2020年高中数学寒假作业数列(保送班)
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业：4 Word版含答案
姓名，年级：时间：沧州一中寒假作业数学（十四）一、选择题（本大题共12小题，共60。
0分）1.如果复数i为虚数单位的实部与虚部相等，则a的值为A。
1 B。
C。
3 D。
2.若1,，，则A。
1，B。
1，2，C。
1，2，D。
2,3.向量，,若的夹角为钝角，则t的范围是A. B。
C. 且D.4.双曲线的顶点到渐近线的距离等于A。
B。
C. D.5.有5名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有A。
50种 B. 70种 C. 75种 D. 150种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。
B.C。
200D。
2407.下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是A. B.C. D.8.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之锤,日取其半，万世不竭”,其意思为:一尺长的木棍，每天截取一段，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度单位:尺，则处可分别填入的是A. ，,B。
，，C。
，，D. ，，9.已知是第二象限角，且的值为A。
B. C. D.10.P为圆:上任意一点,Q为圆：上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为A。
B. C。
D.11.已知抛物线焦点为F，经过F的直线交抛物线与,，点A、B在抛物线准线上的投影分别为，,以下四个结论:，，，的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为A。
1 B. 2 C。
3 D。
412.已知函数,，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为A。
B. C。
D。
二、填空题（本大题共4小题，共20。
0分)13.在锐角中,a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且,，且的面积为，则______．14.在三棱锥中，，，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是______．15.如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．每次只能移动一个金属片；在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为;______;______．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,，1，，，则该四面体的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列满足，．求证是等比数列，并求;求数列的前n项和．18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；精确到个位研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布约为，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？精确到个位从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．说明：表示的概率．参考数据，19.如图，矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点．求证:平面平面PCD；若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．20.动点满足．求M的轨迹并给出标准方程；已知,直线交M的轨迹于A，B两点,设且，求k的取值范围．21.已知函数．设是的极值点，求函数在上的最值;若对任意，且，都有,求m的取值范围．当时,证明．22.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴,已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线．求与的极坐标方程；若与的一个公共点为异于点，与的一个公共点为B，求的取值范围．23.已知a，b，c均为正实数,且，证明；已知a,b，c均为正实数,且，证明．答案和解析1。
2022-2023学年高二数学寒假作业四(含答案)
数列（B 卷）寒假作业1.已知数列{}n a 的前n 项和22n S kn n =+，511a =，则k 的值为( ). A.2B.-2C.1D.-12.已知等比数列{}n a 和等差数列{},n b n *∈N ，满足11233532,0,,24a b a a b a b ==>=-=，则6102a b -=( ) A.2-B.1C.4D.63.程大位《算法统宗》里有诗云:“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意思为:996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，之后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止，分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第八个孩子分得棉花的斤数为( ) A.65B.176C.183D.1844.已知数列{}n a 是等差数列，且14745a a a ++=，381234a a a ++=，则369369a a a -+的值为( ) A.60B.30C.48D.2165.已知n S 是等比数列{}1n a +的前n 项和，且公比0q >，其中n a ∈Z ，且满足337,14a S ==，则下列说法错误的是( )A.数列{}1n a +的公比为2B.531a =C.22n n S =-D.21n n a =-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为( ) A.12B.18C.24D.327.（多选）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =，46a =，则下列结论中正确的是( ) A.23n S n n =-B.2392n n nS -=C.36n a n =-D.2n a n =8.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是( ) A.{}n a 为单调递增数列 B.639S S = C.369,,S S S 成等比数列D.12n n S a a =-9.若无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，且满足15144a a =，2430a a +=，则公比q =__________.10.已知数列{}n a 对任意m ，*n ∈N 都满足m n m n a a a +=+，且11a =，若命题“*n ∀∈N ，212n n a a λ+≤”为真，则实数λ的最大值为_____________.11.已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=. (1)求n a 与n S ； (2)记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 一元函数的导数及其应用（A 卷）寒假作业1.已知函数2()2ln f x x a x =+的图像在点(1,2)处的切线过点(0,5)-，则实数a 的值为( ) A.3B.-3C.2D.-22.已知函数()(3)e x f x x ax =--在(0,2)上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(,2e)-∞B.(,0)-∞C.(,2)-∞D.24,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3.已知函数e ,0,()lg ,0,x x x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩2()()(1)()g x f x m f x m =-++有4个不同的零点，则m的取值范围为( )A.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞4.已知()f x 是R 上的单调递增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫⎛⎫-+≤++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则m 的取值范围是( ) A.12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D.11,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5.若函数()(1)e x f x x ax =--（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(,0)-∞C.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞6.已知函数2()ln e 2f x x x x x m =-++(e 为自然对数的底数)，若()0f x =在区间1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为( ) A.(0,)+∞ B.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.2ln 210,4e -⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.2ln 21,4e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.（多选）已知函数2()e 21x f x x x x =---，则( ). A.()f x 的极大值为-1 B.()f x 的极大值为1e-C.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y --=D.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y ++=8.（多选）对于函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d ∈R ，下列说法正确的是( ). A.存在c ，d 使得函数()f x 的图象关于原点对称 B.()f x 是单调函数的充要条件是14c ≥C.若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，则441218x x +>D.若2c d ==-，则过点(3,0)P 作曲线()y f x =的切线有且仅有2条9.已知曲线()e a x f x x =在1x =处的切线方程为4e y x b =+，则a b +=___________.10.若定义在R 上的函数()f x 满足()3()0f x f x '->，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()e x f x >的解集为__________________.答案以及解析1.答案：C解析：由题意可得，当2n ≥时，122n n n a S S kn k -=-=-+，又511a =，9211k ∴+=，可得1k =.故选C. 2.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比和等差数列{}n b 的公差分别为,q d .因为122,0a a =>，所以0q >.由题意得2222q d ⋅=+，又42(22)24q d ⋅-+=，解得2,3q d ==，所以2,31n n n a b n ==-，所以6610222(3101)64586a b -=-⨯⨯-=-=，故选D.3.答案：D解析：根据题意可得每个孩子分得棉花的斤数构成一个等差数列{}n a ，其中公差17d =，项数8n =，前8项和8996S =.由等差数列的前n 项和公式可得1878179962a ⨯+⨯=，解得165a =，所以865(81)17184a =+-⨯=. 4.答案：A解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为在等差数列{}n a 中，14745a a a ++=①，381234a a a ++=②，所以由②-①可得2453445d d d ++=-，解得1d =-.又1474345a a a a ++==，即415a =，所以14318a a d =-=，所以19n a n =-，所以3693693(193)6(196)9(199)60a a a -+=⨯--⨯-+⨯-=，故选A.5.答案：C解析：根据题意知等比数列{}1n a +的公比为()0q q >，记1n n b a =+，则31238,14b b b b =++=，所以21118,6,b q b b q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得12,2,q b =⎧⎨=⎩故2n n b =，则21n n a =-， ()12122212n n n S +-==--，所以531a =，选项C 错误，故选C.6.答案：C解析：设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则()()2543232643232218a a a a a a q +--=+-=，322832021a a q +=>-，令221q t -=，0t >，则()42476322246(1)9633221q t a a q a a q t ++=+===-1626224t t ⎛⎫⎛⎫++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1t =时取等号，则7696a a +的最小值为24. 7.答案：BC解析：设等差数列{}n a 的公差为d .因为30S =，46a =，所以113230,236,a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得13,3,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=.故选BC. 8.答案：BD解析：本题考查等比数列的通项公式、性质及前n 项和.由638a a =，可得3338a q a =，解得2q =.当首项10a <时，{}n a 为单调递减数列，故A 错误；663312912S S -==-，故B 正确；假设369,,S S S 成等比数列，则2693S S S =⋅，即()()()2639121212-=--，等式不成立，则369,,S S S 不成等比数列，故C 错误；11122121n n n n a a q a a S a a q --===---，故D 正确.故选BD. 9.答案：2解析：本题考查等比数列的性质.因为数列{}n a 是等比数列，所以2415144a a a a ==.又因为2430a a +=，解得246,24,a a =⎧⎨=⎩或2424,6.a a =⎧⎨=⎩由无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，可知1q ≥，所以246,24.a a =⎧⎨=⎩因为242a a q =⋅，所以2246q =，解得2q =（负值舍去）.10.答案：7解析：令1m =，则11n n a a a +=+，111n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列，所以n a n =，所以22121212n n a a n n n n λλλ≤≤≤+⇒+⇒+，又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增，当3n =时，12373λ≤+=，当4n =时，12474λ≤+=，所以12n n +的最小值为7，所以λ的最大值为7. 11.答案：20212022解析：因为233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q =或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202212.答案：(1)12n n a a -=；21n n S =-. (2)12362n n n T -+=-.解析：(1)由21,n n a S -=得21n n S a =-， 当1n =时，11121,a S a ==-得11a =；当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---， 得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以12n n a -=. 所以2121n n n S a =-=-. (2)由(1)可得1212n n n b --=， 则2113521111222n n n T --=++++=⨯+2111135(21)222n n -⨯+⨯++-⋅，2311111135(21)22222n nT n =⨯+⨯+⨯++-⋅， 两式相减得23111111112(21)222222n n nT n -⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭， 所以23111111124(21)22222n n n T n --⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭ 11112224(21)1212n n n --=+⋅--⋅-12362n n -+=-. 答案以及解析1.答案：A解析：本题考查利用导数的几何意义求参数.对()f x 求导得()4af x x x'=+，所以(1)4f a '=+.又(1)2f =，所以函数2()2ln f x x a x =+的图像在点(1,2)处的切线的方程为2(4)(1)y a x -=+-，把点(0,5)-代入，解得3a =.故选A. 2.答案：B解析：()(3)e x f x x ax =--，()e (2)x f x x a '=--. 因为函数()(3)e x f x x ax =--在(0,2)上为减函数，所以()e (2)0x f x x a '=--≤在(0,2)上恒成立，即e (2)x x a -≤，所以max e (2)xx a ⎡⎤-⎣≤⎦.设()e (2)x g x x =-，()e (1)x g x x '=-，所以当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,2)x ∈时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故max ()(1)e g x g ==， 所以e a ≥，故选B. 3.答案：B解析：当0x ≤时，()e x f x x =⋅，()(1)e x f x x '=+⋅，可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0]-上单调递增，且1(1)ef -=-，所以()f x 的大致图象如图所示，由2()(1)()0f x m f x m -++=，解得()1f x =或()f x m =.由()f x 的图象可知，当()1f x =时，有1个根，所以()f x m =要有3个根，故实数m 的取值范围为1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B.4.答案：D解析：依题意，()()(1)g x f x f x =--在R 上是增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫⎛⎫-+≤++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即ln ln 1(1)()x x f f f m f m x x ⎛⎫⎛⎫--≤+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，等价于ln (1)x g g m x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭恒成立，ln 1x m x ∴+≥.令ln ()(0)x h x x x =>，则21ln ()(0)x h x x x -'=>，易得max 1()(e)e h x h ==，11e m ∴+≥，11em ≥-，故选D. 5.答案：A解析：由题意得()e x f x x a '=-，因为函数()e (1)x f x x ax =--有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等的实根，即e x a x =有两个不等的实根，所以直线y a =与e x y x =的图象有两个不同的交点.令()e x g x x =，则()e (1)x g x x '=+.当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，所以函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以当1x =-时，()g x 取得最小值，且最小值为1e-.易知当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，则可得函数()g x 的大致图象，如图所示，则10ea -<<，故选A.6.答案：C解析：因为()ln 2e 3f x x x '=-+，记()ln 2e 3g x x x =-+，则112e ()2e xg x x x-'=-=. 当12e x ≥时，()0g x '≤，所以函数()g x 在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 又10e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以当112e e x ≤<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1ex >时，()0f x '<，()f x 单调递减.当1ex =时，()f x 有极大值也是最大值，1e f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若()0f x =在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，应有10e f m ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，112ln 202e 4e f m -⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，所以2ln 2104e m -<≤，此时(1)2e 0f m =-+<，所以()0f x =在1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解成立，故选C. 7.答案：BD解析：因为2()e 21x f x x x x =---，所以()()e e 22(1)e 2x x x f x x x x '=+--=+-，所以当ln2x >或1x <-时，()0f x '>，当1ln2x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞-和(ln 2,)+∞上单调递增，在(1,ln 2)-上单调递减，故()f x 的极大值为1(1)ef -=-，故A 错误，B 正确；因为(0)1f =-，(0)1f '=-，所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--，即10x y ++=，故C 错误，D 正确.故选BD.8.答案：BC解析：若存在c ，d 使得函数()f x 的图象关于原点对称，则函数()f x 为奇函数，因为3211()32f x x x cx d -=-+-+，所以2()()2f x f x x d +-=+，对于任意的x ，并不满足()()0f x f x +-=，故函数()f x 不为奇函数，故A 错误； 由3211()32f x x x cx d =+++得2()f x x x c '=++，要使()f x 是单调函数，必满足140c ∆=-≤，解得14c ≥，故B 正确； 若函数有两个极值点，则必须满足0∆>，即14c <，此时12121,,x x x x c +=-⎧⎨=⎩则()222121212212x x x x x x c +=+-=-， 所以()2442222221212122(12)2x x x x x x c c +=+-=--=222412(1)1c c c -+=--，因为14c <，所以22112(1)121148c ⎛⎫-->--= ⎪⎝⎭，故441218x x +>，故C 正确； 耇2c d ==-，则3211()2232f x x x x =+--，2()2f x x x '=+-，画出函数的大致图象，如图所示，三条虚线代表三条相切的切线，故D 错误.故选BC.9.答案：33e -解析：根据题意得1()e e a x a x f x ax x -+'=， (1)e f =，所以(1)e e 4e,e 4e f a b =+==+'，解得3,3e a b ==-，故33e a b +=-.10.答案：1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 解析：构造函数3()()ex f x F x =，则3363e ()3e ()()3()()e e x x x x f x f x f x f x F x ''--'==， 函数()f x 满足()3()0f x f x '->，()0F x '∴>，故()F x 在R 上单调递增. 又1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，113F ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴不等式33()()e 1e x x f x f x >⇔>，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 由()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.。
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业1
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数A. 1B.C. iD.2.已知集合，，若，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.如图是根据我国古代数学专著九章算术中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的A. 2B. 3C. 6D. 84.已知，，且，则向量与的夹角为A. B. C. D.5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为A.B.C.D.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药10 45 55没服用药20 30 50总计30 75 105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是附：；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效A. 1B. 2C. 3D. 48.已知，，且，则下列结论正确的是A. B. C. D.9.已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.10.已知点P是直线上的动点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为A. 5B.C.D.11.已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是A. B. C. D.12.已知实数x，y满足，若当且仅当时，取最小值其中，，则的最大值为A. 4B. 3C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为______．14.在平面直角坐标系内，由曲线，和x轴正半轴所围成的封闭图形的面积为________．15.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则周长的最小值为______．16.已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和满足，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，记数列的前n项和为，证明：．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，是正三角形，，E是PA的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为单位：元，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：上年度出险次0 1 2 3数保费元a4a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数0 1 2 3频数140 40 12 6 2 该保险公司这种保险的赔付规定如表：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额元a0将所抽样本的频率视为概率．记随机变量为一续保人在下一年度的续保费用，为其在该年度所获的赔付金额，求和的分布列；若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值纯收益总入保额总赔付额．20.已知直线l与抛物线C：相交于A，B两个不同点，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点．Ⅰ若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：；Ⅱ若点M的坐标为，且，求抛物线C的方程．21.已知，是函数的两个极值点．Ⅰ求a的取值范围；Ⅱ证明：．22.已知在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，点M在曲线上运动，动点P满足，其轨迹为曲线以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线的普通方程；Ⅱ若点A，B分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若，，使得成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，；；；；实数a的取值范围为．故选：A．可求出，，根据即可得出，从而得出．考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】解：输入，，第一次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第二次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第三次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第四次执行判断语句后，，满足退出的条件；故输出a值为6，故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角．【解答】解：；；；；又；与的夹角为．故选：D．5.【答案】B【解析】解：双曲线的离心率为，又，双曲线经过点，验算得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线标准方程为，点，在双曲线上，，解得，，故所求双曲线方程：．故选：B．由双曲线的离心率，得到a与b的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解．本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，三棱锥，正方形的边长为4，长方体的高为3，由题意可得：，，，故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可．本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算，对照临界值即可得出结论．【解答】解：根据列联表，计算，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，正确；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，错误；不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，错误；不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，正确．综上，正确的命题序号是．故选：B．8.【答案】A【解析】解：，．将A，B，C，D中的结论代入方程中，只有A能使方程成立．故选：A．由条件得，然后将选项代入检验即可得到正确结果．本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，，在底面ABC上的射影D为底面三角形的外心，又，为AB的中点，又，外接圆的半径即为三棱锥外接球的半径，等于．该三棱锥外接球的体积为．故选：A．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设直线与曲线相切于点利用导数，解得切点为Q坐标．利用点到直线的距离公式可得Q到直线上的距离d，即为所求．【解答】解：设直线平行的直线与曲线相切于点．，解得，，切点为．Q到直线的距离．、Q两点间距离的最小值为．故选：B．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的运用，运算能力，属于中档题．设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点坐标为，由椭圆与双曲线的定义和余弦定理，可得，再由求的取值范围．【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，由椭圆与双曲线的定义得：，，，，由余弦定理得：，联立得：，由，，得，，，，则，，，又，故选：D．12.【答案】B【解析】解：实数x，y满足的可行域如图：当且仅当时，取最小值其中，，可知在可行域中点两条红色线之间，两条红线分别与所给直线垂直．即，a，b满足的可行域如图，当结果可行域的A时，取得最大值：3．故选：B．画出约束条件的可行域，推出a，b满足的不等式组，然后再通过线性规划求解的最大值．本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题．13.【答案】【解析】解：依题意，所有的基本事件的个数为个，甲和乙被分到同一场馆包含个，所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率．故答案为：．计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查定积分的应用，属于基础题．将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可．【解答】解：根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形．和的交点为，．故答案为：．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合范围，可求A，利用三角形的面积公式可求，由余弦定理，基本不等式可得，根据余弦定理可求得，即可求得周长的最小值．【解答】解：，，由正弦定理可得：，，可得，，．，可得，又由余弦定理可得：，可得，当且仅当时等号成立，，可得，当且仅当时等号成立，周长的最小值为故答案为：16.【答案】1【解析】解：因为，所以，所以函数为偶函数，又函数为偶函数，令，又，所以，又，，，为从小到大的4个解，由偶函数的对称性可知：，，，即故答案为：1．由函数知，所以为偶函数，又函数为偶函数，且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为，，，，所以，．考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解．17.【答案】解：当时，，，，当时，，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，；Ⅱ由得，，，，是递增数列，．【解析】Ⅰ通过已知条件求出首项，利用，求解数列的通项公式；Ⅱ化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．18.【答案】证明：设F是PD的中点，连接EF、CF，是PA的中点，，，，，，，是平行四边形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面PCD，，；Ⅱ由得平面PCD，，平面平面PCD，过点P作，垂足为O，平面ABCD，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，设是平面BDE的一个法向量，则，，令，则，，，直线BP与平面BDE所成角的正弦值为．【解析】设F是PD的中点，连接EF、CF，证明，推出，结合，得到平面PCD，推出；Ⅱ以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，求出平面BDE的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线BP与平面BDE所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：由题意得的所有取值为，a，，，4a，其分布列为：a4ap的所有取值为0，，4a，5a，，其分布列为：0 4a5ap由可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为：，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为：，该公司此险种的总收益为，，，基本保费为a的最小值为100元．【解析】由题意得的所有取值为，a，，，4a，的所有取值为0，，4a，5a，，由此能求出和的分布列．由可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本保费为a的最小值．本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：由题意可得，当时，设直线，点A，B的坐标分别为，，由，得，，过点A为的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由得，，，；当时，则直线，，；Ⅱ当时，设直线l：，点A，B的坐标分别为，，由得，，过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由，得，，，或，抛物线C的方程为或【解析】分两种情况讨论，时，联立方程组求出M的坐标，利用斜率之积为即可；时，验证即可；通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段的方程求出p的值即可．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：解：函数由题意得：，，令，，则，令，，则，在上单调递增，且，当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，，当时，g(0)=2-a\geqslant0'/>，在单调递增，此时无极值；当时，，，已知，是函数的两个极值点．，，当时， 0'/>，单调递增；当时，，单调递减，是的极大值；，，，，当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，是的极小值；综上所述，；Ⅱ证明：法一：由得，，且，，，，，，，．即：．法二：由得，在区间递减，所以：．因为：，所以：，所以：即：．即：【解析】Ⅰ求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论a的取值范围可求得a；Ⅱ由得，且，表达由不等式性质证明即可．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：Ⅰ设，，，，点M在曲线上，，曲线的普通方程为，则曲线的普通方程为；Ⅱ由，，得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，由，得，或，或；由，得，或，或，的最大值为．【解析】Ⅰ设，，由已知向量等式可得，得到，消参数可得曲线的普通方程为，进一步得到曲线的普通方程为；Ⅱ由，，得曲线与曲线的极坐标方程，分别与射线联立求得A，B的极坐标，可得的最大值．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及其应用，是中档题．23.【答案】解：函数．Ⅰ当时，不等式化为或或解得或或；所以不等式的解集为或；Ⅱ由，当且仅当时取“”，所以对，，使得成立，即；由，时，是单调减函数，最小值为；时，是单调减函数，且；时，是单调增函数，最小值为；令，解得；又，所以实数a的取值范围是．【解析】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．Ⅰ当时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式的解集；Ⅱ求出的最小值M，再求的最小值N，由此列不等式求出a的取值范围．。
高二数学寒假作业二：数列 含答案
数学寒假作业（二）测试范围：数列使用日期：腊月二十一 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110 D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．等比数列{a n }中，a 3＝12， a 5＝48，那么a 7＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2np ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }的前n 项和S n 的公式．20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .家长签字： 日期：数学寒假作业（二）答案1、答案 D2、答案 B3、答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4、答案 A5、答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C.6、答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7、答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 8、答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9、答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10、答案 B 11、答案 B 12、答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n }为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12.∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n，∴a 10＝15.13、解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.14、解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，2n －1n ≥2.15、解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 16、解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.17、解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18、解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19、解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20、解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d ＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21、解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22、解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题08数列定义及其性质的应用(练)(含解析)
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题08数列定义及其性质的应用(练)(含解析)一•选择题1•等比数列x, 3x+3 , 6x+6，…的的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24【解析】由知尿也&母蔽等I：匕数列得(3r-3):—^(6x46),/. x--3,q - 1第四项二-3x ； -—24.选JLL考豈定位】该題主要老电嗥比数列的槪念和通顼公式，若查计算能力.2•等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知S3 = a2 +10a1 , a5 = 9，则a1=( )1 1 1 1(A) - (B) - - (C) (D)-【答囊】c【解■析】由- a： -10a：吗十鳖-邈■叮+ 10孔1・冃卩a妞，即么了三解得因次］a厂乩所以处〜久解得*=二故遥U学科心T9U.考点定位】本小题主要考查等比数気.逋烦公式与前□项和公式,肴查数列中基本壘的计算，属容易题，莫握等比数列的星础知识是解决好衣预的关键-3•下面是关于公差d 0的「等差数列a n的四个命题：口：数列a n是递增数列；P2:数列na nI是递增数列；p3:数列也是递增数列；n P4 :数列a nT3nd是递增数列;其中的真命题为(A ) P1,p2 (B) PsP4(C) p2,p3(D) P1‘ P4懵案］D［解析］若導差数列的公差为正甑则这牛誓差数列为禺匕£用问正确；歓列⑶词也是毘增敎列，故也T 呵是51曙数列，头正礪故选二［学科网考点定位］本题考查等差数列的性质及递 增数列的定义A . 6(1 310)B . 9(1 汨C . 3(1 310)D . 3(1 3 10)4［1-(-二尸］■- % = --- f — = 故透缶1亠丄彗点定位】养比談列求和.［答案】C［解析］由® =务 u +比+…抵i - 1:所以等比，且以八广为公比一有点定垃］对等比，寺差飲列的渕斯，对于学生帝说计算育一定的滩匿■不诅可以尝试用特例•如给皿取值.二、填空题6•若等比数列｛an ｝满足a2+ a4=20, a3+ a5=40，则公比q= ［答案］2 , 2 24•已知数列｛an ｝满足3an 1 an 0，” 43，则｛an ｝的前10项和等于（【解析】；込_丄一％ = 0. ■■- a._ 八•数列是-为公比的等比数列-丁勺5. 已知等比数列 ％ 比为 4 记 " a m(n 1) 1 a m(n 1) 2 a m( n 1) m? A. a m(n 1) 1 a m(n 1) 2 a m(n 1) 数列bn 为等差数列，公差为 m,n N *，则以下结论一定正确的是（2mB .数列bn 为等比数列，公比为qC. m 2 数列Cn 为等比数列，公比为qm m D.数列Cn 为等比数列，公比为q&亠1 _ Q 栅a 十口税卩］十口寒皆临_ g 丄q NiLf ）故乞二所以他｝为等比数列,公比天］y 所UAAB 错；&二％ C : -1 = 口贺；•: : ■…•气十化故;前n 项和Sn=a 3 1，故若数列｛an ｝为等差数列，则有2a2 a1 a3，解得 4，接下来只需证明当4时，数 ［解析］公比 q a ： a ： 20 2 , a 2 a 4 a 1 q q3 a 1 2 艺［学科网考点定位］本小题考查了等比数列的性质、前n 项和公式，考查方程思 想. 7•等差数列｛an ｝的前n 项和为Sn ，已知S10=0, S15 =25，则nSn 的最小值为__ 【答案】-49“10x9^ '-企 1 ~ - '、r(r-l) ? (-, ,解得d^-t a.=-3,所以乞二―％—二^汀4+1 亠 - - * 丽臨「7曲,令/(叩二叮7E ,则帀：(町二亍一三小令f ㈤二才一22專丸If ］If ］ r 陰罟/何”：一兰“0得「"乂 又因二血为正整就 所以当吩=7时,h — 1 npj*/⑹二 「…•所以取得取诅的最十国为T 阳考点宦位】本小题王要考查等差数列的前n 项和公式的应用、导数求数列遠一特殊函裁的最IB妾注意n 取正整魏这一条件，靑杳司学们分析间题、.解决问题的旨士力.三•解答题8.【湖北省武汉市2020届高三9月调研测试17】已知数列｛an ｝的前n 项和为S1, a1 1 , an 0 , anan 1 $ 1,其中 为常数.(1)证明：an 2 an ;(2)当 为何值时，数列｛an ｝为等差数列？并说明理由.【答(1)详见解析；C) 2=4,理g 详见解川【解析】ff ?a n-L — ^5^—1?龟.］龟_】=-I F 两式t 目赢即可消去S ◎封口叫心z -址)=也小再由苦°即可得到a ;_； — c?.. = z ； (2)由 = 1 r =/5 1 > 可4^; = z -L 再由 C1) 口：——□=■=£可弼20，解得a1 2,故该等比数列的 前n 项和为 2 1 22n 1 21 2 【解析】由题意S3； < 试题分析；(1)欲证口.、「/.，由条件U ：=丄3 - r F 昔■虑封佻=S列｛an｝确实为等差数列，结合(1)首先对n的奇偶性进行分类讨论：由(1)可得｛a2n 1｝是首项为1,公差为4的等差数列，a2n 1 1 4(n 1) 4n 1，而｛a2n｝是首项为3，公差为4的等差数列，a2n 3 4(n 1) 4n j因此an 2n 1，an 1 an 2，故当4时，数列｛an｝是以1为首项，2为公差的等差数列•试题解栃工(1)由题说比口沁一-1, a _ a-1 * ......................... 二分两式相画，得务+［(4卩：-Qi) = %却，.... ..... . ...... *分丁务_1工0,「-应z 二2 ：......................... "4分学科圉(-)由题设，口］= 1，口心=2S -1 > 可得*、= z —? ............................... ?分由(1)編a3=z+b若敎列为等差数列，则S厂比4住解»z=4?................................................................. 0分故务_；一耳二4由此可!£?；：-_；｝是首"项为］-/' 的铮差齣列.ci汩=1+4(H - 1)=4打一】，…丁分｛白门｝是首顼次I?，公差曲4的等差数列‘ 一1；” = 3 + "一—1) = 4戶“g分■'・庄吃=2用一1， ........................................ - a. = 2! j;］分■1?分因此当乂二」环数洌0｝是以1貢首项，二为公差的等差数列.考宜：1.数列的通项公式：2-等差数列的证明.。
广东省顺德一中2020年高二数学寒假作业之数列
广东省顺德一中2020年高二数学寒假作业之数列1、数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，其中100,75,2510010011=+==b a b a ，那么{}n n b a +前100项的和为（ ）A ．0B ．100C ．10000D ．1024002、设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A ．（2，21） B ．(-1, -1) C ．(21-, -1) D ．（2,21--）3、已知数列{a n }中a 1=1满足a n+1=a n +2n ，n ∈N*，则a n =（ ）A ．n 2+n+1B ．n 2-n+1C ．n 2-2n+2D ．2n 2-2n+14、已知函数 ⎪⎩⎪⎨⎧-=)()()(22为偶数时当为奇数时当n n n n x f 且 )1()(++=n f n f a n ， 则=+⋯+++100321a a a a ( )A.100B.-100C.2100D.11012-5、已知等差数列{a n }的前n 项和为n s ，若4518a a =-,则8s 等于（ ）A ．72B ．54C ．36D ．186、数列{}n a 满足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，n s 是{}n a 的前n 次和， 则S 21为 （ ）A 、29B 、211C 、6D 、107、在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2-10x+16=0的两根，则a 8a 10a 12=（ ） A ．32B ．64C ．±64D ．2568、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为2020，那么数列2， 1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为（ ）A ．2002B ． 2020C ． 2020D ． 20209、一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍： 1 2 3 4 5 6 7 ……………则第8行中的第5个数是（ ）A 、68B 、132C 、133D 、26010、等差数列}{n a 的公差,0<d 且21121a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ） A ．5B ．6C ．5或6D ．6或711、已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是12、某厂在1995年底制定生产计划，要使2020年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为13、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于14、已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +nna 1a 2-, 则a 5 = ． 15、数列{}n a 中，*11,3,2N n n a a a n n ∈=-=+，求数列{}n a 的通项公式n a16、已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈=（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若2021138,b b b m a a Λ求=+17、已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列.（1）求q 的值；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列？说明理由.18、已知数列｛a n ｝的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（1）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求通项公式；若不可能，说明理由； （2）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．19*、已知函数n n x a x a x a a x f ++++=Λ2210)(（n ∈N +）且y=f(x)的图象经过(1,n 2)，数列{a n }为等差数列。
河北省武邑中学2020学年高一数学上学期寒假作业32
河北省武邑中学2020学年高一数学上学期寒假作业31．（5分）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )1510－76－4－5则函数f (A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个2．（5分）函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2,3)3．（5分）已知f (x )＝3ax ＋1－2a ，设在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <15B ．a >15C ．a >15或a <－1D ．a <－14．（5分）把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．5．（5分）若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是______．6．（5分）若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______． 7．（12分）当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？8．（12分）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．9．（12分）已知函数f(x)＝x2－3x－10的两个零点为x1，x2(x1<x2)，设A＝{x|x≤x1，或x≥x2}，B＝{x|2m－1<x<3m＋2}，且A∩B＝∅，求实数m的取值范围．10．（12分）设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．11．（12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？2020学年高一寒假作业第3期答案1. 解析：根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点． 答案：B2. 解析：因f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (1)＝log 21－1＝－1<0，故f (x )的零点在区间(1,2)内．故选C. 答案：C3. 解析：∵f (x )是x 的一次函数，∴f (－1)·f (1)<0⇒a >15或a <－1.答案：C4. 解析：设一个正三角形的边长为x，则另一个正三角形的边长为12－3x3＝4－x，两个正三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32[(x－2)2＋4](0＜x＜4)．当x＝2时，S min＝23(cm2)．答案：2 3 cm25. 解析：由2a＋b＝0，得b＝－2a，g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－12，∴g(x)＝bx2－ax的零点为0，－12.答案：0，－126. 解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如下图，a>1时，两函数图象有两个交点，0<a<1时，两函数图象有唯一交点，故a>1.答案：(1，＋∞)7. 解：已知函数对应的方程为7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0，函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则：⎪⎩⎪⎨⎧><>)2()1()0(fff，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－a－2＞0，a2－2a－8＜0，a2－3a＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.8. 解：(1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b 300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝1 000，所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500)＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)，故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单件为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元．9. 解：A ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}．要使A ∩B ＝∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m >－3，或m ≤－3，即－12≤m ≤1，或m ≤－3.所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－12≤m ≤1或m ≤－3.10.解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)．∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0， ②①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3.∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12.又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18.∴函数f (x )的值域是[12,18]．11.解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)， 求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N. (3)由以上两问，可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋40，0≤t ≤20，t ∈N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋40，20＜t ≤30，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －152＋125，0≤t ≤20，t ∈N，110t －602－40，20＜t ≤30，t ∈N.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20≤t ≤30，y 随t 的增大而减小．∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．。
河北省武邑中学2020学年高一数学上学期寒假作业2
河北省武邑中学2020学年高一数学上学期寒假作业21．（5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( )A ．－18B ．18 C ．－8 D ．82．（5分）为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 3．（5分）若lo g(a －1)(2x －1)＞log(a －1)(x －1)，则有( )A ．a ＞1，x ＞0B ．a ＞1，x ＞1C ．a ＞2，x ＞0D ．a ＞2，x ＞1 4．（5分）若x 12 ＋x －12 ＝3则x ＋x －1＝______. 5．（5分）已知函数f(x)＝a2x －4＋n(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m ＋n ＝______.6．（5分）定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f(log 14x)＜0的集合为______．7．（12分）计算：(1)2723 －2log23×log 2 18＋2lg (3＋5＋3－5)；(2)810＋41084＋411.8．（12分）设函数f(x)＝log 2(4x)·log 2(2x)，14≤x ≤4，(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x 的值．9．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)＝2221++-+x x b是奇函数．(1)求实数b 的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)若关于x 的方程f(x)＝m 在x ∈[0,1]上有解，求实数m 的取值范围．10．（12分）设函数f(x)＝2x＋x a2－1(a 为实数)．(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．11．（12分）已知函数f(x)＝loga x ＋1x －1(a>0且a ≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．2020学年高一寒假作业第2期答案1. 解析：本题主要考查与指数和对数有关的分段函数的求值．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log3127＝－3，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f(－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D. 答案：D2. 解析：y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C3. 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，x －1＞0，得x ＞1.因为当x ＞1时，2x －1＞x －1，所以由对数函数性质知a －1＞1，即a ＞2，故选D. 答案：D4. 解析：本题主要考查指数式的运算．对x 12 ＋x －12 ＝3两边平方得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7. 答案：75. 解析：本题主要考查指数函数的图象及图象变换，当2x －4＝0，即x ＝2时，f(x)＝1＋n ，函数图象恒过点(2,1＋n)，所以m ＝2,1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1， 所以m ＋n ＝3. 答案：36. 解析：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用和对数不等式的解法．因为定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 14x ＜0可得log 14 x ＜－12，或log 14 x ＞12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪()2，＋∞ 7.解：(1)2723 －2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33) 23 －3×log22－3＋lg(3＋5＋3－5)2 ＝9＋9＋l g 10 ＝19.(2)810＋41084＋411＝230＋220212＋222＝220210＋1212210＋1＝28＝16.8. 解：(1)∵t ＝log 2x ，14≤x≤4，∴log 214≤t≤log 24，即－2≤t≤2.(2)f(x)＝(log 24＋log 2x)(log 22＋log 2x)＝(log 2x)2＋3log 2x ＋2， ∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322-时，f(x)min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f(x)max ＝12.9. 解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，此时有f(0)＝－1＋b4＝0，解得b ＝1.经检验，满足题意．(2)由(1)知：f(x)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++-122121x ＝22121++-+x x 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x 1＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22 x 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22 x 2＋1－22 x 1＋1＝2 x 1－2 x22 x1＋12 x2＋1∵x 1＜x 2，∴2 x1－2 x2＜0,2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )为R 上的减函数；(3)由(2)知：f(x)为R 上的减函数．x ∈[0,1]时，f(x)max ＝f(0)＝0，f(x)min ＝f(1)＝－16；故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0. ∵关于x 的方程f(x)＝m 在x ∈[0,1]上有解，所以只需要m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0.10．解：(1)当a ＝0时，f(x)＝2x－1，由已知g(－x)＝－g(x)，则当x <0时，g(x)＝－g(－x)＝－f(－x)＝－(2－x－1)＝－(12)x＋1，由于g(x)为奇函数，故知x ＝0时，g(x)＝0，∴g(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-0,1210,12x x x x .(2)f(x)＝0，即2x＋x a2－1＝0， 整理，得：(2x )2－2x ＋a ＝0，所以2x＝1±1－4a 2，又a<0，所以1－4a>1，所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2.11．解：(1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x>1或x<－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f(－x)＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．f(x)＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a>1时，f(x)＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a<1时，f(x)＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．。
2020年重点高中招收保送生考试数学试题
2020年重点高中招收保送生考试数学试题一、选择题（每小题3分，共24分）1、如图，数轴上A,B 两点对应的实数分别为1，2，点B 关于点A 的对称点C 表示实数a ，则a 的值是（ ）A 、12-B 、22-C 、21-D 、212- 2、若32=x ，54=y ，则y x 22-的值是（ ）A 、-2B 、56C 、53D 、35 3、一个多边形中，除一个内角外，其余各内角之和是2010度，则这个多边是（ ）A 、十二边形B 、十三边形C 、十四边形D 、十五边形4、一只不透明的暗箱里装有两个红球，两个黄球。
这四个球除颜色外，其余完全相同，摸一次，从中摸出二个球，摸到同色球的概率是（ ）A 、21B 、31C 、32D 、43 5、如图，点A 是半径为1的圆O 外一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，点B 为切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则阴影部分的面积是（ ）A 、π92B 、6π C 、836+πC 、834-π 6、两个不相等的正数满足2=+b a ，1-=t ab ，设2)(b a s -=，则s 关于t 的函数图像是（ ）A 、射线（不含端点）B 、线段（不含端点）C 、直线D 、抛物线的一部分7、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4，AC ⊥x 轴于点C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，则⊿ABC 的周长是（ ）A 、72B 、5C 、74D 、228、如图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，CE ⊥AB 于点E ，点F 为AD 中点。
若∠AEF ＝50°，则∠B 的度数是（ ）A 、100度B 、85度C 、80度D 、75度二、填空题（共6小题，每小题4分）9、方程组 32=+=-y mx y x 的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限，则m 的取值范围是_________________10、关于x 的一元二次方程01)152(22=-+---a x a a x 的两个实数根互为相反数，则a的值是________________11、抛物线1)1(2-+++=a x a x y 的顶点的纵坐标的最大值是______________12、一次函数b ax y +=的图像过点A （)23,3+，点B )3,1(-，点C )2,(c c -，则c b a +-的值是__________________13、两块不同的三角板按如图放置，AC 与BD 的交点为E ，若AB=1。
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业6
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业6一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数是虚数单位，则z的模为A. 0B. 1C.D. 22.已知全集，集合0，1，2，，，则A. 0，B. 0，1，C. D.3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是A. B.C. D.5.已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比A. B. 1 C. 士1 D. 26.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是A. 14B. 16C. 18D. 207.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为，则此圆锥的体积为A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为A. 1B. 2C. 3D. 410.设，，，则A. B. C. D.11.已知F是双曲线E：的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为A. B. C. D.12.函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在中，，则______．14.已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为______．15.已知各项都为正数的数列，其前n项和为，若，则______．16.A，B为单位圆圆心为上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧包含端点上一动点，若，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为．Ⅰ求的值；Ⅱ设，，若，，求的值．18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布单位：．Ⅰ求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？Ⅱ该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：，则，，．19.如图，直三棱柱中，，，D为的中点．Ⅰ若E为上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；Ⅱ在Ⅰ的条件下，设异面直线与CD所成的角为，求直线DE与平面成角的正弦值．20.已知抛物线C：，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，，与交于点M．Ⅰ求p的值；Ⅱ若，求面积的最小值．21.已知是函数的极值点．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ求证：函数存在唯一的极小值点，且参考数据：，其中e为自然对数的底数22.在平面直角坐标系xOy中，直线过原点且倾斜角为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为在平面直角坐标系xOy 中，曲线与曲线关于直线对称．Ⅰ求曲线的极坐标方程；Ⅱ若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于O，A两点，直线与曲线相交于O，B两点，当变化时，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ当不等式的解集为R时，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，．故选：C．由已知直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：；0，．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3.【答案】B【解析】解：特称命题的否定是全称命题，，的否定为：，，故选：B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为正弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，不符合题意；对于C，，是奇函数但在上单调递减，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，等比数列中，，则，变形可得：，进而可得：，解可得，故选：C．根据题意，分析可得，变形可得：，进而可得，解可得q的值，即可得答案．本题考查等比数列的前n项的性质以及应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性把的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．【解答】解：如图，由椭圆的定义知由椭圆的对称性知，有，而的最小值是2b，，，，的周长的最小值为故选：C．7.【答案】A【解析】解：由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入剩下的三个盒子中，则2号小球有3种选择，3号小球还剩2种选择，4号小球只有1种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种，故选：A．先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为，圆锥的底面半径为3，高为．圆锥的体积为：故选：B．9.【答案】B【解析】解：根据题意，该框图的含义是：当时，得到函数；当时，得到函数，因此，若输出的结果为1时，若，得到，解得，若，得到，解得，舍去，因此，可输入的实数x的值可能为，，共有2个．故选：B．根据程序框图的含义，得到分段函数，由此解出关于x的方程，即可得到可输入的实数x值的个数．本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：，；；又，；；；．故选：B．根据换底公式即可得出，从而得出，容易得出，从而得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．设，表示出A点坐标，代入渐近线方程得出，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．【解答】解：，设，则，把A点坐标代入方程可得，整理可得，，，，故，又直线BF的斜率为，，．故选D．12.【答案】A【解析】解：函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为，又，且，，在R上恒小于零，即在R上为单调递减函数，又是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，可得函数与函数的大致图象如图：要使函数与函数只有唯一一个交点，则，，，，解得，又，实数a的范围为故选：A．函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数a的取值范围．本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos A，将化简后的式子整理后代入求出cos A的值值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由正弦定理化简，得：，即，，又为三角形的内角，则．故答案为．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，为中档题．根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得，进而可得，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意：当时，即，变形可得：，解可得或，即不等式的解集为；故答案是．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列为单调递增的等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．时，，解得，当时，，推导出，从而，进而数列是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：各项都为正数的数列，其前n项和为，，时，，解得，当时，，，得：，，数列各项都为正数，，数列是首项为1，公差为2的等差数列，，且验证时也成立，故答案为：．16.【答案】【解析】解：如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，，B为单位圆圆心为上的点，O到弦AB的距离为，点，点，，，即，，，又是劣弧包含端点上一动点，设点C坐标为，，，，解得：，故的取值范围为以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，分别表示出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表示出向量，由于C是劣弧包含端点上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围．本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，属于中档难度题．17.【答案】解：Ⅰ，的最小值为．，即，得．Ⅱ由Ⅰ知：，，，则，又，，，，．【解析】Ⅰ利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；Ⅱ根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果．本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型．18.【答案】解：Ⅰ设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，由题意可知由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知：；Ⅱ检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常的话，由Ⅰ可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率约为：，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的．【解析】Ⅰ由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布单位：，要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率，化为的形式，然后求解即可；Ⅱ由Ⅰ可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的．本题主要考查了正态分布中原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题．19.【答案】Ⅰ证明：取AB中点M，连接CM，DM，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，，平面CMD，平面CMD，所以平面CMD，又因为平面CMD，所以，因为，所以，连接交于点O，因为为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为D为的中点，所以E为的中点，所以．Ⅱ如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，由Ⅰ可知，所以，所以，所以0，，2a，，2a，，a，，，所以2a，，0，，，设平面的法向量为y，，则，即，令可得．所以．所以直线DE与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ取AB中点M，连接CM，MD，证明平面CMD，即可说明，由底面为正方形，可求得；Ⅱ以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解．本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：Ⅰ由题意知，抛物线焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为2，即；Ⅱ抛物线的方程为，即，所以，设，，：，：，由于，所以，即，设直线l方程为，与抛物线方程联立，得，，，，所以，即l：，联立方程得，即，M点到直线l的距离，，所以．当时，面积取得最小值4．【解析】Ⅰ根据抛物线的性质即可得到结果；Ⅱ由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值．本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值．21.【答案】解：Ⅰ由已知的定义域为且，此时，设，则，则时为减函数．又，所以当时为增函数，时为减函数．所的极大值点，符合题意．Ⅱ证明：由Ⅰ知当时为增函数，时为减函数．当时，，为增函数，，；所以存在，使得；当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以当时为增函数，时为减函数，时，，为增函数；所以函数存在唯一的极小值点．又；所以，且满足；所以；故函数存在唯一的极小值点，且．【解析】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．Ⅰ根，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点，满足题意；Ⅱ由Ⅰ函数的极小点值位于，此时的零点位于，且为的极小点值点，代入，，化简即可得关于的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论．22.【答案】解：Ⅰ由题可知，的直角坐标方程为：，设曲线上任意一点关于直线对称点为，，曲线的极坐标方程为：；Ⅱ直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：．设，，解得，，解得．．，．当，即时，，取得最大值为：．【解析】Ⅰ将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；Ⅱ利用和的极坐标方程与，的极坐标方程，把A，B坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值．本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题．求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解．23.【答案】解：Ⅰ时，当时，，即，此时，当时，，得，，当时，，无解，综上，的解集为．Ⅱ，即的最小值为，要使的解集为R，恒成立，即或，得或，即实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ根据x的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；Ⅱ由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果．本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．。
2020年重点高中招收保送生考试数学试题及答案
2020年重点高中招收保送生考试数学试题一、选择题（每小题3分，共24分） 1、在①42x x +;②42x x --∙;③()()82x x-÷-;④()32x -中,计算结果为6x 的是（ ）A 、①B ．②C 、③D 、④ 2、如图，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=4，AD=1，BC=2，点P 为线段AB 边上一动点，若P 、A 、D 三点组成的三角形与P 、B 、C 三点组成的三角形相似，则满足条件的AP 长为（ ） A 、283 B 、2±43 C 、2± D 、2433、已知，221S a b =-,22S a ab =-,且（a ＞b ＞0）.设12S n S =，则有（ ） A 、n ＞2 B 、0.5＜n ＜1 C 、1＜n ＜2 D 、0＜n ＜0.54、如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么 CD ：AB 等于（ ）A 、cos αB 、sin αC 、tan αD 、1tan α5、如图，在△ABC 中,已知∠ABC=60°，AP= AC ， AB=8, 若BP=3，则AC =（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D、12（第2题图） （第4题图） （第5题图）6、已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程20ax c +=的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是（ ）A 、 15°B 、30°C 、45°D 、60° 7、已知直线1y x =，2112y x =+，341754y x =-+的 图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中 的最小值，则y 的最大值为（ ） A 、2 B 、8536C 、52D 、948、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，．试在直线a 上找一点C ，在直线b 上找一点D ， 满足CD ⊥a ,AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB=8.则AB 长（ ）A、 B、 C 、D二、填空题（共6小题，24分）9、 在等腰△ABC 中，AB=AC,周长为24，∠ A=α （60°≤α＜180°）,腰长为x ，则x 的取值范围为 ． （第8题图）10、某公司今年1月、2月、3月、4月的产值连续4个月呈直线上升,数据如表: 则3月份的产值为 11、若2015a a -=，则22015a - =12、如图，ABC ∆中，CD AB ⊥，垂足为D ．在①2AC AD AB =∙, ②AC CDAB BD=, ③AB CD AC BC ∙=∙,④22CD BD BD AB +=∙四个条件中，不能．．证明ABC ∆是Rt ABC ∆的有 ．(填序号, 填错一个不得分)（第10题图） （第12题图） （第13题图） 13、在ABCD 中，AB=10，∠ABC=60°，以AB 为直径作⊙O ，边CD 切⊙O 于点E ．则由弧AE 、线段AD 、DE 所围成的阴影部分的面积为 ．（结果保留π和根号） 14、在平面直角坐标系中，已知点M （4，0）、N （﹣6，0），点Q 是y 轴正半轴上的一个动点，P 点为△MNQ 外心,当∠MPN 为Rt ∠时，则点Q 的坐标为 ．三、简答题（共8小题，72分）15、计算：已知 10221(),76a π-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭4560b ︒︒=,求a 的平方根与b 的立方根之差（5分）16、已知实数m 是不等于5的常数，解不等式组()131321111(3)236x x x x m +-⎧-≥⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩，并依据m 的取值情况写出其解集。
2019-2020学年上学期高二数学 寒假作业 精练：2 数列(文)
A．第 28 项
B．第 29 项
C．第 30 项
D．第 31 项
2．在等差数列an中， a1 1， a4 a7 20 ，若 an 19 ，则 n 等于（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a5 10 ，则 a1 （ ）
D．60
6．中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题:“三百七十八里关，初步使步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为:
“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，
走了 6 天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
4．【答案】A
【解析】∵等比数列an中， a1
1， a5
1 9
，∴ a5
1 q4
1 9
，∴ q2
1 3
，
∴ a2a3a4
q q2
q3
q6
1 3 3
1 27
，所以
A
选项是正确的．
5．【答案】B
【解析】设等差数列an公差为 d ，
由 2a5 a2 2 ，得 2a1 4d a1 d a1 7d 2 ，
∴
a1q a1q
3 6
2 4
或
aa11qq36
4 2
，解得
aq13
1 2
或
a1 q3
8 1
2
，
∴ a1
2020年2020年重点高中招收保送生考试数学试题及答案
2020年重点高中招收保送生考试数学试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如下面的四幅简笔画是从杭州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是2．如图，图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根长度相等木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要要添加螺栓A 、 1个B 、 2个C 、3个D 、4个3．已知((101201632x -⎛⎫⎛⎫=-⨯----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有A 、45x <<B 、56x <<C 、78x <<D 、89x <<4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．当四边形DBFE 是菱形时，则△ABC 满足的条件是A 、等腰三角形B 、AC=BC C 、AB=ACD 、AB=BC第2题图 第4题图 第7题图 5．若反比例函数20167a y x-=的图象与正比例函数9(2016)y a x =+的图象没有公共点，则化简20162016y a a =-++的结果为A 、2016B 、4032C 、 2aD 、-40326．已知1x ，2x 是方程220160x x --=的两实数根，则代数式31220172016x x +-的值为A 、2017B 、2016C 、 2015D 、1008 7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列五个结论： ①20c b ->； ②42a c b +<； ③320b c +<； ④30a c +< ⑤()m am b b a ++> (1)m ≠-，其中正确结论的是A 、③④⑤B ．①③④C 、①②③④D 、①③④⑤8．如图，弦CD 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，E 是CD 的中点，CP ⊥AB ，垂足为点P ，若AB=4.则sin CPE ∠值．A 、3 B 、8 C 、4D 、无法确定二、填空题（共6小题，24分）9.用 “＜”连接6的立方根和平方根. ▲ 第8题图 10.如图，点P 为正六边形ABCDEF 內部一点，若△PBC 、△PEF 的面积分別为3.5与14.5，则正六边形ABCDEF 的面积是 ▲ 。
2020年重点高中招收保送生考试数学试题及答案
2020年重点高中招收保送生考试数学试题一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列运算正确的是A ．2332=-B ．523a a a =⋅C ．326a a a =÷ D ．()63262a a -=-2．如图是某几何体的三视图及相关数据，则以下关系一定正确的是A ．2r <hB ．r 2 +l 2= h 2C ．h 2 +4r 2= l 2D ．侧面积rl π=S3．如图1，将某四边形纸片ABCD 的AB 向BC 方向折过去（其中AB ＜BC ），使得A 点落在BC 上，展开后出现折线BD ，如图2．将B 点折向D ，使得B 、D 两点重迭，如图3，展开后出现折线CE ，如图4．根据图4，判断下列关系正确的是图1 图2 图3 图4A ．AD//BCB ．AB//CDC ．∠ADB ＞∠BDCD ．BD 、CE 相互平分 4．直线x y 21=和直线y ＝－x ＋3所夹锐角为α，则sin α的值为 ABC ．34D ．435．如图，△AOB 是直角三角形，AOB ∠=︒90，OA OB 2=，点A 在反比例函数x y 1= 的图象上．若点B 在反比例函数xk y =的图象上，则k 的值为 A ．4B ．2C ．-4D ．-26．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，⊙O 的切线AD 交BC 的延长线于点D ，H 是OA 的中点，CH 的延长线交切线AD 于点F ，BF 交⊙O 于点E ，连接AE ，若OB =2，则AE 的长为A ．558B ．554 C ．3 D ．3347． △ABC 的一边长为5，另两边分别是方程260x x m -+=的两根，则m 的取值范围是A ．114m >B ．1194m <≤C ．1194m ≤≤D ．114m ≤ 第6题第5题第2题8．已知下列命题：①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ； ②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；④函数y = kx 2+(3k +2)x +1，对于任意负实数k ，当x <m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-，其中真命题为A ．①③B ．③C ．②④D ．③④二、填空题（共6小题，24分）9．已知a ，b 是常数且三个单项式33x y ，bax y ，-5xy 相加得到的和仍是单项式，则b -a 的值为____▲____． 10．已知c b a c b a <<=-,，则ba的取值范围为____▲_____． 11．因式分解()()2222x xxx +-+- ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P与Q 的坐标分别为 ▲ ， ▲ ．13．在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，过点C 作直线l //AB ，F 是l 上的一点，且AB=AF ，则∠ABF 的度数为 ▲ ．14．已知一次函数y 1=x +a 和y 2=x +b (a,b 为常数)分别经过点A （1，m ）和点B （2，6-m ），设u = y 1 ·y 2 ，v = y 1 + y 2，（1）当u 和 v 的图象交点横坐标为3时，m = ▲ ．（2）当u 和 v 的增减性一致时，自变量x 的取值范围是 ▲ ；三、简答题（共8小题，72分）15．（本小题5分）计算：|60sin 833|)580(cos )21(3032︒--++︒+--第12题16．（本小题7分）已知AB 是⊙O 的弦，点C 为圆上一点． （1）用无刻度直尺与圆规作⊙O ； （2）作以AB 为底边的圆内接等腰三角形；（3）若已知圆的半径R ＝5，AB ＝8，求所作等腰三角形底边上的高． 17．（本小题8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。
高中数学试卷2020年05月07日--数列---学生版
登陆二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧二一教育在线组卷平台( ) 自动生成第 1 页 共 17 页高中数学试卷2020年05月07日--数列一、解答题（共50题；共525分）1.（2020·海南模拟）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1=1,S n+1−2S n =1(n ∈N ∗) . （1）令 c n =S n +1 ，求数列 {c n } 的通项公式； （2）若数列 {b n } 满足： b 1=1,b n+1=b n 2+1an+1.①求数列 {b n } 的通项公式；②是否存在正整数 n ，使得 (b 1+b 2+b 3+⋯+b n )⋅2n−1=n +52 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不存在，请说明理由.2.（2020·山东模拟）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n =2a n −a 1 （ n ∈N ∗ ），数列 {b n } 满足 b 1=6 ， b n =S n +1a n+4 （ n ∈N ∗）．（Ⅰ）求数列 {a n } 通项公式；（Ⅱ）记数列 {1b n} 的前 n 项和为 T n ，证明： T n <12 ．3.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 3+a 7=18 ， S 6=36 . （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和为 S n ； （Ⅱ）设 T n 为数列 {1Sn+n} 的前 n 项的和，求证： T n <1 . 4.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， S n =An 2+Bn +C,A ≠0 . （Ⅰ）当 A =2 、 C =0 ，且 a 2=−10 时，求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 {a n } 的各项均为负实数，当 a 1=−36,a 3=−9 时，求实数 A 的取值范围.5.若数列 {a n } 满足：对于任意 n ∈N ∗ ， a n +|a n+1−a n+2| 均为数列 {a n } 中的项，则称数列 {a n } 为“ T 数列”．（1）若数列 {a n } 的前 n 项和 S n =4n −2n 2 ， n ∈N ∗ ，试判断数列 {a n } 是否为“ T 数列”？说明理由； （2）若公差为 d 的等差数列 {a n } 为“ T 数列”，求 d 的取值范围；（3）若数列 {a n } 为“ T 数列”， a 1=1 ，且对于任意 n ∈N ∗ ，均有 a n <a n+12−a n 2<a n+1 ，求数列 {a n } 的通项公式．6.已知数列 {a n } ， {b n } ，数列 {c n } 满足 c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数 ，n ∈N ∗ ．（1）若 a n =n ， b n =2n ，求数列 {c n } 的前2n 项和 T 2n ； （2）若数列 {a n } 为等差数列，且对任意n ∈N ∗， c n+1>c n 恒成立． ①当数列 {b n } 为等差数列时，求证：数列 {a n } ， {b n } 的公差相等；②数列 {b n } 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列 {b n } ；若不能，请说明理由．7.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1=−23，满足 S n +1S n+2=a n (n ≥2) ，计算 S 1,S 2,S 3,S 4 ，并猜想S n 的表达式.8.（2020·汨罗模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（ MERS ）和严重急性呼吸综合征（ SARS ）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（ nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （ n ∈N ∗ ）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中k （ k ∈N ∗ 且 k ≥2 ）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为 k +1 . 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （ 0<p <1 ）.现取其中k （ k ∈N ∗ 且 k ≥2 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ2 .（1）若 E(ξ1)=E(ξ2) ，试求p 关于k 的函数关系式 p =f(k) ；（2）若p 与干扰素计量 x n 相关，其中 x 1,x 2,⋯,x n （ n ≥2 ）是不同的正实数， 满足 x 1=1 且 ∀n ∈N ∗（ n ≥2 ）都有 e −13⋅∑x n2x i x i+1=x n 2−x 12x 22−x 12n−1i=1 成立.（i ）求证：数列 {x n } 等比数列；（ii ）当 p =1−√x 3 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值9.（2020·南京模拟）定义：若无穷数列 {a n } 满足 {a n+1−a n } 是公比为 q 的等比数列，则称数列 {a n } 为“ M(q)数列”.设数列 {b n } 中 b 1=1,b 3=7（1）若 b 2=4 ，且数列 {b n } 是“ M(q) 数列”，求数列 {b n } 的通项公式；（2）设数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ，且 b n+1=2S n −12n +λ ，请判断数列 {b n } 是否为“ M(q) 数列”，并说明理由；（3）若数列 {b n } 是“ M(2) 数列”，是否存在正整数 m,n ，使得 40392019<b m b n<40402019 ？若存在，请求出所有满足条件的正整数 m,n ；若不存在，请说明理由.10.（2020·新沂模拟）数列 {a n } ， {b n } ， {c n } 满足： b n =a n −2a n+1 ， c n =a n+1+2a n+2−2 ， n ∈N ∗ ． （1）若数列 {a n } 是等差数列，求证：数列 {b n } 是等差数列；（2）若数列 {b n } ， {c n } 都是等差数列，求证：数列 {a n } 从第二项起为等差数列；（3）若数列 {b n } 是等差数列，试判断当 b 1+a 3=0 时，数列 {a n } 是否成等差数列？证明你的结论． 11.（2020高二上·榆树期末）已知等差数列 {a n } 和等比数列 {b n } 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5 ． （Ⅰ）求 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）求和： b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n−1 ．12.（2020高二上·吉林期末）已知数列 {a n } 是一个等差数列，且 a 2=1 ， a 5=−5 。
河北省武邑中学2020-2021学年高二数学寒假作业寒假作业（2）
一、选择题（每小题5分）1．已知等差数列}{n a 共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为( )。
A 、3-B 、2-C 、2D 、32．已知}{n a 、}{n b 都是等差数列，若9101=+b a ，1583=+b a ，则=+65b a ( )。
A 、18B 、20C 、21D 、323.在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若1521a a a a m +⋅⋅⋅++=，则=m ( )。
A 、89B 、98C 、103D 、1064.若数列}{n a 满足151=a 且4331-=+n n a a ，则使01<⋅+k k a a (+∈N n )成立的k 值为( )。
A 、8B 、9C 、11D 、125.(多选题)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-6.（多选题）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 二．填空题 （每小题5分）河北武邑中学20-21学年高二寒假作业数学（第2期） 命题人： 审核人：班级： 姓名： 家长签字：n 2，87531=+++a a a a ，则其前10项的和=10S 。
8．设公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，91172-<<-d ，则当n S 取最大值时n 的值为 。
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数列
一、选择题
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
63S S ＝1
3
，则126S S ＝( )．
A ．310
B ．13
C ．18
D ．1
9
2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )．
A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10
B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10
C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10
D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定
3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为
A ．18 072
B ．3 012
C ．9 036
D ．12 048
4．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为
2
3
，那么b ＝( )． A ．
2
3
1+
B ．1＋3
C ．
2
3
2+ D ．2＋3
5．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若844S S =，则10a =（ ） A.
172 B.19
2
C.10
D.12 6．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )．
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
7．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为
A ．26
B ．13
C ．52
D ．156
8．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
9．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )．
A ．2n ＋
1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1
10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝
4
1
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－
n )
B ．16(1－2－
n )
C ．
3
32(1－4－
n )
D ．
3
32(1－2－
n )
二、填空题
11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .
12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.
13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1
221－n n - 则a 9＝ (用数字作答)，设数
列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).
14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .
16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ ．
17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，则{}n a 的通项公式n a =____________. 三、解答题
18．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．
19．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.
(n 为正奇数)
(n 为正偶数)。