[K12学习]浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测十六一元二次不等式及其解法习题课新人教A版必修5

课时跟踪检测（十六） 一元二次不等式及其解法（习题课）
层级一 学业水平达标
1．不等式
x －1
x
≥2的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选B 不等式
x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1
x
≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.
2．不等式4x ＋2
3x －1
＞0的解集是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＞13或x ＜－
12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－12＜x ＜
1
3 C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＞
1
3 D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜－
1
2 解析：选 A
4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－1
2
，此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ＞13或x ＜－
1
2. 3．若不等式x 2
＋mx ＋m
2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(0,2)
解析：选D ∵不等式x 2
＋mx ＋m
2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2
－2m <0，∴0<m <2.
4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )
A ．[15,20]
B ．[10,15]
C ．(10,15)
D ．(0,10]
解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得10≤t ≤15.
5．若关于x 的不等式x 2
－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．3
解析：选C 由已知可得m ≤x 2
－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2
－4x 在(0,1]上为减函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x
x ＋4≥1的解集为________．
解析：因为
5－x
x ＋4
≥1等价于
1－2x x ＋4≥0，所以2x －1
x ＋4
≤0，等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －1x ＋4≤0，
x ＋4≠0，解得－4<x ≤1
2
.
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－4，12 7．若不等式x 2
－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，知x 2
－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2
－4×3m ≤0，解得m ≥4
3
.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞ 8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．
解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2
＋x ＋a 2
－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2
－x ＋a ＋1－a 2
>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2
)<0，解得－12<a <32
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2
＋a (5－a )x ＋b .
(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)由f (x )>0，得－3x 2
＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2
－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＋a 5－a －b ＝0，27－3a 5－a －b ＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝9.
(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0， 即2a 2
－10a ＋(12－b )>0.
又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2
－4×2(12－b )<0，
∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值． 解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.
(1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
8080－10P
·P %≥96，
0<P <8，解得2≤P ≤6.
故P 的范围为[2,6]．
(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额，
f (2)＝4 800(万元)．
(3)∵0<P <8，
g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，
∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．
层级二 应试能力达标
1．不等式
x ＋5
x －1
2
≥2的解是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析：选D
x ＋5x －1
2≥2⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋5≥2
x －1
2
，
x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x ≤3，
x ≠1，
∴x ∈
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＋3
x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )
解析：选D
x ＋3
x －1
<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．
3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选 B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔
⎩
⎪⎨⎪⎧
g 1＝x 2
－3x ＋2>0，g －1＝x 2
－5x ＋6>0
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <1或x >2，
x <2或x >3⇔x <1或x >3.
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2
的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )
A ．[15,30]
B ．[12,25]
C ．[10,30]
D ．[20,30]
解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y
40
，∴y ＝40－x ，
∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2
－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.
5．若函数f (x )＝log 2(x 2
－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2
－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2
＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)
6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．
解析：5%<
x ·4%＋200·7%
x ＋200
<6%，
解得x 的范围是(100,400)． 答案：(100,400)
7．已知不等式mx 2
－2x ＋m －2<0.
(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．
解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2
－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2
－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．
当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有
⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝4－4m
m －2<0，
解得m <1－2，
综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．
(2)设g (m )＝(x 2
＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2
＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，
即2x 2
＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．
8．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2
＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2
－4(3－a )≤0，即a 2
＋4a －12≤0，
∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]．
(2)f (x )＝x 2
＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋3－a 2
4.
①当－a
2
<－2，即a >4时，
f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，
由－2a ＋7≥a ，得a ≤7
3
，∴a ∈∅.
②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2
4，
由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a
2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，
由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2].。