解析几何中的定值和定点问题

解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题

【例1】．已知椭圆 C ：

2 2

x y

2 2 1(a b 0)

a b

的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆

与直线x y 2 0 相切．

⑴求椭圆 C 的方程；

⑵设P(4, 0) ，M 、N 是椭圆 C 上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点 E ，求直线PN 的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

解：⑴由题意知 e c

a

3

2

，所以 2

e

2 2 2

c a b

2 2

a a

3

4

，即 2 4 2

a b ，又因为

2

b 1，所以

1 1

2 2

a 4,

b 1，故椭圆 C 的方程为 C ：

2

x

4

2 1

y ．

⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y k(x 4) ①

y k( x 4)

联立 2

x

4

2

y 1

消去y 得： 2 2 2 2

(4k 1)x 32k x 4(16k 1) 0 ，

由 2 2 2 2

(32k ) 4(4 k 1)(64 k 4) 0 得

2

12k 1 0，

又k 0 不合题意，

所以直线PN 的斜率的取值范围是

3

6

k 0 或0

3

k ．

6

⑶设点N (x1 , y1), E (x2 , y2 ) ，则M (x1 , y1) ，直线ME 的方程为

y y

2 1

y y ( x x )

2 2

x x

2 1

，

y (x x ) 令y 0 ，得 2 2 1

x x

2

y y

2 1 ，将y1 k( x1 4), y2 k(x2 4) 代入整理，得x

2x x 4(x x )

1 2 1 2

x x

1 2

8

．②

由得①

2 2

32k 64k 4

x x , x x

1 2 2 1 2 2

4k 1 4k 1

代入②整理，得x 1 ，

所以直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0) ．

【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M 到点F1 3 , 0 ，F2 3 , 0 的距离之和是 4 ，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l : y kx b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．

⑴求轨迹 C 的方程；

⑵当AP AQ 0 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：⑴∵点M 到 3 , 0 ， 3 , 0 的距离之和是4，∴M 的轨迹 C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为 2 3

的椭圆，其方程为

2

x

4

2 1

y ．

1

y

P

O x

Q

⑵将y kx b ，代入曲线 C 的方程，整理得 2 2

(1 4k )x 8 2kx 4 0 ，因为直线l 与曲线 C 交于不同的

两点P 和Q ，所以 2 2 2 2 2 2

64k b 4(1 4k )(4 b 4) 16(4k b 1) 0 ①

设P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ，则x1 x2

8 2k

1 4

2 k

， 4

x x

1 2 2

1 4k

②

且 2 2

y1 y2 (kx1 b)( kx2 b) (k x1x2) kb (x1 x2 ) b ，显然，曲线 C 与x 轴的负半轴交于点 A 2 , 0 ，所以A P x y ，AQ x2 2 , y2 ．由AP AQ 0，得(x1 2)( x2 2) y1 y2 0 ．

1 2 , 1

将②、③代入上式，整理得 2 2

12k 16 k b 5b 0．所以(2k b) (6k 5b) 0 ，即b 2k 或

6

b k ．经检验，

5

都符合条件①，当 b 2k 时，直线l 的方程为y kx 2k ．显然，此时直线l 经过定点 2 , 0 点．即直线l

经过点A，与题意不符．当

6

b k 时，直线l 的方程为

5

6 5

y kx k k x ．

5 6

显然，此时直线l 经过定点6

5

, 0 点，且不过点 A ．综上，k 与 b 的关系是：

6

b k ，且直线l 经过定点

5

6 5 , 0

点．

2 y 2

x

【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆 1

的左、右顶点为 A 、B，右焦点9 5 为F。设过点T（t, m ）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M (x1, y ) 、

1

N(x2 ,y2 ) ，其中m>0, y1 0, y2 0。

2 PB 2

（1）设动点P 满足 4

PF ,求点P 的轨迹；

（2）设

1

x1 2, x2 ，求点T 的坐标；

3

（3）设t 9 ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2 PB

2

由 4

PF ，得

2 2 2 2

(x 2) y [( x 3) y ] 4, 化简得

9

x 。

2