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高一数学同步培优教材
_______ 纳思数学教研组编
B 第二章 解三角形
章节概述：《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是
高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。

初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。

本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。

正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。

§2.1 正弦定理 §2.1.1 正弦定理 教学目标：
1、通过对三角形中边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程．
2．理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题． 重点难点：正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握． 本节难点：正弦定理的推理． 教学过程： 一 、情境：
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？
（2)设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
问：在直角三角形这样的特殊情况下，有A =
sin ，1sin =C ，即 A a c sin =
，B b c sin =，C
c
c sin =， 故 C c
B b A a sin sin sin ==，在此提出问题，对任意的三角形，是否都存在C
c
B b A a sin sin sin ==呢？引导学生自己探索证明方法
二、新知探究 证明一（1）（等面积法） 分别作三边上的高，所以B AB BC AD BC S ABC sin 2
1
21⋅⋅=⋅=
∆ C BC AC BE AC S ABC sin 21
21⋅⋅=⋅=
∆ 所以得C AB B AC sin sin =，同理可证A BC
B A
C sin sin =
即证。

证明二（平面向量法）：过A 作单位向量j 垂直于AC
AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j
j •(AC +CB )=j •AB 则：j •AC +j •CB =j •AB
∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=|j |•|AB |cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理：若过C 作j 垂直于CB 得：
C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，则j 与AB 的夹角为︒-90A ，j 与CB 的夹角为C -︒90.同样可得
C
c
B b A a sin sin sin =
=. 证明三（外接圆法）：
如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连接BO 并延长交圆于B ′，设BB ′＝2R ．则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到： ∠BAB ′＝90°，∠C ＝∠B ′ ∴ sin sin 2c
C B R
'== ∴
2sin c
R C = 同理可得
2sin a R A =,2sin b
R B
= ∴A a
sin =B b sin =R C
c 2sin =
结论：正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，
A C
B j A
C
B j
即A a sin =B b sin =R C
c 2sin =( R ABC ∆为外接圆半径).
三、剖析定理、加深理解 1、A+B+C=π
2、大角对大边，大边对大角
3、正弦定理可以解决三角形中的问题：
①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 ②已知两角和一边，求其他角和边
4、一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形
5、正弦定理的变形形式
::=sinA:sinB:sinC a b c ；=2sinA, b=2RsinB c=2RsinC a R ，
6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化 四、内化新知
例1 00ABC A=30B=135=2a ∆在中，，，，解三角形
变式：若将a=2改为c=2,结果如何？
通过例1你发现了什么一般性结论？
例
sin a A 3032=所以B=600，或B=1200
当B=600时，C=900，c=32 当B=1200时，C=300，sin 16.sin a C
c A
=
= 变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
通过例2你发现了什么一般性结论？
小结: .
巩固训练：
1、（1）在△ABC 中，已知 A=75°,B= 45°,c =求解三角形 （2）在△ABC 中，已知 A=30°,B=120°,b=12,求解三角形
2、(1)在△ABC 中， 已知b=13，a=26，B=30°,求解三角形 (2) 在△ABC 中， 已知 b =40，c =20，C=45°,求解三角形
3、若sin cos cos A B C
a b c
==
，判断ABC ∆的形状
4、在ABC ∆证明 cos cos c B b C a +=.
5、求证：
思考题：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?
五、课堂小结
（1）三角形常用公式：
正弦定理：
=2sin sin sin a b c
R A B C
== （2）正弦定理应用范围：
①已知两角和任意边，求其他两边和一角
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

(注意解的情况)
A 组
1、 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π
3
，则a ＝________.
2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
3、在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．
4、已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为________．
111sin sin sin 222
ABC
S ab C bc A ac B ∆===A B C π++=111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===
5、在△ABC 中，若sin 2sin cos A B C =，222sin sin sin A B C =+，判断△ABC 的形状
6、在△ABC 中，若b ＝22，a ＝2，且三角形有解，则A 的取值范围是________． B 组
1、在锐角△ABC 中，已知A=2B ，则a
b
的大小为________．
2、在△ABC 中，已知11
tan ,tan 23
A B ==，则其最长边与最短边的比是_______．
3、在△ABC 中，已知tanB ＝3，cosC ＝1
3，AC ＝36，求△ABC 的面积_______．
4、在△ABC 中，
tan 2tan A c b
B b
-=
，则A=_______
5、△ABC 中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,判断△ABC 的形状
6、在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？ §2.1.2 正弦定理的应用 教学目标：
1. 掌握正弦定理．
2. 进一步体会正弦定理在解三角形、几何问题、实际问题的运用，体会数学中的转化思想． 教学重点：正弦定理的应用．
教学难点：运用正弦定理解决判断三角形形状的问题． 教学过程：
例1 A B C ,,ABC ∆在中，角、、的对边分别为a 、b 、c ，且acosC bcosB ccosA 成等差数列.（1）角B 的值（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.
例2 2
(cos )cos 0,x b A x a B b ABC -+=∆方程的两根之积等于两根之和，a 为的边，
,.A B a b ABC ∆ ，为的对角，试判断的形状
即时训练；2
2
tan tan ,.ABC a B b A ABC ∆=∆在中，已知试判断的形状
例3 ABC ∆在中， 222222
0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A
---++=+++求证：
即时训练：(sin sin )(sin sin )(sin sin )0ABC B C b C A c A B ∆-+-+-=在中，求证：
例4 A B C C A B P AB 一条直线上有三点，，，点在，之间,点是直线之外一点，
sin()sin sin .APC BPC PC PB PA
αβαβαβ+∠=∠==+设，，求证：
即时训练：（1）,3,3
ABC A BC ABC π
∆=
=∆中，求的周长
（2）.AB BD
ABC AD BAC AC DC
∆∠=在中，是的平分线，正弦定理证明：
例5 35
sin cos ,sin 513
ABC A B C ∆==在中，已知，求
即时训练：412
cos ,sin ,sin .513
ABC A B C ∆==在中，已知求
例6 22
1().4
ABC S b c ABC ∆=+∆已知的面积，试确定的形状
即时训练：12057,ABC A AB BC ABC S ∆===∆在中，若，，求的面积
例7如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C 、D 两是处，测得烟囱的仰角分别是60β=︒,CD 间的距离12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。

即时训练；
3520100065,(1).
A B D D BC m 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得处的仰角为求山的高度精确到
本节小结:
A 组
1、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
2、知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a 1tan A ＋b 1
tan B
，求内角C .
⇒
⇒正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化
3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC. (1)求A 的大小；
(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状．
4、如图(1)所示，某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损．现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩另外两边的长．6 2.449,2 1.414≈≈ (结果精确到0.01 cm)
图(1) 图(2)
5、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
6、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西︒30方向上，求此人步行的速度． B 组
1、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4
π,
2=
=C a ，5
522cos
=B ，求ABC △的面积S ．
2、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-
．
（1）求sin B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值．
3、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ， c:a=2bsinA,(1)B 的大小（2）cosA+sinC 的取值范围
4、ABC ∆在中，已知A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且C=2A ，cosA=34
(1)求cosC 和cosB 的值；（2）当27
=2
BA BC 时，求a,c 的值
5、D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2
）若求β的值.
6、在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． §2.2 余弦定理 §2.2.1 余弦定理
B
D
C
α
β A
教学目标：
1.理解并掌握余弦定理．
2．掌握用向量的数量积证明余弦定理的方法． 3．余弦定理的简单应用 重点：余弦定理及其应用
难点：用向量的数量积证明余弦定理． 教学过程： 一、创设情境
千岛湖位于我国浙江省淳安县，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A 、B 、C ，岛屿A 与B 之间的距离因AB 之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC 、BC 的距离分别为6km 和4km ，且AC 、BC 的夹角为120度，问岛屿AB 的距离为多少？
问题：
(1）已有的正弦定理可否解决该问题
（2）已知两边及夹角求第三边，当夹角为多少度时我们可以求出？（勾股定理） （3）以锐角三角形为例探索三角形如何求出第三边
一、新知探究
法一(平面几何)：在锐角△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。

过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，
cos cos ,CD AC b c ==
在Rt ABD ∆中，222222
2
(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，
同理可证△ABC 是直角三角形和钝角三角形情形.
法二（平面向量）：
222
()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 2
22cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-
A
D
法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0) |AB|2
=(acosC －b)2
+(asinC －0)2
=a 2
cos2C －2abcosC+b 2
+a 2
sin2C
=a 2
+b 2
－2abcosC ，即c 2
=a 2
+b 2
－2abcosC ．
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 二、概念升华
1、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

2、推论
222cos 2b c a A bc +-=
； 222cos 2a c b B bc +-=；222
cos 2a b c C ab
+-=. 四、知识应用
例1 已知三角形的三边长分别为已知△ABC 的三边为7、2、1，求该三角形的最大内角.
解：不妨设三角形的三边分别为a=7,b=2,c=1则最大内角为∠A ，由余弦定理得
故最大角
即时训练：在三角形ABC 中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC 的形状
例2 三角形ABC 中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC 的面积． 解：4,3,2a b c ===
22294161
cos 22324b c c A bc +-+-∴===-⨯⨯
2115
sin 1()44
A ∴=--=
1115315
sin 322244
ABC S bc A ∆∴==⨯⨯⨯=
2
7
12
-
⨯⨯221+2-
cosA =
=221
120
∠A =
即时训练：在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面
积为3－3，求∠BAC.
例3 在△ABC 中，求证c=bcosA+acosB ． 解：由余弦定理知
222222
cos ,cos 22b c c a c b A B bc ac
+-+-∴==
222222222222
cos cos 2222b c c a c b b c c a c b b A a B b a c bc ac c c
+-+-+-+-∴+=⨯+⨯=+=
即时训练：在三角形ABC 中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB 边的中线长．
四、归纳总结
1.余弦定理可以解决两类问题
（1）已知两边及夹角求第三边的问题 （2）已知三边求角的问题 2.结合正弦定理判断在三角形的六个元素中（三角及三边）是否可以由任意三个元素求出另外三个元素
A 组
1、在△ABC 中，若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为________三角形；若a 2＝b 2＋c 2
，则△ABC 为________
三角形；若a 2＜b 2＋c 2且b 2＜a 2＋c 2且c 2＜a 2＋b 2
，则△ABC 为______三角形．
2．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶2∶4，则cosC 的值为__________．
3．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2
，且sinC ＝32
，则C ＝________.
4.在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且(a ＋b ＋c)·(b＋c －a)＝3bc ，则角A 等于__________．
5．△ABC 中，abc a 2＋b 2＋c 2(cosA a ＋cosB b ＋cosC
c
)＝__________.
6．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，对任意实数x ，f(x)＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2
有f(x)________0.
7．在ABC ∆中，
（1）已知3b =，1c =，0
60A =，求a ；
（2）已知4a =，5b =，6=c ，求cos A ．
8．在△ABC 中，已知A B C >>，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。

B 组
1、在△ABC 中，3
1
cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为
2、在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →
等于________．
3、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋b ＝23，ab ＝2，A ＋B ＝60°，则c ＝________.
4、△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，其面积222
4
a b c S +-=，则C ＝________.
5、在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA. (1)求AB 的值；
(2)求sin(2A －π
4
)的值.
6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，△ABC 的面积为33
2
，且c ＝7，3cosC
－2sin 2
C ＝0，求a ，b 的值．
§2.2.2 余弦定理的应用 教学目标：
1. 掌握余弦定理．
2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题的运用，体会数学中的转化思想． 教学重点：余弦定理的应用．
教学难点：运用余弦定理解决判断三角形形状的问题． 题型一:判断三角形形状
例1．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，判断△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的形状
解：△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值都大于0，所以△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2也是锐角三角形，则
sinA 2=cosA 1=1sin()2
A π-，则212
A A π
=-
212
B B π
=
-，212
C C π
=
-
2221113()22
A B C A B C ππ
++=
-++=矛盾 故△A 2B 2C 2不是锐角三角形
即时训练：,cos cos ,.ABC a b c B c A ABC ∆-=-∆在中判断的形状
题型二:证明恒等式
例2. 在三角形ABC 中，三个内角为Ａ、B 、C ，对应边为a,b,c
求证：
cos cos cos cos B c b A
C b c A
-=
- 证明：方法一:边化角
方法二:角化边
即时训练：
.AB BD
ABC AD BAC AC DC
∆∠=在中，是的平分线， 用正弦定理证明：
题型三:面积问题
例3. ,ABC ABC ∆227
在三角形中，若b -bc-2c =0 ，a=6cosA=，求的面积8
即时训练：ABC ABC ∆在三角形中，若B=30，AB=2 3 ，AC=2，求的面积
题型四：实际应用
例4.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以
9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救。

求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）？
即时训练：
为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得120ADC ∠=，
45BDC ∠=，3075ACD BCD ∠=∠=，，3CD km =。

设,,,A B C D 在同一平面内，
试求,A B 之间的距离？
题型五:求值及取值范围
例5 21
12 1 (1),.x x x x ++-+>2在三角形ABC 中，三边的长分别为x ，，求三角形的最大角
例6 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 对应的边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA
在△ABC 中，若bc c b a ++=2
2
2
，则∠A=
D
C B A
2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为
3．在△ABC 中，3
1
cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为
4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+2
2
2
时，角B 的取值范围为
5．在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则B 的余弦值为 。

6．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是 。

7．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cosA ＝7
8
，求△ABC 的面积．
8. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=，求BC 的长。

B 组
1、已知向量a 、b 夹角为120°，且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 |a ＋b| 及a ＋b 与a 的夹角.
2、在ABC ∆中，若c
b a
c b b a ++=+++3
11，则B= 。

3、在ABC ∆中，若47c b ==，，BC 边的中线72
AD =，则a = 。

4、如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为264AB BC AD CD ====，，， 求四边形ABCD 的面积。

5、半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
6、在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为
7、若三角形中顶点坐标为A （3,4）B （0,0），C （c,0）
(1)若r=5,求sinA 的值；
（2）AB AC=0⋅，求c 的值；
（3）若A 为钝角，求c 的取值范围.
8、233ABC A BC π
∆==在中，，边，设内角B=x ，周长为y 。

(1) 求函数y=f(x)的解析式和定义域；
(2) 求y 的最大值.
第三章数列
章节概述：本章主要是数列的基本概念以及等差数列和等比数列。

数列是中学数学中的一项重要课题，其作用可从以下三个方面来看：（1）数列有着重要的实际应用；（2）学习数列，可为后面学习数列的极限作好准备。

（3）数列是培养学生归纳和分析问题能力的良好题材，学生在这里可以得到很多观察数列特点、然后归纳其中规律的训练。

此外，数列与其他数学内容有着广泛的联系，与数列有关的综合问题很多，因而学习数列有助于学生从整体上认识中学数学内容，提高他们综合运用知识解决问题的能力。

§3.1数列
§3.1.1数列的概念及其通项公式
目标：1．理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；
4．提高观察、抽象的能力．
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序
不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别.
__________________________________________________________________________.
2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
3．数列的分类：
按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）.
4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
2
)1(11
+-+=n n a ， 也可以是|2
1cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
5. 数列的图像都是一群孤立的点.
从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限
子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．
6．数列的表示形式：____________________
____________________________________.
【精典范例】
例1 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．
例2 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
(1);(2)(1)1n n n n a a n n ==-⋅+.
例3写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）211
⨯，-321
⨯， 431
⨯，-541
⨯；
（2）0, 2, 0, 2
A 组
1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （
） A. (1)n n a =- B. 1
(1)n n a +=-
C. 1
(1)n n a -=- D. {11n n a n =-，为奇数
，为偶数
2．数列252211，，，，的一个通项公式是 （ ）
A. 33n a n =-
B. 31n a n =-
C. 31n a n =+
D. 33n a n =+
3．数列152435
48
63
,,,,,,25101726的一个通项公式为___________________.
【拓展延伸】
例4在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)88是否是数列{a n }中的项.
例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？
B 组
1．已知数列{}n a ，1
()(2)n a n N n n +=∈+，那么1
120是这个数列的第（ ）项.
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
2．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（ ）
A. 非负整数集
B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n
3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，
则17a = .
§3.1.2数列的概念及通项公式
知识目标：1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．了解递推数列的概念；
【自学评价】
1．数列的一般形式：________________，或简记为_____，其中n a 是数列的第___项。

2．数列的分类：
按n a 的增减分类：
（1）___________：n N *∈任意，总有1n n a a +>；
（2）___________：n N *∈任意，总有1n n a a +<；
(3)_____________ l N *∈任意k,，
有1k k a a +>，也有1l l a a +<，
例如1,2,4,6,8,---；
（4）________：n N *
∈任意，1n n a a +=；
（5）____________：存在正整数M 使||n a M ≤；
（6）____________：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >．
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式． 【精典范例】
例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）;5
15;414,313;2122222---- 5
44,433,322,211)2( （3）9，99，999，9999
例2已知数列｛a n ｝的递推公式是
a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式.
例3设12n n S a a a =+++，其中n S 为数列的前n 项和，已知数列{}n a 的前n 项和251n S n =+，求该数列的通项公式。

A 组
1．已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是（ ）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
2．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=21
a n ,则数列{a n }是 （ ）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（ ）
A.⎩⎨⎧∈+==+*`
,1
11N n n a a a n n
B.⎩⎨⎧≥∈+==-2
*,,1
11n N n n a a a n n
C.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(1
11n N n n a a a n n
D.⎩⎨⎧∈-+==-*),1(1
1
1N n n a a a n n
4．设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______用f (n )表示.
【拓展延伸】
例4 已知数列{}n a 的通项为
254n a n n =-+,问:
(1).数列中有多少项为负数？
(2) n 为何值时,n a 有最小值？并求此最小值．
B 组
1.已知数列{a n }的首项a 1=1,且
a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为（ ）
A.7
B.15
C.30
D.31
2.数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值是（ ）
A.107
B.108
C.10881
D.109
3.若数列{a n }满足a 1=21,a n =1－1
1-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2003等于（ ） A.21 B.－1 C.2 D.1
4.已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩
⎪⎨⎧+==+12111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______.
§3.2等差数列
§3.2.1等差数列的概念及通项公式
知识目标 ：1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列：一般地，如果一个数列从____________，每一项与它前一项的差等于_____________，这个数列就叫做等差数列 （arithmetic progression ），这个常数就叫做
_____________（common difference ），常用字母“d ”表示。

⑴公差d 一定是由______________，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +
，则此数列是等差数列，d 为公差
2．等差数列的通项公式_______________；
3．如果a ,A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的____________；且A =__________. 【精典范例】
例1根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；
（1）1，1，1，1，1，1 （2）4，7，10，13，16
（3）-3，-2，-1，0，1，2，3
思考：如果一个数列{}n a 的通项公式为b kn a n +=，其中b k ,都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
__________
例2求出下列等差数列中的未知项：
（１）３，ａ，５；
（２）３，ｂ，ｃ，－９．
例3（1）求等差数列8，5，2…的第20项？
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
１．判断下列数列是否为等差数列： （１）－１，－１，－１，－１，－１；
（２）１，１２，１３，１４；
（３）１，０，１，０，１，０；
（４）２，４，６，８，１０，１２；
（５）７，１２，１７，２２，２７．
２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除108公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？
３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（ ），５，１０； （２）１，2，（ ）；
（３）３１，（ ），（ ），１０．
4．已知数列8,,2,,,7a b c -是等差数列，求未知项,,a b c 的值。

【拓展延伸】
例4在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求n a a ,20
思考：在此题中，有1257a a d =+，思考，能否不求首项1a ，而将n a 求出？
例5若2()4()()0z x x y y z ----=，则,,x y z 成等差数列。

B 组
1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列（ ）
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n 的等差数列
2.等差数列{a n }中，a 2=－5,d =3，则a 1为（ ）
A.－9
B.－8
C.－7
D.－4
3.已知等差数列{a n }的前3项依次为a －1,a +1,2a +3，则此数列的通项a n 为（ ）
A.2n －5
B.2n －3
C.2n －1
D.2n +1
4.在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______.
5.在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则a =______,b =______.
6.已知数列{a n }中a 3=2,a 7=1，又数列{1
1+n a }为等差数列，则a 11等于（ ） A.0 B.
21 C.3
7 D.－1
§3.2.2等差数列的通项公式
知识目标 ：
1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解
决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列的通项公式：
①普通式：1(1)n a a n d =+-； ②推广式：________________； ③变式：1(1)n a a n d =--；
11n a a d n -=
-；n m
a a d n m
-=-； 注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (若{a n }为常数列时,A =0).
2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n +1－a n =d , 当d ＞0时，a n +1____a n 即{a n }为递增数列； 当d =0时，a n +1_____a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1____a n 即{a n }为递减数列. 注：等差数列不会是摆动数列.
【精典范例】
例1第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
（１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； （２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
例2在等差数列｛a ｎ｝中，
已知a ３＝１０，a ９＝２８，求a １２．
例3某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．
A 组
1．已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=（ ） A.36 B.30 C.24 D.18
2.等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =______. ３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次． （１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？ （２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？
４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？
５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．
【拓展延伸】
例4等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.
（1）求公差d 的值; （2）求通项a n .
例5甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； ⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是 缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
B 组
1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A.d ＞
38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.3
8
＜d ≤3 2.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 3.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第________项.
4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为___________.
5.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .
6.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2
412b b a a --的值.
§3.2.3 等差数列与一次函数的关系 知识目标
1.体会等差数列与一次函数的关系；
2.初步通过数列的下标研究数列。

【自学评价】
1．}{n a 是等差数列⇔_________________.
2．已知}{n a 是等差数列，若q p n m +=+，则____________________.
【精典范例】
例1已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图象。

例2（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有2
1
1+-+=
n n n a a a （ｎ≥２）？ （２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有2
1
1+-+=
n n n a a a ，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？
例3如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝21ｃｍ，这三个
正方形的面积之和是179ｃｍ２
． （１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；
（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？
A 组
1．已知等差数列的通项公式为n a n 2
1
1-
=，求它的首项和公差，并画出它的图象．
2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列． （１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．
（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
4．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？
【拓展延伸】
例4在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ
例5如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．。