推荐-高中数学人教A版选修2-2课件第2章 本章整合

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专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
(1)解:由条件可得 a1=12,a2=23,a3=34,a4=45,…,由此可猜测 an=������+������1. (2)证明:由(1)可知:bn=n+ 2.
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论是正确的 解析:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,但x=x0不一定是函数f(x)的 极值点,故选A. 答案:A
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专题三 综合法与分析法及其应用 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但这两 种证明方法的思路截然相反.分析法既可用于寻找解题思路,也可 以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,在解 题中综合法和分析法的联合运用,能转换解题思路,增加解题途径.
-1-
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推理
归纳推理:由 (2) 到整体、由特殊到 (3) (1) 推理 类比推理:由 (4) 到 (5)
演绎推理—— (6) —大前提、小前提、结论——由 (7) 到 (8)
(10) 法——由因导果 (9) 证明 (11) 法——执果索因
证明 间接证明—— (12) ——否定结论、推出矛盾
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变式训练3 有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x), 如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在 x=-1处的导数值f'(-1)=0,所以x=-1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上 推理中( )
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例4在△ABC中,若三边a,b,c成等比数列, 求证:acos2���2���+ccos2���2��� ≥ 32������. 分析:从欲证不等式的左边出发,利用二倍角公式的变形,结合余 弦定理以及均值不等式进行推证.
证明:因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac.
f1(x)=f'(x),f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),则f2 017(x)=( )
A.sin x+ex B.cos x+ex C.-sin x+ex
D.-cos x+ex
解析:由已知得f1(x)=cos x+ex+2 016x2 015, f2(x)=-sin x+ex+2 016×2 015x2 014, f3(x)=-cos x+ex+2 016×2 015×2 014x2 013, f4(x)=sin x+ex+2 016×2 015×2 014×2 013x2 012, f5(x)=cos x+ex+2 016×2 015×2 014×2 013×2 012x2 011, 由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期性变化,周期为4, 故f2 017(x)的前两项的和应为cos x+ex; 又f2 016(x)的第三项应为2 016×2 015×2 014×…×2×1, 所以f2 017(x)的第三项等于0,于是f2 017(x)=cos x+ex. 答案:B
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例3已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极小值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
分析:对于(1),可利用函数取得极值的条件建立方程组求解;对于
(2),可按照求函数最值的步骤求解.
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专题二 演绎推理及其应用
演绎推理是由一般到特殊的推理,又叫逻辑推理. 其中三段论推理是演绎推理的主要形式.演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论完全蕴涵于前提 之中. (2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数 学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但却具有 条理清晰、令人佩服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
于是左边=������(1+2cos������)
+
������(1+cos������) 2
=12(a+c)+12(acos C+ccos A)
=12(a+c)+12 a·������2+2���������������2���-������2+c·������2+2������������2������-������2
B.sin
������1+sin 2
������2>sin
������1+������2 2
C.sin
������1+sin 2
������2
<
12sin
������1+������2 2
D.sin
������1+sin 2
������2
>
12sin
������1+������2 2
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例1根据三角恒等变换,可得如下等式:
cos θ=cos θ;
cos 2θ=2cos2θ-1;
cos 3θ=4cos3θ-3cos θ;
cos 4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;
cos 5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cos θ.
依此规律,猜想cos 6θ=32cos6θ+acos4θ+bcos2θ-1,
������-16,
即 12������ + ������ = 0, 解得 ������ = 1,
4������ + ������ = -8.
������ = -12.
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(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12. 令f'(x)=0,得x=-2或x=2. 当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上是增函数; 当x∈(-2,2)时,f'(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上是减函数; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上是增函数. 综上可知,f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c, 在x=2处取得极小值f(2)=-16+c. 由题设条件知16+c=28,c=12. 此时,f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4. 因此,f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
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专题四 反证法及其应用
反证法是一种间接证明的方法,其理论基础是“互为逆否命题的 两个命题为等价命题”,反证法体现了“正难则反”的证明思想.
运用反证法证明问题时,应注意以下几点: (1)必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多 样性时,必须罗列出所有可能的情况. (2)反证法证明过程中,必须把结论的否定作为条件进行推理,否 则,仅否定结论,但不从结论的反面出发进行推理,即使证得了结论, 也不符合反证法的要求. (3)反证法中,导出的矛盾可以是多种多样的,有的是与已知条件 矛盾,有的是与假设矛盾,有的是与已知的事实矛盾,但推导出的矛 盾必须是明显的.
=12(a+c)+12b
≥
������������
+
1 ������
=
������2
+
������ 2
=
32b=右边,
所以 acos2���2���+ccos2���2��� ≥ 32������.
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变式训练4 已知sin α+cos α=1,求证:sin6α+cos6α=1. 证明:要证sin6α+cos6α=1, 只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1. 即证sin4α-sin2αcos2α+cos4α=1, 只需证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证1-3sin2αcos2α=1, 即证sin2αcos2α=0, 只需证sin αcos α=0, 由已知sin α+cos α=1, 所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=1, 所以sin αcos α=0成立, 故sin6α+cos6α=1.
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分析:类比已知图形,考查线段AB与曲线AB的位置关系,可得结论.
解析:点A,B是函数y=sin x(x∈(0,π))的图象上任意不同两点,依据
图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方,所
以
sin
������1+sin 2
������2<sin
������1+������2 2
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,我们常把它们统称为 合情推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能够帮 助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能 为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维过程大致如下:
实验,观察→概括,推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下: 观察,比较→联想,类推→猜测新的结论
归纳 (13) 数学归纳பைடு நூலகம் 归纳 (14)
答案:(1)合情 (2)部分 (3)一般 (4)特殊 (5)特殊
(6)三段论 (7)一般 (8)特殊 (9)直接 (10)综合法
(11)分析法 (12)反证法 (13)奠基 (14)递推
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专题一 合情推理及其应用
S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面面积,那么类似的结论
是
.
解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为 直角三角形的斜边,可得������12 + ������22 + ������32 = ������42.
答案:������12 + ������22 + ������32 = ������42
>
������1+������2
������ 2
成立.运用类比的思想可知,若
点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x∈(0,π))的图象上任意不同
两点,则类似地有下列结论成立的是( )
A.sin
������1+sin 2
������2<sin
������1+������2 2
解:(1)∵f(x)=ax3+bx+c,
∴f'(x)=3ax2+b.
由已知 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16,
得 ������'(2) = 0, ������(2) = ������-16,
即
12������ + ������ 8������ + 2������
= +
0, ������ =
则有a+b=
.
分析:观察给出的各个等式的系数的特点,利用归纳推理求解.
解析:由所给的三角恒等变换等式可知,所有各式中,各系数与常
数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.
答案:-30
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变式训练1 已知函数f(x)=sin x+ex+x2 016,令
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2 例 已知点 A(x1,������������1������������2 ),B(x2,������������2 )是函数 y=ax(a>1)的图象上
任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图
象的上方,因此有结论������������1 +2 ������������2
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5 例 已知数列{an}满足 a1=12,2an+1=anan+1+1.
(1)猜想数列{an}的通项公式(不用证明); (2)已知数列{bn}满足 bn=(n+1)an+ 2,求证:数列{bn}中的任意 不同的三项都不可能成等比数列.
分析:对于(1),可通过计算数列的前几项,观察其特点,利用归纳推 理得出通项公式;(2)是否定性命题,可运用反证法证明.
.
答案:A
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变式训练2 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,
那么截下的一个直角三角形,按图中所标边长,由勾股定理有
c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从
正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用