2017届高三数学二轮复习第1部分专题4突破点11空间中的平行与垂直关系理

突破点11 空间中的平行与垂直关系
提炼1 异面直线的性质
(1)或平面内的一条直线与平面外的一条直线．
(2)异面直线所成角的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直．
(3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求.
提炼2 平面与平面平行的常用性质
(1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
(4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
提炼3 证明线面位置关系的方法
(1)②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理．
(2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质．
(3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理．
(4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．
回访1 异面直线的性质
1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )
A.32
B.22
C.
3
3
D.
1
3
A设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD­A 1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为
3
2 .]
2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α
内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题
正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2 面面平行的性质与线面位置关系的判断
3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
D根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]
4．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m ⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
热点题型1 空间位置关系的判断与证明
现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想.
(1)(2016·兰州三模)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于点B，CD⊥α于点D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：
①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
【导学号：85952040】
①③若AC⊥β，且EF⊂β，则AC⊥EF，又AB⊥α，且EF⊂α，则AB⊥EF，AB和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，①可以成为增加的条件；AC与α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF与BD垂直，②不能成为增加的条件；由CD⊥α，EF⊂α，得EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，又AC与CD在β内的射影在同一直线上，所以EF⊥AC，CD和AC 是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，③可以成为增加的条件；若AC ∥EF，则AC∥α，则BD∥AC，所以BD∥EF，④不能成为增加的条件，故能成为增加条件的序号是①③.]
图11­1
(2)(2016·全国乙卷)如图11­1，已知正三棱锥P­ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
①证明：G是AB的中点；
②在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． 解题指导] (2)①正投影D ，E →AB ⊥PD ，AB ⊥DE →AB ⊥平面PED →AB ⊥PG
②PA ⊥PB PB ⊥PC →过点E 作EF ∥PB 交PA 于点F →证明EF ⊥平面PAC →点D 在CG 上→PE ＝23PG ，DE ＝13PC →DE ＝2，PE ＝22→EF ＝PF ＝2→求四面体的体积
解] ①证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，
所以AB ⊥PD .
因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .1分
因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .2分
又由已知可得，PA ＝PB ，所以G 是AB 的中点.3分
②在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.4分
理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC .又PA ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．
连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由①知，G
是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23
CG .8分 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13
PC .10分 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2.
在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2，11分
所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43
.12分
在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型．判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定．而反证法是证明两直线异面的有效方法．
提醒：判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行．此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例．
变式训练1] (1)(2016·石家庄二模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B 若m ⊂α，n ∥α，则m ，n 可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ，②正确；若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α或m ∥β或m ⊂α或m ⊂β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1，故选B.]
(2)(2016·全国丙卷)如图11­2，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
图11­2
①证明MN ∥平面PAB ；
②求四面体N ­BCM 的体积．
解] ①证明：由已知得AM ＝23
AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，
TN ＝12
BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，2分
所以四边形AMNT 为平行四边形，
于是MN ∥AT .
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，
所以MN ∥平面PAB .4分
②因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，
所以N 到平面ABCD 的距离为12
PA . 如图，取BC 的中点E ，连接AE .
由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.6分
由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，
故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.8分 所以四面体N ­BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453
.12分 热点题型2 平面图形的翻折问题 题型分析：1化情况.
2找出其中变化的量和没有变化的量，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
(2016·全国甲卷)如图11­3，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F
分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．
图11­3
(1)证明：AC ⊥HD ′；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54
，OD ′＝22，求五棱锥D ′­ABCFE 的体积． 解] (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .1分
又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD
，故AC ∥EF .2分
由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.3分 (2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14
.4分 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.
所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.5分
于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，
故OD ′⊥OH .6分
由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，
所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.8分
又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .
又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92
.10分 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694
.11分 所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322
.12分
翻折问题的注意事项
1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．
2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．
3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．
变式训练2] (2016·海淀二模)已知长方形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝2，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△PDE ，得到四棱锥P ­BCDE ，如图11­4所示．
图11­4
(1)若点M 为PC 的中点，求证：BM ∥平面PDE ；
(2)当平面PDE ⊥平面BCDE 时，求四棱锥P ­BCDE 的体积；
(3)求证：DE ⊥PC .
解] (1)证明：取DP 中点F ，连接EF ，FM .
因为在△PDC 中，点F ，M 分别是所在边的中点，
所以FM 綊12
DC .1分 又EB 綊12
DC ，所以FM 綊EB ，2分 所以四边形FEBM 是平行四边形，所以BM ∥EF .3分
又EF ⊂平面PDE ，BM ⊄平面PDE .
所以BM ∥平面PDE .4分
(2)因为平面PDE ⊥平面BCDE ，
在△PDE 中，作PO ⊥DE 于点O ，
因为平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，所以PO ⊥平面BCDE .6分
在△PDE 中，计算可得PO ＝63，7分 所以V 四棱锥P ­BCDE ＝13Sh ＝13×12(1＋2)×2×63＝33
.8分
(3)证明：在矩形ABCD 中，连接AC 交DE 于点I ， 因为tan ∠DEA ＝2，tan ∠CAB ＝22
，
所以∠DEA ＋∠CAB ＝π2
，所以DE ⊥AC ，9分 所以在四棱锥P ­BCDE 中，PI ⊥DE ，CI ⊥DE ，10分 又PI ∩CI ＝I ，所以DE ⊥平面PIC .11分 因为PC ⊂平面PIC ，所以DE ⊥PC .12分。