高一数学函数单调性的概念
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
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一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性与最值 (解析版)
函数的单调性与最值1 1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，区间D ∈I :如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递增(左图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递减(右图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.注 ① y =1x 在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数.② x 1 ,x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1 ,x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1 ,x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】 若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f (1)<f (2)<f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)上为 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不能确定解析 由于函数单调性的定义突出了x 1,x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选D ．1 (2) 单调性如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y =f(x)的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数y ={1, x 为有理数 0, x 为无理数，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．【例】说下函数y =x 2−2x −3的单调性.解析函数y=x2−2x−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数；【练】函数y=1的单调递减区间是().xA．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)解析y=1的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).x在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，函数y=1x(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．但不能说函数y=1x因为当x1=−1,x2=1时有f(x1)=−1<f(x2)=1，不满足减函数的定义．21单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.y=f(x)递减，有类似结论！【例】若y=f(x)递增，比较f(a2)与f(0)大小.答案f(a2)≥f(0).【例】若y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 比较m+n与1大小.答案m+n≤1.31判断函数单调性的方法①1定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)−f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②1数形结合③1性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④1复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ，若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.41函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数y=f(x)，x [−4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解析1观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(−1.5,−2)，所以当x=3时，函数y=f(x)取得最大值y max=3；当x=−1.5时，取得最小值y min=−2．【例2】求函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上递增，则f(3)≤f(x)≤f(6)，所以最大值f(x)max=f(6)=13，最小值f(x)min=f(3)=7.【练】求函数f(x)=2x在区间[1,2]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x在区间[1,2]上递减，则f(2)≤f(x)≤f(1)，所以最大值f(x)max=f(1)=2，最小值f(x)min=f(2)=1.【题型1】判断函数单调性的方法方法 1定义法【典题】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.解析1设元1设0<x1<x2，作差则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)变形=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解判断y1−y2正负)定号(1) 假如0<x1<x2<2 ，则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 ，所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；下结论所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．点拨1利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法21数形结合【典题】求下列函数的单调区间．(1) f(x)=|x2+2x−3|；(2)f(x)=−x2+2|x|+3．解析(1)令g(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)= |x2+2x−3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f(x)的递增区间是[ −3,−1]，[1,+∞)；函数f(x)的递减区间是( −∞,−3],[ −1,1]．(2)f(x)=−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调区间为( −∞,−1],( −1,0],(0,1],(1,+∞)，其中单调减区间为( −1,0]和(1,+∞)，单调增区间为( −∞,−1]和(0,1]．点拨1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用|x|={x, x≥0−x,x<0把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；2.利用数形结合易得函数的单调性.方法31复合函数的单调性【典题】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 ，∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【巩固练习】1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1答案C2.函数f(x)=x|x−2|的递减区间为()A．( −∞,1)B．(0,1)C．(1,2)D．(0,2)答案C解析当x≥2时，f(x)=x(x －2)=x2－2x，对称轴为x= 1，此时f(x)为增函数，当x<2时，f(x)=－x(x －2)=－x2+2x，对称轴为x=1，抛物线开口向下，当1<x<2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，故选：C．3.函数f(x)=x1−x的单调增区间是.答案( −∞,1)，(1,+∞)解析f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x；∴f(x)的图象是由y =−1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到；而y =−1x 的单调增区间为( −∞,0)，(0,+∞)； ∴f(x)的单调增区间是( −∞,1)，(1,+∞)． 4.函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是 . 答案 [4,+∞).解析 令x 2−5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2 －5x +4的对称轴是x =52， 故函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是[4,+∞). 5.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=2x x−1在区间(0,1)上的单调性．解析 任取x 1,x 2∈(0,1)，且x 1<x 2． 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1)．由于0<x 1<x 2<1，x 1−1<0，x 2−1<0，x 2−x 1>0， 故f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以，函数f(x)=2xx−1在(0,1)上是减函数． 【题型2】函数的最值【典题 】函数f(x)=2x −√x −1的值域为 .解析1设t =√x −1≥0，则x =t 2+1，∴f (t )=2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158(t ≥0)∴值域为[158,∞)．点拨 本题采取换元法，注意新变量的取值范围.【典题2】若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1．则a = . 解析1函数f (x )=x 2−2ax +1−a 图象的对称轴为x =a ，图象开口向上， (1)当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．则f (x )min =f(0)=1−a ， 由1−a =−1，得a =2，不符合a ≤0；(2)当0<a <2时．则f(x)min =f(a)=a 2−2a 2+1−a =−a 2−a +1， 由−a 2−a +1=−1，得a =−2或a =1，∵0<a <2，∴a =1符合； (3)当a ≥2时，函数f(x)=x 2－2ax +1−a 在[0,2]上单调递减， ∴f(x)min =f(2)=4－4a +1−a =5－5a ，由5−5a =−1，得a =65， ∵a ≥2，∴a =65不符合，综上可得a =1．点拨 本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解. 【巩固练习】1.函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12,−14 B ．2,12 C ．42,−14 D ．最小值是−14，无最大值答案 C解析 y =x 2+3x +2=(x +32)2−14，抛物线的开口向上，对称轴为x =−32，∴在区间[ －5,5]上，当x =−32时，y 有最小值−14；x =5时，y 有最大值42， 函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是：42，−14．故选：C ．2.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为 ．答案 12解析 ∵f (x )=xx+2=1−2x+2，∴f(x)在[2,4]上为增函数，∴当x =2时，f(x)=x x+2在区间[2,4]上的最小值为f(2)=12．3.已知函数f(x)=x 2+|x −a|+1,x ∈R,a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的最小值为g(a)． 答案 (1) 74 (2) [1,+∞)解析 (1)f(x)=x 2+|x −1|+1={x 2+x,x ≥1x 2−x +2,x <1，由f(x)=x 2+x ⇒f(x)=(x +12)2−14(x ≥1)，可知f(x)≥2; 由f(x)=x 2−x +2⇒f(x)=(x −12)2+74(x <1)，可知f(x)≥74.所以f(x)min =f (12)=74． (2) f(x)={x 2+x −a +1,x ≥ax 2−x +a +1,x <a，1)当a ≥12，f (x )min =f (12)=34+a ； 2)当−12<a <12，f (x )min =f(a)=a 2+1；3)当a ≤−12，f (x )min =f (−12)=34−a ； 所以g(a)={ 34+a,a ≥12a 2+1,−12<a <1234−a,a ≤−12．【题型3】参数范围【典题 】若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．解析1若f(x)={ax ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，得则{a >0a 1≤−1+3a ，解得a ≥12，故答案为：[12,+∞)．【典题2】已知函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，则实数b 的值为 ．解析 f(x)=4x−6x−1=4(x−1)−2x−1=−2x−1+4，其图象如图，由图可知，函数f(x)=4x−6x−1在[2,b]上为增函数，又函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，∴f(b)=4b−6b−1=b ，解得b =3．【巩固练习】1.已知函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，则( )A ．a <0,b ≥3B ．a <0,b ≤3C ．a >0,b ≥3D ．a >0,b ≤3答案 D解析 ∵函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，∴a >0，且 0+3≥0+b ，故选：D ．2.已知函数f(x)={x 2+4x, x ≥04x −x 2, x <0，若f (2−a 2)>f(a)则实数a 的取值范围是( ) A (−∞,−1)∪(2,+∞) B (−1,2) C (−2,1) D (−∞,−2)∪(1,+∞) 答案 C解析 由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2−a 2>a ，解得−2<a <1.3.函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，则a的范围为. 答案[0,1]解析根据题意，函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，分2种情况讨论：①若a=0，则f(x)=x，在R上为增函数，符合题意；②若a≠0，则有{a>03a−12a≤1，解可得0<a≤1，综合可得：a的取值范围为[0,1].4.若函数y=x2−5x−1的定义域[0,m]，值域为[−294,−1]，则m的取值范围是.。
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
高一函数的单调性知识点
高一函数的单调性知识点函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
了解函数的单调性有助于我们更好地理解和运用函数，下面就是关于高一函数的单调性知识点的详细介绍。
一、函数的递增和递减区间在讨论函数的单调性时，首先需要了解函数的递增和递减区间。
我们将函数在定义域上递增（或递减）的部分称为函数的递增（或递减）区间。
1. 函数的递增区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1)< f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递增。
我们可以通过求函数的导数来确定函数的递增区间。
2. 函数的递减区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递减。
同样地，我们可以通过求函数的导数来确定函数的递减区间。
二、函数单调性的判定在大部分情况下，我们可以通过函数的导数来判定函数的单调性。
具体而言，可以根据函数导数的正负性来确定函数的单调性。
1. 函数导数的正负性如果函数 f(x) 的导数在某个区间内恒大于 0，则 f(x) 在该区间上递增；如果导数恒小于 0，则 f(x) 在该区间上递减。
通过求导数，我们可以得到函数的递增区间和递减区间。
2. 临界点和极值点函数的单调性与其临界点和极值点也有密切关系。
在函数的临界点和极值点处，其单调性会发生改变。
- 临界点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果 f'(c)=0 或者f'(c) 不存在，那么点 c 称为函数的临界点。
在临界点之间，函数的单调性可能会改变。
- 极值点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果存在一个邻域，使得对于临界点 x 不等于 c，在该邻域内 f(c) 是 f(x) 的最大值或最小值，那么点 c 称为函数的极值点。
高一数学 函数的单调性
f(x)在区间［-1,0］［1,2］上是增函数
f (x )
1
求差可以判断两 数大小关系，还 有其他的方法吗？
f (x )
1
È ô f( x )>0 Ê ±£ ¬ ¿ É Ó Ã Ç ó É Ì
1
f (x ) 1 f (x ) 2
1 2
µ Ä ° ì ² ¨ À ´ ± È
f (x ) f (x ) 1 Ð ½ Ï £ ¬ È ô ´ ó Ó Ú 1£ º Ô ò f (x ) > f (x ) È ô ¡ Ó Ú f ( x ) f (x ) 2 f (x ) 1 Ó 1Ô ò f (x )< f (x ) £ ¬ ´ Ó ¶ ø Å Ð ¶ Ï É Ì ë 1µ Ä ´ ó Ð ¡ f (x ) 2
观察演示并思考问题 ：
想看看函数的图象吗？
函数单调性的概念：
一般地，设函数f(x)定义域为I：
1. 如果对于属于定义域I内某个区间的 任意任意两个自变量 值x x 当x x 时 都有f(x ) f(x ),
, , 1 2
1
2
,
1
2
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于定义域I内某个区间的任意自变量
两个值x x2 , 当x1 x 2时, 都有f(x 1, 1 ) f(x2 ),
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
观察函数的单调区间
在X ∈(0，+∞)为增函数 在X ∈(-∞，0)为减函数
f(x)的单调区间有［-2,-1］［-1,0］［0,1］［1,2］ f(x)在区间［-2,-1］［0,1］上是减函数
1 2
1 2
பைடு நூலகம்
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
高一数学 单调性 反函数
黄冈中学高一数学 函数的单调性 反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 a<0 减函数 增函数 增函数 增函数 减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。
高一函数的单调性的知识点
高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。
下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。
一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。
如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。
二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。
例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=x²是单调递增的。
2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。
例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。
三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。
1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。
通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。
2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。
例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。
通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。
高一数学函数单调性知识点
高一数学函数单调性知识点随着高中数学课程的深入，函数的概念成为重中之重。
而在函数中，单调性的概念也是非常重要的一个知识点。
掌握函数的单调性不仅可以帮助我们更好地理解和应用函数，还可以在解题过程中起到一定的指导作用。
下面，我们就来了解一下高一数学中关于函数单调性的知识点。
一、函数单调性的定义在介绍函数单调性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是两个集合之间的一种对应关系，通常用字母表示，比如f(x)。
数学上，我们把自变量的每个值称为定义域中的一个元素，而函数值称为值域中的一个元素。
函数的单调性指的是函数值的增减趋势。
如果一个函数在定义域上是递增的，那么我们称其为递增函数；如果一个函数在定义域上是递减的，那么我们称其为递减函数。
如果一个函数既不递增也不递减，我们称其为非单调函数。
二、函数单调性的判断方法1. 利用导数的符号判断函数的单调性高中数学中，我们常常通过求函数的导数来判断函数的单调性。
函数的导数是函数在某一点的变化率，可以帮助我们推断函数在该点的单调性。
具体的判断方法如下：- 若导数大于零，则函数递增；- 若导数小于零，则函数递减；- 若导数等于零，则函数在该点不增不减，可能是极值点。
通过这种方法，我们可以将函数图像分成若干个区间，在每个区间内判断函数的单调性。
2. 利用函数的一阶导数和二阶导数判断函数的单调性有些函数的导数难以求解，此时我们可以通过一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的单调性。
具体的判断方法如下：- 若一阶导数大于零，而二阶导数小于零，则函数递减；- 若一阶导数大于零，而二阶导数大于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数小于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数大于零，则函数递减；通过这种方法，我们可以更加准确地判断函数的单调性。
三、函数单调性的应用1. 函数单调性在最值问题中的应用函数的单调性在求最值问题中经常被用到。
当我们需要求函数在某个区间上的最大值或最小值时，可以通过函数的单调性来限定最值的位置。
高一数学中函数的单调性与最值如何判断
高一数学中函数的单调性与最值如何判断在高一数学的学习中，函数的单调性与最值是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，更是解决许多实际问题的有力工具。
理解和掌握如何判断函数的单调性与最值，对于我们深入学习数学、提高解题能力都具有重要意义。
首先，让我们来明确一下函数单调性的定义。
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜f(x_2)＼）（或者\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在这个区间上是增函数（或者减函数）。
那怎么去判断函数的单调性呢？常见的方法有以下几种：第一种方法是定义法。
这是最基本也是最直接的方法。
假设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），区间\（D ＼subseteq I\）。
我们任取\（x_1\），＼（x_2 ＼in D\），且\（x_1 ＜ x_2\），然后计算\（f(x_2) f(x_1)＼），如果\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数在区间\（D\）上是增函数；如果\（f(x_2) f(x_1) ＜0\），则函数在区间\（D\）上是减函数。
例如，对于函数\（f(x) ＝ x^2\），我们要判断它在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上的单调性。
任取\（0 ＜ x_1 ＜ x_2\），则\（f(x_2) f(x_1)＝ x_2^2 x_1^2 ＝（x_2 ＋ x_1)（x_2 x_1)＼）。
因为\（x_1\），＼（x_2 ＞ 0\），所以\（x_2 ＋ x_1 ＞ 0\），又因为\（x_2 x_1 ＞ 0\），所以\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），即函数\（f(x) ＝ x^2\）在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上是增函数。
第二种方法是导数法。
如果函数\（f(x)＼）在某个区间内可导，那么当\（f'（x) ＞ 0\）时，函数在这个区间上是增函数；当\（f'（x) ＜ 0\）时，函数在这个区间上是减函数。
高一数学必修1函数的单调性
讨论函数f(x)＝
(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，
那么f(x1)－f(x2)＝
＝
.
∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，
－1＜0， －1＜0，|x1x2|＜1， 即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.
∴
＞0.
因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0. 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.
讨论函数f(x)＝ [思路点拨]
(a＞0)的单调性.
[课堂笔记] ∵f(x)＝
，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.
法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2
，
那么f(x1)－f(x2)＝(a＋
)－(a＋
)
＝
＝
.
①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.
答案：D
4. y ＝ 的递减区间是
区间是
.
，y＝
的递减
解析：y＝
＝
＝－1＋
,
∴y＝
的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).
要使函数y＝
有意义，那么
≥0，且1＋x≠0，
∴－1＜x≤1
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数；对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似．2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点时－1<t <2答案C3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠5．函数f(x)＝12log(－2x2＋x)的单调增区间是________；f(x)的值域是________．答案14，[3，＋∞)6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析2≤a＋1≤2，2≤2a≤2，＋1>2a，解得－1≤a<1.7．设函数f(x)x≥1，是单调函数．则a的取值范围是________；若f(x)的值域是R，则a＝________.答案(0,2]2解析当x≥1时，f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，则f′(x)＝1－1x2≥0恒成立，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，当x<1时，f(x)＝ax，由于f(x)是单调函数，∴f(x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立，>0，≤2，故a的取值范围为(0,2]，∵当x≥1时，f(x)≥2，由f(x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2，故a＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是() A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－11＋1x2－1＝a(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，∵(x －1)2>0，a >0，∴f ′(x )<0，故a >0时，f (x )在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12xB ．y ＝2－xC ．y ＝12log x D ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x )＝110log (6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案解析由6x 2＋x －1>0得，f (x )|x <－12或x >13由复合函数单调性知f (x )的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f (x )∞函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案D解析因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b )<f (a )<f (c )．故选D.(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |＋1(m ∈R )为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |＋1(m ∈R )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |＋1，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )是减函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数．∵a ＝f (log 22)＝f (1)，b ＝f (log 24)＝f (2)，c ＝f (2m )＝f (0)，∴a ，b ，c 的大小关系为c <a <b .命题点2求函数的最值例4(1)函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．答案25解析令x 2＋4＝t ，则t ≥2，∴x 2＝t 2－4，∴y ＝tt 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t ，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数，∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f (x )＝3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f (x )的图象可知，f (x )是定义在R 上的增函数．∴2－x 2>x ，∴－2<x <1.(2)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f (x )a －1)x ＋4a ，x ＜1，a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)C.17，D.17，答案C解析由f (x )a －1＜0，＜a ＜1.3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴实数a 的取值范围是17，(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(1,2)解析设u ＝2－ax ，∵a >0且a ≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝log a u在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，－a×1>0，－a×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f f(1)的实数x 的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f(x)在R上为减函数，且f f(1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f(x)x≥1，x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知函数y＝12log(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案[4,5)解析设u＝6－ax＋x2，∵y ＝12log u 为减函数，∴函数u 在[1,2]上是减函数，∵u ＝6－ax ＋x 2，对称轴为x ＝a2，∴a2≥2，且u >0在[1,2]上恒成立．≥4，－2a ＋4>0，解得4≤a <5，∴实数a 的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝1－1x －1()A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析＋1>0，－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是() A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1] C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|2＋2x，x≥－2，x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()B．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)答案D 解析依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝＝134，因此a >134，故选D.7．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则()A ．πe <3eB ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe答案CD解析已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，>1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,0<e －2<1，－2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．8．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y x 2＋2x ＋1，x ≥0，x 2－2x ＋1，x <0，即y (x －1)＋2，x ≥0，(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f (x )＝(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________．答案32，2解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在R 上是增函数．2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，211．试判断函数f (x )＝x 3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x 1<x 2，f (x )＝x 3－1x＝x 2－1x ，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 221x 1－1x 2(x 1－x 2x 1＋x 2＋1x 1x 2∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1 x2 .当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x成立．令f(x)＝x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2021x －2021－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知函数f (x )＝＋a x－a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg ＋a x－[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ＋a x －[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)．。
高一数学导数与函数的单调性与极值
高一数学导数与函数的单调性与极值函数的单调性和极值是数学中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨高一数学中导数与函数的单调性和极值的概念、性质及其应用。
一、导数与函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
在数学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
1.1 导数的定义对于函数 y=f(x)，若函数在点 x0 处可导，则导数 f'(x0) 的定义如下：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中，lim 表示极限，h 为自变量的增量。
1.2 单调性的判定通过导数的符号来判断函数的单调性：若在某一区间内，f'(x)>0，函数单调递增；若在某一区间内，f'(x)<0，函数单调递减；若在某一区间内，f'(x)=0，函数在该区间内可能有极值点。
1.3 单调性的应用函数的单调性在实际问题的建模和求解中具有重要应用，例如在经济学中，可以利用函数的单调性来研究供求关系、市场行为等问题。
在求解最优化问题时，函数的单调性也是一个重要考虑因素。
二、导数与函数的极值函数的极值包括最大值和最小值，用于描述函数的局部极限。
2.1 极值点的定义对于函数 y=f(x)，若存在 a，使得 f(a) 是函数在该点上的最大值或最小值，则称 a 为函数的极值点，而 f(a) 称为函数的极值。
2.2 极值点的判定通过导数的性质来判断函数的极值点：1) 若 f'(x) 在 a 点两侧变号，则 a 点是函数的极值点；2) 若 f'(x) 在 a 点两侧保持符号相同，则 a 点不是函数的极值点。
2.3 极值点的应用函数的极值在实际问题的求解中起着重要的作用。
例如，在工程中优化设计问题，可以通过求解函数的极值来找到最优解。
在生物学中，可以利用极值点来研究生物体的最佳生长环境。
总结：通过学习导数与函数的单调性和极值，我们可以更深入地理解函数的性质和变化趋势。
高一函数的性质知识点
高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学上函数的单调性知识点
高一数学上函数的单调性知识点函数的单调性是高一数学中重要的知识点之一。
对于一个给定的函数，我们可以通过研究它的单调性来了解函数的增减变化规律。
在本篇文章中，将介绍函数的单调性的基本概念、判断方法和应用。
一、函数的单调性的概念函数的单调性是指函数在定义域内的增减变化规律。
基本上，函数的单调性可以分为三种情况：递增、递减和不变。
当函数的值随着自变量的增加而增加时，我们称该函数为递增函数。
相反地，当函数的值随着自变量的增加而减少时，我们称该函数为递减函数。
若函数在自变量取值范围内既递增又递减，或者在某些区间内递增，在其他区间内递减，我们则称该函数是不变函数。
二、函数单调性的判断方法判断函数的单调性，一般可以通过函数的导数、变化率和二阶导数等方法进行推导。
1. 函数的导数法对于给定的函数f(x)，我们通过求函数的导数f'(x)来判断函数的单调性。
若函数在定义域内的导数恒大于0，则函数递增；若导数恒小于0，则函数递减。
例如，对于函数f(x) = x^2，求导得到f'(x) = 2x。
由于函数的导数f'(x)在定义域内恒大于0，所以该函数是递增的。
2. 函数的变化率法利用函数的变化率来判断函数的单调性是另一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)，通过计算任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))之间的斜率来判断函数的单调性。
若对于任意两个不同的点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) 恒大于0，则函数递增；若斜率k恒小于0，则函数递减。
若存在某些点斜率为0，则表示函数的区间不变。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，选择两个不同的点(-1, f(-1))和(1,f(1))，计算斜率为(3 - (-1)) / (1 - (-1)) = 2 > 0，故该函数是递增的。
3. 函数的二阶导数法二阶导数法是判断函数的单调性的另一种常见方法。
高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对?x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2x1－x2>0?f(x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2答案C3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数f (x)＝12log (－2x 2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．答案14，12[3，＋∞)6．函数y ＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1.7．设函数f (x)＝x 2＋1x，x ≥1，ax ，x<1是单调函数．则a 的取值范围是________；若f (x)的值域是R ，则a ＝________.答案(0,2]2解析当x ≥1时，f (x)＝x 2＋1x＝x ＋1x ，则f ′(x)＝1－1x 2≥0恒成立，∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min ＝f(1)＝2，当x<1时，f (x)＝ax ，由于f (x)是单调函数，∴f (x)＝ax 在(－∞，1)上也单调递增，且ax ≤2恒成立，∴a>0，a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]，∵当x ≥1时，f (x)≥2，由f (x)的值域是R ，可得当x ＝1时，ax ＝2，故a ＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一?x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝a x－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a x2－x1x1－1x2－1，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x)＝a x －1－axx －12＝－a x －12，∵(x －1)2>0，a>0，∴f ′(x)<0，故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12x B ．y ＝2－xC ．y ＝12log xD ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x ＝12x ，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x)＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x)＝x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x<2.画出f (x)的大致图象(如图所示)，由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x)＝110log(6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案－∞，－12解析由6x 2＋x －1>0得，f (x)的定义域为x |x<－12或x>13.由复合函数单调性知f (x)的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f(x)的单调增区间为－∞，－12.函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x)＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是()A ．f (a)>f (b)>f (c)B ．f (b)>f (c)>f (a)C ．f (c)>f (b)>f (a)D ．f (c)>f (a)>f (b)答案D解析因为函数f (x)＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b)<f (a)<f (c)．故选 D.(2)已知定义在R 上的函数f (x)＝2|x －m|＋1(m ∈R)为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a答案B解析∵定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．∵a＝f(log22)＝f(1)，b ＝f(log24)＝f(2)，c＝f(2m)＝f(0)，∴a，b，c的大小关系为c<a<b.命题点2求函数的最值例4(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y＝x2＋4x2＋5的最大值为________．答案25解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号)．即y最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f(x)＝x3，x≤0，ln x＋1，x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1. (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－5<x<－2或2<x< 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，log a x，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B.0，13C.17，13 D.17，1答案C解析由f(x)是减函数，得3a－1＜0，0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥log a1，∴17≤a＜13，∴实数a的取值范围是17，13.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，a x－a，x>1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝a x－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.(3)已知函数y＝log a(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．答案(1,2)解析设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u 在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y ＝log a u 在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足u>0，∴2－a ×1>0，2－a ×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足f|1x |<f(1)的实数x的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f (x)在R 上为减函数，且f 1|x|<f (1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f (x)＝1x，x ≥1，－x 2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x ≥1时，函数f (x)＝1x为减函数，所以f (x)在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x)的最大值为 2.(3)已知函数y ＝12log (6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案[4,5)解析设u ＝6－ax ＋x 2，∵y＝12log u为减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数，∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝a2，∴a2≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．∴a≥4，6－2a＋4>0，解得4≤a<5，∴实数a的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．y＝12x D．y＝x＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f(x)＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f(x)图象可由y＝－1x图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析由已知易得x＋1>0，x－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1]C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|＝x2＋2x，x≥－2，－x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()A.－∞，134B．(－∞，－3)C．(－3，＋∞) D.134，＋∞答案D解析依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)<f(x＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于x2－2x＋a>x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－x－322＋134(－1≤x≤2)，当x＝32时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g 32＝134，因此a>134，故选 D.7．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则() A．πe<3e B．3e－2π<3πe－2 C．logπe<log3e D．πlog3e>3logπe 答案CD解析已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴π3e>1，πe>3e，故A错误；∵0<3π<1,0<e－2<1，∴3πe－2>3π，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe<log3e，故C正确；由π>3，可得log3e>logπe，则πlog3e>3logπe，故D正确．8．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．答案－14，0解析当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f(x)＝2－a x＋1，x<1，a x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0成立，那么实数a的取值范围是________．答案32，2解析对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0，所以y＝f(x)在R上是增函数．所以2－a>0，a>1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a<2.故实数a的取值范围是32，2.11．试判断函数f(x)＝x3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x1<x2，f(x)＝x3－1x＝x2－1x，f(x1)－f(x2)＝x21－x22－1x1－1x2＝(x1－x2)·x1＋x2＋1x1x2.∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋1x1x2>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1x2.当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－ 2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x－12x成立．令f(x)＝x－12x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x)＝－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4.若函数y ＝f (x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x)＝2021x－2021－x＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x)>2的解集为____________．答案14，＋∞解析由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，∴f (2x －1)＋f (2x)>2可化为f (2x －1)>f (－2x)，又由题意知函数f (x)在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x>14，∴原不等式的解集为14，＋∞.16．已知函数f (x)＝lg x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x)的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg a2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，则h(x)＝3x－x2＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.即实数a的取值范围是(2，＋∞)．。
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