2007数学(含答案)
2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解
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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=,,,…,一、选择题(1)α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513-(2)设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a =( ) A .12 B .1 C .32D .2(3)已知向量(56)=-,a ,(65)=,b ,则a 与b ( ) A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向(4)已知双曲线的离心率为2,焦点是(40)-,,(40),,则双曲线方程为( ) A .221412x y -= B .221124x y -= C .221106x y -= D .221610x y -=(5)设a b ∈R ,,集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,,,,,则b a -=( ) A .1B .1-C .2D .2-(6)下面给出的四个点中,到直线10x y -+=的距离为2,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩,表示的平面区域内的点是( ) A .(11),B .(11)-,C .(11)--,D .(11)-,(7)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .45(8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( ) AB .2C.D .4(9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件(10)21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为15,则n =( )A .3B .4C .5D .6(11)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是( ) A .4B.C.D .8(12)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是( ) A .233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .03π⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,第Ⅱ卷注意事项:AB1B1A1D1C CD1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.本卷共10题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答) (14)函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .(15)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 . (16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分) 设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. (18)(本小题满分12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.(19)(本小题满分12分)四棱锥S ABCD -中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,BC =SA SB =(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.(20)(本小题满分12分) 设函数()e e xxf x -=-.(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥;(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. (21)(本小题满分12分)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200132x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值.(22)(本小题满分12分)已知数列{}n a 中12a =,11)(2)n n a a +=+,123n =,,,…. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 中12b =,13423n n n b b b ++=+,123n =,,,…,43n n b a -<≤,123n =,,,….2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题: (1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C (7)D (8)D (9)B(10)D (11)C (12)A二、填空题:(13)36(14)3()xx ∈R(15)13(16)三、解答题: (17)解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<,所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭.由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭,. (18)解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元).(19)解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥,由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC∥, 故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =1SO =,SD =.SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S =, 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin h SD α===所以,直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥. 如图,以O 为坐标原点,OA 为x0)A ,,(0B ,(0C -,,(001)S ,,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,. 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭,,1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D ,(DS =.22cos 11OG DS OG DSα==sin β=,所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11. (20)解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e xxf x -'=+.由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20xxg x a a -'=+->-≥,故()g x 在(0)+,∞上为增函数,所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1ln x =,此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,. (21)证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22001x y +=,所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+;因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-,所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD的面积4S =.综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625. (22)解:(Ⅰ)由题设:11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=.所以,数列{n a 是首项为21的等比数列,1)n n a =,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n =2<,112b a ==,所以11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -<≤, 也即430k k b a -<. 当1n k =+时,13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+,又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -<≤,123n =,,,….2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=,,,…,一、选择题(1)α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=( ) A .15B .15-C .513D .513-(2)设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a =( ) A .12B .1C .32D .2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++,∵1i1i 2a +++是实数,∴102a -=,解得a =1.选B .(3)已知向量(56)=-,a ,(65)=,b ,则a 与b ( ) A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向【解析】由a ·b =0,得a 与b 垂直,选A .(4)已知双曲线的离心率为2,焦点是(40)-,,(4,0),则双曲线方程为( )A .221412x y -=B .221124x y -=C .221106x y -=D .221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-,,(4,0),得4c =,2a =,24a =,∴22212b c a =-=,∴双曲线方程为221412x y -=.故选A .(5)设a b ∈R ,,集合{}1{0}b a b a b a+=,,,,,则b a -=( )A .1B .-1C .2D .-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=,,,,知0a b +=或0a =.若0a =则ba无意义,故只有0a b +=,1b =(若1ba=,这与0a b +=矛盾),∴1a =-,2b a -=.故选C .(6)下面给出的四个点中,到直线10x y -+=,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩,表示的平面区域内的点是( )A .(11),B .(11)-,C .(11)--,D .(11)-,【解析】逐一检查,选C .(7)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( D )A .15B .25C .35D .45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45,选D .(8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( )(9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( )A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ,()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=,()()g x g x -=当然有()()h x h x -=;反之则未必,故选B .(10)21()n x x-的展开式中,常数项为15,则n =( )A 1D 1 C 1B 1AD CBA (综合法)(坐标法)A 1C 1 B 1AD CB第(7)题D 1A .3B .4C .5D .6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==,若常数项为15,令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩,64n r =⎧⎨=⎩,选D . (11)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是( C)(12)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是( ) A .2()33ππ,B .()62ππ,C .(0)3π,D .()66ππ-,()0x >,则第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.本卷共10题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答) 【解析】填36.从班委会5名成员中选出3名,共35A 种;其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种,则不同的选法共有35A -1224A A =36种.(14)函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .【解析】()f x =3()xx ∈R .(15)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比AC1A A 0(16)题。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案
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2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设S={x|2x+1>0},T={x|3x﹣5<0},则S∩T=()A.∅B.C.D.2.(5分)α是第四象限角,cosα=,则sinα=()A.B.C.D.3.(5分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(5分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(5分)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种6.(5分)下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2) B.(﹣2,0)C.(0,﹣2)D.(2,0)7.(5分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(5分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.49.(5分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(5分)函数y=2cos2x的一个单调增区间是()A.B.C.D.11.(5分)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.12.(5分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为.14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为.16.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,c=5,求b.18.(12分)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率.19.(12分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.21.(12分)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.22.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P (Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)设S={x|2x+1>0},T={x|3x﹣5<0},则S∩T=()A.∅B.C.D.【分析】集合S、T是一次不等式的解集,分别求出再求交集.【解答】解:S={x|2x+1>0}={x|x>﹣},T={x|3x﹣5<0}={x|x<},则S∩T=,故选D.2.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,cosα=,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1,得到余弦的值,又由角在第四象限,确定符号.【解答】解:∵α是第四象限角,∴sinα=,故选B.3.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种【分析】根据题意,先分析甲,有C42种,再分析乙、丙,有C43•C43种,进而由乘法原理计算可得答案.【解答】解;根据题意,甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,有C42种,乙、丙各选修3门,有C43•C43种,则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种,故选C.6.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2) B.(﹣2,0)C.(0,﹣2)D.(2,0)【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题,解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解:将四个点的坐标分别代入不等式组,解可得,满足条件的是(0,﹣2),故选C.7.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(5分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g (x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g (x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=2cos2x的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】要进行有关三角函数性质的运算,必须把三角函数式变为y=Asin(ωx+φ)的形式,要先把函数式降幂,降幂用二倍角公式.【解答】解:函数y=2cos2x=1+cos2x,由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ,解得﹣π+kπ≤x≤kπ,k为整数,∴k=1即有它的一个单调增区是,故选D.11.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.【分析】(1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程;(2)利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积.【解答】解:若y=x3+x,则y′|x=1=2,即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,﹣),围成的三角形面积为,故选A.12.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为0.25.【分析】由题意知本题是一个统计问题,需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率,试验发生包含的事件数时20,袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的可以数出有5,利用概率公式,得到结果.【解答】解:从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25.故答案为:0.2514.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为.【分析】先确定球心位置,再求球的半径,然后可求球的体积.【解答】解:正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的球心恰好是底面ABCD的中心,球的半径是1,体积为.故答案为:16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,c=5,求b.【分析】(1)根据正弦定理将边的关系化为角的关系,然后即可求出角B的正弦值,再由△ABC为锐角三角形可得答案.(2)根据(1)中所求角B的值,和余弦定理直接可求b的值.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7.所以,.18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率.【分析】(1)3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款,根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率,再根据对立事件的公式得到结论.(2)3位顾客每人购买1件该商品,顾客的付款方式为一次性付款和分期付款,且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款,根据互斥事件的公式得到结果.【解答】解:(Ⅰ)记A表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.P()=(1﹣0.6)3=0.064,.(Ⅱ)记B表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.B0表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.B1表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则B=B0+B1.P(B0)=0.63=0.216,P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432.P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648.19.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC 的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.【分析】(1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可.(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2在区间[0,3]上成立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求c的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.【分析】(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得d和q,进而可得{a n}、{b n}的通项公式.(Ⅱ)数列的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前n项和S n.【解答】解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得d=2,q=2.所以a n=1+(n﹣1)d=2n﹣1,b n=q n﹣1=2n﹣1.(Ⅱ),,①S n=,②①﹣②得S n=1+2(++…+)﹣,则===.22.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.。
2007年高考数学卷(上海.理)含答案
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2007年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题,满分150分.考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一.填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 .2.若直线1210l x my ++=: 与直线231l y x =-:平行,则=m .3.函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f .4.方程 96370x x -•-=的解是 .5.若x y ∈+R ,,且14=+y x ,则x y •的最大值是 . 6.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T .7.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示).8.以双曲线15422=-y x 的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 . 9.对于非零实数a b ,,以下四个命题都成立: ① 01≠+aa ; ② 2222)(b ab a b a ++=+; ③ 若||||b a =,则b a ±=; ④ 若ab a =2,则b a =.那么,对于非零复数a b ,,仍然成立的命题的所有序号是 . 10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知αβ,是两个相交平面,空间两条直线12l l ,在α上的射影是直线12s s ,,12l l ,在β上的射影是直线12t t ,.用1s 与2s ,1t 与2t 的位置关系,写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件: . 11.已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点(原点O 除外),直线OP 的倾斜角为θ弧度,记||OP d =. 在右侧的坐标系中,画出以()d θ, 为坐标的点的轨迹的大致图形为二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4 题,每题都给出代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.12.已知a b ∈R ,,且i ,i 2++b a (i 是虚数单位)是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根,那么p q ,的值分别是( ) A.45p q =-=, B.43p q =-=, C.45p q ==,D.43p q ==,13.设a b ,是非零实数,若b a <,则下列不等式成立的是( ) A.22b a < B.b a ab 22< C.ba ab 2211< D.b aa b < 14.直角坐标系xOy 中,i j ,分别是与x y ,轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中,若j k i j i+=+=3,2,则k 的可能值个数是( )A.1 B.2 C.3 D.415.设)(x f 是定义在正整数集上的函数,且)(x f 满足:“当2()f k k ≥成立时,总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”.那么,下列命题总成立的是( ) A.若(3)9f ≥成立,则当1k ≥时,均有2()f k k ≥成立 B.若(5)25f ≥成立,则当5k ≤时,均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAC.若49)7(<f 成立,则当8k ≥时,均有2)(k k f <成立 D.若25)4(=f 成立,则当4k ≥时,均有2()f k k ≥成立三.解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中,1,90===∠BC AC ACB.求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 17.(本题满分14分)在ABC △中,a b c ,,分别是三个内角A B C ,,的对边.若4π,2==C a ,5522cos=B ,求ABC △的面积S .18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R .(1)讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由;(2)若函数)(x f 在[2)x ∈+∞,上为增函数,求a 的取值范围.20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如果有穷数列123n a a a a ,,,,(n 为正整数)满足条件n a a =1,12-=n a a ,…,1a a n =,即1+-=i n i a a (12i n =,,,),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列01m m m m C C C ,,,就是“对称数列”.(1)设{}n b 是项数为7的“对称数列”,其中1234b b b b ,,,是等差数列,且21=b ,114=b .依次写出{}n b 的每一项;(2)设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”,其中121k k k c c c +-,,,是首项为50,公差为4-的等差数列.记{}n c 各项的和为12-k S .当k 为何值时,12-k S 取得最大值?并求出12-k S 的最大值;(3)对于确定的正整数1>m ,写出所有项数不超过m 2的“对称数列”,使得211222m -,,,,依次是该数列中连续的项;当m 1500>时,求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S .21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”,其中222c b a +=,0>a ,0>>c b .如图,点0F ,1F ,2F 是相应椭圆的焦点,1A ,2A 和1B ,2B 分别是“果圆”与x ,y轴的交点.(1)若012F F F △是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;(2)当21A A >21B B 时,求ab的取值范围; (3的弦.试研究:是否存在实数k ,使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k 值;若不存在,说明理由.2007年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题(第1题至第11题) 1. {}34≠<x x x 且 2. 32-3.)(11≠-x x x4.7log 3 5.161 6. π 7. 3.0 8. )3(122+=x y 9.②④10. 21//s s ,并且1t 与2t 相交(//1t 2t ,并且1s 与2s 相交)11.二、选择题(第12题至第15题)题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题(第16题至第21题) 16.解法一: 由题意,可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△, ∴ 211==CC AA .连接1BC .1111111AC B C AC CC ⊥⊥,,⊥∴11C A 平面C C BB 11,11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角. 52211=+=BC CC BC ,51tan 11111==∠∴BC C A BC A ,则 11BC A ∠=55arctan . CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan. 解法二: 由题意,可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====, 21=∴CC ,如图,建立空间直角坐标系. 得点(010)B ,,, 1(002)C ,,,1(102)A ,,. 则1(112)A B =--,,, 平面C C BB 11的法向量为(100)n =,,. 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ,A 1与n 的夹角为ϕ, 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ,即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin. 17.解: 由题意,得3cos 5B B =,为锐角,54sin =B ,10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A , 由正弦定理得 710=c , ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=.18.解:(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36,%38,%40,%42.则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦).(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ,则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥. 解得0.615x ≥.因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61. 19.解:(1)当0=a 时,2)(x x f =, 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞,,,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数.当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠,, 取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠,, (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠,,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数. (2)解法一:设122x x <≤, 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121, 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞,上为增函数,必须0)()(21<-x f x f 恒成立.121204x x x x -<>,,即)(2121x x x x a +<恒成立.又421>+x x ,16)(2121>+∴x x x x . a ∴的取值范围是(16]-∞,.解法二:当0=a 时,2)(x x f =,显然在[2)+∞,为增函数.当0<a 时,反比例函数xa在[2)+∞,为增函数, xax x f +=∴2)(在[2)+∞,为增函数. 当0>a 时,同解法一.20.解:(1)设{}n b 的公差为d ,则1132314=+=+=d d b b ,解得 3=d , ∴数列{}n b 为25811852,,,,,,.(2)12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ,50134)13(42212-⨯+--=-k S k ,∴当13=k 时,12-k S 取得最大值.12-k S 的最大值为626. (3)所有可能的“对称数列”是: ① 22122122222221m m m ---,,,,,,,,,,;② 2211221222222221m m m m ----,,,,,,,,,,,; ③ 122221222212222m m m m ----,,,,,,,,,,; ④ 1222212222112222m m m m ----,,,,,,,,,,,. 对于①,当2008m ≥时,1222212008200722008-=++++= S . 当15002007m <≤时,200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m .对于②,当2008m ≥时,1220082008-=S . 当15002007m <≤时,2008S 122200821--=-+m m .对于③,当2008m ≥时,2008200822--=m m S .当15002007m <≤时,2008S 3222009-+=-mm .对于④,当2008m ≥时,2008200822--=m m S .当15002007m <≤时,2008S 2222008-+=-mm .21. 解:(1) ()()012(0)00F c F F -,,,,,021211F F b F F ∴=====,,于是22223744c a b c ==+=,,所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥,2241(0)3y x x +=≤. (2)由题意,得 b c a 2>+,即a b b a ->-222.2222)2(a c b b =+> ,222)2(a b b a ->-∴,得54<a b . 又21,222222>∴-=>a b b a c b . 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭,. (3)设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥,22221(0)y x x b c+=≤.记平行弦的斜率为k .当0=k 时,直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是梦想不会辜负一个努力的人all`试题11P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ∴ P Q ,的中点M ()x y ,满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩,得 122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x . b a 2<,∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭. 综上所述,当0=k 时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.当0>k 时,以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,. 由此,在直线l 右侧,以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上,即不在某一椭圆上. 当0<k 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.。
2007年浙江数学(理科)含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理工类)第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)“1x >”是“2x x >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件(2)若函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R (其中0ω>,2ϕπ<)的最小正周期是π,且(0)f = )A .126ωϕπ==, B .123ωϕπ==, C .26ωϕπ==,D .23ωϕπ==,(3)直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是( ) A.210x y +-= B.210x y +-= C.230x y +-=D.230x y +-=(4)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A.3 B.4 C.5 D.6(5)已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ,,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68 D ,0.84 (6)若P 两条异面直线l m ,外的任意一点,则( ) A.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都垂直 C.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都相交 D.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都异面 (7)若非零向量,a b 满足+=a b b ,则( ) A.2>2+a a b B.22<+a a b C.2>+2b a bD. 22<+b a b(8)设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )(9)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是准线上一点,且12PF PF ⊥,124PF PF ab = ,则双曲线的离心率是( )C.2D.3(10)设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩,≥,,,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+,∞,则()g x 的值域是( )A .(][)11--+ ∞,,∞B .(][)10--+ ∞,,∞C .[)0+,∞D .[)1+,∞第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. (11)已知复数11i z =-,121i z z =+ ,则复数2z = . (12)已知1sin cos 5θθ+=,且324θππ≤≤,则cos 2θ的值是 . (13)不等式211x x --<的解集是 .(14)某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元钱买杂志(每种至多买一本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数是 (用数字作答). (15)随机变量ξ的分布列如下:其中a b c ,,成等差数列,若3E ξ=,则D ξ的值是. A . B .C .D .(16)已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且45POB ∠=.若对于β内异于O 的任意一点Q ,都有45POQ ∠ ≥,则二面角AB αβ--的大小是.(17)设m 为实数,若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥,≥,≤≥,则m 的取值范围是 .三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (18)(本题14分)已知ABC △1,且sin sin A B C +. (I )求边AB 的长;(II )若ABC △的面积为1sin 6C ,求角C 的度数.(19)(本题14分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC BC ⊥,且2A C B C B D A E ===,M 是AB 的中点.(I )求证:CM EM ⊥;(II )求CM 与平面CDE 所成的角.(20)(本题14分)如图,直线y kx b =+与椭圆2214xy +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S .(I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.(21)(本题15分)已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -,是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根,且212(123)k k a a k -= ≤,,,.(I )求1a ,2a ,3a ,7a ; (II )求数列{}n a 的前2n 项和2n S ; (Ⅲ)记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…, E DCMA(第19题)B(第20题)求证:15()624n T n ∈*N ≤≤. (22)(本题15分)设3()3x f x =,对任意实数t ,记232()3t g x t x t =-.(I )求函数()()t y f x g x =-的单调区间;(II )求证:(ⅰ)当0x >时,()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立; (ⅱ)有且仅有一个正实数0x ,使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.2007年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理工类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.(1)A (2)D (3)D (4)B (5)A (6)B (7)C (8)D (9)B (10)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分28分. (11)1 (12)725- (13){}02x x << (14)266(15)59(16)90(17)403m ≤≤三、解答题(18)解:(I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=,BC AC +,两式相减,得1AB =. (II )由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ,得13BC AC = , 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== , 所以60C =.(19)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分14分. 方法一:(I )证明:因为AC BC =,M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥. 又EA ⊥平面ABC , 所以CM EM ⊥.(II )解:过点M 作MH ⊥平面CDE ,垂足是H ,连结CH 交延长交ED 于点F ,连结MF ,MD .FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角. 因为MH ⊥平面CDE ,所以MH ED ⊥, 又因为CM ⊥平面EDM , 所以CM ED ⊥,则ED ⊥平面CMF ,因此ED MF ⊥.设EA a =,2BD BC AC a ===,在直角梯形ABDE 中,AB =,M 是AB 的中点,所以3DE a =,EM =,MD =, 得EMD △是直角三角形,其中90EMD =∠,所以EM MDMF DE== .在Rt CMF △中,tan 1MFFCM MC==∠, 所以45FCM =∠,故CM 与平面CDE 所成的角是45. 方法二:如图,以点C 为坐标原点,以CA ,CB 分别为x 轴和y 轴,过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立直角坐标系C xyz -,设E A a =,则(2)A a 00,,,(020)B a ,,,(20)E a a ,,.(022)D a a ,,,(0)M a a ,,.(I )证明:因为()EM a a a =-- ,,,(0)CM a a =,,, 所以0EM CM =, 故EM CM ⊥.(II )解:设向量001y z (),,n =与平面CDE 垂直,则CE ⊥ n ,CD ⊥n , 即0CE =n ,0CD =n . EDC MAE H因为(20)CE a a = ,,,(022)CD a a = ,,, 所以02y =,02x =-, 即(122)=-,,n ,cos CM CM CM ==,n n n, 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM夹角的余角,所以45θ=,因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45.(20)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.(Ⅰ)解:设点A 的坐标为1()x b ,,点B 的坐标为2()x b ,,由2214x b +=,解得12x =±, 所以1212S b x x =-2b =2211b b +-=≤.当且仅当b =S 取到最大值1. (Ⅱ)解:由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,, 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,2241k b ∆=-+,11||||AB x x =-2214k ==+ . ②设O 到AB 的距离为d ,则21||Sd AB ==, 又因为d =,所以221b k =+,代入②式并整理,得42104k k -+=, 解得212k =,232b =,代入①式检验,0∆>,故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+,或22y x =--.21.本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分15分. (I )解:方程2(32)320k k x k x k -++= 的两个根为13x k =,22k x =, 当1k =时,1232x x ==,, 所以12a =;当2k =时,16x =,24x =, 所以34a =;当3k =时,19x =,28x =, 所以58a =时;当4k =时,112x =,216x =, 所以712a =.(II )解:2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-.(III )证明:(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++, 所以112116T a a ==, 2123411524T a a a a =+=. 当3n ≥时,(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++, 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n =+> , 同时,(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-< . 综上,当n ∈N *时,15624n T ≤≤. 22.本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分15分.(I )解:316433x y x =-+. 由240y x '=-=,得2x =±.因为当(2)x ∈-∞-,时,y '>0,当(22)x ∈-,时,0y '<, 当(2)x ∈+∞,时,0y '>,故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-,,(2)+∞,, 单调递减区间是(22)-,. (II )证明:(i )方法一:令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>,则 223()h x x t '=-,当0t >时,由()0h x '=,得13x t =, 当13()x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(0)+∞,内的最小值是13()0h t =. 故当0x >时,()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意固定的0x >,令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->,则 11332()()3h t t x t -'=-,由()0h t '=,得3t x =. 当30t x <<时,()0h t '>. 当3t x >时,()0h t '<,所以当3t x =时,()h t 取得最大值331()3h x x =. 因此当0x >时,()()f x g x ≥对任意正实数t 成立. (ii )方法一:8(2)(2)3t f g ==. 由(i )得,(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立.即存在正实数02x =,使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立. 下面证明0x 的唯一性: 当02x ≠,00x >,8t =时,300()3x f x =,0016()43x g x x =-,由(i )得,30016433x x >-, 再取30t x =,得30300()3x x g x =,所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=, 即02x ≠时,不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立. 故有且仅有一个正实数02x =,使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意00x >,0016()43x g x x =-, 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ,所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是:300161433x x -≥, 即200(2)(4)0x x -+≤,①又因为00x >,不等式①成立的充分必要条件是02x =, 所以有且仅有一个正实数02x =,使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.。
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版
![2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版](https://img.taocdn.com/s3/m/3bc1d7db7f1922791688e8d8.png)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(浙江.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含答案
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案
宁夏和海南都是新课标教材,使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校 张万建 整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江苏卷不分文理)含答案
注:使用全国卷Ⅰ的省份:河北 河南 山西 广西 ;
使用全国卷Ⅱ的省份:吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏
2007—数一真题、标准答案及解析
![2007—数一真题、标准答案及解析](https://img.taocdn.com/s3/m/5039dbf7aef8941ea76e0548.png)
2007年考研数学一真题一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1) 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f (x )在x=0处连续,下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在,则f (0)=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则f (0)=0C. 若0()lim x f x x → 存在,则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则'(0)f =0(5)设函数f (x )在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >,则{n u }必收敛 B. 若12u u >,则{n u }必发散 C. 若12u u <,则{n u }必收敛 D. 若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线L :f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰(7)设向量组1α,2α,3α线形无关,则下列向量组线形相关的是: ( ) (A ),,122331αααααα--- (B ) ,,122331αααααα+++(C ) 1223312,2,2αααααα--- (D )1223312,2,2αααααα+++(8)设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭,B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ( )(A) 合同,且相似(B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p ()01p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为: ( ) (A )23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量(X ,Y )服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示X ,Y 的概率密度,则在Y =y 的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )(A )()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二.填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11)31211x e dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y xz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y =____________. (14)设曲面∑:||||||1x y z ++=,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵A =0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三.解答题:17~24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值。
2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)
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如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2,
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1.a 是第四象限角, tan 5 ,则 sin 12
A. 1 5
B. 1 5
2.设 a 是实数,且 a 1 i 是实数,则 a= 1i 2
A. 1 2
B.1
3.已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C. 5 13
C. 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具,有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲,提新学话为出,内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓(找终平主关小1一代坚义)键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社,会年,主更进作会是主,人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实,刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。,义硬质、,要基生,》以人一,道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而,把才促由果,有讲社的源强为把我是进中,消完话会办是调四中发们(硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一)须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会,产党什,(代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义)对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主,年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立,实级力产改是义高1展一时中我决,的邓产的是力9,力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农,建达。1一发,改民资方中2,根个政因教党业是设到(月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2,强要国开育主指索)适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽,政以平的4了一三造.时,学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来,过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和展社提题马。级务为。会,本是识个1总主 会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条,综谓产人的会需义会生决和业金商,题1完制 本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也,1整度 制,大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立 确共,。出社主社和社主基,的二理时的行社体主实示、:, 立同确苏“会义会目会3义本是提节论,基关改会现义了社.从为 ,富立共社文,社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当 使裕了二会明就会义。义、造盾固,对重国方是。义根造所会之华代 占,中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中 世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国 界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的(自仅同求完的本质共一 人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切 口们党毛属要直)制的包最伴社成盾会推中本要的证并,史论国发 四必领泽于标接正度确括大随会,的主进国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立(,着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对)出,步 一持人出,和理立中够会建国,取度开社的发的践中。马把到奠 的民要社支经,国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了 方主以下建4广史主体制路要引然社义变,.史主和主把制 大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。 了过本会,是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的,括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现,对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度 会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的 ,第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建 这三主度。社大主,社路化,同这大,的发事主度国的会过结立 是节要。会义关人也会,1社性场的标重展业义的特本主.渡合极 世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结(色质义时起大 界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地 社(会被民原级了会基)世了社义矛而武我义要展化,会(业。,提 会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同),同实主2化党把高 主对义括专,高一产制资中)论的济,刻。新经遵改总时现义新是在对了 义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工 运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过,举由有主在个本人 动、届 业在一质是式农的.(初义一消,关已民是它会(没主化愿于和的新重主过过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民(大)义渡渡义级 上民会中 社国三已展)分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和 又主全 会的改成生坚。主立)业时削了发对义确国,僚命满、的造,主理和会期期商广 一主义会确”为产持初题正者代,广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大 个义改提立。无,积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根,理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动 史命的使 造一阶二领式主落(.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人 性理历中 ,化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意)方济的和为民 的论史国 党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积 大以验稳 政社;致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民会命级力吐对1有,。发的个村主社之加助想会变导资—要.,力性 利、泽地 采主民。进农社地第的必和出社制中(,发以包义会间强的,变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根)要社创合为农 了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建,2中经持主织工义上全一主性国要极化会话,家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造,设以央济社义起商性改体个义。特代转 领,制成采对业造东会主包,劳到质国领装已��
2007数一真题大全及答案
![2007数一真题大全及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/d0dd4348ff00bed5b9f31d5d.png)
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小
量,再进行比较分析找出正确答案.
【详解】 当 x → 0+ 时,有1− e x = −(e x −1) ~ − x ; 1+ x −1 ~ 1 x ; 2
1− cos x ~ 1 ( x)2 = 1 x. 利用排除法知应选(B).
2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、选择题:(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 当 x → 0+ 时,与 x 等价的无穷小量是
(A) 1− e x . (B) ln 1+ x . (C) 1+ x −1 . (D) 1− cos x . [ B ] 1− x
求函数 f (x, y) = x2 + 2 y2 − x2 y2 在区域 D = {(x, y) x2 + y2 4, y 0} 上的最大值和
最小值。 【分析】 由于 D 为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨
x→+
x x→+
x→+
= lim [ln ex (1+ e−x ) − x] = lim ln(1+ e−x ) = 0 ,
x→+
x→+
于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D). (3) 如图,连续函数 y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半
x
圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周,设 F(x) = f (t)dt. 0
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析
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2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.应选D.【解答】解:S={x|2x+1>0}={x|x>﹣},T={x|3x﹣5<0}={x|x<},则S∩T=,故选D.2.应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1,得到余弦的值,又由角在第四象限,确定符号.【解答】解:∵α是第四象限角,∴sinα=,故选B.3.应选A.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.应选A.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.应选C.【解答】解;根据题意,甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,有C42种,乙、丙各选修3门,有C43•C43种,则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种,故选C.6.应选C.【解答】解:将四个点的坐标分别代入不等式组,解可得,满足条件的是(0,﹣2),故选C.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.应选D.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.应选B.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.应选D.【解答】解:函数y=2cos2x=1+cos2x,由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ,解得﹣π+kπ≤x≤kπ,k为整数,∴k=1即有它的一个单调增区是,故选D.【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式,化简的标准:第一,尽量使函数种类最少,次数最低,而且尽量化成积的形式;第二,能求出值的要求出值;在化简三角函数时,应注意“1”的代换,1=sin2α+cos2α,1=tanα•cotα等,对于函数种类较多的式子,化简时,常用“切化弦法”,遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂.【解答】解:若y=x3+x,则y′|x=1=2,即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,﹣),围成的三角形面积为,故选A.12.应选C.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.0.25【解答】解:从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25.故答案为:0.2514.3x(x∈R)【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.【解答】解:正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的球心恰好是底面ABCD的中心,球的半径是1,体积为.故答案为:16.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7.所以,.18.(12分)【解答】解:(Ⅰ)记A表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.P()=(1﹣0.6)3=0.064,.(Ⅱ)记B表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.B0表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.B1表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则B=B0+B1.P(B0)=0.63=0.216,P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432.P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648.19.(12分)【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(12分)【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.(12分)【解答】解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得d=2,q=2.所以a n=1+(n﹣1)d=2n﹣1,b n=q n﹣1=2n﹣1.(Ⅱ),,①S n=,②①﹣②得S n=1+2(++…+)﹣,则===.22.(12分)【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.。
2007年数一真题试题+答案
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2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题: 1~ 10 小题 , 每小题 4 分, 共 40 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上....(1) 当 x 0 时 , 与 x 等价的无穷小量是 ( )(A)1 e x.(B)ln1x . (C)1x1. (D)1 cos x .1x答案: (B) .(2) 曲线 y1 ln(1 e x ) 渐近线的条数为 ( )0 x1.23(A) . (B)(C).(D).答案: (D) .(3) 如图 , 连续函数 yf ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周 , 在区2,0 ,0,2 上的图形分别是直径为xf (t)dt , 则下列结论正确间2 的上、下半圆周 , 设 F ( x)的是( )(A) F (3)3 F( 2).(B)F (3)5F(2) .44(C) F( 3)3F(2).(D)F( 3)5F ( 2) .44答案: (C) .(4) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续 , 则下列命题错误 的是 ( )..(A) 若 limx 0(C) 若 limx 0答案: (D) .(5) 设函数 f ( x) 确的是() f ( x) 存在 , 则 f (0) 0 .(B)若 lim f ( x)f ( x)存在 , 则 f (0)0 .xx 0xf ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .(D)若 lim f (x)f ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .xx 0x在 (0, ) 上具有二阶导数 , 且 f ( x)0 , 令 u n f (n) (n 1,2, ) , 则下列结论正(A)若 u 1 u 2 , 则 u n 必收敛 .(B) 若 u 1 u 2 , 则 u n 必发散 . (C) 若 uu , 则 u 必收敛 .(D)若 uu , 则 u必发散 .12n12n答案: (D) .(6) 设曲线 L : f ( x, y)1( f ( x, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零 的是 ( )...(A)f (x, y)dx . (B)f ( x, y)dy .(C)f (x, y)ds .(D)f x (x, y)dx f y (x, y) dy .答案: (B) .(7) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组线性相关 的是( ).... (A)(C)12 ,23,31 . (B) 12 ,23 ,31 .12 2 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,32 1 .答案: (A) .21 1 1 0 0(8) 设矩阵 A12 1 , B 0 1 0 ,则 A 与B ( ) 1120 0 0(A) 合同, 且相似 .(C) 不合同 , 但相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (D)既不合同 , 也不相似 .答案: (B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为p(0p 1) , 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A)3 p(1 p) 2 . (B)6 p(1 p)2 .(C)3p 2 (1p)2 .(D)6p 2 (1 p)2 .答案: (C) .(10) 设随机变量 ( X ,Y) 服从二维正态分布 ,且 X 与Y 不相关 , f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X , Y 的概率密度,则在Yy 条件下 , X 的条件概率密度 f X Y ( x y) 为 ( )(A)f X ( x) . (B)f Y ( y) .(C)f X ( x) f Y ( y) . (D)f X( x).f Y ( y)答案: (A) .二、填空题: 11~ 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸 指定位置上 .... 21 1 .(11)x 3e xdx1答案: e .2(12)设 f (u, v) 为二元可微函数,z f ( x y , y x ), 则z.z x答案:f1 ( x y , y x ) yx y1f2 (x y , y x ) y x ln yx.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案:非齐次线性微分方程的通解为y C1e x C2e3 x2e2 x.(14)设曲面: x y z1,则( x y )dS.答案:( x y )dS1443. y dS3330 1 00(15)设距阵 A00 1 0,则A3的秩为.000 1000 0答案: r A3 1.(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1的概率为. 23答案:.三、解答题:17~ 24 小题 , 共 86 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、...证明过程或演算步骤.(17)( 本题满分 11 分)求函数 f (x, y) x22y2x2 y2, 在区域 D (x, y) x2y24, y0 上的最大值和最小值.答案:函数在 D 上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0)0 .(18) (本题满分10分)计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中为曲面 z 1 x2 y2(0 z 1)的上侧.4答案:I.(19)( 本题满分 11 分)设函数 f ( x) , g (x) 在a, b 上连续,在(a, b)内二阶可导且存在相等的最大值, 又f ( a)=g (a) , f (b) = g(b) ,证明:存在(a,b), 使得 f ''( )g ''( ).证明:设(x) f (x) g( x) ,由题设 f ( x), g ( x) 存在相等的最大值, 设x1(a,b) ,x2(a, b)使 f ( x1 ) max f ( x) g( x2 ) max g( x) .[ a .b][ a.b ]若x1x2,即f ( x)与g( x)在同一点取得最大值, 此时 , 取x1,有f ( )g ( ) ;若 x1x2,不妨设 x1x2,则( x1 ) f (x1) g (x1) 0 ,(x2 ) f (x2 ) g( x2 ) 0 ,且( x) 在a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b), 使得( ) 0 ,即 f ( ) g( ) ;由题设 f (a) = g (a) , f (b) = g (b) ,则(a) 0(b) ,结合( ) 0 ,且(x) 在a, b 上连续 , 在(a, b)内二阶可导 , 应用两次使用罗尔定理知:存在1(a, ), 2 ( , b),使得( 1)=0, ( 2)0.在[ 1,2 ] 再由罗尔定理,存在( 1, 2),使( )0 .即 f ( ) g ( ) .(20)( 本题满分 10 分)设幂级数a n x n在 (,)内收敛,其和函数 y(x) 满足 y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.n 0(I) 证明a n22a n , n1,2, .n1(II)求 y( x) 的表达式.答案: (I)证明:对 y ax n n , 求一阶和二阶导数, 得y na n x n 1, y n(n 1)a n x n 2 ,n 0n 1n 2代入 y2xy 4 y 0 ,得n( n 1)a n x n 22x na n x n 1 4 a n x n0 .n 2n 1n 0即(n 1)(n 2) a n 2 x n2na n x n4a n x n0 .n 0n 1n 0于是2a 2 4a 0 00, n 1,2,,从而an 22a n , n 1,2, .1)a2an 1 (nn 2 n(II) yxe x 2.(21) ( 本题满分 11 分 )x 1 x 2 x 3 0设线性方程组x 1 2x 2 ax 30 (1) 与 方程 x 12x 2 x 3a 1 (2) 有公共解 , 求 a 得x 14x 2 a 2 x 3 0值及所有公共解 .1 1 1 0答案:当 a 1 时, ( A b)0 1 0 0 , 所以方程组的通解为 k (1,0, 1)T , k 为任意常数 , 此即为0 0 0 00 0 0方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .1 11 0当 a2 时 , ( A b)1 1 0 , 此时方程组有唯一解(0,1, 1)T , 此即为方程组 (1) 与1 10 00 0(2) 的公共解 .(22) ( 本题满分11 分)设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1, 1,1)T是 A 的属于1 的一个特征向量 .记 BA 5 4 A 3 E ,其中 E 为3 阶单位矩阵 .(I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量 , 并求 B 的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵 B .答案:(I) 由 A 11 , 可得 A k1A k 1 ( A 1)A k 1 11 , k 是正整数 , 则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 14A 31E 114112 1 ,于是 1 是矩阵 B 的属于特征值12特征向量 .所以 B 的所有的特征向量为:对应于12 的全体特征向量为 k 11 ,其中k 1 是非零任意常1k , k200011 (II)BP010P 110 1 .001110 (23) (本题满分11 分 )设二维随机变量( X ,Y) 的概率密度为 f ( x, y)2x y,0 x 1,0 y 1, 0,其他 ,(I)求PX 2Y;(II)求 Z X Y 的概率密度f Z(z).答案:111 5 x7(I)P X2Y dx xx y)dy2 ) dx.2 (2( x008242z z2 ,0z1,(II) f Z (z)z24z4,1z2,0,其他 .(24) (本题满分11 分)1,0 x,2设总体 X 的概率密度为 f (x; )1,x 1, 其中参数 (01) 未2(1)0,其他知,X1, X 2 ,... X n是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(I)求参数的矩估计量;(II)判断 4X 22的无偏估计量 , 并说明理由 .是否为答案:(I)12X;222是否成立即可 .(II) 只须验证E(4 X )E(4X ) 4E(X ) 4(DX (EX )2) 4( 1DX (EX )2) ,22nE(X )1 1 , E(X 2)1(12 2),4 2 6D(X) E(X 2) (EX )25 12 1 2 ,代入得 E(4 X)5 3n 3n 14812 ,所以4X 不是2的无偏估计量 .3n 1 2 22212n 3n3n。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)
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2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)求值sin210°=()A.B.﹣C.D.﹣2.(5分)函数y=|sinx|的一个单调增区间是()A.B.C.D.3.(5分)设复数z满足=i,则z=()A.﹣2+i B.﹣2﹣i C.2﹣i D.2+i4.(5分)以下四个数中的最大者是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln D.ln25.(5分)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则λ=()A.B.C.﹣ D.﹣6.(5分)不等式的解集是()A.(2,+∞)B.(﹣2,1)∪(2,+∞) C.(﹣2,1)D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)7.(5分)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.8.(5分)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.9.(5分)把函数y=e x的图象按向量=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)=()A.e x﹣3+2 B.e x+3﹣2 C.e x﹣2+3 D.e x+2﹣310.(5分)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种11.(5分)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为()A.B.C.D.12.(5分)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=,则的值为()A.3 B.4 C.6 D.9二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(1+2x2)(x﹣)8的展开式中常数项为.14.(5分)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,2),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.15.(5分)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为cm2.16.(5分)已知数列的通项a n=﹣5n+2,其前n项和为S n,则=.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)在△ABC中,已知内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y (1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(2)求y的最大值.18.(12分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B:“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P(B).19.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点(1)求证:EF∥平面SAD(2)设SD=2CD,求二面角A﹣EF﹣D的大小.20.(12分)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:x﹣y=4相切(1)求圆O的方程(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围.21.(12分)设数列{a n}的首项a1∈(0,1),a n=,n=2,3,4…(1)求{a n}的通项公式;,其中n为正整数.(2)设,求证b n<b n+122.(12分)已知函数f(x)=x3﹣x(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:﹣a<b <f(a)2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)求值sin210°=()A.B.﹣C.D.﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°得出答案.【解答】解:∵sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°=﹣故答案为D2.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)函数y=|sinx|的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案.【解答】解:根据y=|sinx|的图象,如图,函数y=|sinx|的一个单调增区间是,故选C.3.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)设复数z满足=i,则z=()A.﹣2+i B.﹣2﹣i C.2﹣i D.2+i【分析】将复数z设a+bi,(a,b∈R),代入复数方程,利用复数相等的条件解出复数z.【解答】解:设复数z=a+bi,(a,b∈R)满足=i,∴1+2i=ai﹣b,,∴z=2﹣i,故选C.4.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)以下四个数中的最大者是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln D.ln2【分析】根据lnx是以e>1为底的单调递增的对数函数,且e>2,可知0<ln2<1,ln(ln2)<0,故可得答案.【解答】解:∵0<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2,而ln=ln2<ln2,∴最大的数是ln2,故选D.5.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则λ=()A.B.C.﹣ D.﹣【分析】本题要求字母系数,办法是把表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一致,即用和表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终点,把求出的结果和给的条件比较,写出λ.【解答】解:在△ABC中,已知D是AB边上一点∵=2,=,∴=,∴λ=,故选A.6.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)不等式的解集是()A.(2,+∞)B.(﹣2,1)∪(2,+∞) C.(﹣2,1)D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)【分析】首先不等式的分母可化为(x+2)(x﹣2),不等式的分子和分母共由3个一次因式构成.要使得原不等式大于0,可等同于3个因式的乘积大于0,再可根据串线法直接求解.【解答】解:依题意,原不等式可化为等同于(x+2)(x﹣1)(x﹣2)>0,可根据串线法直接解得﹣2<x<1或x>2,故答案应选B.7.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知,取A1C1的中点D1,∠B1AD1是所求的角,再由已知求出正弦值.【解答】解:取A1C1的中点D1,连接B1D1,AD1,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1D1⊥面ACC1A1,则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,∴,故选A.8.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.【分析】根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间.【解答】解:设切点的横坐标为(x0,y0)∵曲线的一条切线的斜率为,∴y′=﹣=,解得x0=3或x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3故选A.9.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)把函数y=e x的图象按向量=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)=()A.e x﹣3+2 B.e x+3﹣2 C.e x﹣2+3 D.e x+2﹣3【分析】平移向量=(h,k)就是将函数的图象向右平移h个单位,再向上平移k个单位.【解答】解:把函数y=e x的图象按向量=(2,3)平移,即向右平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,∴f(x)=e x﹣2+3,故选C.10.(5分)(2009•湖北)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种【分析】分2步进行,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,分别计算其情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,有C52种情况,再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,有A32种情况,则由分步计数原理,可得不同的选派方法共有C52A32=60种,故选B.11.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为()A.B.C.D.【分析】由题设条件设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2,,由此可以求出双曲线的离心率.【解答】解:设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=t,|AF1|=3t,(t>0)双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t,t,∴离心率,故选B.12.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=,则的值为()A.3 B.4 C.6 D.9【分析】先设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,再依据=0,判断点F是△ABC重心,进而可求x1+x2+x3的值.最后根据抛物线的定义求得答案.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)抛物线焦点坐标F(1,0),准线方程:x=﹣1∵=,∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣(﹣1)=x1+1|FB|=x2﹣(﹣1)=x2+1|FC|=x3﹣(﹣1)=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6故选C二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)(1+2x2)(x﹣)8的展开式中常数项为﹣42.【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0,﹣2求出常数项及含x﹣2的项,进而相加可得答案.【解答】解:先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项;由8﹣2r=0得r=4,由8﹣2r=﹣2得r=5;即的展开式中常数项为C84,含x﹣2的项为C85(﹣1)5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,2),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【分析】根据ξ服从正态分布N(1,),得到正态分布图象的对称轴为x=1,根据在(0,1)内取值的概率为0.4,根据根据随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同,得到随机变量ξ在(0,2)内取值的概率.【解答】解:∵测量结果ξ服从正态分布N(1,),∴正态分布图象的对称轴为x=1,在(0,1)内取值的概率为0.4,∴随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,∴随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.故答案为:0.815.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为2+4cm2.【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算,由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,我们根据球的直径等于棱柱的对角线长,我们可以求出棱柱的各棱的长度,进而得到其表面积.【解答】解:由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.正四棱柱的对角线的长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h,∴2R=2=,解得h=,那么该棱柱的表面积为2+4cm2.故答案为:2+416.(5分)(2007•全国卷Ⅱ)已知数列的通项a n=﹣5n+2,其前n项和为S n,则=.【分析】由通项公式知该数列是等差数列,先求出首项和公差,然后求出其前n 项和,由此能得到的值.【解答】解:∵数列的通项a n=﹣5n+2,∴a1=﹣3,a2=﹣8,d=﹣5.∴其前n项和为S n,则=﹣.故答案为:﹣.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2007•全国卷Ⅱ)在△ABC中,已知内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(2)求y的最大值.【分析】(1)由内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y,我们结合三角形的性质,△ABC的内角和A+B+C=π,△ABC的周长y=AB+BC+AC,我们可以结合正弦定理求出函数的解析式,及自变量的取值范围.(2)要求三角函数的最值,我们要利用辅助角公式,将函数的解析式,化为正弦型函数的形式,再根据正弦型函数的最值的求法进行求解.【解答】解:(1)△ABC的内角和A+B+C=π,由得.应用正弦定理,知,.因为y=AB+BC+AC,所以,(2)∵=,所以,当,即时,y取得最大值.18.(12分)(2007•全国卷Ⅱ)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B:“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P(B).【分析】(1)有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况,设出概率,列出等式,解出结果.(2)由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品,用组合数列出结果.【解答】解:(1)记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则A0,A1互斥,且A=A0+A1,故P(A)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=(1﹣p)2+C21p(1﹣p)=1﹣p2于是0.96=1﹣p2.解得p1=0.2,p2=﹣0.2(舍去).(2)记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,则.若该批产品共100件,由(1)知其中二等品有100×0.2=20件,故.19.(12分)(2007•全国卷Ⅱ)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点(1)求证:EF∥平面SAD(2)设SD=2CD,求二面角A﹣EF﹣D的大小.【分析】法一:(1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点.要证EF∥平面SAD,只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可.(2)取AG中点H,连接DH,说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角,解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小.法二:建立空间直角坐标系,平面SAD即可证明(1);(2)求出向量和,利用,即可解答本题.【解答】解:法一:(1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点.连接,又,故为平行四边形.EF∥AG,又AG⊂平面SAD,EF⊄平面SAD.所以EF∥平面SAD.(2)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,△ADG为等腰直角三角形.取AG中点H,连接DH,则DH⊥AG.又AB⊥平面SAD,所以AB⊥DH,而AB∩AG=A,所以DH⊥面AEF.取EF中点M,连接MH,则HM⊥EF.连接DM,则DM⊥EF.故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角.所以二面角A﹣EF﹣D的大小为.法二:(1)如图,建立空间直角坐标系D﹣xyz.设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),,.取SD的中点,则.平面SAD,EF⊄平面SAD,所以EF∥平面SAD.(2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),,.EF中点,,,又,,所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角..所以二面角A﹣EF﹣D的大小为.20.(12分)(2007•全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:x﹣y=4相切(1)求圆O的方程(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围.【分析】首先分析到题目(1)中圆是圆心在原点的标准方程,由切线可直接求得半径,即得到圆的方程.对于(2)根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,列出方程,再根据点P在圆内求出取值范围.【解答】解:(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线的距离,即.得圆O的方程为x2+y2=4.(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(﹣2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得,两边平方,可得(x2+y2+4)2﹣16x2=(x2+y2)2,化简整理可得,x2﹣y2=2.=x2﹣4+y2=2(y2﹣1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[﹣2,0).21.(12分)(2007•全国卷Ⅱ)设数列{a n}的首项a1∈(0,1),a n=,n=2,3,4…(1)求{a n}的通项公式;(2)设,求证b n<b n+1,其中n为正整数.【分析】(1)由题条件知,所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,由此可知(2)方法一:由题设条件知,故b n>0.那么,b n+12﹣bn2=an+12(3﹣2a n+1)﹣a n2(3﹣2a n)=由此可知b n<b n+1,n为正整数.方法二:由题设条件知,所以.由此可知b n<b n+1,n为正整数.【解答】解:(1)由,整理得.又1﹣a1≠0,所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,得(2)方法一:由(1)可知,故b n>0.那么,b n+12﹣bn2=a n+12(3﹣2a n+1)﹣a n2(3﹣2a n)==又由(1)知a n>0且a n≠1,故b n+12﹣bn2>0,因此b n<b n+1,n为正整数.方法二:由(1)可知,因为,所以.由a n≠1可得,即两边开平方得.即b n<b n+1,n为正整数.22.(12分)(2007•全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3﹣x(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:﹣a<b <f(a)【分析】(1)求出f′(x),根据切点为M(t,f(t)),得到切线的斜率为f'(t),所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可;(2)设切线过点(a,b),则存在t使b=(3t2﹣1)a﹣2t3,于是过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3﹣3at2+a+b,求出其导函数=0时t的值,利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g(t)的单调区间,利用g(t)的增减性得到g(t)的极值,根据极值分区间考虑方程g(t)=0有三个相异的实数根,得到极大值大于0,极小值小于0列出不等式,求出解集即可得证.【解答】解:(1)求函数f(x)的导函数;f'(x)=3x2﹣1.曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y﹣f(t)=f'(t)(x﹣t),即y=(3t2﹣1)x﹣2t3;(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2﹣1)a﹣2t3.于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3﹣3at2+a+b,则g'(t)=6t2﹣6at=6t(t﹣a).当t变化时,g(t),g'(t)变化情况如下表:)由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b﹣f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;当a+b=0时,解方程g(t)=0得,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;当b﹣f(a)=0时,解方程g(t)=0得,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则即﹣a<b<f(a).。
2007年高考数学试题(全国卷Ⅰ·理)含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题(1)α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=(D ) A .15 B .15- C .513 D .513-(2)设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a =( B ) A .12 B .1 C .32D .2(3)已知向量(56)=-,a ,(65)=,b ,则a 与b ( A ) A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向(4)已知双曲线的离心率为2,焦点是(40)-,,(40),,则双曲线方程为( A )A .221412x y -=B .221124x y -=C .221106x y -=D .221610x y -=(5)设a b ∈R ,,集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,,,,,则b a -=( C ) A .1B .1-C .2D .2-(6)下面给出的四个点中,到直线10x y -+=的距离为2,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩,表示的平面区域内的点是( C ) A .(11),B .(11)-,C .(11)--,D .(11)-,(7)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( D )A .15B .25C .35D .45(8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( D ) AB .2C.D .4AB1B1A1D1C CD(9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( B ) A .充要条件 B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件(10)21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为15,则n =( D )A .3B .4C .5D .6(11)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是( C )A .4B .C .D .8(12)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是( A ) A .233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .03π⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.本卷共10题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答)(14)函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x =3()x x ∈R .(15)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为31 一般我们根据题目列出的方程是可以解出,如果方程太复杂,则换种思路列方程。
2007年高考数学(江西卷) 全卷 加答案及解析
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页,第II 卷3至4页,共150分.第I 卷考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第I 卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.化简224(1)ii ++的结果是( )A.2i +B.2i -+C.2i -D.2i --2.321lim 1x x x x →--( )A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在3.若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cot α等于( ) A.2-B.12-C.12D.24.已知n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于( )A.4 B.5C.6D.75.若π02x <<,则下列命题中正确的是( ) A.3sin πx x < B.3sin πx x >C.224sin πx x < D.224sin πx x >6.若集合{}012M =,,,{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈,≥且≤,,,则N 中元素的个数为( )A.9 B.6C.4D.27.如图,正方体1AC 的棱长为1,过点A 作平面1A BD 的垂线,垂足为点H ,则以下命题中,错误..的命题是( ) A.点H 是1A BD △的垂心 B.AH 垂直平面11CB D C.AH 的延长线经过点1C D.直线AH 和1BB 所成角为458.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为1h ,2h ,3h ,4h ,则它们的大小关系正确的是( )A.214h h h >> B.123h h h >>C.324h h h >>D.241h h h >>9.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=,右焦点为(0)F c ,,方程111B20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,则点12()P x x ,( )A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=上 C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能10.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次..成等差数列的概率为( ) A.19B.112C.115D.11811.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为( ) A.15-B.0C.15D.512.设2:()e l n 21xp f x x x m x =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学 第II 卷注意事项: 第II 卷2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷题上作答,答案无效.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上. 13.设函数24log (1)(3)y x x =+-≥,则其反函数的定义域为.14.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ,,有p q p q a a a ++=,若119a =,则36a = .15.如图,在ABC △中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M N ,,若A B m A M = ,AC nAN =,则m n +的值为.16.设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N .下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不.相交 D.所有的圆均不.经过原点 其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数1(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01),内连续,且29()8f c =.(1)求实数k 和c 的值; (2)解不等式()18f x >+. 18.(本小题满分12分)如图,函数π2cos()(0)y x x ωθθ=+∈R ,≤≤的图象与y轴交于点(0,且在该点处切线的斜率为2-. (1)求θ和ω的值;(2)已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y ,是PA 的中点,当02y =,0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,求0x 的值.19.(本小题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为ξ,求随机变量ξ的期望. 20.(本小题满分12分)右图是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC .已知11111A B B C ==,11190A B C ∠= ,14AA =,12BB =,13CC =.(1)设点O 是AB 的中点,证明:OC ∥平面111A B C ; (2)求二面角1B AC A --的大小; (3)求此几何体的体积. 21.(本小题满分12分)设动点P 到点(10)A -,和(10)B ,的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=.(1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;(2)过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ,两点,试确定λ的范围,使OM ON =0,其中点O 为坐标原点. 22.(本小题满分14分)设正整数数列{}n a 满足:24a =,且对于任何*n ∈N ,有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+.11y(1)求1a ,3a ;(3)求数列{}n a 的通项n a .2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学参考答案一、选择题 1.C 2.B3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.B11.B 12.B 二、填空题 13.[5)+,∞ 14.4 15.2 16.B D ,三、解答题17.解:(1)因为01c <<,所以2c c <, 由29()8f c =,即3918c +=,12c =. 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续,所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭,即1k =. (2)由(1)得:4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得,当102x <<时,解得142x <<. 当112x <≤时,解得1528x <≤,所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.18.解:(1)将0x =,y =代入函数2cos()y x ωθ=+得cos θ= 因为02θπ≤≤,所以6θπ=. 又因为2sin()y x ωωθ'=-+,02x y ='=-,6θπ=,所以2ω=, 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.(2)因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,,00()Q x y ,是PA 的中点,02y =,所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝.又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上,所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤,所以075194666x πππ-≤≤, 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=. 即023x π=或034x π=.19.解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ,2A ,3A , (1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =, 所以~(30.3)B ξ,, 故30.30.9E np ξ==⨯=.解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ,,,则()()()0.3P A P B P C ===,所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=,2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=, 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=, 3(3)0.30.027P ξ===.于是,()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20.解法一:(1)证明:作1OD AA ∥交11A B 于D ,连1C D .则11OD BB CC ∥∥. 因为O 是AB 的中点, 所以1111()32OD AA BB CC =+==. 则1ODC C 是平行四边形,因此有1OC C D ∥.1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ,则OC ∥面111A B C .(2)如图,过B 作截面22BA C ∥面111A B C ,分别交1AA ,1CC 于2A ,2C . 作22BH A C ⊥于H ,连CH .因为1CC ⊥面22BA C ,所以1CC BH ⊥,则BH ⊥平面1AC .又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+.所以BC AC ⊥,根据三垂线定理知CH AC ⊥,所以BCH ∠就是所求二面角的平面角.因为BH =,所以1sin 2BH BCH BC ==∠,故30BCH = ∠, 即:所求二面角的大小为30.(3)因为BH =,所以 22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= .11A 21112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △.所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=.解法二:(1)如图,以1B 为原点建立空间直角坐标系,则(014)A ,,,(002)B ,,,(103)C ,,,因为O 是AB 的中点,所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,, 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,.易知,(001)n =,,是平面111A B C 的一个法向量. 因为0OC n =,OC ⊄平面111A B C ,所以OC ∥平面111A B C . (2)(012)AB =-- ,,,(101)BC =,,, 设()m x y z =,,是平面ABC 的一个法向量,则则0AB m = ,0BC m = 得:200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=,(121)m =-,,. 显然,(110)l =,,为平面11AA C C 的一个法向量.则cos 2m l m l m l===,,结合图形可知所求二面角为锐角. 所以二面角1B AC A --的大小是30. (3)同解法一.21.解法一:(1)在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-,2212124()4sin d d d d θ=-+,即122d d -==<(常数),点P 的轨迹C 是以A B ,为焦点,实轴长2a =1x方程为:2211x y λλ-=-.(2)设11()M x y ,,22()N x y ,①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上.即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-,因为01λ<<,所以12λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得:2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦, 由题意知:2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦,所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--. 于是:22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--.因为0OM ON =,且M N ,在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩.23λ<. 解法二:(1)同解法一(2)设11()M x y ,,22()N x y ,,MN 的中点为00()E x y ,. ①当121x x ==时,221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-,因为01λ<<,所以12λ-=;②当12x x ≠时,221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ . 又001MN BE y k k x ==-.所以22000(1)y x x λλλ-=-; 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---. 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-.于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >,所以2(1)123λλ->-,又01λ<<,解得:1223λ<<.由①②知1223λ<≤. 22.解:(1)据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时,由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭,即有1112212244a a +<+<+, 解得12837a <<.因为1a 为正整数,故11a =. 当2n =时,由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭, 解得3810a <<,所以39a =.(2)方法一:由11a =,24a =,39a =,猜想:2n a n =. 下面用数学归纳法证明.1 当1n =,2时,由(1)知2n a n =均成立;2 假设(2)n k k =≥成立,则2k a k =,则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时,22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥,所以(]22(1)011k k +∈+,. 11k -≥,所以(]1011k ∈-,. 又1k a +∈*N ,所以221(1)(1)k k a k +++≤≤.故21(1)k a k +=+,即1n k =+时,2n a n =成立.由1 ,2 知,对任意n ∈*N ,2n a n =. (2)方法二:由11a =,24a =,39a =,猜想:2n a n =.下面用数学归纳法证明.1 当1n =,2时,由(1)知2n a n =均成立;2 假设(2)n k k =≥成立,则2k a k =,则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式,得2111k k k k k a +-+-<,即321(1)k k a k k k +-<+-,因为两端为整数,则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤.于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式,22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=. 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+.因为两端为正整数,则2431(1)1k k k a k k +-+++≥, 所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥. 又因2k ≥时,1k a +为正整数,则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+,即1n k =+时,2n a n =成立.由1 ,2 知,对任意n ∈*N ,2n a n =.。
2007年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1.sin 210= ( ) A .32B .32-C .12D .12-2.函数sin y x =的一个单调增区间是( )A .ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭,B .3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭,C .3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,D .32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,3.设复数z 满足12ii z+=,则z =( ) A .2i -+B .2i --C .2i -D .2i +4.下列四个数中最大的是( ) A .2(ln 2)B .ln(ln 2)C .ln 2D .ln 25.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123AD DB CD CA CB λ==+,,则λ=( )A .23B .13C .13-D .23-6.不等式2104x x ->-的解集是( ) A .(21)-, B .(2)+∞, C .(21)(2)-+∞ ,, D .(2)(1)-∞-+∞ ,,7.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于( ) A .64B .104C .22D .328.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A .3B .2C .1D .129.把函数e x y =的图像按向量(23)=,a 平移,得到()y f x =的图像,则()f x =( ) A .3e 2x -+B .3e 2x +-C .2e 3x -+D .2e 3x +-10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A .40种B .60种C .100种D .120种11.设12F F ,分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ∠= 且123AF AF =,则双曲线的离心率为( ) A .52B .102C .152D .512.设F 为抛物线24y x =的焦点,A B C ,,为该抛物线上三点,若FA FB FC ++=0,则FA FB FC ++= ( )A .9B .6C .4D .3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .(用数字作答)14.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>,.若ξ在(01),内取值的概率为0.4,则ξ在(02),内取值的概率为 .15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 16.已知数列的通项52n a n =-+,其前n 项和为n S ,则2limnn S n ∞=→ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC△中,已知内角Aπ=3,边23BC=.设内角B x=,周长为y.(1)求函数()y f x=的解析式和定义域;(2)求y的最大值.18.(本小题满分12分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数,求ξ的分布列.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD-中,底面A B C D为正方形,侧棱SD⊥底面A B C D E F,,分别为AB SC,的中点.(1)证明EF∥平面SAD;(2)设2SD DC=,求二面角A EF D--的大小.A EB CF SD20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A B ,两点,圆内的动点P 使PA PO PB ,,成等比数列,求PA PB的取值范围.21.(本小题满分12分)设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==,,,,,,…. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设32n n n b a a =-,证明1n n b b +<,其中n 为正整数.22.(本小题满分12分) 已知函数3()f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<.2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案:D解析:sin2100 =1sin 302-︒=-,选D 。
2007年高考数学试题及答案(共37份)
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2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题湖南卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 不等式2x x >的解集是( )A (0)-∞,B (01),C (1)+∞,D (0)(1)-∞+∞ ,,2 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A EF OF OE =+B EF OF OE =-C EF OF OE =-+D EF OF OE =--3 设2:40p b ac ->(0a ≠),:q 关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)有实数,则p是q 的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件4 在等比数列{}n a (n ∈N *)中,若11a =,418a =,则该数列的前10项和为( ) A 4122-B 2122-C 10122-D 11122-5 在(1)n x +(n ∈N *)的二次展开式中,若只有3x 的系数最大,则n =( )A 8B 9C 10D 116 如图1,在正四棱柱1111ABC D A B C D -中,E F ,分别是1A B ,1BC 的中点,则以下结论中不成立...的是( ) A E F 与1B B 垂直B E F 与B D 垂直C E F 与CD 异面D E F 与11A C 异面7 根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图2) 从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( ) A 48米 B 49米 C 50米 D 51米CA 18 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩, ≤,的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是( ) A 1B 2C 3D 49 设12F F ,分别是椭圆22221x y ab+=(0a b >>)的左、右焦点,P 是其右准线上纵坐标为(c 为半焦距)的点,且122||||F F F P =,则椭圆的离心率是( )A2B12C2D210 设集合{123456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的{}i i i S a b =,,{}j j j S a b =,(i j =,{123}i j k ∈ 、,,,,),都有m in m inj j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值是( ) A 10B 11C 12D 13二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 把答案填在横线上11 圆心为(11),且与直线4x y -=12 在A B C △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若1a =,c =,π3C =,则A =13 若0a >,2349a =,则14loga =14 设集合{()||2|0}A x y y x x =-,≥,≥,{()|}B x y y x b =-+,≤,A B =∅ ,频率0 水位(米)图2(1)b 的取值范围是 ;(2)若()x y A B ∈ ,,且2x y +的最大值为9,则b15 棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积是 ;设E F ,分别是该正方体的棱1A A ,1DD 的中点,则直线E F 被球O 截得的线段长为三、解答题:本大题共6小题,共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 (本小题满分12分)已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求: (I )函数()f x 的最小正周期; (II )函数()f x 的单调增区间17 (本小题满分12分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响(I )任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(II )任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培养的概率18 (本小题满分12分)如图3,已知直二面角PQ αβ--,A PQ ∈,B α∈,C β∈,C A C B =,45BAP ∠=,直线C A 和平面α所成的角为30(I )证明BC PQ ⊥;(II )求二面角B A C P --的大小19 (本小题满分13分)已知双曲线222x y -=的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点,点C 的坐标是(10),(I )证明C A ,C B为常数;(II )若动点M 满足CM CA CB CO =++(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程20 (本小题满分13分)设n S 是数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,1a a =,且22213n n n S n a S -=+,0n a ≠,234n = ,,,(I )证明:数列2{}n n a a +-(2n ≥)是常数数列;(II )试找出一个奇数a ,使以18为首项,7为公比的等比数列{}n b (n ∈N *)中的所有项都是数列{}n a 中的项,并指出n b 是数列{}n a 中的第几项21 (本小题满分13分)已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内各有一个极值点(I )求24a b -的最大值;(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(必修+选修Ⅰ)湖南卷 参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 D2 B3 A4 B5 C6 D7 C8 C9 D 10 B 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 把答案填在横线上11 22(1)(1)2x y -+-=12π613 314 (1)[2)+∞,(2)9215 3π三、解答题:本大题共6小题,共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 解:ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=(I )函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==;(II )当2ππ22πk x k -≤≤,即πππ2k x k -≤≤(k ∈Z )时,函数()2f x x=是增函数,故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -,(k ∈Z )17 解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A ,“该人参加过计算机培训”为事件B ,由题设知,事件A 与B 相互独立,且()0.6P A =,()0.75P B =(I )解法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=解法二:任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是 2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=(II )解法一:任选3名下岗人员,3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=解法二:任选3名下岗人员,3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=18 解:(I )在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ,连结O B因为αβ⊥,PQ αβ= ,所以C O α⊥, 又因为C A C B =,所以O A O B =而45BAO ∠= ,所以45ABO ∠=,90AOB ∠=,从而BO PQ ⊥,又CO PQ ⊥,所以PQ ⊥平面O BC 因为B C ⊂平面O BC ,故PQ BC ⊥(II )解法一:由(I )知,BO PQ ⊥,又αβ⊥,PQ αβ= ,B O α⊂,所以BO β⊥过点O 作O H A C ⊥于点H ,连结B H ,由三垂线定理知,B H A C ⊥故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角由(I )知,C O α⊥,所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角,则30CAO ∠=,不妨设2A C =,则AO =sin 302O H AO ==在R t O AB △中,45ABO BAO ∠=∠=,所以BO AO ==,于是在R t B O H △中,tan 22BO BH O O H∠===故二面角B A C P --的大小为arctan 2解法二:由(I )知,O C O A ⊥,O C O B ⊥,O A O B ⊥,故可以O 为原点,分别以直线O B O A O C ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图)因为C O a ⊥,所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角,则30CAO ∠=不妨设2A C =,则AO =1C O =在R t O AB △中,45ABO BAO ∠=∠=,所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ,,,0)B ,,(00)A ,(001)C ,,所以A B =-,(0A C =-,设1n {}x y z =,,是平面ABC 的一个法向量,由1100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得00z -=+=⎪⎩,取1x =,得1(11n =易知2(100)n =,,是平面β的一个法向量设二面角B A C P --的平面角为θ,由图可知,12n n θ=<>,所以1212cos ||||n nn n θ===故二面角B A C P --的大小为arccos19 解:由条件知(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,(I )当A B 与x 轴垂直时,可设点A B ,的坐标分别为(2,(2-,,此时(1(11C A C B =-=-,当A B 不与x 轴垂直时,设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±代入222x y -=,有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241kx x k +=-,2122421k x x k +=-,于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-综上所述,C A C B为常数1-(II )解法一:设()M x y ,,则(1)C M x y =-,,11(1)CA x y =- ,, 22(1)CB x y =- ,,(10)C O =-,,由CM CA CB CO =++ 得: 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩,即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩,于是A B 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭, 当A B 不与x 轴垂直时,121222222yy y y x x x x -==+---,即1212()2y y y x x x -=--又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(2)()x x x y y y -+=-将1212()2y y y x x x -=--代入上式,化简得224x y -=当A B 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,,也满足上述方程所以点M 的轨迹方程是224x y -=解法二:同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩,……………………………………①当A B 不与x 轴垂直时,由(I ) 有2122x x +=…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭ ………………………③由①②③得222x +=…………………………………………………④2y =……………………………………………………………………⑤当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,2x k y+=,将其代入⑤有222224(2)1x yy x y+⨯==+- 整理得224x y -=当0k =时,点M 的坐标为(20)-,,满足上述方程当A B 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,,也满足上述方程故点M 的轨迹方程是224x y -=20 解:(I )当2n ≥时,由已知得22213n n n S S n a --=因为10n n n a S S -=-≠,所以213n n S S n -+= …………………………①于是213(1)n n S S n ++=+ …………………………………………………②由②-①得:163n n a a n ++=+ ……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+ ……………………………………………………④由④-③得:26n n a a +-= …………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-(2n ≥)是常数数列(II )由①有2112S S +=,所以2122a a =-由③有1215a a +=,所以332a a =+,而⑤表明:数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ,3a 为首项,6为公差的等差数列所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+,213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-,k ∈N *由题设知,1187n n b -=⨯ 当a 为奇数时,21k a +为奇数,而n b 为偶数,所以n b 不是数列21{}k a +中的项,n b 只可能是数列2{}k a 中的项若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项,由18626k a =-+得036a k =-,取03k =,得3a =,此时26k a k =,由2n k b a =,得11876n k -⨯=,137n k -=⨯∈N *,从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项(注:考生取满足36n a k =-,n k ∈N *的任一奇数,说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可)21 解:(I )因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-,,(13],内分别有一个实根,设两实根为12x x ,(12x x <),则21x x -=2104x x <-≤ 于是04<,20416a b <-≤,且当11x =-,23x =,即2a =-,3b =-时等号成立 故24a b -的最大值是16(II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21(1)32y a b x a =++--,因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象, 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号,则1x =不是()g x 的极值点而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++,且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点所以11a =--,即2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故321()3f x x x x =--解法二:同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ,(121m m <<)当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x < 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x < 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102a h =⨯++=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故321()3f x x x x =--。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
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2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.23.(4分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D.2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b ﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b 的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C.6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g (x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g (x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,).18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC 的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x ≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=e x+e﹣x.由于,故f'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=e x+e﹣x﹣a,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=e x+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax 相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即a n的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,所以=.也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.。
2007年高考数学卷(江苏卷)含答案
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绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)参考公式:若事件A在一次试验中发生的概率是p,则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共计50分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项....是符合题目要求的.1.下列函数中,周期为π2的是()A.sin2xy=B.sin2y x=C.cos4xy=D.cos4y x=2.已知全集U=Z,{}1012A=-,,,,{}2B x x x==,则UA B为()A.{}12-,B.{}10-,C.{}01,D.{}12,3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为20x y-=,则它的离心率为()B.2D.24.已知两条直线m n,,两个平面αβ,.给出下面四个命题:①m n ∥,m n αα⇒⊥⊥;②αβ∥,m α⊂,n m n β⊂⇒∥; ③m n ∥,m n αα⇒∥∥;④αβ∥,m n ∥,m n αβ⇒⊥⊥. 其中正确命题的序号是( ) A.①、③ B.②、④C.①、④ D.②、③5.函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-,的单调递增区间是( )A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦, C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,6.设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则有( )A.132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7.若对于任意的实数x ,有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-,则2a 的值为( )A.3 B.6 C.9 D.128.设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是( ) A.(10)-,B.(01),C.(0)-∞,D.(0)(1)-∞+∞,,9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x ',(0)0f '>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1)(0)f f '的最小值为( ) A.3B.52C.2D.3210.在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域{}()100A x y x y x y =+,≤,且≥,≥,则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈,,的面积为( ) A.2B.1C.12D.14二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共计30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置.......上.11.若1cos()5αβ+=,3cos()5αβ-=,则tan tan αβ=_____. 12.某校开设9门课程供学生选修,其中A B C ,,三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修4门,共有_____种不同的选修方案.(用数值作答)13.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-,上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=_____.14.正三棱锥P ABC -的高为2,侧棱与底面ABC 成45角,则点A 到侧面PBC 的距离为_____.15.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC △的顶点(40)A -,和(40)C ,,顶点B 在椭圆221259x y +=上,则sin sin sin A C B+=_____. 16.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间0t =时,点A 与钟面上标12的点B 重合.将A B ,两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数,则d =_____,其中[]060t ∈,.三、解答题:本大题共5小题,共计70分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率;(4分) (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(4分)(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.(4分) 18.(本题满分12分)如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体,点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,且11AE FC ==. (1)求证:1E B F D ,,,四点共面;(4分)(2)若点G 在BC 上,23BG =,点M 在1BB 上,GM BF ⊥,垂足为H ,求证:EM ⊥平面11BCC B ;(4分)(3)用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan θ.(4分) 19.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点C BAG HMDEF1B1A1D1C(0)C c ,任作一直线,与抛物线2y x =相交于A B ,两点.一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ,. (1)若2OA OB =,求c 的值;(5分)(2)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(5分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.(4分) 20.(本题满分16分)已知{}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11a b =,221a b a =≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和.(1)若k m b a =(m k ,是大于2的正整数),求证:11(1)k S m a -=-;(4分) (2)若3i b a =(i 是某个正整数),求证:q 是整数,且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项;(8分)(3)是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在,写出一个q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.(4分)21.(本题满分16分)已知a b c d ,,,是不全为零的实数,函数2()f x bx cx d =++,32()g x ax bx cx d =+++.方程()0f x =有实数根,且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根;反之,(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根.(1)求d 的值;(3分)(2)若0a =,求c 的取值范围;(6分)(3)若1a =,(1)0f =,求c 的取值范围.(7分)2007年普通高等学校招生全国统一考试数 学(江苏卷)参考答案一、选择题:本题考查基本概念和基本运算.每小题5分,共计50分.1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,共计30分. 11.12 12.75 13.32 14.5 15.54 16.π10sin 60t三、解答题17.本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解:(1)5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05P C -=⨯⨯-=⨯⨯≈.(2)5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --005011515510.8(10.8)0.8(10.8)C C --=-⨯⨯--⨯⨯-10.000320.00640.99=--≈.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C -⨯⨯⨯-=⨯⨯≈.18.本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分12分. 解法一:(1)如图,在1DD 上取点N ,使1DN =,连结EN ,CN ,则1AE DN ==,12CF ND ==.因为AE DN ∥,1ND CF ∥,所以四边形ADNE ,1CFD N 都为平行四边形.从而EN AD ∥,1FD CN ∥. 又因为AD BC ∥,所以EN BC ∥,故四边形BCNE 是平行四边形,由此推知CN BE ∥,从而1FD BE ∥.因此,1E B F D ,,,四点共面.C BAG HMDEF 1B1A1D1CN(2)如图,GM BF ⊥,又BM BC ⊥,所以BGM CFB =∠∠,tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23132BC BGCF ==⨯=. 因为AE BM ∥,所以ABME 为平行四边形,从而AB EM ∥. 又AB ⊥平面11BCC B ,所以EM ⊥平面11BCC B .(3)如图,连结EH .因为MH BF ⊥,EM BF ⊥,所以BF ⊥平面EMH ,得EH BF ⊥. 于是EHM ∠是所求的二面角的平面角,即EHM θ=∠.因为MBH CFB =∠∠,所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==∠∠21BMBC CF ===+, tan EMMHθ== 解法二:(1)建立如图所示的坐标系,则(301)BE =,,,(032)BF =,,,1(333)BD =,,,所以1BD BE BF =+,故1BD ,BE ,BF 共面. 又它们有公共点B ,所以1E B F D ,,,四点共面.(2)如图,设(00)M z ,,,则203GM z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,, 而(032)BF =,,,由题设得23203GM BF z =-+=得1z =.因为(001)M ,,,(301)E ,,,有(300)ME =,,, 又1(003)BB =,,,(030)BC =,,,所以10ME BB =,0ME BC =,从而1ME BB ⊥,ME BC ⊥.故ME ⊥平面11BCC B .(3)设向量(3)BP x y =,,⊥截面1EBFD ,于是BP BE ⊥,BP BF ⊥. 而(301)BE =,,,(032)BF =,,,得330BP BE x =+=,360BP BF y =+=,解得1x =-,2y =-,所以(123)BP =--,,. 又(300)BA =,,⊥平面11BCC B ,所以BP 和BA 的夹角等于θ或πθ-(θ为锐角).于是cos 14BP BA BP BAθ==. 故tan θ=19.本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算,考查分析问题、探索问题的能力.满分14分. 解:(1)设直线AB 的方程为y kx c =+,将该方程代入2y x =得20x kx c --=.令2()A a a ,,2()B b b ,,则ab c =-.因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=,解得2c =, 或1c =-(舍去).故2c =.(2)由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭,,直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--. 又2y x =的导数为2y x '=,所以点A 处切线的斜率为2a , 因此,AQ 为该抛物线的切线. (3)(2)的逆命题成立,证明如下:设0()Q x c -,. 若AQ 为该抛物线的切线,则2AQ k a =, 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--,所以202a aba a x -=-,得202ax a ab =+,因0a ≠,有02a bx +=. 故点P 的横坐标为2a b+,即P 点是线段AB 的中点. 20.本小题主要考查等差、等比数列的有关知识,考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力.满分16分.解:(1)设等差数列的公差为d ,则由题设得11a d a q +=,1(1)d a q =-,且1q ≠. 由k m b a =得111(1)k b qa m d -=+-,所以11(1)(1)kb q m d --=-,11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k b q m a q m d S m a q q q ------====----.故等式成立.(2)(ⅰ)证明q 为整数:由3i b a =得211(1)b q a i d =+-,即2111(1)(1)a q a i a q =+--,移项得11(1)(1)(1)(1)a q q a i q +-=--.因110a b =≠,1q ≠,得2q i =-,故q 为整数. (ⅱ)证明数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项: 设n b 是数列{}n b 中的任一项,只要讨论3n >的情形. 令111(1)n b qa k d -=+-,即1111(1)(1)n a q a k a q --=--,得1221121n n q k q q q q ---=+=++++-.因2q i =-,当1i =时,1q =-,22n q q q -+++为1-或0,则k 为1或2;而2i ≠,否则0q =,矛盾.当3i ≥时,q 为正整数,所以k 为正整数,从而n k b a =. 故数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项.(3)取12q =,21b b q =,341b b q =. 33141112(1)11)2b b b q b b b ⎡⎤⎢⎥+=+=+==⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 所以1b ,2b ,4b 成等差数列.21.本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识,考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力.满分16分.解:(1)设r 为方程的一个根,即()0f r =,则由题设得(())0g f r =.于是,(0)(())0g g f r ==,即(0)0g d ==.所以,0d =.(2)由题意及(1)知2()f x bx cx =+,32()g x ax bx cx =++. 由0a =得b c ,是不全为零的实数,且2()()g x bx cx x bx c =+=+,则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++. 方程()0f x =就是()0x bx c +=.①方程(())0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++=.②(ⅰ)当0c =时,0b ≠,方程①、②的根都为0x =,符合题意. (ⅱ)当0c ≠,0b =时,方程①、②的根都为0x =,符合题意. (ⅲ)当0c ≠,0b ≠时,方程①的根为10x =,2cx b=-,它们也都是方程②的根,但它们不是方程220b x bcx c ++=的实数根.由题意,方程220b x bcx c ++=无实数根,此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<,得04c <<.综上所述,所求c 的取值范围为[)04,.(3)由1a =,(1)0f =得b c =-,2()(1)f x bx cx cx x =+=-+,2(())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦.③由()0f x =可以推得(())0g f x =,知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根. 当0c =时,符合题意.当0c ≠时,0b ≠,方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④ 的根,因此,根据题意,方程④应无实数根.那么当2()40c c --<,即04c <<时,2()()0f x cf x c -+>,符合题意.当2()40c c --≥,即0c <或4c ≥时,由方程④得2()2c f x cx cx ±=-+=,即202c cx cx ±-+=,⑤则方程⑤应无实数根,所以有2()40c c--<且2()40c --<.当0c <时,只需220c --<,解得1603c <<,矛盾,舍去.当4c ≥时,只需220c -+<,解得1603c <<.因此,1643c <≤.梦想不会辜负一个努力的人综上所述,所求c的取值范围为163⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.。
2007考研数学一试题及标准答案解析
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2007年数学一一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→时,等价的无穷小量是(A ) 1- (B )(C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时,有1(1)~-=--1~;2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++,渐近线的条数为 (A ) 0. (B ) 1. (C ) 2. (D ) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x →++=∞,所以0x =为垂直渐近线; 又 1lim[ln(1)]0xx e x →-∞++=,所以y=0为水平渐近线; 进一步,21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+, 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=, 于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).(3) 如图,连续函数y =f (x )在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()().x F x f t dt =⎰则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C ) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年考研数学一真题及答案
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2007年考研数学一真题一、选择题(1~10小题,每小题4分,共40分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)(1)当x→0+时,与√x等价的无穷小量是(A)1−e−√x(B)ln1−√x(C)√1+√x−1 (D)1−cos√x【答案】B。
【解析】(当x→0+)时ln1−√x=[l n(1+x)−l n(1−√x)]~√xe√x~−√x √1+√x−1~12√x 1−cos√x~12x几个不同阶的无穷小量的代数和,其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线y=1x+ln (1+e x)渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于lim x→0y =lim x→01x+l n (1+e x )=∞,则x =0是曲线的垂直渐近线;又 lim x→−∞y =lim x→−∞[1x+l n (1+e x )]=0lim x→+∞y =lim x→+∞[1x+l n (1+e x )]=+∞所以y =0是曲线的水平渐近线;斜渐近线:由于−∞一侧有水平渐近线,则斜渐近线只可能出现在+∞一侧。
a =limx→+∞yx=limx→+∞1x+l n (1+e x )x=limx→+∞1x 2+limx→+∞l n (1+e x )x=0+limx→+∞e x1+e x=1b =lim x→+∞(y −x )=lim x→+∞[1x+l n (1+e x )−x] =lim x→+∞[1x+l n (1+e x )−lne x ] =lim x→+∞[1x +l n (1+1e x)]=0则曲线有斜渐近线y =x ,故该曲线有三条渐近线。
综上所述,本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图,连续函数y =f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设F (x )=∫f(t)dt x0,则下列结论正确的是 (A)F (3)=−34F(−2)(B)F (3)=54F(2)(C)F (−3)=34F(2)(D)F (−3)=−54F(−2)【答案】C 。