绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学试题(理)含答案

绵阳市高中2014级第三次诊断性考试
数学（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集R U =,}02{2
<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，则=)(B C A U ( )
A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． （0,1）
2。

已知i 是虚数单位,则
=+i
i
12 ( ） A ．1 B ．22 C ．2 D ．2
3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒,假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时,看见不是．．黄灯的概率是（ ) A ．
1514 B 151． C. 53 D ．2
1
4. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =,则=5a ( ）
A ．
161 B ．8
1
C 。

20 D. 40 5. 已知正方形ABC
D 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为
DC 的中点，则=•BN AM （ )
A ．-6
B ．12 C.6 D ．-12
6. 在如图所示的程序框图中,若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-),
0(2),0)((log )(2
1x x x x f x
则输出的结果是( )
A ．16
B ．8
C 。

16
2 D ．8
2
7。

已知函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其图像上两点，若b a -的最小值是1，则=)6
1(f （ ）
A ．2
B ． -2
C 。

23 D ．2
3-
8。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱。

已知某“堑堵"被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 （ )
A ．50
B ．75
C 。

25。

5
D ．37.5 9。

已知函数x m x m x f sin )2(2cos 2
1
)(-+=
,其中21≤≤m .若函数)(x f 的最大值记为)(m g ,则)(m g 的最小值为（ ） A ．4
1
-
B ．1
C 。

33-
D ．13- 10.已知F 是双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶
点。

O 为坐标原点，D 为C 上一点，x DF ⊥轴。

过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N ,若ON OM 23=，则双曲线C 的离心率为（ )
A ．3
B ．4
C 。

5
D ．6
11. 三棱锥ABC P -中，PA ,PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ,M 是线段BC 上一动点,若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是2
6
,则三棱锥ABC P -的外接球表面积是（ )
A ．π2
B ．π4 C. π8 D ．π16
12。

已知函数3ln 2)(2
+-=ax x x f ，若存在实数]5,1[,∈n m 满足2≥-m n 时,)()(n f m f =成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．
83ln 5ln - B ．43ln C 。

83ln 5ln + D ．3
4
ln 第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥-≥,5,02,0y x y x y ，则y x 2+的最小值是 ．
14.过定点M 的直线：021=-+-k y kx 与圆：9)5()1(22=-++y x 相切于点N ，则
=MN ．
15。

已知n y x x )2(2-+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中25y x 的系数为 ．(用数字作答)
16。

设公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a ，5a ，11a 成等比数列，且
)(211n m S S a -=),,0(*∈>>N n m n m ，则n m +的值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且ac b c a 3)(22+=+. （Ⅰ)求角B 的大小；
（Ⅱ）若2=b ,且A A C B 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积.
18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚。

某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示。

若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户",使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户".已知在“经常使用单车用户”中有6
5
是“年轻人”.
（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系"的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联
表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关?
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计
160
40
200
（Ⅱ)将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人"人数为随机变量X ，求X 的分布与期望. (参考数据：
独立性检验界值表
)(02k K P ≥
0.15 0。

10 0。

050 0.025 0。

010 0k
2。

072
2。

706
3。

841
5.024
6.635
其中,)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=）
19。

已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中1=AF ,2=AD ，3
π
=∠ADC ，点N 是线
段AD 的中点。

（Ⅰ)试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ？若存在,请证明//AF 平面MNC ，并求出ME
BM
的值;若不存在，请说明理由； （Ⅱ）求二面角D CE N --的正弦值.
20。

已知点)0,2(-E ，点P 是圆F :36)2(2
2
=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线交FP 于点M ，点M 的轨迹记为曲线C 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点，交y 轴于点N ，已知AF m NA =，
BF n NB =,求n m +的值.
21. 函数4ln )(-+=x x x p ，)()(R a axe x q x
∈=。

（Ⅰ）若e a =,设)()()(x q x p x f -=，试证明)(x f '存在唯一零点)1
,0(0e
x ∈，并求)(x f 的最大值；
（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x q x p <的解集中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围。

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程是⎩⎨
⎧=+=α
αsin 3,cos 31y x (α为参数）.以原点O
为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1=ρ. （Ⅰ）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线l 的极坐标方程)0(3
≥=ρπ
θ,且l 分别交曲线1C 、2C 于A 、B 两点，求AB .
23.选修4—5:不等式选讲
已知函数633)(-+-=x a x x f ，12)(+-=x x g . （Ⅰ)1=a 时,解不等式8)(≥x f ；
（Ⅱ）若对任意R x ∈1都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围。

绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类）参考解答及评分标准
一、选择题
1-5： CDABA 6-10： ABDDC 11、12：BB
二、填空题
13. 0 14. 4 15。

120 16. 9
三、解答题
17。

解：(Ⅰ) 把ac b c a 3)(2
2+=+整理得，ac b c a =-+222，
由余弦定理有ac
b c a B 2cos 222-+=
21
2==ac ac ， ∴3
π
=
B .
(Ⅱ）ABC ∆中，π=++C B A ，即)(C A B +-=π，故)sin(sin C A B +=，
由已知A A C B 2sin 2)sin(sin =-+可得A A C C A s 2sin 2)sin()sin(=-++, ∴++C A C A sin cos cos sin A C A C sin cos cos sin -A A cos sin 4=， 整理得A A C A cos sin 2sin cos =. 若0cos =A ，则2
π
=
A ，
于是由2=b ，可得3
3
2tan 2=
=
B c , 此时AB
C ∆的面积为3
3221==
bc S 。

若0cos ≠A ，则A C sin 2sin =， 由正弦定理可知，a c 2=，
代入ac b c a =-+222整理可得432=a ，解得3
3
2=
a ，进而334=c ,
此时ABC ∆的面积3
3
2sin 21==
B ac S . ∴综上所述，AB
C ∆的面为
3
3
2. 18。

解：（Ⅰ）补全的列联表如下：
于是100=a ，20=b ，60=c ，20=d ，
∴40
16080120)206020100(2002
2
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K 072.2083.2>≈， 即有85％的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为
%10%100200
20
=⨯,即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0。

1， ∵)1.0,3(~B X ,,3,2,1,0=X
∴729.0)1.01()0(3=-==X P ,001.01.0)3(3===X P ， ∴X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
0。

729
0。

243
0.027
0.001
∴X 的数学期望3.01.03)(=⨯=X E 。

19.解:（Ⅰ)作FE 的中点P ,连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点.
证明：连接PN ，
∵N 是AD 的中点,P 是FE 的中点， ∴AF PN //，
又⊂PN 平面MNC ，⊄AF 平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC 。

∵AD PE //,BC AD //， ∴BC PE //， ∴
2==PE
BC
ME BM 。

（Ⅱ）由（Ⅰ)知AD PN ⊥，
又面⊥ADEF 面ABCD ，面 ADEF 面AD ABCD =，⊂PN 面ADEF ， 所以⊥PN 面ABCD 。

故AD PN ⊥，NC PN ⊥。

以N 为空间原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz N -， ∵3
π
=
∠ADC ，2==DC AD ，
∴ADC ∆为正三角形,3=NC ,
∴)0,0,0(N ,)0,0,3(C ，)0,1,0(D ，)1,1,0(E ，
∴)1,1,0(=NE ，)0,0,3(=NC ，)1,0,0(=DE ,)0,1,3(-=DC ， 设平面NEC 的一个法向量),,(1z y x n =，则由01=•NE n ，01=•NC n 可得
⎩
⎨
⎧==+,03,
0x z y 令1=y ，则)1,1,0(1-=n . 设平面CDE 的一个法向量),,(1112z y x n =，则由02=•DE n ，02=•DC n 可得
⎩⎨
⎧
=-=,
03,0111y x z 令11=x ，则)0,3,1(2=n . 则46
2
23,cos 212121=
=•=
n n n n n n ， 设二面角D CE N --的平面角为θ，则4
10
)46(
1sin 2=
-=θ, ∴二面角D CE N --的正弦值为
4
10
. 20。

解：(Ⅰ）由题意知，MP MF ME =+46=>==+EF r MF ，
故由椭圆定义知,点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长
半轴长为3=a ，短半轴长为5232
2=-=b ,
∴曲线C 的方程为：15
92
2=+y x 。

（Ⅱ）由题意知)0,2(F ，
若直线AB 恰好过原点，则)0,3(-A ，)0,3(B ，)0,0(N ， ∴)0,3(-=NA ，)0,5(=AF ，则5
3
-
=m ， )0,3(=NB ，)0,1(-=BF ,则3-=n ，
∴5
18-
=+n m 。

若直线AB 不过原点，设直线AB ：2+=ty x ，0≠t ，
),2(11y ty A +，),2(22y ty B +，)2
,0(t
N -.
则,2(1+=ty NA )21t
y +，),(11y ty AF --=，
,2(2+=ty NB )22t
y +，),(22y ty BF --=,
由AF m NA =,得)(211y m t y -=+
，从而121ty m --=； 由BF n NB =，得)(222y n t y -=+
，从而2
21ty n --=； 故=+n m 121ty -
-)2
1(2
ty --+)11(2221y y t +--=2121
22y y y y t +⨯--=. 联立方程组得：⎪⎩⎪
⎨⎧=++=,159
,
22
2y x ty x 整理得02520)95(22=-++ty y t ， ∴9520221+=
+t t y y ,9
52522
1+=t y y , ∴=+n m 2
12122y y y y t +⨯
-
-518
582252022-=--=⨯--=t t 。

综上所述，5
18
-
=+n m 。

21。

(Ⅰ)证明：由题意知x
exe x x x f --+=4ln )(，
于是=+-+='x
e x e x x
f )1(11)(x
exe x e x e x x x x )1)(1()1(1-+=+-+
令x
exe x -=1)(μ，)0(0)1()(><+-='x e x e x x
μ， ∴)(x μ在)0(∞+上单调递减.
又01)0(>=μ，01)1
(1
<-=e e e
μ，
所以存在)1,0(0e
x ∈,使得0)(0=x μ, 综上)(x f 存在唯一零点)1,0(0e
x ∈.
解：当),0(0x x ∈，0)(>x μ，于是0)(>'x f ,)(x f 在),0(0x 单调递增； 当),(0+∞∈x x ，0)(<x μ,于是0)(<'x f ，)(x f 在),(0+∞x 单调递减；
故00000max 4ln )()(x e ex x x x f x f --+==,
又01)(000=-=x e ex x μ，001x x e e =,00ln 11ln 0x e
x x --==， 故)ln 1(ln )(00max x x x f --+=615140
0-=--=•--ex e x . （Ⅱ）解：)()(x q x p >等价于x axe x x >-+4ln .
x axe x x >-+4ln x x xe x x xe x x a 4ln 4ln -+=-+<
⇔, 令x xe x x x h 4ln )(-+=，则x
e x x x x x h 2)5)(ln 1()(-++=', 令5ln )(-+=x x x ϕ,则011)(>+='x
x ϕ，即)(x ϕ在),0(+∞上单调递增. 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，
∴存在),0(t t ∈，使得0)(=t ϕ.
∴当),0(t x ∈，)(0)(0)(x h x h x ⇒>'⇒<ϕ在),0(t 单调递增； 当),(+∞∈t x ，)(0)(0)(x h x h x ⇒<'⇒>ϕ在),(+∞t 单调递减。

∵03)1(<-=e h ，0222ln )2(2<-=e
h ，0313ln )3(3>-=e h ， 且当3>x 时,0)(>x h , 又e h 3)1(=，>-=222ln 2)2(e h 3313ln )3(e
h -=,44ln 2)4(e h =， 故要使不等式)()(x q x p >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为≤≤-a e 3313ln 2
22ln 2e -. 22.解：（Ⅰ）将1C 参数方程化为普通方程为3)1(22=+-y x ,即02222=--+x y x ， ∴1C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.
将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为122=+y x 。

(Ⅱ）将3π
θ=代入1C :02cos 22=--θρρ整理得022
=--ρρ， 解得21=ρ，即21==ρOA .
∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线)0(3≥=ρπ
θ与2C 相交,即12=ρ，即12==ρOB . 故11221=-=-=ρρAB 。

23.解：(Ⅰ)当31≤
x 时，x x f 67)(-=，由8)(≥x f 解得61-≤x ，综合得61-≤x ， 当23
1<<x 时，5)(=x f ,显然8)(≥x f 不成立， 当2≥x 时，76)(-=x x f ，由8)(≥x f 解得25≥x ，综合得2
5≥x ， 所以8)(≥x f 的解集是),2
5[]61,(+∞--∞ . (Ⅱ)633)(-+-=x a x x f a x a x -=---≥6)63()3(， 112)(≥+-=x x g ， ∴根据题意16≥-a ,
解得7≥a ,或5≤a .。