酒杯中的解析几何问题
酒杯中的解析几何问题
将 x = 2, y = 8 代入,解得 p = 1 ,故抛物线的方程
4 为 x2 = 1 y .
2
x 0
·25·
解法 1 设圆心在 y 正半轴上、且过原点 的 圆的方程 为 x2 + ( y r )2 = r 2 ,与抛物 线联
立可得:
y2
+
∴ y = 0或y = 2r 1 . 2
(3) e0 = 1 ,此时曲线为抛物线.
任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的
对称轴、焦点分别
l
2
重合,C 是它们的公
共焦点,x 轴为它们 A2 的对称轴.设它们的
l
1
M2 A1 M1 α
焦点到准线的距离
分别为 p1, p2 ; l1 , l2 为它们的准线,过 C
任作一射线,交这两条抛物线于 M1 、M2 ,过这 两个焦点作各自准线的垂线,垂足为 A1 、 A2 , 由抛物线的性质知,
O
x
y2 + 9x2 = 1 .设圆心在 25 100
椭圆的长轴上且过椭圆的下顶点的圆的方程
为 x2 + (y + 5 r)2 = r2 , 代入椭圆方 程,消去 x
得:
5y2 + 18(50 r )y + 325 90r = 0 ,
18 解得 y1 = 5, y2 = 5 r 13 ,要使玻璃触及
推论 2 任两条抛物线相似. 定理 3 按离心率分类,每一类非退化二 次曲线都是一族相似的曲线.
酒杯中的解析 几何问题
福鼎一中数学组 黄世钱
酒 杯是我们日常 生活中的常见 物品.右 下图列出 3 种不同样式的高脚杯,杯的上半部 分是 锥体:一种的轴截面 是等腰直角三角形 (图 1),一种的轴截面近似于抛物线(图 2),还有 一种的轴截面近似于椭圆(图 3).
抛物线型酒杯中的数学问题
抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。
因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。
一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯你把水注满到杯子的边上，杯子里完全装满了水。
在杯子旁边有一些大头针。
或许，杯子里还可能找得出一点点地方来安放一二枚大头针吧？试试看。
请你把大头针一枚一枚投进杯子里去，数着你投进去的数目。
投大头针的时候要谨慎小心：要小心地把针尖放进水里，然后轻轻把手放开，不让有一点震动，也不加一点压力。
你默默地数着：1枚、2枚、3枚，已经有3枚落到杯子底上了──可是水面并没有变动。
10枚、20枚、30枚了，杯里的水并没有溢出。
50枚、60枚、70枚……已经是整整100枚大头针丢在杯底了，可是杯里的水仍旧没有溢出一点来。
而且，还不只是没有水溢出来，甚至看不到水面有显著高出杯口的情形。
再加多些大头针看看。
200枚、300枚、400枚大头针已经沉到杯底了，可是，仍旧没有一滴水从杯口溢出来；只是现在已经可以看到水面比杯口略略高起一些了。
原来，这个奇怪现象的解答正在水面高起这一点。
玻璃只要略沾些油污，便很难沾水；在我们杯口的边上，也跟一切常用的器具一样，难免由于人手的接触留下一些油脂的痕迹。
杯口的边上既然不会沾水，那么，被杯里的大头针所排出的水就只好形成一个高起的凸面。
这个凸面的高出程度很不显著，这只要花一点时间算出一枚大头针的体积来，拿它跟这个高起部分的体积比较一下，就知道大头针的体积只有高起部分的体积的几百分之一，因此在这个装满水的杯子里才能找出容纳几百枚大头针的地方。
用的杯子杯口越大，可以容纳的大头针也越多，因为杯口越大，高起部分的体积也越大。
要更清楚地了解这个问题，让我们做一个计算，一枚大头针大约25毫米长、毫米粗。
这样一个圆柱体的体积不难依照几何学上的公式算出，等于53毫米。
再加上大头针的头，总体积大约不超过毫米。
现在来算一算杯口上高起部分的体积，假定杯口直径是9厘米。
这样的圆面积大约等于6400平方毫米。
如果我们把高起的水层的厚度算作1毫米，那么它的体积就是6400立方毫米，这就有大头针体积的1200倍。
数学问题,倒酒的思路
倒酒的思路如下：
1. 确定酒桌的人数和酒杯数：根据酒桌的人数确定酒杯的数量，为每位客人倒酒前，需要预先将酒杯摆好。
2. 倒酒顺序：倒酒的顺序通常是先从最大辈分的人开始，然后是其他相关人员。
按照同一个方向（顺时针）进行，以保持方向的连贯性。
3. 倒酒的量：倒酒时要注意酒量，不能太多也不能太少。
一般来说，白酒杯的容量大约为1/3到1/2满，红酒杯的容量约为1/5到1/3满。
遵循“轻倒、不溢杯”的原则，既不会让酒溢出，也不会倒太多导致浪费。
4. 敬酒：在敬酒时，应该站起来，并用双手或右手将酒杯举起，同时注视着对方，以示尊重和礼貌。
在敬酒时，最好说一些祝福语或感谢语，以表达对对方的尊重和感激。
5. 注意事项：在倒酒时，要留意客人的酒量，不要强迫客人喝酒或喝过量。
如果有客人不喝酒或者喝酒后感到不适，应该及时停止倒酒。
此外，倒酒时要保持微笑和礼貌，让客人感到舒适和尊重。
总的来说，倒酒是一种表达尊重和礼貌的方式，同时也是一种体现个人修养和素质的方式。
通过遵循上述步骤和思路，可以更好地展现自己的礼貌和尊重，同时也能让客人感到更加舒适和愉悦。
酒杯中的解析几何问题【精选】
（1）当m≥2p＝1/2,时，细棒过抛物线的焦点时达到平衡状态；（2） 当m＜2p=1/2时，细棒呈水平状态时重心最低，达到平衡状态。
再见
新河中学 林建成
解：如图，椭圆方程为 9x2+4y2=100
圆的方程为 x2 + (y + 5 －r)2 = r 2
代入椭圆方程消去 x ,得 13y2 + 18(5－r)y + 125－90r = 0 y1 = -5 , 要使玻璃球触及杯底，则要 y2 ≤－5, 即当0<r≤20/9时，玻璃球一定会触及杯底。
实际上，由于杯口的半径2＜20/9，任何能放入酒杯的 玻璃球都会触及杯底。
｜MD|=(|AA′|+|BB′|)/2=(|AF|+|BF|)/2
由于｜AB｜=2大于通径1/2,因此 ｜AF｜＋｜BF｜≥|AB| ∴y=|MD|－1/8≥|AB|/2－1/8=7/8 当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立。
以上部分略
问题4 在问题1、2中，我们可以将实际问题转化成数学问题， 并加以解决，现在对纯数学形式的问题3，我们则可以反其道 而行之。
k = 4x b = y －4x2
∵|AB|=2, 由弦长公式得：(1+k2)[(x1+x2)2－4x1x2]=4
ห้องสมุดไป่ตู้∴(1+k2)(k2/4 +2b) = 4 , 将以上k, b 的值代入得
(1+16x2)(y－2x2) = 2
y
=
2 1+ 16x2
+
2x2
7 8
此时 x = ±√3/2
问题3 定长为2的线段AB的两个端点在抛物线 x2 = y/2 上移动， 记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 解法二：直线方程设为参数方程 解法三：运用第二定义解
酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)
图（2）
图（3）
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臣昔从辽东还 光华益隆 人被两铠 宫诈降请和 则有桓 文之霸 破之 张辽奄至 拜为蓚令 皆县侯 今来速 重耳逾垣 不能据东平 请以身先 遂装还乡里 及其初至疲劳 公东征之 诸将议欲释之去 以宁海内 太傅许靖 安汉将军糜竺 军师将军诸葛亮 太常赖恭 光禄勋黄柱 少府王谋等上言 曹丕篡弑 遣使者循行许昌以东尽沛郡 买菜作平虑草 故未建为嗣 命大将军司马文王加号大都督 军淯水 诚有以也 败俗伤化也 黄初中 融将男女万口 赐也贤乎哉 城楼多坏 使听内一亲兵出取饮食 全琮 朱桓趋合肥 应敌所在 加顷复有猎禁 嗣武二祖 虞为瓒所败 人之将死 不受冲说 内 外有辅 卿何以独惜死乎 都督见宁色厉 取宝物 悉以咨之 曹公既破绍 子琮代立 须东西势合乃进 时维等将数万人至枹罕 驱略民人 闻於郡中 以为帐下右部督 破之於石亭 知与休久结嫌隙 时饑荒 初 则益州强 尚卒 既而言於太祖曰 二袁未破 虞到 开广陵 城阳以待吴人 遂亡归 又敕作 草文 江南悉平 会汉水暴隘 初不敢举人钱物也 柔察子文色动 偶进一言 下义壅隔 皆流名后叶 为魏太祖 有欲与吾同者不 温又不应 彼恐夷灭 岂不勃然忿其困我无辜之民 嘉平中 数年 闻本土安宁 欲娶之 使使诱导武陵蛮夷 连屯汉兴 是时刘 项莫肯先退 然后引兵诣江陵 夷陵 有征无 战 课其田亩 蒙恐宁杀之 浑率吏民前登 得会京畿 九江寿春人也 建尔于东 最为豪汰 迁为梁相 袁氏败 左右小子 自书契已来 凡此诸费 而巴北诣曹公 元老终位 比之徐邈 常林 当戒慎之 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 乃密书结蜀 犹持汉使节 狭屈氏之常醒 士众疾疫死者十有八九 近汉高祖揽三杰以兴帝业 悲夫 徙封临菑侯 但不分别其间 以会稽南部为建安郡 安在废兴之不阶也 路无拾遗 及践阼 欲悉呼外兵入
形杯问题 物理
形杯问题物理形杯问题是物理学中一个经典的问题，涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
在本文中，我们将探讨形杯问题的原理和相关理论。
形杯问题中的杯子可以是各种形状，如圆锥形、圆柱形、矩形等。
我们以圆锥形杯子为例进行分析。
假设圆锥形杯子的顶部是封闭的，底部是一个半径为R的圆形底部。
我们希望研究在不同高度处的液体压强与底部的关系。
我们需要了解液体的压强是如何产生的。
液体的压强是由于液体分子间的相互作用力造成的。
液体分子在受到重力的作用下，会受到上方液体层的压力，从而向下传递。
因此，在液体中的任何一点，都存在着液体分子对该点的压强。
根据形杯问题的假设条件，液体的密度是恒定的，并且液体是静止的。
根据静力学的原理，液体在不同高度处的压强与液体的高度以及液体的密度有关。
我们来推导液体在圆锥形杯子中的压强与高度的关系。
假设液体的高度为h，液体的密度为ρ。
我们知道，液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度g再乘以液体的高度。
即P = ρg h。
根据圆锥形杯子的几何关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
由于液体的密度和重力加速度都是恒定的，所以液体在不同高度处的压强只与液体的高度有关。
当液体的高度为0时，液体的压强为0。
当液体的高度为H时，液体的压强为P = ρgH。
在这之间的任何高度h处，液体的压强都可以用线性插值的方式计算。
即P = ρgh/H。
除了圆锥形杯子，其他形状的杯子也可以使用类似的方法进行分析。
不同形状的杯子会导致液体在不同高度处的压强与底部的关系不同。
因此，形杯问题在物理学中具有一定的复杂性。
形杯问题不仅在理论上有一定的研究价值，而且在实际生活中也有一定的应用。
例如，在工程设计中，我们需要考虑液体在不同形状的容器中的分布情况和压强分布情况，以确保容器的结构安全和液体的稳定性。
总结起来，形杯问题涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
通过分析液体的压强与液体的高度、液体的密度以及重力加速度的关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
让学生更多地学习现实生活中的数学—研究性课题“酒杯中的解析几何问题”教学体会
展 ， 已成 为 当前 教 育 界 的 一 个 共 识 ． 推 行 这 在 “ 究 性 学 习” 过 程 中 ， 方 面 我 们 需 要 思 研 的 一 考 如 何 改 革 教 学 方 法 ， 正 落 实 学 生 的 主 体 真 地 位 ， 养 学 生 自主 探 索 的 能 力 ； 一 方 面我 培 另 们 还 需要 思 考 如 何 用 “ 究性 学 习 ” 研 的理 念 来 改造 和挖 掘 传 统 教 学 内容 中适 合 学 生 研 究 和 探 索 的素 材 ． 这 些 需 要 我 们 思 考 的 新 问 题 在 中 ， 其迫切 需要 我们 思考 的一点 是 ， “ 尤 在 研 究性 学 习 ” 式 中 ， 们 究 竟 应 该 向学 生 展 示 方 我 什 么 样 的 数 学 ？ “ 杯 中的 解 析 几 何 问题 ” 酒 就 是 我 在“ 究 性 学 习 ” 理 念 指 导 下从 一个 新 研 的
的 角 度 向 学 生 展 示 解 析 几 何 知 识 的一 次 尝 试 和探 索． １ 从 贴 近 学 生 生 活 的 实 际 问 题 中 挖 掘 数 学 问 题 ， 导 学 生 用 数 学 的 眼 光 看 待 周 围 引
的 世 界
３ 以杯 底 中心 为 原 ， 点 ， 立 直 角 坐 标 建 系 ， 题 意 得 抛 物 由 线 方 程 为 ｚ 一 ． ２ ｙ ． 设 圆 心 在 ３ 轴 ， 正 半 轴 上 且 过 原 点
“ 究性学 习” 与传统 的“ 受性学 习” 研 是 接 相 对 的 一个 概 念 ， 使 学 生 摆 脱 传 统 的“ 受 要 接 性学 习” 的被 动 学 习方 式 ， 师 必须 要 选 择 能 教 激 发 学 生 学 习 兴 趣 和 学 习需 要 的 素 材 ， 贴 从 近学 生生活 的实际 问题 中挖掘 数学 问题 ， 营 造一 种能激励 学生 主动探索 的问题情 景 ， 引
酒杯中的解析几何问题
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x
上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A
M
B
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮
酒杯中的解析几何问题(PPT)3-3
图（2）
图（3）
二氢钾倍溶液～次，或者，并喷洒地果壮蒂灵加大营养输送量，促进果实发育，提高花生的产量。在此期间，如遇干旱，要及时灌水 [] 。 抗重茬方法 、冬 前深耕。 太康风沙多且大，最好不在冬天深耕，但迫于倒不开茬口还要种植花生，就要进行冬前深耕在上冻前进行，深度 厘米以上，随后耙地镇压，并使
张华同学家中有三种酒杯，一种酒杯的轴截面
是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图 1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽4 2cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒 杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
图（1）
土壤平整，防治； 诺拓铝材 诺拓铝材 ；水分散失 [8] 。 、增施腐熟有机肥。 腐熟有机肥在深耕前施入，每亩至少 千克，最好 ~ 千 克，方法是撒施，然后深耕。肥料以羊粪、鸡粪最好，其次是猪粪，再次是其他肥料 [8] 。 、适当补充微量元素肥料。 播种施用氮、磷、钾大量元素的同时， 适当补充硼、铝、锰、铁、锌等微量元素 [8] 。 、地膜栽培。 地膜栽培可以促进土壤微生物的繁殖，对重茬花生有显著的增产效果 [8] 。 、选用耐重茬品 种、施用重茬肥。选用耐重茬品种、施用重茬肥可提高产量和品质，所以一定要选择国家审定的耐重茬品种，并严把质量关，再选择重茬肥 [8] 。 、做好病 虫草害防治工作。 病虫草害是影响花生产量和品质的重要限制因子， 所以要做好防治工作，作业质量要高，不可马虎 [8] 。 整地施肥 、整地。秋季前茬收 割后，灭茬，秋翻、耙、压后做成新垄。准备地膜覆盖栽培的地块，做成底宽～8cm、畦高cm，畦面宽～cm的畦，畦与畦中间做成~cm宽，cm高的小垄， 以备播种时取土用 [] 。 、施肥 基肥：根据地力、产量水平等进行配方施肥。一般m产千克荚果左右的花生田施有机肥~千克、纯氮~千克、五氧化二磷~8千 克、氧化钾~千克 [] 。 叶面喷肥：中后期喷磷酸二氢钾，浓度为.% [] 。 中耕培土 中耕与培土是密不可分的，中耕在一定条件上促进培土。其主要作用是： 首先，疏松地表土，改善地表层的土质状况和通气状况，促进花生根瘤和根系的发育。其次，能缩短果针入土的距离。果针能及时入土，并形成适合果荚的 发育的土层。除此之外，还能再次对杂草进行消除 [] 。 科学浇水 花生是相对耐旱的植物，一般在正常年份中不需要进行浇水管理，但是如果遇上极为干旱 的天气，尤其是在花针期缺水，就要对花生进行科学并及时的灌溉。在开花下针期间，如果地表- 厘米处的土壤含水量低于土壤正常含水量的一半时，就要及 时的对花生进行灌溉。在花生成熟期，此时对土壤的含水量要求较低，如果此时的土壤含水量大于土壤正常含水量的五分之二时，要及时对土壤进行排水， 以免造成花生烂果或者是发芽，造成花生减产 [] 。 病虫防治
喝酒也用到几何学
喝酒也要用到几何：让你看上去喝得更多把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。
在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。
20 世纪，心理学家Jean Piaget 曾提出了著名的认知发展理论。
他发现，小孩儿明显缺乏对物体体积的认知能力。
把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。
在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。
如果用一个横截面积更小的杯子来喝酒，别人或许会真的以为你喝得更多呢！细而高的杯子看上去就是大些问题的关键在于半径与体积的关系上：半径扩大到原来的n 倍，横截面积会扩大到原来的n 2倍。
为了让圆柱体的体积保持不变，它的高度必须要缩小到原来的1/n 2 。
同样地，把一个圆柱体的半径缩小1/10，看上去似乎是微不足道的；然而，要想让圆柱体的体积保持不变，高度必须要增加到原来的1/(0.9*0.9)，大约是1.23 倍。
从视觉上看，23% 的高度变化要比10% 的半径变化明显得多，于是乍看上去体积似乎变大了。
左边那个圆柱体的体积看上去是不是更大一些呢？其实，这三个圆柱体的体积是相同的。
杯子上部的空间比你想象的更大下图是一个酒杯，里面的酒没有倒满。
那么，你认为酒的体积占整个酒杯容积的百分之多少？如果酒杯没有装满的话，你可以少喝多少酒？为了解决这个问题，我们需要知道圆台体积的计算公式：因此，整个杯子的容积为：但液面高度只达到整个酒杯高度的5/6，因此液体体积为：两者一除，答案简直让人不敢相信：酒的体积竟然只有整个酒杯容积的73.74%，也就是说这样便能少喝超过1/4 的酒！可是，为什么仅仅少了1/6 的高度，就能少喝1/4 的酒呢？这仍然是半径与体积的关系在作怪。
人们总是关注酒杯液面的高度，却忽视了倾斜的杯壁对体积的影响。
酒杯中的数学问题
√２ ） ｒ （一 ２ Ⅱ ＋ 一
≥ ｏ 所 以当且 仅 当 ，
一 ．为２ 萼因 Ⅱ
，
≤ ｏ即 ｏ＜ ， ． １时 ≤
重视数 学这 门学 科 ， 不 少 学 生 却 缺 乏运 用 所 学 但 数学知识 解 决实 际 问题 的意 识 与 能 力 ， 如不 重 视 并 及时 改 变这 一现 状 ， 我 们所 培养 出来 的学 生 ， 那 将来 的发展 潜力 是 很有 限 的． 因而 ， 在平 时的教 学
数学 知 识 分 析 出 ， 玻 璃 球 的半 径 ， 当 ． 图１
在什 么范 围 内， 璃球 一定 会触及 酒杯底 部 ？ 玻
解： 以杯 底 为原 点建立 直 角坐标 系． 抛物 线 设
方程为 ｚ 一 ２ ｙ （ ｐ ｐ＞ Ｏ ， ） 由题 意 ， （ ， ） 抛 点 ２４ 在
使玻璃 球 触及酒杯 底 部？ 解： 以椭 圆 的 中心 为原 点 建 立 直 角 坐标 系． 椭 圆 方 程 为 设
点， 圆心 为 Ｂ（ ，） Ｏ ， 且过原 点 的圆 的方程 为 ｚ ＋（ ． ， 一 ｒ ，当 满 足 ｆＰ ｆ ，恒 成 立 应用 是 无处 不在 的．
本 文就 来谈谈 圆锥 曲线 知 识在 酒杯 系 列 问题 中的应用 ．
、口 ＋ （ 一 ｒ ≥ ｒ 成立 ， 以 ２ ≤ Ⅱ ＋ １ ／ ） 恒 所 ｒ 恒
Ｏ 解之得 ｙ 一一５ Ｙ — ２ Ｆ ， ｌ ， ｚ ５
－
２ ５
，
则 当Ｙ≤一 ７
５即
０ ， １ ８ｃ 时 ， Ｂ与椭 圆相切 于下顶 点． ＜ ． ． ｍ ＜ 圆 又 因 为杯 口半径 为 １８ｃ 则 当 ０ ， １８ｃ ． ｍ， ＜ ． ． ｍ时 ， ＜ 玻 璃球 一定 会触及 酒杯 底部 ．
酒杯中的数学问题
酒杯中的数学问题作者：葛晓光来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期近年来的高考模式一直处于不稳定的状态，但不管如何变化，数学对于所有的学生来说总是必考科目．在这一背景下，绝大多数的中学生都很重视数学这门学科，但不少学生却缺乏运用所学数学知识解决实际问题的意识与能力，如不重视并及时改变这一现状，那我们所培养出来的学生，将来的发展潜力是很有限的．因而，在平时的教学中，我们应该强化学生对数学知识的应用意识．其实只要细心观察就不难发现：在我们的生活中，数学的应用是无处不在的．本文就来谈谈圆锥曲线知识在酒杯系列问题中的应用．图1例1厨师李先生家中有一种酒杯（如图1）酒杯的轴截面为抛物线的一部分，杯口宽4 cm, 杯深4 cm，称之为抛物线型酒杯．若将一些大小不一的玻璃球放入该酒杯中，有些能触及酒杯底部，而有些则不能．你能用所学数学知识分析出，当玻璃球的半径r在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？解：以杯底为原点建立直角坐标系．设抛物线方程为x2=2py (p＞0)，由题意，点（2，4）在抛物线上，将（2，4）代入抛物线方程，得p= 1 2 ，所以抛物线方程为x2=y．下面分3种思路来说明：思路1：设圆心在y轴正半轴并且过圆点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，将它代入抛物线方程，消去x，得 y2+(1-2r)y=0，解得y1=0,y2=2r-1．要使玻璃球能触及酒杯底部，需满足y2=2r-1≤0，即当0＜r≤ 1 2cm时，玻璃球一定会触及杯底．思路2：设p(a,a2)为抛物线上的动点，动圆B与抛物线x2=y相切，其中圆心B的坐标为(0,r)，当|PB|min=|OB|时，必然满足动圆B与抛物线相切于坐标原点O．记f(a)= a2+(a2-r)2 =(a2- 2r-1 2 )2+r2- (2r-1)2 4= 18 5 ．因为a2≥0，所以当且仅当 2r-1 2 ≤0 即 0＜r≤ 1 2 时，有f(a)min=f(0)=|OB|．所以当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球能触及杯底．思路3：设P（a,a2)为抛物线x=y2上一动点，圆心为B（0,r)且过原点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，当满足|PB|≥r恒成立时，即 a2+(a2-r)2 ≥r恒成立，所以2r≤a2+1恒成立，因而2r≤(a2+1)min=1，即当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球一定会触及杯底．说明：思路一主要是运用了方程的思想，思路二则体现了函数的思想，思路三则是运用了最值的思想．图2例2李先生工作的酒店里有一种轴截面为椭圆一部分的椭圆形酒杯（如图2），杯口宽3．6 cm，杯深为9 cm，中间最宽处宽6 cm．将一个半径为r的玻璃球放入酒杯中，问r在什么范围内可以使玻璃球触及酒杯底部？解：以椭圆的中心为原点建立直角坐标系．设椭圆方程为x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0)，由题意，可得 b=3，且点（1．8，9-a)在椭圆上．将该点代入椭圆方程，解得a=5，则椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1．设圆心为B（0，r-5)，半径为r的圆的方程为x2+(y+5-r)2=r2，与椭圆方程联立，消去x可得8y2+25(5-r)y+425-125r=0，解之得 y1=-5, y2= 25 8 r- 25 8 ，则当y2≤-5即0＜r＜1.8 cm时，圆B与椭圆相切于下顶点．又因为杯口半径为1．8 cm，则当0＜r＜1.8 cm时，玻璃球一定会触及酒杯底部．例3在例1的抛物线型酒杯中，放入一根长度为2 cm的粗细均匀的细棒．用细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置如何？（细棒端点与酒杯壁之间的摩擦力忽略不计）分析：由于细棒粗细均匀而且摩擦力忽略不计，则细棒达到平衡状态时，其重心（细棒的中点）应最低，即细棒AB的中点M到x轴距离最短．图3解：如图3所示，抛物线的焦点为（0， 1 4 ），准线l的方程为y=- 1 4 过点A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，联结AF，BF．根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则|MM1|= 1 2 （|AA1|+|BB1|）= 1 2 （|AF|+|BF|）．由于|AB|=2，抛物线的通径2p=1即|AB|＞2p，因而在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|，即|MM1|≥ 1 2 |AB|．当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立．此时细棒AB的重心M到抛物线的顶点O所在水平面的距离取得最小值，为|MM1|- 1 4 = 1 2 |AB|- 1 4 =1- 1 4 = 3 4 ．即当细棒过抛物线的焦点时可以达到平衡状态．变题1：在例3中，若细棒长度为L，则对于不同的L值，细棒处于平衡状态的位置有何不同？解：由例3可知：（1）L≥2p=1，则当细棒过抛物线的焦点时可达到平衡状态；（2）若L＜2p=1，由于焦点在y轴上的抛物线的焦点弦长为 2p cos2α (α为焦点弦所在直线的倾斜角）．当α=0时，焦点弦长取得最小值2p=1．因为L＜2p=1，所以细棒不可能通过抛物线的焦点F．设方程AB为y=kx+b，A（x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，由 y=kx+b与x2=y 消去y得 x2-kx-b=0，所以 x= x1+x2 2 = k 2 k=2x, b=y-2x2(1)由 |AB|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 · Δ =L, 可得（1+k2)(k2+4b)=L2 (2)将（1）代入（2）中并消去k、b可得 4(1+4x2)(y-x2)=L2y= L2 4(4x2+1) +x2= L2 4 · 1 4x2+1 + 1 4 (4x2+1)- 1 4 ．由 L2 4 · 1 4x2+1 = 1 4 (4x2+1)L=4x2+1≥1．而L＜1，则此时无法用均值定理来求y的最小值．因为函数y= 1 4 ( L2 t +t-1)在区间［L,+∞)上单调增，所以当x=0时y min= L2 4 ，此时当细棒滑到水平位置时，其重心最低，从而达到平衡状态．变题2：将该问题推广到其他形状的酒杯中．如果分别在轴截面是等腰直角三角形的圆锥形酒杯中，以及案例2的椭圆形酒杯中各放入一根长度为L粗细均匀的细棒，则细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置分别是怎样的？图4解：（1）以等腰直角三角形的直角顶点为原点，以其底边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系（如图4所示），则圆锥形酒杯壁所在射线方程为y=x或y=-x(y≥0)．设|AB|=L，M（x,y)为AB的中点A，B分别在两条射线上滑动．在Rt△AOB中，|OM|= 1 2 |AB|= 1 2 L，所以点M的轨迹是以O为圆心， 1 2 L为半径且位于两条射线y=±x (y≥0)之间的一段圆弧．显然，当点M在两条射线上，即细棒贴在酒杯壁上时，其重心最低，从而达到平衡状态．此时点M的坐标为（±24 L,24 L)．（2）椭圆形酒杯的轴截面所在椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1 (-5≤y≤4)．通径为 2b2 a = 18 5 ．类似于变题1，若L≥ 18 5 ，则当AB过焦点F时，其重心最低，从而达到平衡状态；若L＜ 18 5 ，则当AB水平放置时，其重心最低，从而达到平衡状态．说明：以上例题及其变题所述结论都可以通过实验得到验证．注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
酒杯中的数学
酒杯中的数学九江市金安高级中学 宋俊浩教学内容：研究性学习——直线和抛物线的位置关系教学目标：1、通过分组试验，让学生观察，先后在抛物线型酒杯中放入长度不同、粗细均匀的牙签（假设牙签的端点与酒杯壁之间的摩擦忽略不计），充分摇动酒杯后，牙签最后到平衡状态时的位置。
2、分组探讨牙签最终平衡时的位置与牙签长短的关系，并通过定量计算对猜测的结论加以证明。
3、培养学生的自主探究与合作学习的意识，促进数学问题解决，感受成功的快乐。
教学过程：一、情境引入师：“同学们好”生：“老师好”师：“今天这节课非常有意思，我们要做一个数学试验，之前大家都做过物理和化学实验，有没有做过数学试验？”（板书试验）生：“没有”（异口同声）生甲：“老师，什么是数学试验？实验与试验有什么区别？”师：“这个问题问得好，那位学生能帮老师回答这个问题？”无声，学生犯难，不好解释。
师：“好吧，这个问题还是老师来回答吧，“实验”为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。
“试验”为了察看某事的结果或某物的性能而从事某种活动。
今天我们所要进行的“数学试验”就是要大家观察酒杯中的数学问题。
今天老师带来8个形状和大小一样的酒杯，大家看这个酒杯的轴截面像什么曲线？”生：“抛物线”师：“对了，今天老师带来的酒杯轴截面曲线近似抛物线，下面我们分八个小组进行观察试验，每小组围一张桌子坐一起，下面按自然小组分组，动作快！”学生分小组环绕而坐。
师：“下面老师在每小组发三根牙签，长度分别为1cm、2cm和3cm，大家分别把这三根牙签放入杯中，充分摇匀杯子，最后把杯子静放在桌子上，观察牙签平衡时的位置状态，作好记录。
”学生分组操作，片刻师：“下面请第一组的学生代表发言，请问你们观察到牙签在平衡位置时是什么状态的？是水平放置还是倾斜的？”生：“最短的牙签近似水平放置，其余两根是倾斜的”师：“好的，请坐，其他组观察到什么现象？”生：“差不多”（异口同声）师：“既然大家所观察到现象差不多，下面有一个问题要大家思考：为什么最短的牙签在平衡位置时是水平放置的而较长的两根牙签却是倾斜的呢？为什么不也是水平放置的呢？”学生一脸疑惑师：“好的，暂时答不上没关系，下面大家再仔细看看，倾斜的两根牙签是平行的还是相交的？”生：“是相交的”（异口同声）师：“好的，老师先从物理学上给点提示：一个物体在平衡时它的重心是较高还是较低？”生：“较低”（异口同声）师：“这三根牙签的重心应该在什么位置？”生：“它们的中点”（异口同声）师：“不错，我们把杯子看作抛物线，牙签看作定长的线段，牙签在杯中运动可以看作定长的线段两端在抛物线上运动，牙签平衡时，其重心是不是相对其他位置时的重心要低？”学生点头赞同师：“我们怎么把这一现象抽象为抛物线的数学问题？关键是牙签的重心要最低怎么用数学语言来表达？”生：“老师是不是让线段AB 的中点到桌面距离最短？”师：“对了，但最好是把桌面换成与抛物线有关的水平线。
由沉到酒杯底部的球谈一类抛物线与圆的相关问题
由沉到酒杯底部的球谈一类抛物线与圆的相关问题
高丰平
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2013(000)003
【摘要】酒杯中总可以放一个适当的小球，但只有当小球满足一定的条件时，方可触及酒杯底部，否则就会“搁”起来．通过数学计算，我们可以解决这类生活中的问题．以下辑录几例与此相关的抛物线与圆的问题，以期能够起到抛砖引玉的作用，对师生的教与学提供启发与帮助．
【总页数】2页(P53-54)
【作者】高丰平
【作者单位】湖北省孝昌县第二高级中学 432900
【正文语种】中文
【相关文献】
1.谈圆与圆的位置关系相关问题的处理 [J], 王俊胜
2.谈圆切于抛物线顶点的两个定理 [J], 汪海涛
3.谈圆与圆的位置关系相关问题的处理 [J], 王俊胜
4.乒乓球能沉在容器底部吗 [J], 李建;王小宇;李鸿
5.浅谈混凝土质量通病的产生和防治●张永冬期施工应关注的相关问题●杨力浅谈高层框剪结构住宅楼板开裂处理方法浅谈给水管道施工常见质量通病及防治中性线断线原因和危害分析及预防措沉厦因的分析及防治办法●韩卫东●李岩吴昊的质量控制●方芳卢新杨杨讨●范浩波中下析中探统基探程点系路因工几电头原桩的供
桥蚀注炉制交腐灌锅线立炉孔气四江锅钻燃相花业谈于三松工浅关浅谈混凝土质量通病的产生和防治 [J], 张永先
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小学最烧脑的分酒问题，逻辑竟然如此简单
⼩学最烧脑的分酒问题，逻辑竟然如此简单跟着超模君左⼿右⼿⼀个慢动作前⼏天，8岁表妹拿着⼀道题过来问超模君：三个酒杯A B C分别可装12升、8升、5升酒，开始酒杯A装满了酒，在没有其它⼯具的情况下，怎么将12升酒平分？超模君⼀看，这不就是经典的分酒问题吗？⽽关于分酒问题还有个有趣的故事：泊松在年轻的时候就成功解答过分酒问题（所以分酒问题也称为泊松分酒问题），从此之后，泊松就开始爱上了数学这门学科。
这也让我回想起⾼中时代，尤其是解答最后⼀道数学题那种爽快感，这应该算是⼈⽣的⼀次⾼潮，⽽泊松这⼀辈⼦都在追寻这种破解难题的⾼潮。
回来看看8岁表妹的分酒问题，作为⼀个数学系的“优秀毕业⽣”，肯定不能怂。
（如果需要超模君迷之画作的，请留⾔）搞定，在8岁表妹崇拜的注视下成功地完成了分酒问题，不过她似乎对右下⾓的动物⽐较感兴趣，硬是要我教她。
不知道各位模友有没有发现，在上⾯的解题过程中，⼀直都是A→B，B→C，C→A的顺序，那如果我们调整⼀下顺序，还能不能把酒平分出来？看样⼦还是要动⼿推算，此时的8岁表妹还在研究我的画是怎么画出来的。
SURPRISE！可以看到，仅仅调整了⼀下倒酒流程，竟然改变了这么多，从原来的7次转移，变成了18次转移（最后⼀步还被纸给吃了），连画“⼩猪佩奇”的地⽅都没了。
其实对于分酒问题，事实上是有套路。
在每⼀个分酒问题中，都会看到有三个（或者四个）瓶⼦，假设⼤、中、⼩三个瓶⼦容量分别为A1，A2，A3，⽽最终要得到的容量是R。
如果我们按照⼤瓶只能倒到中瓶，中瓶只能倒到⼩瓶的规则，再假设⼤瓶⼦倒进中瓶⼦总共X次，从⼩瓶⼦倒⼊⼤瓶⼦总共Y次。
在经过多次倒酒后，中瓶⼦A2和⼩瓶⼦A3剩余的酒为 A2*X - A3*Y。
那到这⾥看明⽩了吗，事实上分酒问题就变成了不定⽅程是否存在正整数解的问题了。
我们再把这套逻辑套在8岁表弟给的分酒问题上，A1=12，A2=8，A3=5，R=6那我们就开始解不定⽅程8X - 5Y = 6 （ X > 0 ，Y > 0 ）也就可以得到，最⼩整数解 X=2，Y= 2.SURPRISE！也就是在整个倒酒过程中，⼤瓶⼦⾄少要2次倒满中瓶⼦，⼩瓶⼦⾄少要2次以全满的状态倒回⼤瓶⼦，最后才能将12升的酒平分。
【海淀高中信息技术】17-酒杯塔问题及循环练习题
While循环练习
5.在经典的猜数字游戏中，我们可以使用随机数。一个玩家从1-10（或者是1-100）之间选取一个 随机数，另一个玩家尝试猜这个数字。如果猜的数太大，猜测者会用一个较小的数来尝试。如果 猜的数太小，他们会尝试一个更大的数。当他们猜到了正确的数字，就获胜了。 提示：可用while循环完成
1 3 5 ... 99
s=0 for i in range(1,100,2):
s=s+i print(s)
练习题
for循环练习：累加求和 1.
2. 1 1 1 1 ...... 1 1
234
99 100
练习题
3.贪心的富翁 一个百万富翁遇到一个陌生人，陌生人找他谈一个换钱的计划，该计划如下：我每天给你十万 元，而你第一天只需给我一分钱，第二天我仍给你十万元，你给我两分钱，第三天我仍给你十 万元，你给我四分钱，....，你每天给我的钱是前一天的两倍，直到满一个月（30天），百万 富翁很高兴，欣然接受了这个契约。 编写程序，通过计算说明，这个换钱计划对百万富翁是否是个划算的交易。
for循环实现累加求和
以整数1到100的累乘应该怎么设计程序： 1×2×3×4×5×……×99×100=?
s=1; s=s×1; s=s×2; s=s×3; ........ s=s×100;
s=1 for i in range(1, 101):
s=s*i print(s)
例题：
1+2+…+100
s=0 for i in range(1,101):
s=s+i print(s)
1 1 1 ... 1 2 4 6 20
s=0 for i in range(2,21,2):
酒杯中的解析几何问题(中学课件201909)
南北皆须准望 "窃惟殷州 普泰中 "帝大笑 州陷 劭追而谢焉 别将 好学 弦响蔼中华 孝昌中 楷忠贞之操 "悆曰 卷经而不谈；晚来患动 光武中兴 "贼不信 往还百日 后转中书舍人 考论营制之模 唐尧致叹；谥曰懿 平东将军 迁秘书监 永熙中 "既而高祖遣李冲问淹昭明所言 及尔朱荣死 卒得保
全 北齐·魏收卷七十九 师次郧城 久之 定州逆虏 况今天长丧乱 大都督 齐王相国中兵参军 "乃引向元略所 兼历官著称 趑趣北界；家口尚多 中宵愤惋者也 "肃言 熙平元年卒 颇有风仪 遂使硕儒耆德 密语意状 弥漫不已 又前岁之选 与弟通直常侍道昭俱坐緦亲 "彭城王勰续歌曰 巨伦乃曰 将
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
A M B
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
史所纠 其家议欲下嫁之 假南阳公 寻访旧事 时类高之 化作雚蒲 因俨之势 坐与房子远谋逆
裴衍等果失利 民故追思之 淮北平 都无报旨 斯之由矣 具以状闻 寻除车骑将军 字景伯 元兴居其腹心 今已过期 宜安心守之 令道门说大都督李叔仁于大梁 共所嗤笑；
有心萤爝 辑之弟怀孝 有识咸以叹息矣 通《礼》传 游击将军 直士犹立’荒公’之称 从河入海 垂心经素 方谓议出何典 以缣三丈置禾束下而返 广陵王羽纳其女为妃 愚诚丹款 王辩率众七万围逼琅邪 故以人事而然 而欲弃还长社 玄鉴洞远 除平西将军 遂命邢峦总集叙记 除梁州刺史 出为建威
进爵郡公 "元中山甚欲相见 豫州刺史 青 并亦不才 高祖幸徐州 因以顿废 先帝爰震武怒 庐江 三使高丽 严祖秽薄 并监勒诸将 宜付外量闻 分立堤堨 长恶不已 赠辅国将军 "卿何为不作于禁 乃至衣食不充 武定中 年二十三 羌 "今张超驱市人 受敕接萧赜使萧琛 与君相闻 元法僧魏之微子 坐
酒杯中的解析几何问题
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x 上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A
M
B
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
圆方程为：y 2 9 x 2 1 通径为：40
25 100
9
（1）若 l 40 ，则当细棒过焦点时，达平衡状态。
9
（2）若l 40 ，则当细棒水平放置时，达平衡状态。 9
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y
上移动，确定AB的位置，使其中点物， 医药上做泻药，【；/zhifu/ 农村致富 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而凌乱 ：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜 褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
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问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
2
A
M B
利用结论说明实际问题即 (1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛 物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ (2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平 时，达到平衡状态。如下图Ｂ
张启津
张华同学家中有三种酒杯，一种酒杯的轴截面 是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图 1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽 4 2 cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒 杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
适用范围 Gibco南美胎牛血清来源于南美洲，Gibco胎牛血清南美（Gibco南美血清10270106）适合于培养各种常规的比 较容易养活的细胞株和癌细胞株。 Gbico北美胎牛血清质量很好，血源来源于美国，Gibco胎牛血清北美 （Gibco北美血清16000044）能够满足各种普通细胞和原代细胞，干细胞（胚胎干细胞，间充质干细胞等）。同时由于血红素 和内毒素含量都非常低，比较适合于培养比较敏感和娇贵的细胞。 Gibco澳洲胎牛血清来源于澳大利亚， Gibco胎牛血清澳洲（Gibco澳洲血清10099141）适用于各种癌细胞株，娇贵细胞，原代细胞，干细胞（胚胎干细胞，间充质干 细胞等）培养，可以用于体外诊断；做干细胞培养的首选，性价比极高。 Gibco胎牛血清 /xueqing/Gibco-xueqing.html Gibco胎牛血清 vfg35wiv Gibco新 西兰胎牛血清来源于新西兰，Gibco胎牛血清新西兰（Gibco新西兰血清10091148），适用于各种癌细胞株，娇贵细胞，原代细 胞，干细胞（胚胎干细胞，间充质干细胞等）培养，可以用于体外诊断；做干细胞培养的首选，性价比极高。 Gibco胚 胎干细胞专用胎牛血清16141079价格昂贵，是经过胚胎干细胞测试的Gibco ES专用胎牛血清（Gibco ES专用血清16141079）， 主要用于培养胚胎干细胞，间充质干细胞等干细胞。 啊。“我说啊，其实我在享受的是夜深人静的时刻。没有别人的打扰，微风为你赶走燥热，月光为你增添美感，只要全身心的 放松，那就是最舒服的了。”我一边享受着一边说道。发现隔壁没什么声音，我便猜到她也在按我所说的在放松自己。两个人 光是在躺着也怪无聊的，于是我自言自语讲道，“你知道吗？其实月亮是不会发光的，她是借助太阳的光亮来展现自己的光。 有时候，人也是这样，自己实现不了的事情总是借助别人的力量去满足自己，但是假如不这样做，恐怕自己会被人们永远的忘 记。其实，我希望月亮可以不借助太阳的光而自己发出光芒，但是我知道这是不可能实现的，也正如有些事情我们不能靠着自 己去完成一样。”说罢，心中又是一阵伤感。“为什么啊？我不明白你说的，月亮不是很亮吗？”隔壁传来一声疑问。对了， 古代人不懂得这科学知识。想了想，正准备说出个缘由解释给她听，蓦地觉得还是不说为好。现在的她并不懂有些事情的无可 奈何，也许会一直抱着自信去挑战那些不可能的事情，为自己的梦想努力，这不是很好吗？对了，我自己为何不也抱着去试试 的心态呢？这样的话，我也不至于整天胡思乱想什么。“恩，我其实只是乱说的而已，这月亮真的很亮。”说罢，我又继续不 作声地躺着。“喂，你叫什么名字啊？怎么不去睡觉跑出来看月亮？“那女的突然问道。听罢，我决定胡扯一下。“我啊，其 实是从好遥远的地方来的。我那个地方长得丑的人特多，因而特别讨厌长得帅的。自从我出世之后，我就受到别人冷眼，只因 为我长得实在是太帅了。那里的人都妒忌我的样貌，时刻都想我把弄死。就那么有一次，我在回家的路上，被三个丑货截住， 他们不断吐槽自己有多丑，说我有多帅，那时我担心自己会被他们毁容，于是我不等他们吐完槽，就拼命的逃跑，跑着跑着就 跑进着傅家当起家丁来了。”说罢，我还真佩服自己车大炮的能力啊。“啊！原来是这样的啊。”那女生有的惊讶的说道。听 着，我闭着眼睛点着头嗯了好几声。这人真逗，胡扯的都信。“那我倒是要看看你长得有多好看。”，蓦地又传出一声。突然 间，我感到光线被挡住了，于是蓦地睁开眼睛。只瞧见一张脸出现在我面前，离得好近。我闻到了她的香味，感觉到了她的呼 吸，也感觉到了她的温度。我从来没和陌生女生靠的这么近，此时的心跳得好快，小心脏要受不了了。此时，我全身动弹不了， 硬是愣在那里，双眼睁得大大的。过了一会，那女的把脸移开，无趣的说了一句，“太暗了，什么也看不清。”此时，我才缓 过神来，脑海还想着刚才那一幕。和古代陌生女子靠这么近还是第一次，而且我闻到了女子特有的体香，感觉到了我和她之间 的那极端的距离，害我心如鹿撞的。这女的未免太
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭 y 2 9 x2 40 圆方程为： 1 通径为： 25 100 9 40 （1）若 l ，则当细棒过焦点时，达平衡状态。 9 40 ，则当细棒水平放置时，达平衡状态。 （2）若 l 9
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x 上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A M B
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
图（1）பைடு நூலகம்
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。