=λ， 双曲线过点M (−6,3)，则λ=x 2−2y 2=36−2×9=18， 故双曲线方程为x 2−2y 2=18，即x 218−y 29=1.16．【答案】−15【解析】由题得22225163a b b a+==⎧⎪⎨⎪⎩,∴a =3,b =4. 则双曲线的方程为x 29−y 216=1，从而点P 的坐标为（5，163）或（5，− 163），故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)⋅(5,163)=−15或OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)⋅(5,−163)=−15. 17．【答案】【解析】由题意可知双曲线的离心率为2，22ce c a a∴==⇒=， 又222c a b =+，223b a ∴=，∴双曲线的渐近线方程为：y =， 设点00(,)P x y 是双曲线上一点，22002213x y a a∴-=2220033x y a ⇒-=①. 由题意可知点00(,)P x y 到两渐近线的距离之积为34，∴22003334x y =⇒-=②，把①代入②得21,1a a =∴=，∴b =【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算.求解时，由离心率可以知道a 、c 的关系，再根据222+=a b c 的关系，求出a 、b 的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为34，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出a 的值，进而求出b 的值，最后求出双曲线的虚轴长. 18．【答案】4【解析】由题意得F(√5,0),渐近线方程为y =±2x ,因为点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线y =2(x −√5)上，联立方程(22214y x y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩,解得P(3√55,−4√55),联立方程(22y x y x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,解得Q(√52,−√5), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√55,−4√55),PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,−√55), 而FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得λ=4. 19．【答案】2√2【解析】由双曲线的方程可知，12,c c e e a b ==，所以()12c a b c c e e a b ab++=+=，又由222c a b =+，且22a b ab +⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以()()()12244c a b c a b c e e aba b a b +++=≥=++，因为()()()22222222216164822a b a b c a b a b ab a b++⎛⎫=≥= ⎪++++⎝⎭， 所以e 1+e 2的最小值为√8=2√2. 20．【答案】)+∞【解析】设()1:AF y k x c =+，则由题意可得bk a<，所以2a ba k ab e b a=⇒=<⇒<⇒> 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【解析】（1）因为双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =，所以2b =，因此Γ的方程为22:14y x -=.（2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==， 又12PF PF ⊥，12△PF F 的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==，所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，即210c =，所以21019b =-=， 因此3b =.【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型. （1）根据双曲线的渐近线方程，得到b ，从而可求出双曲线的方程；（2）根据双曲线定义先得到122PF PF a -=，再由12△PF F 的面积为9，得到12PF PF ，根据2221212PF PF F F +=，求出2c ，即可得出结果.22．【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=,焦点在x 轴上,且c ==解得223,2a b ==，故双曲线的标准方程为22132x y -=.（2）不妨设M 在双曲线的右支上,解得12122MF MF F F c ==== 因此在12MF F △中,1MF 边最长,所以21MF F ∠为钝角, 故12MF F △是钝角三角形.1．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ． 3．【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率． 4．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则222P P b y x a =⋅==，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 5．【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 6．【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ． 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 7．【答案】A。
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考点39双曲线（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m nλλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠． （4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k-=>>-+ 22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<． 二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e=考向一双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=A．14B．35C．34D．45【答案】C由定义|PF1|-|PF2|=2a =2以及|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2,|PF1|=4.又|F1F2|=2c=4,∴cos∠F1PF2=222121212||||2PF PF F FPF PF+-34=.典例2设F1,F2是双曲线x2-224y=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且1234PF PF=,则12△PF F的面积为A．4B．8C ．24D ．48【答案】C1．若双曲线22412x y -=1的左焦点为F ,点P 是双曲线右支上的动点,A (1,4),则|PF|+|PA|的最小值是 .考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.典例3已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________.【答案】2213y x -=【解析】由题意得的焦点为,所以双曲线的焦点为,即.而的一条渐近线为y x =,其斜率tan k α==,即的一条渐近线的倾斜角.而的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍,所以的一条渐近线的倾斜角为π23α=,其斜率,即的一条渐近线为by x a==,即.而,解得,,所以的方程为2213y x -=.典例4如图,已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.2．已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P )在双曲线的右支上,且|PF 1|=3|PF 2|,²=0,求双曲线的标准方程.考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.典例5设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A典例6如图,已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且满足|F 2P|=a ,(+)²=0,线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ,若|F 2P|=5|F 2Q|,则双曲线C 的渐近线方程为A ．y=±5 B ．y =±12x C ．yD ．y【答案】B义可得,|QF 1|-|QF 2|=2a ,故|QF 1|=2a+=.在12△FQF 中,由余弦定理得,()222222122112122112()()|||||55cos 4|2225 a a c F F F Q FQ a F F Q a c F F F Q c +-+-∠==⨯⨯⋅=,整理可得4c 2=5a 2,所以==-1=,故双曲线C 的渐近线方程为y =±12x.3．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线方程为A ．2y x =±BCD考向四双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+. （2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c e a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍. 2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7设F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率等于 ABC．2D【答案】B典例8已知F1、F2分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P，使得221||PFPF=8a,则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】(1,3]又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|,∴2a+2c＞4a,∴ca＞1④.由③④可得1＜ca≤3.4．若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线经过点,则此双曲线的离心率为.5．已知点分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点为双曲线左支上的任意一点,若的最小值为则双曲线离心率的取值范围是.1．在平面直角坐标系中,F 1(-2,0),F 2(2,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=3,则动点P 的集合是 A ．两条射线B ．以F 1,F 2为焦点的双曲线C ．以F 1,F 2为焦点的双曲线的一支D ．不存在2．双曲线2213y x -=的渐近线方程为A ．B ．C ．13y x =±D ．y x = 3．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点与抛物线的焦点重合，则A ．B ．C ．2D ．14．已知点()2,0F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率为A B C ．2D ．45．过双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为A ．221412x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221124x y -=6．已知方程221x y a b+=和1x y a b +=(其中ab ≠0且a ≠b ),则它们所表示的曲线可能是7．若F 1,F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点,点P 在该双曲线上,且12△PF F 是等腰三角形,则12△PF F 的周长为 A ．17 B ．16 C ．20D ．16或208．已知双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为___________.9．已知离心率2e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点.若AOF △的面积为1，则实数的值为___________.10．已知是双曲线22:14y C x -=的右焦点,的右支上一点到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点满足,则___________.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆x 2-4x+y 2+2=0相交,则双曲线的离心率的取值范围是___________.12．已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,过点(4,-),且点M (3,m )在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:MF 1⊥MF 2;(3)求12△F MF 的面积.13．已知双曲线22:4x C y -=,P 是C 上的任意一点.(1)求证:点P 到C 的两条渐近线的距离之积是一个常数; (2)设点A 的坐标为,求的最小值.1．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=2．（2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD 3．（2017新课标全国III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=4．（2016新课标全国I 理科）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–C ．(0,3)D ．5．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______________．6．（2017北京理科）若双曲线221y x m-=m =_______________．7．（2017山东理科）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为_____________．8．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．9．（2017新课标全国I 理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．1．【答案】92．【解析】∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,|PF 1|=3|PF 2|,∴|PF 1|=3a ,|PF 2|=a .又=(-c-5,),=(c-5,), ∴²=()2-c 2+()2=0,∴c 2=10.又|PF 2|=a ,∴()2+()2=a 2,∴a 2=4, ∴b 2=c 2-a 2=6.故所求双曲线的标准方程为22146x y -=.3．【答案】C（00a b >>，）的渐近线方程为故选C.4．【答案】53【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线bx y a =-过点,即,即,而,所以,即双曲线的离心率53c e a ==. 5．【答案】【解析】由双曲线的定义可知,当且仅当2114a PF PF =即时等号成立,设由焦半径公式得，所以0033,3aex a e x =-=-≤，又双曲的离心率e >1，所以离心率的取值范围是.1．【答案】B【解析】|F 1F 2|=4,||PF 1|-|PF 2||=3<4,根据双曲线的定义可知,动点P 的集合是以F 1,F 2为焦点的双曲线.2．【答案】A【解析】由双曲线的方程2213y x -=可得1,a b ==.3．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0),即为双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点，所以，则a=1.4．【答案】C【解析】将双曲线2233(0)x my m m -=>23c m =+，即34m +=，得1m =，故双曲线的离心率为 C. 5．【答案】A8a =c 2=42,解得a =2,b 2=c 2-a 2=16-4=12,故所求双曲线的方程为221412x y -=.6．【答案】A【解析】A 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b +=满足a <0,b >0;B 中,1x y a b +=满足a >0,b >0,221x y a b +=满足a >0,b <0,矛盾;C 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b +=满足a >0,b >0,矛盾;D 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b+=满足a >0,b >0,矛盾.故选A.7．【答案】D|PF 1|=6时,根据双曲线的定义有212624PF PF a =-=-=,所以12△PF F 的周长为6+6+4=16;同理当26PF =时,12△PF F 的周长为6+6+8=20.故选D.8．【答案】2【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上,因为PF 1⊥PF 2,所以|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2=(2)2.又|PF 1|-|PF 2|=2,所以(|PF 1|-|PF 2|)2=4,可得2|PF 1|²|PF 2|=4,则(|PF 1|+|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|²|PF 2|=12,所以|PF 1|+|PF 2|=2.9．【答案】【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，所以，则，，由AO F △的面积为1，可得112ab =，又双曲线C 的离心率，则2222254c a b a a +==，即，解得，.10．【答案】4【解析】由题意得,渐近线方程为,而到一条渐近线的距离为2,所以直线与渐近线平行,可得,联立方程(22214y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,解得,联立方程(22y x y x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,解得,所以,而,解得11．【答案】(1,)c 2<2a 2,所以e 2<2.又e >1,故双曲线的离心率的取值范围是(1,).12．【解析】(1)由离心率为,知此双曲线为等轴双曲线,可设方程为x 2-y 2=λ(λ≠0),将点(4,-)代入方程,解得λ=6,所以双曲线的方程为22166x y -=.(2)将点M 的坐标代入方程22166x y -=,解得m =±.不妨设F 1(2,0),F 2(-2,0),当点M 的坐标为(3,)时,MF 1的斜率为=-(2+),MF 22==所以直线MF 1,MF 2的斜率之积为-1,即MF 1⊥MF 2. 同理,当点M 的坐标为(3,-)时,MF 1⊥MF 2.综上,MF 1⊥MF 2.(3) 12△F MF 的面积为|F 1F 2|³|m|=³4=6.13．【解析】(1)设P (x 0,y 0),P 到双曲线的两条渐近线的距离记为d 1、d 2.双曲线的两条渐近线方程为==∴=又点P 在双曲线C 上,∴=,故=45,是一个常数.1．【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===-=--，故选B ． 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．2．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线的距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===2224()3c a c -=， 整理可得224c a =，则双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 3．【答案】B则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.4．【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c ,这一点易出错.5．【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴==填：．【名师点睛】本题重点考查双曲线的几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b -=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c =by x a=±，离心率为c a =6．【答案】2【解析】221,a b m ==，所以c a ==2m =． 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.7．【答案】y x =2y x =±. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．8．【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线方程为y x =，设P ，则30)0Q ，1(F ，2F ，则10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点． 9．【答案】3因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =， 由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.。