11.1概率与数理统计
概率与数理统计公式
概率与数理统计公式1.组合公式：组合公式用于计算从n个元素中选取k个元素的组合数，表示为C(n,k)。
其计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)2.排列公式：排列公式用于计算从n个元素中选取k个元素的排列数，表示为P(n,k)。
其计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!3.基本概率公式：基本概率公式用于计算一个事件A发生的概率P(A)，表示为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的样本空间中的元素数，n(S)表示样本空间中的元素总数。
4.条件概率公式：条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A，B)，表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
5.乘法公式：乘法公式用于计算同时发生的多个事件的概率，表示为P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
6.加法公式：加法公式用于计算多个事件中至少一个事件发生的概率，表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率。
7.期望公式：期望公式用于计算随机变量的平均值，表示为E(X)=Σ(x*P(X=x))，其中x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量的概率分布。
8.方差公式：方差公式用于描述随机变量取值的离散程度，表示为Var(X) =Σ((x - E(X))^2 * P(X=x))，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机变量的期望。
9.标准差公式：标准差公式是方差的平方根，表示为σ(X) = sqrt(Var(X))，其中Var(X)表示随机变量的方差。
10.正态分布公式：正态分布公式用于描述连续型随机变量的分布，表示为P(X=x) = 1 / (σ * sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ表示期望，σ表示标准差。
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解|才聪学习网浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解文章来源：才聪学习网/概率论与数理统计内容简介本书是浙江大学盛骤等主编的《概率论与数理统计》（第4版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对盛骤主编的《概率论与数理统计》（第4版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精选考研真题，培养解题思路。
本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。
所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
目录第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章随机变量及其分布2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章多维随机变量及其分布3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章随机变量的数字特征4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章样本及抽样分布6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第7章参数估计7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 考研真题详解第8章假设检验8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 考研真题详解第9章方差分析及回归分析9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 考研真题详解第10章bootstrap方法10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 考研真题详解第11章在数理统计中应用Excel软件11.1 复习笔记11.2 课后习题详解11.3 考研真题详解第12章随机过程及其统计描述12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 考研真题详解第13章马尔可夫链13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 考研真题详解第14章平稳随机过程14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 考研真题详解复习笔记详解第1章概率论的基本概念1.1 复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，A k（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B 中至少有一个发生时，事件A B发生．称为n个事件A1，A2，…，A n的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B 同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，A n的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且x B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A ∩C）；④德摩根律：；．。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
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18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的,有限的几何度量,即0 m() ,则称这一随机 试验是一几何概型的.
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定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
(2) P() 1, P() 0;
(3) 对于两两互斥的可列多个事件A1, A2 ,, P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
23
三. 统计定义:
(一) 频率
1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次
数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
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例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
性质4. 对任一事件A, P(A) 1.
性质5. 对任一事件A, P(A) 1 P(A).
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条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率与数理统计_知识点总结讲解
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论 （1）排列组合公式 )!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C nm-= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
马尔科夫链——概率与数理统计
0 1
• 例2 一维随机游动 设一醉汉Q在如下图点集I={1,2,3,4,5}上
0 pq p 1 q p
作随机游动，并且仅仅在1秒、2秒…等时刻发生游动.规律是：
(1) 如果Q现在位于点i(1<i<5), 则下一时刻各以1/3的概率向左 或向右移动一格，或以1/3的概率留在原处； (2) 如果Q现在位于1（或5）这点上，则下一时刻就以概率1移 动2（或4）这一点上. 1和5这两点称为反射壁. 上面这种游动 称为带有两个反射壁的随机游动.
6. 齐次马氏链的有限维分布. 马氏链的初始分布为:
p j (0) P{ X 0 a j }, p j (n) ˆ P{ X n a j },
j 1
aj I, aj I,
j 1,2,
1) 马氏链在任一时刻 n∈ T1 的一维分布：
j 1,2,
显然，应有 p j ( n) 1. 由全概率公式得
Pij (m, m n) ˆ Pij (n)
并称转移概率具有平稳性，同时也称此链
是齐次的或时齐的.
5. n步转移概率和n步转移矩阵
• n步转移概率 :
Pij (n) P{ X m n a j | X m ai }
pij ˆ Pij (1) P X m 1 a j X m ai
3. 转移概率
对任意得正整数n, r和0≤t1 < t2< …< tr < m; ti , m, n+m ∊T1有
P { X m n a j | X t1 a i1 , X t 2 a i2 , , X t r a ir , X m a i } P { X m n a j | X m a i },
概率与数理统计
概率与数理统计（引言部分）我们观察自然界发生的现象不外乎有两类，一类现象称为决定性现象，这类现象的特点是：在一组条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他的可能性。
例如，使两个带同性电的小球相靠近，则两小球相互排斥。
这里，“使两个带同性电的小球相靠近”是一组条件，一旦这组条件实现，那么“两小球相互排斥”这一结果就完全被肯定，所以“使两个带同性电的小球相靠近，则两小球互相排斥”这一现象是决定性现象。
该决定性现象，在试验中必然发生，故这种决定性现象常称为必然现象。
又如，使两个带同性电的小球相靠近（条件），则两小球互相吸引（结果）完全被否定，所以这一现象也是决定性现象。
该决定性现象，在试验中必然不发生，故这种决定性现象常称为不可能现象，显然，必然现象和不可能现象互为相反面，必然现象的反面就是不可能现象，反之，不可能现象的反面就是必然现象。
由上可见，决定性现象（必然现象和不可能现象）实际上就是事前可以预言结果的现象，通常我们对某个现象可以“未卜先知”，应当说指的是决定性现象。
还有一类现象称为非决定性现象，这类现象的特点是：条件不能完全决定结果，每次观察所发生的结果可能是不同的。
例如：“向桌上任意抛掷一枚硬币，落下后某一面向上”这一现象是非决定性现象。
因为条件“向桌上任意抛掷一枚硬币”不能完全决定结果“某一面向上”，落下后它可能“正面向上”，也可能“反面向上”。
又如，“从一副扑克牌中任选二张，所得二张牌的花色是“非决定性现象”，因为任选的二张扑克牌花色可能是“黑桃、黑桃”，“黑桃、方块”，... “梅花、梅花”等等，由上可知，非决定性现象实际上就是事前不能预言结果的现象，这类现象只能事后才能确切知道它所发生的结果。
在概率论中，我们把非决定性现象称为随机现象，这里，要提请大家注意的是，随机现象千万不能理解为杂乱无章的现象，我们说这种现象是随机的，有两方面的意思：第一，对这种现象进行观察，其结果不是唯一的，可能会发生这种结果，也可能会发生那种结果。
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
一、统计量和抽样分布的概念介绍1.1 统计量的定义讲解统计量的概念，即根据样本数据所定义的量，用来描述样本的某些特征。
例如，样本均值、样本方差等。
1.2 抽样分布的定义解释抽样分布是指在一定的抽样方法下，统计量的概率分布。
例如，正态分布、t分布等。
二、统计量的估计方法2.1 点估计介绍点估计的概念，即用一个具体的数值来估计总体参数。
例如，用样本均值来估计总体均值。
2.2 区间估计讲解区间估计的方法，即根据样本数据，给出总体参数估计的一个区间，该区间以一定的概率包含总体参数。
例如，置信区间。
三、抽样分布的性质及应用3.1 抽样分布的性质讲解抽样分布的一些基本性质，如独立性、对称性、无偏性等。
3.2 抽样分布的应用介绍抽样分布在实际问题中的应用，如利用抽样分布来判断总体均值的假设检验问题。
四、假设检验的基本概念和方法4.1 假设检验的定义解释假设检验是一种统计推断方法，通过观察样本数据，对总体参数的某个假设进行判断。
4.2 假设检验的方法讲解常见的假设检验方法，如单样本t检验、双样本t检验、卡方检验等。
4.3 假设检验的判断准则介绍假设检验的判断准则，如P值、显著性水平等，并解释其含义和作用。
六、正态分布及其应用6.1 正态分布的定义与性质详细介绍正态分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质，如对称性、钟形曲线等。
6.2 标准正态分布解释标准正态分布的概念，即均值为0，标准差为1的正态分布。
讲解标准正态分布表的使用方法。
6.3 正态分布的应用介绍正态分布在实际问题中的应用，如利用正态分布来分析和估计总体均值、方差等参数。
七、t 分布及其应用7.1 t 分布的定义与性质讲解t 分布的概念、概率密度函数、累积分布函数以及其性质。
解释t 分布与正态分布的关系。
7.2 t 分布的自由度介绍t 分布的自由度概念，即样本量。
讲解自由度对t 分布形状的影响。
7.3 t 分布的应用介绍t 分布在实际问题中的应用，如利用t 分布进行小样本推断、假设检验等。
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
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(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
[经济学]概率论与数理统计教案
![[经济学]概率论与数理统计教案](https://img.taocdn.com/s3/m/c3c31a8ac0c708a1284ac850ad02de80d5d80653.png)
概率论与数理统计教案一、引言1.1 课程背景概率论与数理统计是经济学、金融学等领域的基石，对于培养学生严谨的科学态度、提高数据分析能力具有重要意义。
本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、原理和方法，为后续课程打下坚实基础。
1.2 教学目标（1）理解概率论与数理统计的基本概念；（2）掌握随机变量、概率分布、期望、方差等基本原理；（3）学会运用数理统计方法分析实际问题；（4）培养学生的数据分析能力和科学思维。
二、概率论基本概念2.1 随机试验与样本空间（1）随机试验的定义及特点；（2）样本空间的定义及表示方法；（3）样本点、事件及其关系。
2.2 概率公理体系（1）概率的定义；（2）概率公理；（3）条件概率与独立事件的概率。
三、随机变量及其分布3.1 随机变量的定义及其分类（1）随机变量的定义；（2）离散型随机变量与连续型随机变量；（3）随机变量的数学期望。
3.2 离散型随机变量的概率分布（1）概率质量函数；（2）期望、方差的计算；（3）常见离散型随机变量的分布列。
3.3 连续型随机变量的概率分布（1）概率密度函数；（2）期望、方差的计算；（3）常见连续型随机变量的分布函数。
四、数理统计基本概念与方法4.1 统计量与抽样分布（1）统计量的定义；（2）抽样分布的概念及性质；（3）常用抽样分布。
4.2 估计理论（1）点估计与区间估计；（2）参数估计的性质；（3）置信区间的构造方法。
4.3 假设检验（1）假设检验的基本概念；（2）检验统计量与拒绝域；（3）常用假设检验方法。
五、线性回归分析5.1 线性回归模型及其参数估计（1）线性回归模型的定义；（2）最小二乘法；（3）参数估计的性质。
5.2 线性回归模型的检验与预测（1）模型的检验；（2）模型的预测；（3）回归分析的应用实例。
本教案根据学生的认知规律和课程要求进行编写，每个章节都包含了基本概念、原理和方法的讲解，以及相关的应用实例。
教师在授课过程中可根据实际情况调整教学内容和进度，以提高学生的学习效果。
概率论和数理统计
随机现象从随机现象说起，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。
在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。
这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。
举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。
事物间的这种联系是属于必然性的。
通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。
这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。
举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。
又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。
为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。
正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。
事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。
比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。
因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。
随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。
但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。
大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。
比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
概率与数理统计
当讨论到不确定性问题时，总会涉及概率的概念，即某一事件相对于其他事件发生的可能性，也就是说某事件至少有一种以上发生的可能性，否则，问题将变成确定性问题。
概率即是某一事件的发生相对于一切其他事件的发生的量的度量。
因此，构成概率问题的先决条件是必须明确问题发生的所有可能性，即所谓可能性空间以及该空间的事件。
随机事件与样本空间不确定性事件发生的所有可能性结果的集合构成了随机事件发生的样本空间，而样本空间中的每一个具体结果叫做该样本空间的随机事件。
要深刻理解概率的概念，必须先知道频率的有关性质。
一般地，设随机事件A在n次试验或观测中出现的次数为nA，则称地下水系统随机模拟与管理为事件A在这n次试验或观测过程中出现的频率。
事件A在多次观测中出现的频率虽为一个变数，但对多种物理现象的观测表明，当试验或观测的次数n逐渐增多时，fn（A）在一个常数附近摆动，且逐渐稳定于这个常数，也就是说频率具有稳定性的性质。
频率的稳定性性质对于我们认识随机现象的内在规律性，预测事物和控制事物具有重要意义。
对于样本空间S中的随机事件A，n次试验中的频率具有下列性质。
（1）0≤fn（A）≤1（2）fn（S）=1基于对频率概念的理解，假设E是一次随机试验，S是试验的所有样本空间，对于试验的每个具体事件A赋予一个实数P（A），则称P （A）为事件A发生的概率，如果满足下列条件：（1）0≤P（A）≤1（2）P（S）=1（3）对于两两不相容的事件Ak（k=1，2，…）有：P（A1 ∪A2∪…∪An∪…）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+…+P （An）+…则称概率具有可列可加性。
扩展资料：事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。
在一次随机试验中可能发生的唯一的，且相互之间独立的结果被称为单位事件，用e表示。
在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间，用S来表示。
例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示单位事件，那么一共可能出现6个单位事件。
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
概率论与数理统计考题
概率论与数理统计考题P11.1 三个人独立地去破译一份密码，已知三人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？P11.2 设甲乙丙三台机床的工作是相互独立的，在一小时内，甲乙丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.15。
（1）1小时内没有一台机床需要维修的概率。
（2）1小时内至少有一台机床需要维修的概率。
（3）1小时内恰好有两台机床需要维修的概率。
P15.5 现有同类型设备100台，各自工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01. （1）恰好有4台设备同时发生故障的概率（2）至少有2台设备同时发生故障的概率P16.6 设某地区成年居民肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%，不胖不瘦者患高血压的概率为10%，瘦者患高血压的概率为5%。
（1）该地区居民患高血压的概率（2）若随机挑选一人，恰好为高血压患者，问此人是肥胖者的概率？P17.7 某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂的生产的冰箱质量不同，他们的不合格率依次为0.1,0.4,0.2.一位顾客从这批冰箱中随机地取了1台。
（1）试求顾客取到不合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，但这台冰箱的厂标已经脱落，试问这台冰箱是甲厂生产的概率为多少？P21.5 一栋大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻t每个设备被使用的概率为0.1.（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率；（3）至多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率。
P25.2 已知随机变量X的概率密度为A（1+2x）， 0≤x<1 F（x）=0，其他求：（1）常数A（2）X的分布函数F（x）；（3）P（X>0.5）P37.8 设连续型随机变量X的概率密度为kx²，-1<x<1f（x）=0,其他（1）求常数k；（2）求X的分布函数F（x）；（3）设Y=3-X，求Y的概率密度。
概率与数理统计
概率与数理统计
概率与数理统计是相关的科学领域，它们都涉及收集、分析和概括数据。
概率是一种用于评估随机事件发生的可能性的概念，而数理统计是一种应用统计方法来推断出总体特征的过程。
概率是从事务的不确定性中抽取结论的科学，它旨在测量某些事件发生的可能性。
它主要依赖于假设某些事件发生的概率，并尝试使用一组简单的规则来预测不确定性事件的结果。
数理统计是一种把大量信息细化，以便对其进行分析和推断的科学。
它旨在收集、处理、研究和推断数据，以获得更好的见解和决策。
它利用数学技术，如统计抽样、回归分析和统计概率等，来分析数据，并从中得出一般性的结论。
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一般地，有如下原理. 分布计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种 不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，· · · · · · ，做第n步有mn种不同的方 法，那么完成这件事共有 N= m1×m2×· · · ×mn 种不同的方法。 分布计数原理也称为乘法原理。
例3 生活中，我们经常会遇到用数字设置密码的问题。假设某人要 设置六位数字的密码，并且每位上的数字均可从0,1,2，······，9 这10个数字中任意选取，那么共能设置出多少个不同的密码？ 分析：如图11-2所示，要设置一个由六位数字组成的密码，自左向右依 次为第1位，第2位，· · · ，第6位，可以分成六个步骤完成；第一步设置第 1位，可以从0~9这10个数字中任选一个，有10种不同的选法；第二步设 置第2位，因为各位上的数字可以重复，所以也有10种不同的选法· · · · · · 第 六步设置第6位，有10种不同的选法。
三类取法，即m1=15=15+18+7 ；第二类取法是从书架的中层取一 =40 （种） 本语文书，可以从18 本中任取一本，有 18种不同的取法， 即有40种不同的取法. 即m2=18;第三类取法是从书架的下层取一本物理书，可 以从7本中任取一本，有7种不同的取法，即m3=7.无论 从书架的上层、中层还是下层取出一本书，任务都可以 完成，符合分类计数原理.
2.分布计数原理
问题2 如图10-1所示，某人从A地去C地，中间必须经过B地。已知由 A地到B地有3条路可走，再由B地到C地有2条路可走。那么此人由A地经 过B地到C地，有多少种不同的走法？ 由A地经过B地到C地，全 部的走法为 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2, 共有6种不同的走法，也就是 从A地到B地的每一条路，都 a1 B b1 有2种不同的方法到C地，所 A a2 C 以从A地到C地共有3×2=6种 不同的走法。 a3 b2 图11-1 分析：从A地到C地不能由一个步骤完成，必须分成两个步 骤：第一步从A地到B地，有3种不同的走法，分别用 a1 ，a2 ， a3表示；第二步从B地到C地，有2种不同的走法，分别用b1， b2表示。
练习
1.口答 （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法， 另外4人会用第二种方法，要选出1人来完成这件工作，共 有多少种不同的选法？ （2）从甲地到乙地，一天中有2个班次的火车，5个班次的 汽车，那么某人在一天中从甲地到乙地的不同走法有多少 种？ （3）一个口袋内有6个不同的黑球，4个不同的百强，5个 不同的红球，从中任取1个球，共有多少种不同的取法？
第十一章 概率与统计初步
概率论的诞生，使人们对随机现 象的发生的可能性大小，由感性认识 上升到理性分析。 统计学的发展，对数据的归纳整 理、比较和分析、为人类决策提供了 科学的依据。
概率论是近代发展起来的一门数学学科，在生产实践和
日常生活中有着广泛的应用。统计学的研究对象是客观事物
的数量特征和数量关系，它是关于数据的搜集、整理和分析
解： （1）根据分类计数原理，不同的选法有
N 869 23 （种）
（2）根据分步计数原理，不同的选法有
N 8*6*9 432 （种）
即从这3个班中任选1名三好学生，有23种不同的选法； 从这3个班中各选1名三好学生，有432种不同的选法。
作业： P146 练习11-1
第 2题 ； 第3题； 第4题；
方法的科学。本章将首先介绍概率初步的基础知识，并在初 中的基础上，继续学习统计知识，重点研究如何从总体中抽 取样本，如何对总体的分布情况进行估计，以及如何求具有 线性相关关系的两个变量的回归直线方程。
11.1 计数的基本原理
11.2 概率初步 11.2.1 随机事件与样本空间 11.2.2 古典概率 11.3.1 简单随机抽样 11.3.2 系统抽样 11.3.3 分层抽样 11.4.1 用样本的频率分布估计 总体的分布 11.4.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的 语文书18本，下层有不同的物理书7本，现要从书架上 任取一本书，问有多少种不同的取法？
解： 根据分类计数原理，不同的取法共有 :第一类取 分析：从书架上任取一本书，有三类取法 N=m1+m2+m3 法是从上层取一本数学书，可以从 15本中任取一本，有
例4 甲班有三好学生8人，乙班有三好学生6人，丙班有 三好学生9人，问： （1）从这3个班中任选1名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？ （2）从这3个班中各选1名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
分析：（1）从这3个班中任选1名三好学生，可以从甲班的 8人中任选1人，也可以从乙班的6人中任选1人，还可以从丙班的 9人中任选1人，每一种方法都可以完成这件事，共有3类办法， 符合分类计数原理。 （2）从这3个班中各选1名三好学生，可以分成3个步骤：第 一步从甲班的8人中任选1人；第二步从乙班的6人中任选1人；第 三步从丙班的9人中任选1人。这三个步骤缺少任何一个，都不能 完成这件事，符合分布计数原理。
第1位
第2位
第3位
第4位Biblioteka 第5位第6位10
10
10
10
10
10
解：根据分步计数原理，六位数字密码共有
N 10*10*10*10*10*10 106 (个)
即共能设置106个不同的密码。 分类计数原理与分布计数原理的共同点是：都研究“完成一件 事共有多少种不同的方法”。它们的区别在于一个与“分类”有关， 一个与“分布”有关。如果完成一件事有n类方法，每一类方法之间 是相互独立的，无论哪一类方法中的哪一种方法都能单独完成这 件事，那么计算完成这件事的所有方法种数可以使用分类计数原 理；如果完成一件事共需分成n个步骤，每个步骤之间互相关联， 缺少任何一个步骤，这件事都无法完成，那么计算完成这件事的 所有方法种数可以使用分步计数原理。
一般地，有如下原理
分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第 一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不 同的方法，· · · · · · ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那 么完成这件事共有 N=m1+m2+· · · · · · +mn 种不同的方法。 分类计数原理也称为加法原理。
概率与统计初步
11.3 随机抽样
11.4 用样本估计总体
11.5 一元线性回归分析
11.1 计数的基本原理
1.分类计数原理 问题1 某人从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，还可以乘轮船。一天中，从甲地直达乙地的火车有2 班，汽车有5班，轮船有3班。那么，一天中此人乘坐这些 交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的选择方法？ 分析 一天中，此人从甲地到乙地可以选择的交通工 具有3类，无论选择哪类交通工具，他都可以从甲地到乙 地。若选择乘火车，有2种不同的选择方法；若选择乘汽 车，有5种不同的选择方法；若选择乘轮船，有3种不同的 选择方法。因此，在一天中，此人乘坐这些交通工具从甲 地到乙地，不同的选择方法共有 2+5+3=10（种）。
例2 某班同学分成甲、乙、丙、丁4个小组，其中甲 组12人，乙组11人，丙组9人，丁组13人。现要从该班选 派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？ 分析：该班同学分成甲、乙、丙、丁4个小组，若选 甲组的同学有12种选法，若选乙组同学有11种选法，若 选丙组的同学有9种选法，若选丁组的同学有13种选法。 从任何一个小组中选出一名同学去参加活动，任务均可 完成，符合分类技术原理。 解：根据分类计数原理，不同的取法共有 N =12+11+9+13 =45（种） 即有45种不同的取法.