高一数学函数单调性

y
y
x o x
结论：
a 0时 ， 在 （ ， ） 上 为 增 函数 a 0时 ， 在 （ ， ） 上 为 减 函数
o
y=kx+b (k>0)
y=kx+b (k<0)
问题：
1、当k变化时函数的单调性有何变化？ 2、当b变化时函数的单调性有何变化？
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end
（2）二次函数单调性
——单调递增性
——单调递减性
1.单调性概念
y f (x)
y
如何用x与 f(x)来描 述上升的图象？
在给定的区间上任取x1， x2；
f (x 2 )
x1 x2
f (x1 )
f(x1 ) f(x2 )
函数f (x)在给定区间上 为增函数。这个给定的
O
x1
x2
x
区间就为单调增区间。
y
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
判断
课堂小结： 增函数 图象
y2 y1
O
y
x1 x2
y1 y2
减函数 y
x1 x2
x
O
x
图象 特征 数量 特征
自左至右，图象上升. 自左至右，图象下降. y随x的增大而增大. 当x1＜x2时， f(x1)＜ f(x2) y随x的增大而减小. 当x1＜x2时， f(x1) ＞ f(x2)
证：在区间（－∞，0）上任意取两个值 x1 , x 2 ， 则 且 x1 x 2 ， 取值
1 1 x2 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x1 x2
作差变形 定号
∵ ∴ ∴ ∴
x1 x2 0 x2 x1 0, x1 x2 0
1 f ( x) 在区间（－∞，0）上是单调减函数． x
0 x1
1 2
x2
1 2
3
x
f(x1 ) f(x2 )
f ( x2 )
证明步骤:
1.设变量：任取定义域内某区间上的
两变量x1，x2，设x1<x2；
2. 作差变形 3.定号：判断f(x1) – f(x2)的正、负情况 4.下结论
例2 证明：函数 f ( x ) 且 x1 x 2， 取值
y ax bx c
2
(a 0)
① a 0时
② a 0时
b 函数在（ ， ]上 为 减 函 数 2a b 在 （ , )上 为 增 函 数 2a b 函数在（ ， ]上 为 增 函 数 2a b 在 （ , )上 为 减 函 数 2a
（2）二次函数单调性
是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数. y
3 2 作图是发 现函数单 调性的方 5 x 法之一.
例1 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-1
-2
讨论一次函数的单调性
两个区间上都是增函数
1.函数y f ( x)在定义域的某区间上 x1 , x2满足x1 x2 , 且f ( x1 ) f ( x2 ), 那么函数y f ( x)在该区间上一定是 增函数吗？
y
f(x2) f(x1)
0
x1
x2
> x
2.函数y=x2 是 增函数吗? 是减函数吗?
y=x2
问题1 分别作出函数y=2x, y x 以及
3
y x 的图象，并且观察当自变量变化
2
时，函数值有什么变化规律？
问题2 能否根据自己的理解说说什么是增 函数、减函数?
y
y f ( x)
o
m
n
通 俗 定 义
x
y
y f ( x)
o
m
n
x
在[m，n]上，函数 y 随 x 的增大而增大
[m，n]上，函数 y 随 x 的增大而减小
函数的增减性是针对给定区间来 讲的,离开了区间,就不能谈函数的 单调性.
利用定义判定(证明)函数的增、减性
例2 证明：函数 f ( x ) 2 x 2在R上是单 调减函数． y
3
利用定义去证 明主要是证明 什么式子成立？ 如何完成这个 证明？
2 1
2 1
f ( x1 )
x1 x2
如何根据图象指出（判断）单调区间？
怎样用定义证明函数的单调性？
证明步骤: 1.设变量：任取定义域内某区间上的
两变量x1，x2，设x1<x2；
2. 作差变形
3.、定号：判断f(x1) – f(x2)的正、负情况 4.下结论
1.写出函数 f ( x) x 2 4 x 3 的单调区间.
（3）反比例函数的单调性 k y ( k 0) x
结论：k 0时， 函数在（ ， 0）和（0， ） 两个区间上都是减函数 k 0时，
函数在（ ， 0）和（0， ）
1 提问：能否说函数y 在 x （ ， 0）（ 0， ）上是减函数？
定号 判断
1 例3 证明：函数 f ( x) 在区间（－∞，0） x 上是单调减函数．
y
o x
讨论： 1.此函数f(x)在给定区间 上是恒大于0的，还有其它 证明方法吗？ 2. 函数f(x)在 , 上也是减函数吗？
例3 证明：函数 上是单调减函数．
1 f ( x) x
在区间（－∞，0）
则 f ( x1 ) f ( x2 ) (2 x1 2) (2 x2 2)
2( x1 x2 )
∵ x1 x 2
作差变形
∴ x1 x2 0, 2( x1 x2 ) 0 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ). ∴ f ( x) 2 x 2 在R上是单调减函数．
f (x1 )
如何用x与 f(x)来描 述下降的图象？
在给定的区间上任 取x1，x2；
f (x 2 )
x1 x2
f(x1 ) f(x2 )
函数f (x)在给定区间上
O
x1
x2
为减函数。这个给定的
x 区间就为单调减区间。
的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在 每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数？ 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）