河南省焦作市沁阳市第一中学2022_2022学年高二数学下学期第二次密集训练考试试题

河南省焦作市沁阳市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第二
次密集训练考试试题
一.选择题： 1.复数i
i
z 2121-+=
的实部与虚部的和等于（ ） A ．i 5
4
53+- B ． i 541+ C ．51 D ．59
2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( )
A.m 5.4
B.m 5
C.m 5.5
D.m 6 3.下列命题错误．．
的是( )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12
131)(2
3+++=
ax ax x x f 至少．．
存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．一个角的正弦大于另两个角的余弦； 4．已知函数x
e x x x
f )2()(3
-=，则x
f x f x ∆-∆+→∆)
1()1(lim 0
的值为（ ）
A ．e -
B ．1
C ．e
D ．0
5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,
2(+π
π处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实
数=a （）
A ．－2
B ．2
C ． 1
D ．－1
6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心
圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ ）.
A. 88
B. 89
C.90
D.91
7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）
8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。

甲：我不会证明。

乙：丙会证明。

丙：丁会证明。

丁：我不会证明。

根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁 9.已知定义在R 上的函数13
1)(23
+++=ax x ax x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),1()1,(+∞--∞
B ．]1,0()0,1[ -
C ．)1,1(-
D ．)1,0()0,1( -
10.若2
(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，其中a R ∈，则ai
i
a ++12等于（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1或i
11.已知：函数1ln )(2
+=x x x f ，P 、Q 为其图像上任意两点，则直线PQ 的斜率的最小值为（ ） A.0B.2
32--e C.2
--e D.2
12-
-e
12.定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，)(x f '是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >成立.则有（ ）
A ．)3()4(2ππf f >
B ．)1(1cos 2)6
(3f f ⋅>π
C ．2()6()46f ππ<
D 3()()63
f ππ
<
二.填空题：
13.⎰
-=-+1
1
2
2)1dx x x （ ____________.
14.已知：)32(sin 2)(2
π
-=x x f ，则)3
('π
f =_________ 15.若函数21
)0()1()(x x f e
f x f x +-'=-，则=')1(f _______．
16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
.4
1
21=S S 推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体ABC P -的内切球体积为1V ，外接球的体积为2V ，则
=21
V V .
三.解答题：17题，12分。

22题，10分。

答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。

17.（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：对于任意的*
N n ∈，24
11
21...312111>
+++++++n n n n 18.（本小题满分12分）
已知函数3
2
()23f x ax x =-，其中0>a ．
（1）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是单调函数； （2）求函数x x f x f x g 6)()()(-'+=的极小值。

19.（本小题满分12分）
用长为18 m 的钢条围成一个长方体．．．形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 20.（本小题满分12分）
已知mx x x x f +=ln )(，3)(2
-+-=ax x x g
（1）若函数)(x f 在),1(+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）若当0=m 时，对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）
已知函数,cos sin )(x a x x x f +=且)(x f 在3
π=x 处的切线的斜率为6π
.
（1）求a 的值，并讨论)(x f 在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
2,2ππ上的单调性； （2）设，0,0,11)1ln()(>≥+-+
+=m x x x mx x g 若对任意[)+∞∈,01x ,总存在，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,02πx 使
得)()(21x f x g ≥成立，求m 的取值范围.
22.【从下面两小题中任选其一题，若选择做两题只按第一题给分】（本小题满分10分）
(1)已知：z y x ,,为互不相等的实数，且x
z z y y x 111+=+=+ 求证：12
22
=z y x
（2）已知：1||≤x ，1||≤y ，求证：1|1|
≤++xy y x
高二数学备考卷二答案
1. C 解析：i i i i z 54
535432121+-=+-=-+=
2. C 5
.5|)23()13(2
1212=+=+=⎰t t dt t S
3.B
解析：a ax x x f ++=2
)('，当042
≤-=∆a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极值点，故B 错误． 4.D
解析：)1(')
1()1(lim
f x
f x f x =∆-∆+→∆
5.A
解析：12cos 22sin )2('=+=ππππf ，所以，12)2('-=⋅a
f π，得2-=a
6.B
解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得
⎩⎨
⎧+==---1
11
n n n n n b a a a b ， ∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a 7.C
8.A
解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。

易得出答案：A
9.D 解析：a x ax x f ++=2)('2
，由题意得：⎩⎨⎧>-=∆≠0
420
2
2a a ，解得：)1,0()0,1( -∈a 10.B
解析：由2
(1)(1)z a a i =-+-为纯虚数，得1-=a ，所以i i i
ai i a =-+=++1112
2
=a 11.B
解析：x x x x f +=ln 2)('，而3ln 2)(''+=x x f ，易得，)('x f 在),0(2
3-
e 上单调减
少，在),(2
3+∞-e 上单调增加，故2
3min 2)]('[--=e
x f
12 D
解析：由'()()tan f x f x x >得，0sin )(cos )('>-x x f x x f ，即0]'cos )([>x x f ，亦即函数x x f x F cos )()(=在(0,
)2
π上是单调增加的。

故)3()6(ππF F <
13. 232π
+
解析：2321)11111
2
21
122π+=-+=-+⎰⎰⎰---dx x dx x dx x x （
14.
.
3
2 解析：
)324cos(1)32(sin 2)(2π
π--=-=x x x f ,所以
)324sin(4)('π-
=x x f ，得32)3('=π
f
15.
e 2
解析：x f e f x f x 2)0()1(')('1
+-=-，则2)0()1(')1('+-=f f f ，所以，
2)0(=f ；
故21
2)1(')(x x e
f x f x +-=-，则有1)1(')0(-=e f f ，得，e f 2)1('=
16. 271
解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱
长为高为
332=
h ，内切球半径63411==h r ，外接球半径232=r ，则271
)(3212
1==r r V V 17.
证明：（1）当1=n 时，左边=2411
241221>==右边，命题成立； (2)
分 （
2
）
假
设
当
k
n =（
*
N k ∈）命题成立，即
24
11
21...312111>+++++++k k k k ；……4分 当1+=k n 时 左边
=
2
21
12121...413121+++++++++++k k k k k k …………………………6分 =1
1
221121)21...312111(
+-+++++++++++k k k k k k k ………………8分 即
，
当
1
+=k n 时，命题成
立。

………………………………………………11分
综上所述，对于任意的
*
N n ∈，
24
11
21...312111>
+++++++n n n n …………………12分 18.
（1）证明：)1(666)(2
-=-='ax x x ax x f ．………………………………2分 因为0>a 且0<x ，所以0)(>'x f ．
所以函数)(x f 在区间()0,∞-上是增函数． …………4分
（2）解：由题意x x a ax x 12362)(g 2
3--+
=）（， 则)1)(2(6)(g -+='ax x x . 令0)(='x g ，得 a
x x 1
2=
-=或 , ）（0>a …………6分 当2-<x 时，0)(>'x g , 则函数)(g x 在区间()2--，∞上是单调递增函数；
当a x 12<
<-时，0)(<'x g , 则函数)(g x 在区间），（a 1
2-上是单调递减函数；
当a x 1>时，0)(>'x g , 则函数)(g x 在区间),1
(+∞a
上是单调递增函数；………9分
所以，函数)(x g 的极小值点为a x 1
=，………10分
故函数)(x g 的极小值是2
21
661)1()(a a a a a g x g +-=--==极小值………12分
19.解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .2
分
故长方体的体积为).
23
0)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=………………5分
从而2
()181818(1).V x x x x x '=-=-
令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. ……………………………………7分 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜
3
2
时，0)(<'x V ， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值.…………………………10分
从而最大体积V ＝3（m 3
），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m 3
.12分 20.
解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，)1(ln )(m x x f ++='，……………………2分 因为)(x f 在),1(+∞上为单调函数，则方程0)1(ln =++m x 在),1(+∞上无实根。

…4分 故01≥+m ，则1-≤m ……………………………………………………6分
（2）3ln 22
-+-≥ax x x x ，则x
x x a 3
ln 2+
+≤，对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分 设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则2
)
1)(3()('x
x x x h -+=， 当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减，
当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …………10分
)(x h 在),0(+∞上，有唯一极小值)1(h ，即为最小值.
所以4)1()(min ==h x h ，因为对任意)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立， 故 4≤a ……………………………………………12分
21.
解：(1） 函数,cos sin )(x a x x x f +=且)(x f 在3
π=x 处的切线的斜率为
6π
，,
6)3(π
π='∴f
解得：
1
=a ; ……………2分
此时，
x
x x f cos )(='，当
)0,2(π-
∈x 时，0)(<'x f ，当
)2,0(π
∈x 时， 0)(>'x f ，∴函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递减，在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,0π上单调递增. ……………6分
(2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 时，)(x f 单调递增，,1)0()(min ==∴f x f 则只需1)(≥x g 在[)+∞∈,0x 上恒成立即可，……………………8分 ①当2≥m 时，0)(,02
≥'∴≥-x g m
m 在[)+∞,0上恒成立，即)(x g 在[)+∞,0上单调递增，又,1)0(=g
1)(≥∴x g 在[)+∞,0上恒成立，故2≥m 时成立.
②当20<<m 时，若)2,
0(m
m
x -∈，则,0)(<'x g 此时)(x g 单调递减，,1)0()(=<∴g x g
故当20<<m 时不成立. ……………………11分 综上.2≥m ……………………12分 22.（1）解析：根据条件z
y y x 1
1+=+
可得，yz z y y z y x -=-=-11 ………2分
又因为z y x ,,为互不相等的实数，则有y
x z
y yz --=
…………………………5分 同理可得 x
z y
x xy --=
，z y x z xz --= …………………………………………7分
所以 12
22
=--⋅--⋅--=
z
y x
z x z y x y x z y z y x …………………………………………10分 （2）
分：证明2..............1)1()(2
22222--+=+-+y x y x xy y x
1||≤x 由，得1||≤y ，12≤x ，分7 (12)
≤y。