概率与数理统计

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概率论与数理统计目录

概率论与数理统计目录一、随机事件及其概率1.1 随机事件的基本概念定义与分类事件的运算1.2 概率的定义与性质概率的公理化定义概率的基本性质1.3 古典概型与几何概型古典概型的计算几何概型的计算1.4 条件概率与独立性条件概率事件的独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式及其应用二、随机变量及其分布2.1 随机变量的概念随机变量的定义随机变量的分类2.2 离散型随机变量及其分布常见的离散型分布分布律与分布函数2.3 连续型随机变量及其分布常见的连续型分布概率密度函数与分布函数2.4 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量的概念联合分布函数边缘分布3.2 多维离散型随机变量联合分布律边缘分布律3.3 多维连续型随机变量联合概率密度函数边缘概率密度函数3.4 条件分布离散型条件分布连续型条件分布3.5 随机变量的独立性独立性的定义独立性的判定与性质四、数字特征4.1 数学期望数学期望的定义与性质数学期望的计算4.2 方差方差的定义与性质方差的计算4.3 协方差与相关系数协方差的定义与性质相关系数的定义与性质4.4 矩与协矩阵矩的定义与计算协矩阵的定义与计算五、大数定律与中心极限定理5.1 大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律5.2 中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理德莫佛尔-拉普拉斯中心极限定理六、数理统计的基本概念6.1 总体与样本总体的定义与性质样本的定义与性质6.2 统计量与抽样分布统计量的定义与性质常见的抽样分布七、参数估计与假设检验7.1 参数估计点估计区间估计7.2 假设检验假设检验的基本概念单侧检验与双侧检验正态总体的假设检验八、回归分析与方差分析8.1 回归分析一元线性回归多元线性回归回归模型的检验与预测8.2 方差分析单因素方差分析双因素方差分析方差分析的应用。

概率论与数理统计

第一章概率论第一节随机事件和概率一、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：n m +某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：n m ⨯某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由n m ⨯种方法来完成。

（4）一些常见排列① 特殊排列② 相邻③ 彼此隔开④ 顺序一定和不可分辨【例1】袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中有放回地取出n 个：①N ＝10，M ＝2， n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的排列数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．解：①当M ＝2时，(Ⅰ)83． (Ⅱ)3³22³8． (Ⅲ)3³22³8＋23．(Ⅳ)3³22³8＋3³2³83＋83(或103－23)． (Ⅴ)23＋83． (Ⅵ)103． ②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．二、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

概率论与数理统计

概率论与数理统计概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。

在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。

这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。

一、概率论概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。

它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。

随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。

1.概率和概率分布概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。

在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。

概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。

在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。

概率分布用来描述每个结果的概率大小。

例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。

2.条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。

条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A 发生的概率，则条件概率可以表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。

如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。

3.期望值和方差期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。

在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。

本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。

2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。

•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。

•大数定律和中心极限定理的概念和应用。

2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。

•分位数和分位点的概念和计算方法。

•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。

•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。

2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。

•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。

•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。

2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。

•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。

3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。

•中心极限定理在抽样分布中的应用。

3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。

•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。

•置信区间的定义和计算方法。

3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。

•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。

•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

第 1 章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pmn

m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
(m n)!
C
n m

m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n!(m n)!
（2）加法和乘法原理
（3）一些常见排列（4）随机试验和随机事
件
（5）基本事件、样本空间和事件
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事件的关系与运算
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，
它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不
它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X
| x1, x2,, xk,

概率论与数理统计

概率论与数理统计本篇笔记内容主要整理自笔者的教材——《概率论与数理统计》（第四版），作者为盛骤、试式千、潘承毅等人，高等教育出版社出版。

一、概率论的基本概念1. 什么是概率？描述性定义：随机事件A发生的可能性的大小的度量（非负值），称为事件A发生的概率。

公理化定义：在随机试验的样本空间的每一个事件A，都对应一个实数值P(A)，如果函数P( · )满足下列条件：非负性：规范性：S是必然事件，有P(S) = 1;可列可加性：设A1,A2,...,是两两不相容的事件（即i≠j时，AiAj = ∅），有P(A1∪A2∪...∪An） = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)不相容事件的并的概率等于这些事件的概率的和。

2. 古典概型有什么特点？随机试验的样本空间只包含有限个元素；随机试验中的每个基本事件发生的可能性都相同。

3. 几何概型有什么特点？样本空间是一个可度量的有界区域；有无限个基本事件，每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入的某一个可度量子区域S可能性与S的几何度量成正比，而与S的位置及形状无关。

4. 什么是条件概率？在已知事件A发生的情况下事件B发生的概率为条件概率P（A|B）,公式有5. 什么是全概率公式？有一些时候事件B的概率不容易直接求，可以通过计算给B在各个条件下Ai发生的概率P(B| · )，来研究B发生的概率。

6. 什么是贝叶斯公式？解释一下“先验”和“后验”的概念（按照课本的思路）通过已知信息B来修正A发生的概率（即后验概率），可以通过先验概率P(A)以及AB之间的关系来研究。

举个例子：假设由多年的统计数据可以知道某种疾病的发病率，有一种检测试剂的准确率为99%，即=99%，同时有=5%会误报（检测没有病的病人为阳性），可以通过全概率公式计算试剂表现为阳性的概率。

根据这些信息，就可以计算一个病人在这种试剂检测为阳性的情况下患病的概率7. 什么叫做事件相互独立？P(AB) = P(A)P(B)即一个事件的发生，不会影响另一个事件的发生。

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。

概率论与数理统计基本概念

概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计是研究事件发生的可能性，以及由此衍生的结果
的一门学科。

它可以帮助人们提高分析和预测能力。

可以帮助我们了
解自然界及其客观原理，以及把握当代社会经济实体及其活动。

一、概率概念：
1. 随机事件：指事件发生以来，在所有结果中，用概率值去衡量其发
生的可能性，及其各个单一结果的概率分布情况；
2. 概率：是用来衡量某一随机事件发生的可能性的数值，可以给出这
个事件发生的可能性大小；
3. 概率分布：是某一随机变量及其可能取值之间发生关系的一种描述；
二、数理统计概念：
1、统计：是指对数据进行定量描述，尝试从数据中获得解释性的统计
特征；
2、变量：是指以数值形式表示的某类事物，是研究目标内容分析的一
种实际基础；
3、统计分布：是给定一组数据，通过统计手段，计算出变量的概率分
布情况，及其可能的变化规律；
4、极限定理：是一种概率论的定理，旨在探讨一个系统在重复抽样下，抽样结果的收敛情况；
5、数据描述：是指对数据的描述，可以让人简单明了地理解数据，及
其特征和趋势；
6、统计推断：是指根据统计样本信息，以概率结果作为有效依据，做
出关于总体参数情况的推断；
7、回归分析：是指建立一条回归函数模型，以描述解释变量对被解释
变量的影响；
8、判别分析：是指构建一个准确的模型，能够根据输入的观测值来准
确地判断属于哪一类人或物；
9、聚类分析：是指将一组数据进行分类，从而揭示内部数据间的关系，辅助决策；
10、卡方检验：是指判断某一种统计判断是否证实对某一总体分布结
果的检验，从而决定是否接受或拒绝假设。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。

在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。

如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。

当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。

当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。

当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。

如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。

如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。

在概率论中，还有一些运算规则。

交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。

频率与概率是概率论的重要概念。

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。

概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。

概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。

概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。

如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。

概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。

3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。

5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。

(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。

(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。

用交并补可以表示为。

（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。

8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。

具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式：1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。

2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。

4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。

5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。

7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。

二、数理统计的常用公式：1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为μ=∑(某i)/n。

2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。

3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。

4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。

5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。

6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。

7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。

概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义：概率是描述事件发生可能性的数字，表示为一个介于0和1之间的数。

2.事件与样本空间：事件是可能发生的结果的集合，样本空间是所有可能结果的集合。

3.事件的运算：事件的运算包括并、交、差等，分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。

4.概率的性质：概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。

二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义：随机变量是一个变量，它的值由随机事件决定。

2.离散随机变量：离散随机变量只能取有限或可数个值，其概率表示为离散概率分布函数。

3.连续随机变量：连续随机变量可以取任意实数值，其概率表示为概率密度函数。

4.分布函数：分布函数描述随机变量的概率分布情况，包括累积分布函数和概率质量函数。

三、常见概率分布1.离散分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

2.连续分布：包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。

3.其他分布：包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。

四、抽样与统计推断1.抽样：抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法，常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

2.统计推断：通过从样本中获得的数据，对总体做出有关参数的推断。

包括点估计和区间估计两种方法。

3.假设检验：通过对样本数据的统计量进行计算，判断总体参数是否满足其中一种假设。

包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。

五、回归分析与相关分析1.回归分析：研究两个或多个变量之间关系的统计方法，包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。

2.相关分析：研究两个变量之间相关性的统计方法，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理：根据先验概率和条件概率，计算后验概率的统计方法。

2.贝叶斯推断：根据贝叶斯定理以及样本数据，推断参数的后验分布。

概率论与数理统计公式(全)

第1章随机事件及其概率
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k
n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0Λ=。

第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。

概率论与数理统计超全公式总结

~
χ 2 (n −1)
X − µ ~ t(n −1) s/ n
两个正态总体的方差之比
S12
σ
2 1
/ S22
/
σ
2 2
~F (n1 −1,n2 −1)第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计
n
Π Π n
L = f (xi ;θ )
i =1
L = p(xi ;θ )
i =1
似然函数
均值的区间估计——大样本结果
⎛ ⎜
x
±
zα
/2
⎝
σ⎞ ⎟
n⎠
x — 样本均值 σ — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知
( ) ⎛
⎜ ⎜
S 2 — 样本方差
χ2 α /2
— 卡方分布的分位点
Z=
p − p0
p0 — —总体比例
p0 (1− p0 ) / n p — —样本比例
单正态总体均值的 t 检验
t = X − µ0 S/ n
单正态总体方差的卡方检验
χ 2 = (n −1)S 2
σ
2 0
拒绝域
双边检验
χ2
≥
χα2 / 2或χ 2
k
∑∑ E(X)= xipij
ij
E( X ) = ∫ ∫ xf (x, y)dxdy
不相关不一定独立第四章
正态分布 X ~ N (µ,σ 2 )
∑∑ E(XY) = xi yj pij
ij

概率论与数理统计(完整版)

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4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E21,.E无2等穷.样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例灯泡的寿命{t|t≥0}.
可列个事件A1 , A2 ,的和事件记为 Ak .
k 1
3.积事件：事件A B={x|x A 且 x B}称A与
B的积，即事件A与A B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
实用文档S
9
4.差事件:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律: A (B C) (A B) C ; A (B C) (A B) C.
分配律: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C).
对偶律: A B A B;
概率论与数理统计
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第一章概率论的基本概
念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
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2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面的情况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.

概率与数理统计

1 0.030 0.010 0.005 0.045
2 0.020 0.008 0.004 0.032
3 0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y=j} 0.900 0.080 0.020 1.000
Y=k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9
2/9
1/9
X=k
0
1
2
3
P{X=k|Y=0} 84/90 3/90 2/90 1/90
π
0,
1 y2 , 1 y 1, 其它.
于是当1<y<1时有
1/π
1,
2
f X|Y (x | y)
f
fY
x, y y
1 y2
2 1 y2
0,
其它
1 y2 x
1 y2 ,
例4 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到X=x(0<x<1)时, 数Y在区间(x,1)上随机地取值. 求Y的概率密度fY(y).
(3.4)
类似地可以定义:对于固定的x,fX x 0,在条件X x下
Y的条件概率密度为:
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
例3 设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
0,
(x, y) G, 其它,
则称(X,Y)在G上服从均匀分布. 现设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y21上服从均匀分布, 求条件概率密度fX|Y(x|y).
0.020 0.008 0.004 0.032

概率论与数理统计期中考试复习指南

概率论与数理统计期中考试复习指南小朋友们呀，咱们来聊聊概率论与数理统计的期中考试复习。

这听起来有点难，但是就像玩游戏一样，有一些小窍门呢。

咱们先说概率这部分。

概率就像是猜东西的可能性。

比如说，咱们玩扔硬币的游戏。

硬币只有两面，正面和反面。

那扔一次硬币，得到正面的概率是多少呢？对啦，就是二分之一。

因为总共就两种情况，正面是其中一种。

这就好像是从两个小盒子里选一个，选中特定一个盒子的机会就是二分之一。

那要是扔两次硬币呢？这里面的情况就多一点啦。

可能是正正、正反、反正、反反这四种情况。

那两次都是正面的概率就是四分之一啦。

就像有四个小口袋，要正好找到特定的那个装着我们想要东西的口袋，是不是感觉有点难了呢？不过别担心，只要咱们把所有可能的情况都列出来，就能算出概率啦。

再说说数理统计。

咱们想象一下，咱们班同学的身高。

老师想知道大家身高大概是多少，这时候就会用到数理统计啦。

老师会把每个同学的身高都记下来，这就像收集小宝贝一样。

然后呢，老师可能会找最中间的那个身高，这个就叫做中位数。

比如说咱们班有10个同学，按身高从矮到高排好队，第5个和第6个同学身高的中间值就是中位数啦。

还有平均数呢。

就是把所有同学的身高加起来，再除以同学的个数。

就像分糖果一样，如果有好多好多糖果，要平均分给怎么分才公平呢？就是用这种办法。

要是有个特别高或者特别矮的同学，这个平均数就可能会被拉高或者拉低一点，这时候中位数就可能更能代表大多数同学的身高啦。

在复习的时候呢，咱们可以多做一些这样的小例子。

就像做游戏一样，做着做着就熟练啦。

比如说扔骰子，骰子有六个面，扔到每个面的概率都是六分之一。

咱们可以自己在本子上写一写扔两次骰子，得到不同点数组合的概率。

再想象一下，咱们在数小区里不同颜色花朵的数量，这也是数理统计呢。

咱们可以数一数红色的花有多少朵，白色的花有多少朵，然后算出红色花朵占总花朵数的比例，这也是一种概率的体现呀。

复习的时候可不要害怕犯错，就像我们学走路的时候也会摔倒一样。