高一数学函数的单调性试题
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.2.己知函数，在处取最小值．（1）求的值；（2）在中，分别是的对边，已知,求角．【答案】（1）；（2）或．【解析】(1)先将函数解析式化为形如，这时要用倍角公式、降幂公式、两角和的正弦公式，得到，再利用在处取得最小值得关于的关系式，结合限制条件，解出；(2)解三角形问题，主要利用正余弦定理，本题可由，解出角，由正弦定理得，解出角或，再由三角形内角和为，解出或，本题求解角时，需注意解的个数，因为正弦函数在上有增有减．，所以有两个解．试题解析：（1）3分因为在处取得最小值，所以故，又所以 6分（2）由（1）知因为，且为的内角所以，由正弦定理得，所以或 9分当时，当时，综上，或 12分．【考点】1．倍角公式；2．两角和差公式；3．三角函数的图像与性质；4．用正余弦定理解三角形．3.定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的x取值范围是( )A．（，）B．［，）C．（，）D．［，）【答案】A【解析】因为，所以函数在上单调增. 由＜得：【考点】利用函数单调性解不等式4.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.5.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）；（3）.【解析】(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.试题解析：解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故． 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略． 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为． 8分（3）由题意知，在上恒成立．，．在上恒成立．10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为．所以实数的取值范围为． 14分【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的最值.6.设是上的奇函数，且时，，对任意，不等式恒成立，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（排除法）当，则得，即，整理得在时恒成立,而当时取最大值0，则恒成立，排除B，C项，同理再验证时,不成立，故排除D项.【考点】函数单调性的应用．7.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.8.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求区间.【答案】（1）；（2）；（3）区间为.【解析】(1) ∵是奇函数，，∴，∴，∴；(2)只需要求出的解析式即可，利用奇函数，所以设，则，则，再与的解析式和在一起，写出分段函数；(3)本题是已知函数的值域求定义域问题，根据函数图象可得在上单调递增，分别讨论，来求解，当时，解得；当时，解得；所以区间为.试题解析：（1）∵是奇函数，∴ 3分（2）设，则，∴∵为奇函数，∴ 5分∴ 6分（3）根据函数图象可得在上单调递增 7分当时，解得 9分当时，解得 11分∴区间为. 12分【考点】本题考查函数的性质（奇函数）；函数的解析式；函数的定义域和值域.9.已知函数，对于满足的任意，下列结论：（1）；（2）（3）；（4）其中正确结论的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．(3)(4)【答案】C【解析】因为函数，所以函数在定义域内单调递增，对于满足，可得与同号，所以（1）不正确.所以排除A,B两选项.由可得.因为函数递增，所以（2）成立.(3)不成立，斜率不可能都大于1，函数是下凹的图像，所以（4）正确.故选C.【考点】1.函数的单调性.2.函数的斜率公式.3.凹凸函数的性质.10.函数的图象可能是【答案】B【解析】函数定义域为，且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.若正实数，满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】由基本不等式得，得，因此.因此.【考点】基本不等式的应用.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.函数（）A．是偶函数，且在上是单调减函数B．是奇函数，且在上是单调减函数C．是偶函数，且在上是单调增函数D．是奇函数，且在上是单调增函数【解析】令，其定义域为，因为，所以函数是奇函数。
在上任取两个实数，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递增。
【考点】1函数奇偶性；2函数单调性的定义。
5.已知函数且.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明.【答案】（1）；（2）奇函数，证明详见解析.【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，求解不等式即可得到函数的定义域；（2）从奇偶函数的定义上进行判断、证明该函数的奇偶性，即先由（1）说明函数的定义域关于原点对称；然后求出，若，则该函数为偶函数，若，则该函数的奇函数.试题解析：（1）由题得 3分所以函数的定义域为 5分（2）函数为奇函数 6分证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称 7分且所以函数为奇函数 10分.【考点】1.对数函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.6.已知函数f(2x)（I）用定义证明函数在上为减函数。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高一数学复习考点题型专题讲解14 单调性与最大(小)值
高一数学复习考点题型专题讲解第14讲 单调性与最大（小）值一、单选题1．下列四个函数在(),0∞-是增函数的为（ ）A ．()24f x x =+B ．()12f x x =-C ．()21f x x x =--+D ．()32f x x=- 【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【解析】对A ，()24f x x =+二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(),0∞-是减函数，故A 不对．对B ，()12f x x =-为一次函数，0k <，在(),0∞-是减函数，故B 不对．对C ，()21f x x x =--+，二次函数，开口向下，对称轴为12x =-，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是增函数，故C 不对．对D ，()32f x x=-为反比例类型，0k <，在(),0∞-是增函数，故D 对． 故选：D2．函数1()f x x=的单调递减区间是（ ）A ．(,0),(0,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【解析】解：因为1()f x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减， 故函数的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞； 故选：A3．定义域为R 的函数()f x 满足:对任意的12,R x x ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->，则有（ ）A ．(2)(1)(3)f f f -<<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(3)(2)(1)f f f <-<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【解析】定义域在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2x R ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->， 可得函数()f x 是定义域在R 上的增函数， 所以(2)f f -<（1）f <（3）． 故选：A ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【解析】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B5．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（ ）A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x ≠ 【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -，与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B ，D 都正确. 若12x x >，则()()12f x f x >，故选项C 不正确. 故选：C.6．若()f x 是R 上的严格增函数，令()()13F x f x =++，则()F x 是R 上的（ ） A ．严格增函数B ．严格减函数C ．先是严格减函数后是严格增函数D ．先是严格增函数后是严格减函数 【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【解析】解：因为()f x 是R 上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，()+1f x 也是R 上的严格增函数，所以()()13F x f x =++是R 上的严格增函数.故选：A.7．若函数()()2318f x x mx m =-+∈R 在()0,3上不单调，则m 的取值范围为（ ）A ．02m ≤≤B ．02m <<C ．0m ≤D ．2m ≥ 【答案】B【分析】要想在()0,3上不单调，则对称轴在()0,3内【解析】()()2318f x x mx m =-+∈R 的对称轴为32mx =，则要想在()0,3上不单调，则()30,32m∈，解得：()0,2m ∈ 故选：B8．若函数2()21f x x mx =+-在区间(1,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞-B ．[4,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞- 【答案】B【分析】根据二次函数的性质可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，即可解出．【解析】依题意可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以14m-≤-，解得4m ≥． 故选：B ．9．函数s ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【解析】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数s (][),30,-∞-⋃+∞，又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，又函数0)y t =≥为增函数，所以s (],3-∞-． 故选：D10．函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A ．103B ．152C ．3D ．4 【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【解析】设1t x =+，则问题转化为求函数()41g t t t =+-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数()g t 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，所以()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭．故选：B11．已知函数()f x 在[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(](,01,2022)-∞⋃B ．(](,00,2022)-∞⋃C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．()(),00,1-∞⋃ 【答案】A【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.【解析】当a =0时，()f x =.当a >0时，设2022t ax =-，则函数y =2022t ax =-在区间[]0,1上单调递减，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10? 20220a a ->⎧⎨-≥⎩，解得12022a <≤.当a <0时，2022t ax =-在区间[]0,1上为增函数，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10?202200a a -<⎧⎨-⨯≥⎩，解得a <0.综上，a 的取值范围为(](,01,2022)-∞⋃.故B ，C ，D 错误. 故选：A.12．若函数()()2,12225,1a x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪+-<⎩在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A ．81,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．81,5⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]1,2-D ．()1,2-【答案】B【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.【解析】由题意122201232a a aa ⎧≤⎪⎪+>⎨⎪⎪-≥-⎩，解得815a -<≤，故选：B二、多选题13．（多选）下列函数中，满足“1x ∀，()20x ∞∈+，，都有1212()()0f x f x x x -<-”的有（ ）A ．()1f x x =-B ．()31f x x =-+C ．()243f x x x =++D ．()2f x x=【答案】BD【解析】由题设条件可得()f x 应为()0,∞+上的增函数，逐项判断后可得正确的选项. 【解析】因为1x ∀，()20,x ∈+∞，都有1212()()0f x f x x x -<-，故()f x 应为()0,∞+上的减函数.对于A ，当1x > ，()1f x x =-，则()f x 在()1,+∞上为增函数，故A 错误. 对于B ，()31f x x =-+在()0,∞+上为减函数，故B 正确.对于C ，对称轴20x =-<，故()243f x x x =++在()0,∞+上为增函数，故C 错误.对于D ，()2f x x=在()0,∞+上为减函数，故D 正确. 故选：BD ．14．（多选）若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分0a >和0a <两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【解析】依题意，当0a >时，1y ax =+在2x =取得最大值，在1x =取得最小值，所以()2112a a +-+=，即2a =；当0a <时，1y ax =+在1x =取得最大值，在2x =取得最小值，所以()1212a a +-+=，即2a =-．故选AB ．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.15．（多选）已知函数()()22101x x f x x x -+=≥+，则（ ）A ．()f x 最小值为12B ．()f x 在[]0,1上是增函数C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 无最大值 【答案】AC【分析】分0x =和0x ≠两种情况，把函数转化为()111f x x x=-+，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.【解析】()2221111x x xf x x x -+==-++， 当0x =时，()1f x =；当0x >时，()111f x x x=-+，此时()f x 在()0,1是减函数，在[)1,+∞上是增函数， 所以()()min 112f x f ==，故A 正确，B 错误； 当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，所以11012x x<≤+，所以11112x x≤-<1+，此时()112f x ≤<，又0x =时，()1f x =，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 16．设函数()21,21,ax x af x x ax x a-<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．1 【答案】BC【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【解析】解：当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题17．若函数()22f x x x =-，则()1f 、()1f -、f 之间的大小关系为______．【答案】()()11f f f <<-##()()11f f f ->>【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.【解析】因为()()22211f x x x x =---=，因为()f x 开口向上，所以()1f 最小，又()1110,1--=∈，所以()1f f->，所以()()11f f f <<-.故答案为：()()11f f f <<-18．已知函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=，则()1a b -的最大值为______.【答案】94##214##2.25【分析】依题意可得4a b +=，再根据函数的定义域求出a ，b 的取值范围，则()239124a b a ⎛⎫- ⎪⎭-=-+⎝，[]1,2a ∈，根据二次函数的性质计算可得.【解析】解：∵函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=， ∴()232130a b -+--=，可得4a b +=，[]1,2a ∈-，[]0,3b ∈，又4b a =-，∴[]1,2a ∈，则()()2391324a b a a a -=-=--⎫ ⎪⎭+⎛⎝，[]1,2a ∈， 所以当32a =时，()max 914a b ⎡⎤⎣⎦-=，即32a =，52b =时，()1a b -取得最大值94. 故答案为：9419．已知函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，则实数a 的值为___________. 【答案】6【分析】去绝对值将()3f x x a =-+转化为分段函数，再根据单调性求解a 的值即可.【解析】因为函数()3,33,3a x a x f x a x a x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故当3a x ≤时，()f x 单调递减，当3a x >时，()f x 单调递增. 因为函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞， 所以23a =，所以6a =. 故答案为：6.20．已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论： ①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x xx=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题21．指出下列函数的单调区间： （1）13y x =-； （2）12y x=+； （3）21y x =+； （4）21y x x =-+-.【答案】（1）单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，；（4）单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）根据一次函数的单调性，由30-<，可得出函数的单调区间； （2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间； （3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间； （4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.【解析】解：（1）函数13y x =-的定义域为()-∞+∞，，因为30-<，所以13y x =-在()-∞+∞，上单调递减，所以13y x =-单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间； （2）函数12y x=+的定义域为()()00-∞∞，，+，因反比例函数1y x=在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，所以12y x=+单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间； （3）因为函数21y x =+的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为0x =，所以21y x =+的单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，； （4）函数21y x x =-+-的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为12x =，所以21y x x =-+-的单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 22．（1）在定义域[],a b 上单调递减的函数()f x ，最大值是多少？ （2）若()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增，最小值是多少？ 【答案】（1）()()max f x f a =；（2）()()min f x f u =. 【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【解析】（1）因为()f x 是定义域[],a b 上单调递减的函数， 所以()()max f x f a =；（2）因为()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增， 所以()()min f x f u =.23．设a 为实数，已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>，求a 的取值范围. 【答案】()1,+∞【分析】直接根据函数的单调性可得12a a +<，从而可得出答案.【解析】解：因为函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>， 所以12a a +<，解得1a >， 所以a 的取值范围()1,+∞. 24．已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【分析】∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得. 【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2， f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x + =1212-(2)(2)x x x x ++，因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.25．设函数()f x 的定义域为()4,5-，如果()f x 在()4,0-上是减函数，在()0,5上也是减函数，能不能断定它在()4,5-上是减函数？如果()f x 在()4,0-上是增函数，在[)0,5上也是增函数，能不能断定它在()4,5-上是增函数？ 【答案】见解析【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【解析】取()3,405,05x x f x x x -+-<≤⎧=⎨-<<⎩，则()f x 在()4,-0上是减函数，在()0,5上也是减函数， 但()()0.2 3.2,0.01 4.99f f -==，()()0.20.01f f -<， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是减函数. 若取()5,403,05x x f x x x +-<<⎧=⎨+≤<⎩，则()f x 在()4,-0上是增函数，在[)0,5上也是增函数，但()()0.2 4.8,0.01 3.01f f -==，()()0.20.01f f ->， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是增函数.26．已知函数f (x )=[](],0,24,2,4x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩；（1）在图中画出函数f (x )的大致图象.（2）写出函数f (x )的单调递减区间. 【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象； （2）根据图象观察可得答案.【解析】（1）函数f (x )的大致图象如图所示.（2）由函数f (x )的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].27．函数()f x ，()(),,x a b b c ∈⋃的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说函数()f x 在定义域上是增函数；乙说函数()f x 在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数()f x 的增区间有两个，分别为(),a b 和(),b c .请你判断他们的说法是否正确. 【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误. 【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.若取120x b x c <<<<（如上图），则12y y >，与甲的说法矛盾， 故甲的说法是错误的；由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是(),a b 和(),b c ， ∴丙的说法是正确的.28．画出函数2()1f x x x =-++（11x -剟）的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当12112x x -<剟时，比较()1f x 与()2f x 的大小； （2）是否存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-？ 【答案】（1）()1f x ＜()2f x ；（2）不存在.【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解； （2）根据函数的最小值判断得解. 【解析】（1）函数的图象如图所示，当12112x x -<剟时，由于函数单调递增，所以()1f x ＜()2f x ； （2）由图得当1x =-时，函数取到最小值1-， 所以不存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-.29．若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围【解析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数，∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.30．已知函数()()a f x x a R x=+∈(1)当1a =，证明函数在()0,1上单调递减；(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14a =【分析】(1)利用证明函数单调性的定义()12,0,1x x ∀∈，由1201x x <<<，()()120f x f x ->，可证明函数在()0,1上单调递减.(2)通过讨论参数a ，分别求出0a =，0a <，0a >时()f x 的值即可. （1）证明：若1a =，则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈，1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- ()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+= 当()120,1x x ∈时，1201x x <<，所以()()12121210x x x x x x -->所以，函数在()0,1上单调递减. （2）①当0a =时，()f x x =，不满足条件；②当0a <时，易知函数()f x 在定义域内单调递增，则满足：112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不满足条件；③当0a >时，令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=- 所以()()12f x f x >，函数在(上单调递减；同理可证，函数在)+∞上单调递增， 所以，函数()f x最小值应在x =当102<时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得14a =，符合条件；当3<函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ，所以()31f =，解得6a =-，不符合条件；当132≤时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f，所以1f =，解得：14a =，不符合条件； 综上，14a =.31．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()()f x f x =-；(2)试判断()f x 在(0,)+∞的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<- 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数；证明见解析(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)()2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解. （1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f = 再令121,x x x x ==，则1()()(1)0f x f f x+== 所以1()()f x f x =- （2）()f x 在(0,)+∞上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x > 所以11221()()()0xf x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =- 所以1221()()()f x f f x x >-= 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =， 又因为11(2)()22f f =-=， 所以11()22f =-， 所以1(1)(1)2f x f x -++<-⇔21(1)()21010f x f x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩由上可知，()f x 是定义在(0,)+∞上为增函数所以，原不等式⇔21121010x x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩，解得1x <<. 32．已知函数ty x x=+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]4,3--． (2)32a =【分析】（1）令21t x =+，[]1,3t ∈，将()f x 化为()48h t t t =+-，由对勾函数的单调性可得()f x 的单调区间和值域（2）由题意可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得()g x 的值域，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围 （1）()2412342182121x x y f x x x x --===++-++． 设21u x =+，[]0,1x ∈，则48y u u =+-，[]1,3u ∈．由已知性质，得当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 由()03f =-，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1113f =-，得()f x 的值域为[]4,3--． （2）因为()2g x x a =--在[]0,1上单调递减， 所以()[]12,2g x a a ∈---．由题意，得()f x 的值域是()g x 的值域的子集， 所以12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩，所以32a =．。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
高一函数的单调性练习题
高一函数的单调性练习题1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是A。
y=2x+1.B。
y=3x^2+1.C。
y=√x。
D。
y=2x^2+x+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞，-2)上是减函数，则f(1)=17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)在区间(0.2)上是增函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是(-∞。
-1)∪[4.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是f(13)<f(9)<f(-1)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是(负无穷，0]，[0.1]。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤-1或a≥3.1.上面的文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除和修改。
2.改写后的文章如下：题目：1.如果函数f(x)是减函数，则实数a的取值范围是（）。
A。
a≤3B。
a≥－3C。
a≤5D。
a≥32.已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a ＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）。
A。
f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)B。
f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．【答案】.【解析】∵是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在上单调递减，故不等式等价于或，∴的取值范围是.【考点】1.偶函数的性质；2.对数的性质.3.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)【答案】D【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.4.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．；B．C．；D．【答案】D【解析】由题意知当时,函数,当时,函数,所以不等式的解为.故正确答案为D.【考点】1.函数的单调性、奇偶性;2.不等式的解5.对于定义在上的函数，有如下四个命题：①若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；③若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.【答案】②④【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误②若则函数不是偶函数；正确③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误④若，则函数不是R上的减函数，正确所以填②④【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．6.设函数。
（Ⅰ）若且对任意实数均有成立,求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据得出a，b关系，再在定义域上恒成立，可得a，b的值，从而得出表达式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可推出表达式，又为单调函数，利用二次函数性质求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）恒成立，知从而 .（6分）（Ⅱ）由（1）可知，由于是单调函数，知 .（12分）【考点】二次函数求解析式，单调区间求参量.7.若函数，在上单调递减，则a的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数，在上单调递减，令，则在区间上是单调递减函数，且恒成立，所以，解得.【考点】函数的单调性8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，那么当时，的递减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则由已知得的定义域为，且为奇函数，当时，，所以当时，有，此时其单调递减区间为，而对于函数来说，其单调递减区间为.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数图像的平移.9.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.10.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数开口向上，对称轴为，且函数在为减函数，所以，解得．故答案为．【考点】二次函数的单调性11.若那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；结合函数的单调性可知，结合的单调性可知成立【考点】比较大小点评：题目中比较大小借助于函数单调性将要比较的函数值关系转化为自变量关系12.已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】根据题意，由于函数在区间内恒有，即可知,因此可知外层的对数函数得到递增，那么内层是二次函数，定义域为,因此可知内层的减区间即为所求，开口向上，对称轴x=1，可知就是减区间，故答案为【考点】对数函数单调性点评：解决的关键是对于对数函数的值域的理解和运用，以及复合函数单调性的判定，属于基础题。
高一数学函数的单调性练习题
高一数学函数的单调性练习题题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。
1.定义法 【例1】 试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例2】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】 讨论函数2()1x f x x =-(11)x -<<的单调性．【例6】 求函数f (x)=x+1x的单调区间。
典例分析【例7】 求证:函数()(0)a f x x a x=+>在)+∞上是增函数.【例8】 （2001春季北京、安徽，12）设函数f （x ）＝bx a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。
【例9】 （2001天津，19）设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数。
（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数。
【例10】 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。
【例11】 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例12】 已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．2.图象法【例13】 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例14】 求函数122y x x =++-的单调减区间【例15】 求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例16】 求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例17】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++3.求复合函数的单调区间【例19】 函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例20】 已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，上是减函数，求()21f x -单调增区间。
高一数学函数的单调性1
练习1：根据下列函数图象，写出其单调区间。
y=x 2 正确答案：
增区间（-∞，0]， 减区间 [0，+∞）
y=x 3
1 y= _ x
增区间（-∞，+∞） 减区间（-∞，0）， （0，+∞）
练习2：判断下列命题的正误 1、函数f(x)在[a,b]上满足f(a) < f(b)，则 （错误） f(x)在[a,b]上是增函数。 2、若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2，则 f(x1)>f(x2) f(x)是[a,b]上减函数 。 （错误） 3、函数f(x)在（a,b）上是增函数，在 [b,c)上也是增函数，则f(x)在（a,c）上是增 函数。 （错误）
各位老师、同学：
早上好！
此函数图象描述的是在我国某地区部分年代人 口出生率变化曲线，大家通过图象，能否发现该地 区的人口出生率有什么样的变化规律。
函数的单调性
增函数：在给定区间上， 函数值y随自变量x的增 大而增大。
减函数：在给定区间 上，函数值y随自变量 x的增大而减小。
判断下列两个命题的正误：
正确答案：增区间为：[-2，1]，[3，5]
减区间为：[-5，-2]，[1，3]
正确答案：
增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3]
。
增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3]
增区间：[-2，0]，（0，1]， [3，5]
。
减区间：[-5，-2]，[1，3]
本课小结： 1、用图象描述增函数、减函数 的特征； 2、用文字语言说明增函数、减 函数的规律； 3、用数学符号语言定义增函数、 减函数。
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高一数学函数的单调性测试题及答案
1．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f(2)，f(-2)B ．f(12)，f(－1)C ．f(12)，f(－32)D ．f(12)，f(0) 【解析】 根据函数最值定义，结合函数图象知，当x ＝－32时，有最小值f(－32)；当x ＝12时，有最大值f(12)． 【答案】 C2．y ＝2x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，12 ，1 ，14 ，12【解析】 因为y ＝2x在[2,4]上单调递减， 所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12. 【答案】 A3．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.【解析】 若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a<0；若a>0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a ＋1＝4，a ＝1，满足a>0，所以a ＝1.【答案】 14．已知函数y ＝－x 2＋4x －2，x∈[0,5]．(1)写出函数的单调区间；(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．【解析】 y ＝－x 2＋4x －2＝－(x －2)2＋2，x∈[0,5]．所以(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知： 当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x ＝3时，y ＝1，x ＝0时，y ＝－2，所以函数的最小值为－2.一、选择题1.函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 函数y ＝|x －1|的图象，如右图所示可知y max ＝3.【答案】 D2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6 x∈[1，2]x ＋8 x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( )A ．10,7B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，7≤x＋8≤9.∴f(x)min ＝f(－1)＝7，f(x)max ＝f(2)＝10.【答案】 A3．函数f(x)＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14【解析】 f(x)＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14， ∵－5＜－23＜5， ∴无最大值f(x)min ＝f(－32)＝－14. 【答案】 D4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a 的图象开口向下，对称轴为直线x ＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a ＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________． 【解析】 y ＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)． 【答案】 (0,1]∪[－1,0)6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．【解析】 f(x)＝ax 2＋2ax ＋1＝a(x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1，当a ＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13， 当a ＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5.【答案】 13或－5 三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y ＝2x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【解析】设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)= -== .由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是.8．求f(x)＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值．【解析】 f(x)＝(x －a)2＋2－a 2，当a≤2时，f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；当2<a<4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；当a≥4时，f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a (a≤2)2－a 2 (2<a<4)18－8a (a≥4)9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份元，卖出价格是每份元，卖不掉的报纸以每份元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)【解析】 若设每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N )份，则每月(按30天计算)可销售(18x ＋12×180)份，每份获利元，退回报社12(x －180)份，每份亏损元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则有y ＝(18x ＋12×180)－×12(x－180)＝－＋1 188,180≤x≤400，x∈N .函数y ＝－＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.。
高一数学练习题函数的单调性的概念
高一数学练习题函数的单调性的概念1.若函数fx在区间[m,n]上是增函数,在区间[n,k]上也是增函数,则函数fx在区间m,k上a、它一定是一个减法函数。
B.它必须是递增函数或递减函数c.必是增函数d.未必是增函数或减函数回答：C解析：任取x1、x2m,k,且x1如果x1，x2m，n]，那么FX1若x1、x2[n,k,则fx1如果x1m，n]，X2N，K，那么x1nfx1fnFX必须是M和K的递增函数2.函数fx=x2+4ax+2在-,6内递减,那么实数a的取值范围是a、 a3b。
a3c。
a-3d。
a-3答案：d分析：∵ - = - 2A6，A-33.若一次函数y=kx+bk0在-,+上是单调增函数,那么点k,b在直角坐标平面的a、上半平面B.下半平面c.左半平面d.右半平面回答：D解析：易知k0,br,k,b在右半平面.4.在下列函数中，区间0,2上的递增函数为a.y=-x+1b.y=c、 y=x2-4x+5d。
y=答案：b分析：C中的y=x-22+1是0,2上的减法函数5.函数y=的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.回答：[-3，-[-2]解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.y=的域为[-3,2]又u=-x2-x+6的对称轴是x=-,U在x[-3，-]上增加，在x[-2]上减少又y=在[0,+]上是增函数,y=的递增区间是[-3,-],递减区间[-,2].6.函数FX是定义字段[-1,1]和FX-1中的递增函数答案：1分析：根据主题1的意义7.定义在r上的函数fx满足f-x=0,又gx=fx+cc为常数,在[a,b]上是单调递增函数,判断并证明gx在[-b,-a]上的单调性.解决方案：取x1，X2[-B，-A]和-BX1则gx1-gx2=fx1-fx2=.∵ GX=FX+C是[a，b]上的递增函数，fx在[a,b]上也是增函数.X2a-b，f-x1f-x2.而且，f-x1和f-x2大于0，gx1-gx20，即gx1能力提升踮起脚,抓得住!8.假设函数FX是-，+上的减法函数，那么下面的不等式是正确的a.f2ac、 fa2+a答案：d分析：∵ A2+1-A=A-2+0，a2+1a.函数fx在-,+上是减函数.fa2+19.若fx=x2+bx+c,对任意实数t都有f2+t=f2-t,那么a、 f1c.f2回答：C解析：∵对称轴x=-=2,b=-4.f1=f310.已知函数fx=x3-x在0,a]上递减,在[a,+上递增,则a=____________答复:解析：设0fx1-fx2=x1-x2x12+x1x2+x22-1，当0fx2.同样，它也可以被证明11.函数fx=|x2-2x-3|的增区间是_________________.回答：-1,1,3+解析：fx=画出图象易知.12.证明函数FX=-x在其定义字段中是一个减法函数证明:∵函数fx的定义域为-,+,设X1和X2为区间-、+和X1上的任意两个值fx2-fx1=--x2-x1=-x2-x1=x2-x1=x2-x1。
高一数学函数单调性例题
高一数学函数单调性典型例题例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D)A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数. (2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则表达正确的是（ D ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得.(4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5) 函数223y x x =+-的单调减区间是(,3]-∞-提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和 (1) (2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在 上是减函数．证明：设1212,x x R x x ∈<且则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++ 12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0，不妨设 20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以 故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
高中数学必修一第二章 §3 第1课时 函数的单调性
第二章函数§3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).>0成立,则()3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-bA.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上由f(a)-f(b)a-b是增函数.4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则()A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.5.若函数f (x )=x 2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,3]∪[4,+∞)B.(-∞,3)∪(4,+∞)C.(-∞,3]D.[4,+∞)f (x )图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-1≤2,或a-1≥3,相应解得a ≤3,或a ≥4,故选A .6.函数f (x )=|x|与g (x )=x (2-x )的单调递增区间分别为( )A.(-∞,0],[1,+∞)B.(-∞,0],(-∞,1]C.[0,+∞),[1,+∞)D.[0,+∞),(-∞,1](图略)可知选D .7.(多选题)下列命题是假命题的有( )A.定义在区间(a ,b )上的函数f (x ),如果有无数个x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在区间(a ,b )上为增函数B.如果函数f (x )在区间I 1上为减函数,在区间I 2上也为减函数,那么f (x )在区间I 1∪I 2上就一定是减函数C.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递减 D.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递增是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”; 以f (x )=1x为例,知B 是假命题; ∵f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)等价于[f (x 1)-f (x 2)]·(x 1-x 2)<0,而此式又等价于{f (x 1)-f (x 2)>0,x 1-x 2<0或{f (x 1)-f (x 2)<0,x 1-x 2>0,即{f (x 1)>f (x 2),x 1<x 2或{f (x 1)<f (x 2),x 1>x 2,∴f (x )在区间(a ,b )上是减函数,C 是真命题,同理可得D 也是真命题.8.若函数y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,则函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上是( ) A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为x=-b2a <0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上单调递减.9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x=-b2a =m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.81310.证明函数f(x)=-√x在定义域上为减函数.f(x)=-√x的定义域为[0,+∞).任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(-√x2)-(-√x1)=√x1−√x2=√x1-√x2)(√x1+√x2)√x+√x=12√x+√x.∵x1-x2<0,√x1+√x2>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-√x在定义域[0,+∞)上单调递减.能力提升练1.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是单调递减,则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1](x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴0<a≤1.2.若定义在R上的一元二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上单调递增,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是()A.0≤m≤4B.0≤m≤2C.m≤0D.m≤0或m≥4f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因为f(x)的图象的对称轴为x=--4a2a=2,所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.3.给出下列三个结论:①若函数y=f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (1)<f (2)<f (3),则函数y=f (x )在区间(0,+∞)上是增函数; ②若函数y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f (a 2+1)<f (a 2);③函数f (x )=1x 在其定义域上是减函数.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个在函数单调性的定义中,x 1,x 2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误; ②∵a 2+1>a 2,又y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴f (a 2+1)<f (a 2),②正确;③取x 1=-1,x 2=1,∵f (-1)=-1,f (1)=1,∴f (-1)<f (1),故f (x )=1x 不是其定义域上的减函数,③错误.4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,a ,b ∈R 且a+b ≤0,则下列选项正确的是( )A.f (a )+f (b )≤-[f (a )+f (b )]B.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b )C.f (a )+f (b )≥-[f (a )+f (b )]D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )a+b ≤0,所以a ≤-b ,b ≤-a ,又函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ),所以f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).5.若函数f (x )={x 2+2ax +3,x ≤1,ax +1,x >1是定义域上的减函数,则实数a 的取值范围为 .{-a ≥1,a <0,12+2a ×1+3≥a ×1+1,解得-3≤a ≤-1,则实数a 的取值范围是[-3,-1].-3,-1]6.已知函数f (x )=ax+1x+2,若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2),则实数a 的取值范围是 .(用区间来表示)“若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2)”可知函数f (x )在区间(-2,+∞)上单调递增.而f (x )=ax+1x+2=a+1-2a x+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a 的取值范围为(12,+∞).(12,+∞)7.(2020浙江金华高一检测)函数f (x )=√(x -1)(x -2)的定义域为 ;单调递减区间为 .f (x )=√(x -1)(x -2), ∴(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞);又t=(x-1)(x-2)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,∴函数f (x )在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,∴函数f (x )的单调递减区间为(2,+∞).-∞,1)∪(2,+∞) (2,+∞)8.已知函数f (x )=mx+1nx +12(m ,n 是常数),且f (1)=2,f (2)=114. (1)求m ,n 的值;(2)当x ∈[1,+∞)时,判断f (x )的单调性并证明;(3)若不等式f (1+2x 2)>f (x 2-2x+4)成立,求实数x 的取值范围.f (1)=m+1n +12=2,f (2)=2m+12n +12=114,∴{m =1,n =2.1≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+12x 1+12−(x 2+12x 2+12)=(x 1-x 2)·(1-12x 1x 2)=(x 1-x 2)(2x 1x 2-12x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>1.∴2x 1x 2-1>1.∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在区间[1,+∞)上单调递增.1+2x 2≥1,x 2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x 2>x 2-2x+4.∴x 2+2x-3>0.∴x<-3或x>1.素养培优练1.(2019江苏南通期中)已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0,a ∈R ),若函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则a 的取值范围为 .x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f (x 2)-f (x 1)=x 22+a x 2−x 12−a x 1=x 2-x1x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)-a ]. 要使函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f (x 2)-f (x 1)>0在[2,+∞)上恒成立.∵x 2-x 1>0,x 1x 2>4>0,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,即a的取值范围是(-∞,16].-∞,16]2.设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;当x=0时,f(0)=1>0;当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(x+(-x))=f(x)·f(-x),∴f(x)·f(-x)=1.∴f(x)=1>0.f(-x)故x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)·f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].由(2)知,f(x2)>0.∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高一数学函数的单调性1(1)
例4：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的 的两根的平方和为10，图象经过（0，3）。 (1)求f(x)的表达式； (2)求出函数f(x)的单调区间； (3)证明函数f(x)在（2，+∞）是增函数。
练习：BP32 3，4，5
急火燎地挂上电筒,然后拔通梅林客栈の订餐热线.这点小事都办不好,难怪被甩,哎...第129部分悠闲の午后,充满生活气息の办公地点,香味四溢.“...你倒选了一个好地方,打算长住？”一个眼神明媚の女子坐在柏少华面前品尝着他做の菜肴,身穿一件天青色の真丝旗袍,远山一样の色彩让她看 起来淡雅大方.她是个很好看の女人,浓妆淡抹,玉音婉转,拥有一股含蓄优雅の韵味.“看情况,目前觉得挺好.”柏少华笑了笑,旁边の水开了,他往里边加了一小勺盐,一小勺橄榄油,取出适合一个人分量の通心面往锅里哗啦一放,一把整齐の意面像绽放在开水里の花朵.室内正在直播,两名容颜出 色の男女一起出现,活像一部世家偶像剧似の特别养眼.美食当前,早有准备の粉丝们在屏幕前有の吃着方便面,有の啃薯片,有の嚼辣条,有の咽口水,唯一相同の就是嘴巴没停过.“...姐,您今年贵庚啊？有男朋友了吗？没有の话可以考虑一下我.”“马不知脸长,也不瞧瞧自己长得像用胶合板做 の一堵墙,配得上我姐吗？”女子瞥见粉丝们の对话颇感有趣,不禁笑靥如花.“你の粉丝们挺可爱の.”柏少华瞧来一眼,唇边挂着一抹浅笑,“一群看热闹不嫌事大の小鬼.”“喂喂喂,姐姐我可是比你大三岁！”立即有人抗议,并扔他一束鲜花表达内心の喜悦,赤.裸裸地表示她是一个口是心非の 动物.“楼上の大姐,你老了,请让位,别妨碍妹妹们表现.”男神の亲属在前,女粉丝们极度兴奋猛献殷勤,像在见家长似の气氛十分紧张.倒是男粉丝淡定许多,他们明确表示男神の大姐很美,但不是他们の菜,他们更喜欢姓洪,姓艾,姓欧阳の那几位曾经入过镜头の青春少艾.“我喜欢那位余姐姐,成 熟稳重又能干,未来一定是个贤妻良母住家好女人,和老板挺配の,大家有没觉得？”“那个陆陆也不错,清秀佳人一枚,耐看.”“不行,作家の性情太飘忽,不适合务实の男人,像老板这样の以后会被欺负得很惨,真の.还是余姐姐好,她心灵手巧人也长得好,以后肯定能成为老板の贤内助,大家说是 吧是吧？”柏少华见众人の讨论越来越激烈,不由得出言提醒一下,“聊归聊,不许人身攻击.”他有那么弱吗？“没有,我们就比较比较.”“就是,为你着想,放心,在她们面前我们不会说の.”吧啦吧啦,仿佛一群正在网上开会の月老与红娘.有嘉宾の时候大家很热闹,仅有他一个人时静悄悄,除了 礼物在飘,这是属于他の独特风景.“诶？少华,你跟大家说嘉宾の来历？”女子蹙眉,这样可不好.柏少华往碟里の意面放进海鲜,将热腾腾の散发浓郁香气の肉酱盖在上边,“这些小鬼好奇问,她们自己说の.”他只是没有阻止,再淋上自制の美味酱汁,令人食指大动...这女子确实是他姐,是表姐, 名叫柏少媛.他小时候曾经随外婆回到外祖家住过两年,与表姐妹兄弟很亲近.后来他被父母接出去了,从这时在外边读书,逢假期才能回来探望外公外婆一段时间,不知不觉就生疏了.直到前两年才回来定居.直播完毕,表姐弟俩离开餐厅,打算出去散散步欣赏云岭の田园风光.“不打算回去过生日？ 大伯娘希望你回去.”柏少媛站在门口阶梯上深呼吸一下,身心放松,这里是个养生の好地方.柏少华拄杖而立,目光游移于四周の景色,“麻烦你回去转告,我对她介绍の名媛淑女没兴趣.”少媛微哂,“男大当婚女大当嫁,你决定回国发展就该想到有今天.”“你不也没嫁么？”柏少华不咸不淡地将 她一军.大表姐语结,责怪地嗔了他一眼.“少跟我贫嘴,男人要先成家再立业,有喜欢の赶紧带一个回去给大家过过眼.”柏少华：“...我家没有皇位要继承,不急.”“那可不一定,”表姐玩笑道,“说不准哪天皇冠就来了.”此表姐今年28有余,仍然单身.皇帝不急太监急,大伯娘天天在朋友圈里喊 人帮她找对象,就差把她の简历挂公园了,把这大表姐气得从这时独居远离亲人.她喜欢旅游,经常满世界地跑,今天到这儿只是路过顺便住几天.两人聊着天,此时,村路走来一老一少,神情忧愁,步履缓慢.路两旁浓荫密集,烈日之下,落在地面の只剩下斑驳の几点光影,给人腾出几分清凉の闲暇时 光.“她们是谁？要不要打招呼？”表姐悄声问.在她眼里,这一老一少是乡农の真实写照,此情此景,蕴含着宁静安逸の乡土之美,却不知诗情画意の后面隐藏着什么.“不用.”柏少华态度很冷淡.他极少主动与人打招呼,除非迎面遇上,或者看见举止怪异の人和物.再说了,没看见她们匆匆忙忙在赶 路么？还提着行李,哦,还拐了一个弯...咦？那不是陆陆家吗？俊颜微凝,转念一想,忽而眉头挑起,柏少华忍不住轻笑,清清冷冷の眼神里多了一丝暖意.“你笑什么？”大表姐惊讶地看他一眼.“没什么,走吧,我带你四周逛逛.”拄着拐杖,步伐稳健,心里暗叹（笑）：可怜の人儿,长日屋中坐,灾 福躲不过,斩不断の麻烦,搭不搭理最后都是她の错.唉,没见过这么倒霉の姑娘,今晚要不要给她做道菜压压惊？太可怜了...陆宅,在这个宁静の午后,婷玉在后院晾晒药材,陆羽在二楼码字赚钱.四只汪在休息,母猫小吉也蜷缩在凉亭の顶上晒太阳,不知它什么时候用什么方法跳上去の.剩下几只小 猫到处乱窜,打滚玩耍,偶尔踩水想弄湿架上の药材.“下去.”遭到温柔喝斥,一指弹中它の眉心,喵地一个后空翻安全落地.“呯呯呯,呯呯呯...”前院の门响了,婷玉回眸一顾,放下药材.“不许胡闹.”将正在爬药架の小猫们一个个摘下来扔到前院,自己随后跟上,经过四只汪身 边,“看着药材别弄脏了.”四只汪领命去了后院看守.打开院门,发现访客是一名老妇与上次那个身怀六甲の少妇,但是,她の孩子好像...“杏子在家吗？”第130部分“在我们家住几天？”凉亭里,茶香芬芳,点心摆上,陆羽和婷玉对视一眼.“恐怕不行.”“不可以.”待人客气の是陆羽,坚决果断 の是婷玉.面对两人异口同声の拒绝,赵婶既尴尬又有些难过.她这辈子没求过什么人,一向是老伴出头の,更没在小辈面前低过头,但今天...她这张老脸啊！“杏子,俗话说,远亲不如近邻,就当看在我跟你周叔の份上,让小飞在这儿住几晚,不,两晚也行...小飞晚上过来住,白天在家里帮忙,可能不 用两天就有客人离开了.”老人期盼道,小心翼翼地说完来意,脸上の褶子仿佛更深了.“赵婶,我很感激您和周叔当初の帮助.可说实话,自从听说何玲介绍这宅子给我是为了替定康叔消灾还人情之后,这一切都不重要了...”陆羽抬手制止急欲分辩の赵婶,“既然何玲一开始就不怀好意,作为亲人の 你们无论帮过我什么都是毫无意义の.”负罪感作祟而已,哪怕是真心实意,也无法改变一家子算计她の事实.这次是迷信,下次呢？宁与真小人交手,莫与伪君子为友.“况且我只是借你们の车用用,过后我不但帮你们送菜,去城里帮您孙子买复习资料、玩具包括何玲の化妆品,你们送我蔬菜小葱,我 也送了回礼...这些事,何玲当没看到,您跟周叔也看不到吗？”“杏子,这些我们都知道,可...”赵婶不善言辞,有些难堪.“没有可是,”打断长辈の话不礼貌,前提是对方要讲理,“赵婶,何玲来我家撒泼还打了我朋友,这笔帐我一直记得.我不想再跟你们老周家有任何牵连,所以这个忙我帮不了, 你们走吧.”挟恩图报,在她这里是行不通の.至于这个何小飞,陆羽看了一眼,是那天在餐厅对她咄咄逼人の旗袍美人.此刻正在一边翻白眼,那眼神闪烁不定在院里左瞧右瞄,一看就不是省心の人.“可她没地方去了！她房间被客人住了,行李都收拾好了.白大姐生病帮不了忙,小飞年轻又不懂煮饭, 只好让我和老伴回家伺候着.如果让小飞出去住,我们耳朵不好使恐怕招呼の不周到.唉,杏子,我们农民赚几个钱不容易,你就当帮帮婶子の忙,等这拔客人走了之后我跟老头子让玲子向你道歉好不好？”“这是两码事,赵婶,”陆羽态度很是冷淡,起身直接下逐客令,“不必多说,你们走吧.”见她不 为所动,赵婶唉了声,枯瘦の手开始抹眼泪.旁边の何小飞早听得不耐烦了,“婶子你跟她们啰嗦什么？房子又不是她の,让不让住她说了不算,你回去让我姑跟房东说一声.我今天就留下不走了,有事你们找我玲姑说去.”说罢,姑娘她一把提起行李风风火火就想闯进屋里找房间.“哎...”陆羽刚想 阻拦,忽然手臂被人抓得死紧死紧の.回头看一眼,是赵婶,打算耍无赖了？她不敢用力甩,万一老人在她家出事那麻烦就大了.“杏子,她就住两晚...”老人一味地哀求.陆羽静静看着老人,老周夫妇不是狡诈之徒,没想到今天为了达到目の居然不择手段.人の私欲一旦发作,善人比恶人更可怕.她不 慌不忙,因为婷玉已经拦住何小飞.“你干嘛？想动粗？现在是法治社会,你敢动我一根毫毛就等着坐牢吧！哼.”身高相等,稍嫌圆润の何小飞仰起下巴,挑眉瞪眼,态度相当嚣张.她の体积看起来比婷玉大一倍,心里自然是不怕の.不过,当她眼睁睁看着对方不声不响地举起手,两指之间挟着一枚细 如发丝の长针时,不禁心底一寒,微微后退.“你想干嘛你想干嘛,我告诉你...”死到临头还嘴硬.婷玉眸色转冷,二话不说手往前用力一刺.身上一痛,何小飞瞳孔倏地圆瞪,僵硬迟缓地低下头,无比惊恐地看着对方那枚三寸长の银针被毫不犹豫地刺进自己の锁骨下方,仅剩2cmの长度留在皮肤 外.“啊,啊,啊你...”何小飞被吓呆了,抬眸瞪着面无表情の女孩.她、她怎么敢？！见她正欲尖叫,婷玉迅速又举起一枚长针往她喉间一刺.啊——？！这回何小飞终于吓得尖叫出口,可惜四下静寂无声,喉咙像被什么塞住了,只能喘气,却发不出半点声音.“小飞？小飞怎么了？”赵婶老眼昏花, 看不出何小飞什么情况,只知道那位漂亮の姑娘在她面前扬了两次手,然后世界就安静了.“陆陆,我正好缺个药奴.”婷玉打量何小飞,眼神冷漠.主题有了,细节任凭发挥,这是某人の强项.陆羽心神领会,发现自己の手仍被赵婶抓得死紧,便轻轻一笑,“赵婶,您先放开手,我们同意了,但有件事得先 告诉你们...”一听说同意了,赵婶欣喜若狂,“什么事？你说.”终于完成任务了.“那倒不必,我不缺钱.”陆羽察觉老人劲道松了,稍用力一挣,缩回自己の手,“是这样,我这位姐姐来自秦岭,她从小在深山里长大,脑子有些不清醒,却对古老の药方、医术极感兴趣.”知道老人听不懂太文绉绉の话, 陆羽努力说得直白些.“她总以为自己是名医,常从山上采了好多草药回来找人试验.以后何小
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.2.已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或因此.【考点】分段函数单调性，数列单调性3.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 .【答案】【解析】由于函数可知函数在R上递增，又函数在（0,1）上递减.并且两个函数在x=1x时的函数值相等.根据函数的图像的走向要满足不等式，首先要确定在x>1时函数值的等于的对应x的值.即.所以.故填.【考点】1.函数的单调性.2.函数的最值问题.3.函数的数形结合思想.4.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.5.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.6.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】A: ，所以不是奇函数，故A不正确。
高一数学学习单函数(5)单调性
高一数学学习单 函数（5）单调性姓名___________________班级________日期__________一、自我诊断：1．函数()y f x =的图象如右图所示，其增区间是（ ） 答案：C A ．[－4，4] B ．[－4，－3]∪[1，4] C ．[－3，1] D ．[－3，4] 2．画出函数223y x x =-++的图象，并指出函数的单调区间．解：223y x x =-++()()()()22222314023140x x x x x x x x ⎧-++=--+≥⎪=⎨--+=-++<⎪⎩．函数图象如图所示．函数在（-∞，-1]，[0，1]上是增函数， 函数在[-1，0]，[1，+∞）上是减函数． ∴函数的单调增区间是（-∞，-1]和[0，1]， 单调减区间是[-1，0]和[1，+∞）． 二、问题讨论：1．阅读教材第140至142页，关于函数的单调性，需要注意哪些？①函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，因此，定义中的1x 、2x 具有任意性，不能用特殊值替代．②单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可有不同的单调性． ③若()f x 在区间D 1，D 2上分别为增函数，但()f x 在D 1∪D 2上不一定是增函数． ④若()f x 是增（减）函数，则有()()1212f x f x x x >⇔>（12x x <）． 2．阅读教材第143页，整理证明函数在区间上单调性的基本步骤？ 第一步：在区间中，任取1x 、2x ，并设定大小关系12x x <；第二步：作差()()21f x f x -，通过因式分解或分母有理化，判断差值的正负； 第三步：做出结论，指明函数在区间的单调性． 例1．证明()f x x =+R 上是增函数．证明：3．证明简单函数的单调性的关键是什么？ ①明确区间；②任意性．4．阅读教材第146页，解决“思考与探究”，写出对勾函数的单调区间，并结合均值不等式进行理解． 5．阅读教材第147页，复合函数的单调性与内层函数和外层函数的关系？解决“思考与探究”． 内外层函数单调性一致时，复合函数为增函数；内外层函数单调性不一致时，复合函数为减函数． 例2．求函数()213log 32y x x=--的单调增区间．解析：（1）先确定定义域()3 1-，（2）确定内层函数的单调区间()31--，增，()1 1-，减，外层函数是减函数。
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高一数学同步测试（6）—函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12 x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。