第五章常微分方程.

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第五章-微分方程

第五章微分方程第一节微分方程的基本概念一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。

例1 课本294页例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页例4第二节可分离变量的微分方程一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=，第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节线性微分方程一、一阶线性微分方程定义：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2，积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =，两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21，故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=，故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。

第五章：常微分方程数值解法第一节欧拉法

eulersmethod11hyhfxyhfxy后退尤拉法梯形法eulersmethoddxdyanotherpointview对右端积分采用左矩形右矩形梯形积分公式即可得尤拉显式隐式梯形公式eulersmethod中点欧拉公式midpointformula假设则可以导出即中点公式也具有2来启动递推过程这样的算法称为双步法doublestepmethod而前面的三种算法都是单步法singlestepmethodeulersmethod几何解释后退尤拉法中点法dxdyanotherpointview对右端积分采用中矩形公式即得中点公式eulersmethod公式局部截断误差单步梯形公单步中点法分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119euler方法梯形方法预估校正方法0010000000010000000010000000001100000048103100476275105100500016104021010000871031018594141041019025291040310290001210210406331910410412184010404105610014102107009622104107080048104051090490161021106278251041107076551040611314411710211485372710411494045910407117829718102119629529104119721062104081230467191021249019301041249975651040912874201910213062643110413072286610410134867819102136757331104136851466104数值例子表明梯形方法和预估校正euler方法比显式euler方法有更好的精度

常微分方程王高雄第五章定理8的证明

常微分方程王高雄第五章定理8的证明【最新版】目录1.介绍常微分方程2.概述王高雄的《常微分方程》第五章3.定理 8 的内容4.定理 8 的证明过程5.总结正文一、常微分方程简介常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究常数项微分方程的解法及其性质。

常微分方程在数学、物理、化学、生物等科学领域中都有着广泛的应用，因此对于这一领域的研究具有重要的意义。

二、王高雄的《常微分方程》第五章概述王高雄教授是我国著名的数学家，其编写的《常微分方程》一书成为许多高校的教材。

本书第五章主要介绍了常微分方程的稳定性、奇点、相空间等内容，为后续的微分方程研究奠定了基础。

三、定理 8 的内容定理 8 是第五章中的一个重要定理，其主要内容是：若一阶常微分方程的解为 x=x(t)，则其相空间中的轨迹为 x(t) 的导数。

也就是说，相空间中的轨迹可以反映出微分方程解的变化规律。

四、定理 8 的证明过程为了证明定理 8，我们需要先引入一些相关概念和定理。

首先，相空间中的轨迹可以表示为 (x(t), y(t))，其中 x(t) 为微分方程的解，y(t)为对应的导数。

然后，根据微分方程的解的定义，我们可以得到 x(t) 的导数为微分方程的导数。

因此，我们只需要证明相空间中的轨迹的导数等于微分方程的导数即可。

证明过程如下：设相空间中的轨迹为 C(t)，则 C(t) 的导数为 dc/dt。

根据微分方程的解的定义，我们有：dx/dt = a(x, y)其中 a(x, y) 为微分方程的导数。

因此，我们可以得到：dc/dt = d(x(t) + y(t))/dt = dx/dt + dy/dt = a(x, y) + y"(t) 由于 y(t) 为 x(t) 的导数，因此 y"(t) = x"(t)。

将其代入上式，我们得到：dc/dt = a(x, y) + x"(t)根据定理 7，我们知道 x(t) 的导数等于微分方程的导数，即 x"(t) = a(x(t), y(t))。

《常微分方程》第五章练习题

x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（）

常微分方程解析解

常微分方程解析解常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

对于一个常微分方程，寻找它的解析解是我们研究和解决问题的关键。

本文将介绍常微分方程解析解的概念、求解方法和应用，以帮助读者更好地理解和应用常微分方程。

一、概念在常微分方程中，解析解指的是通过代数或初等函数表示的解。

与解析解相对的是数值解，数值解是通过数值计算方法得到的近似解。

解析解具有精确性和完整性，可以给出问题的全面解答和直观理解。

因此，寻找常微分方程的解析解是研究和应用的首要任务。

二、求解方法常微分方程的求解方法主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

下面简要介绍这几种方法。

1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以将变量分离，即将方程移项，然后两边同时积分，得到解析解y = F(x)。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y)/g(x)的一阶常微分方程，可以通过引入新的变量转化成齐次方程。

如果f(y)和g(x)满足一定的条件，可以通过变量代换和分离变量法得到解析解。

3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶常微分方程，可以通过引入积分因子的方法将其转化成线性方程。

然后可以通过分离变量和积分得到解析解。

三、应用常微分方程的解析解在各个领域有着广泛的应用。

下面以物理和工程领域为例进行介绍。

1. 物理应用物理学中的许多现象和规律都可以通过常微分方程来描述，而解析解则可以给出这些现象和规律的精确解答。

比如经典力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等均可以通过常微分方程的解析解进行研究和应用。

2. 工程应用工程领域中的许多问题也可以建模成常微分方程，通过求解其解析解可以为工程设计和优化提供指导。

比如在电路设计中，通过求解电路中的微分方程可以得到电流和电压的解析解，从而分析电路中的性能和特性。

四、总结常微分方程解析解是研究和应用的重要工具，通过解析解可以给出问题的全面解答和直观理解。

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捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，

微积分应用基础第五章常微分方程

微分方程。
例如 dy 2xy ，ysec x y ， (1 x2 ) ydy arctan xdx 0
dx
等等都是可分离变量的微分方程。
形如 y f ( y) 的微分方程称为齐次微分方程。
例如 y yx tan y ，y 2dx (x 2 xy)dy 0 为齐次微
为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程
的阶。
第五章常微分方程
例如 y x2 1 ，2 y 3xy x2 0 是一阶微分方程 d 2s 1 ，y py q f (x) 是二阶微分方程。
案例1【跳伞规律】求高空跳伞者的速度随时间的变化规律。（设阻力与
降落速度成比）
解假设质量为m的物体在降落伞张开后降落时所受的空气
阻力与速度成正比，开始降落时速度为零。
当降落伞降落速度为ν (t )时，降落伞所受重力mg的方向与ν (t )的方向一致，并受阻力-kν （k为比例系数，
与降落伞的受风面积有关，且大于0），负号表示阻力的
第五章常微分方程
解设w表示圆桶重量，这里为239.456千克，V表示圆桶体积,这里为0.208立方米，B表示海水浮力，这里为 1025.94V=213.396千克，k表示圆桶下沉时的阻力系数，这里为0.12，v表示圆桶下沉时的速度，D表示圆桶下沉时的阻力，这里为kv，t表示圆桶离开海平面下沉的时间，单位为秒，y(t)表示圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米。
dt2 2
阶微分方程的一般形式为：
F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。

常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组

第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。

5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。

方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。

高等数学重庆大学版教材答案

高等数学重庆大学版教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限存在准则及常用极限第二章：函数与导数2.1 函数的概念与性质2.2 一次函数与多项式函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数与反三角函数2.5 导数的概念及其几何意义第三章：微分学应用3.1 微分学中的中值定理3.2 泰勒公式与函数的凹凸性3.3 曲线的渐近线与曲率第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式及其应用4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的计算方法第五章：常微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法5.2 一阶线性常微分方程5.3 高阶常系数线性微分方程第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的偏导数6.3 多元函数的全微分与全导数第七章：多元函数积分学7.1 二重积分及其计算方法7.2 三重积分及其计算方法7.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 收敛级数判别法8.3 幂级数及其收敛半径第九章：向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与性质9.2 空间几何与平面方程第十章：连续性与一元函数微积分应用10.1 函数连续性与间断点10.2 一元函数微积分应用第十一章：二重积分与曲线积分应用11.1 二重积分应用11.2 曲线积分应用第十二章：无穷级数与多元函数微积分应用12.1 数项级数的应用12.2 多元函数微积分的应用总结：以上为高等数学重庆大学版教材的答案提纲。

希望这个提纲能够帮助你更好地学习和理解高等数学的知识。

在实际讲授过程中，还请参考教材详细内容和课堂教学，确保准确性和全面性。

祝你学习进步！。

常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（）记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

常微分方程第5章答案

常微分方程第5章答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。

第5章_常微分方程

2
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程齐次方程如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx

常微分方程基础概念

常微分方程基础概念常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数和它的导数之间关系的重要分支。

常微分方程具有广泛的应用，可以用于描述动力学系统、物理问题、生物学过程等领域。

本文将介绍常微分方程的基础概念，帮助读者了解其基本定义、分类和解的求解方法。

一、常微分方程的定义常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。

一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。

在这个方程中，y的导数dy/dx 是未知函数y的变化率，f(x, y)则给出了此变化率的具体表达。

二、常微分方程的分类常微分方程可以根据方程中未知函数、自变量和导数的阶数进行分类。

常见的分类如下：1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程。

一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数大于一阶导数的方程。

高阶常微分方程的一般形式为：d^n y / dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))其中，d^n y / dx^n 表示y的n阶导数。

三、常微分方程的解的求解方法常微分方程的求解是指找到满足方程的未知函数y的表达式。

常微分方程的求解方法有多种，常见的几种方法如下：1. 分离变量法分离变量法是指将常微分方程的变量分离到等式两侧，并分别积分求解。

常用于求解可以写成dy/dx = g(x)h(y)的一阶常微分方程。

2. 变量代换法变量代换法是指通过引入新的变量或通过代换将原方程转化为更简单的形式，然后进行求解。

常用于求解一些特殊形式的方程。

3. 齐次方程法齐次方程法是指通过引入新的变量将非齐次方程转化为齐次方程，然后进行求解。

常用于求解一阶线性常微分方程。

常微分方程课件

在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程：形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程：形如y' = f(y)的方程，其中f(y) 是一个关于y的函数
一阶微分方程：只含有一个自变量和一个导数的微分方程
高阶微分方程：含有多个自变量和多个导数的微分方程
求解方法简介
分离变量法变量代换法欧拉方法龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的一阶微分方程，其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通过变量分离法、积分因子法、公式法等求解。
感谢您的观看
汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。举例：Lorenz 方程。应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围

江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)

第五章常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。

解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。

方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-，将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。

2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。

例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。

常微分方程教案(王高雄)第五章

的记号．
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦

《数值分析》第五章课件

h
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有

常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用习题5.22(6) X dy + ( 2xy-x +1 Hx = 0 , y(1)=0 .5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入求微分方程y" = 6x 的通解. 解两边积分，得y ' = J6xdx = 3x 2+Gy = /(3x 2+0 dx =x 3t C r X +C 2所以，原方程的通解为y=x'+C i x+C 2，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.1可降阶微分方程 1.形如y(n)= f(X)的微分方程特点：方程右端为已知函数f (x).(1)2X dx + ydy = 0 ； (2) x y'-yin y =0 ； (3) 22(xy +x)dx +(y-x y)dy =( )；(4) y ‘ - 3xy =0 ;(5)c p x 2y —y =e ;(6) y' = ytanx+cosx .2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 八e 23, y(0) =0；(2)dx - ydy = 0 , y(0)=1 + y 1+x (3) y ，- y =cosx , y(0) = 0； (4) y ‘ 一 y tan x = secx ,y(0) = 0 ；1 .求下列各微分方程的通解:1；y ・+Y=沁,y ⑴=1 ； x x两边再积分，得解法：对y(n)= f(x)连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解.2.形如y " = f(X, y )的微分方程特点：方程右端不显含未知函数y .解法：令y = p(x)，则y = p'(x).于是，原方程可化为 p' = f (x, p).这是关于p,p'的一阶微分方程•设其通解为 p(x)=®(x,C i )，即y'=®(x,C i ) •两边积分，即可得原方程通解y =代(X'CJdx +C 2，其中C 1、C 2为任意常数.3.形如yJf(y,y)的微分方程特点：方程右端不显含自变量 x .= x+C 2,其中C i 、C2为任意常数. 屮(y,C i)例5-7 求微分方程y w = sin X - cosx 的通解.解两边积分，得 y"=J(si n X-cosx) dx =-cosx-si nx + 2C i两边再积分，得 y = J(—COSX —sin ^2C 1 dx = -sin x + cosx +2C 1x + C ?解法：令/ = p(y)，则y=如理*生=pd p.于是，原方程可化为dy dx dy dyPp = f (y, p).这是关于 p, p的一阶微分方程.设其通解为p(y)=屮(y,C i ),即吐=屮(y,C i ).分离变量，得dxdy 屮(y,C i )=dx•然后两边积分，即可得原方程通解dy2第三次积分，得 y = J(—sin X+C0SX+2C 1X +C 2 dx =cosx + sinx+Gx +C 2X + C 3所以，原方程的通解为 y =cosx+sin X+0x 2+C 2X+C 3，其中c i例5-8求微分方程xy”_y'=0的通解.解令y ，= p(x)，则y = p'(x).原方程可化为xp' — P = 0 , 是关于p, p'的一阶线性齐次微分方程•其通解为:y = f2C 1xd^C 1x^C 2，其中 C 1、C 2为任意常数.例5-9 求微分方程y"-一 y'xe 」的通解.X解令y = p(x)，则y " = p(X)•于是，原方程可化为P,P '的一阶线性非齐次微分方程.其通解为一dx IV一 -dxp(x)=e'x If xe e 'x dx + 2C 1=x ( fe^dx +2Ci )= xjr +2Ci )即y'=x(-ej +2C 1)•两边积分，即得原方程通解y = J x (-e " +2G dx = [(—xe * +2C 1xdx = f xd (e ^ )+C 1x 2= xe^ - fe^dx +C 1x^(^1)e^ +C 1x^C 2、C 2、C 3为常数.P(X)=2C ieRx =2C 1e ln^2C 1x ，即 /=2C 1x •两边积分, 即得原方程通解p = xe* •这是关于-In x , , c —dx +2C i其中C i、C2为任意常数.则y " = PP '（ y ）.于是，原方程可化为ypp' 一 P 2= 0 ,即例5-10 求微分方程2yy"—(y j =0 的通解.p'—丄p = 0 •这是关于yp, p'的一阶线性齐次微分方程.其通解为 fldylp(y) = C i e y = Ge ny = C i y ，即 y ' = G y .所以原方程通解为y=C 2e 卩"'=C z e&x ，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4形如y" + py’ + qy =0 , p 、q 为常数(5-5)的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1如果函数y^x ）和y 2（x ）是方程（5-5 ）的两个解，那么y =C i y i (x)+C 2y 2(x), G 、C 2为任意常数(5-6)也是方程（5-5）的解.（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性.那么叠加起来的解y =C i y i （x ） + C 2y 2（x ）就是通解吗？不一定.例如，设函数 y i （x ）是方程（5-5）的一个解，则函数 y 2（x ）=2y i （x ）也是方程（5-5）的一个解.由定理 5.i 可知，y =C i y i (x)+2C 2y i (x) =(C i +2C 2)y i (x)是方程(5-5)的解•但C^2C 2=C 仍是一个任意常数，所以y =（C i +2C 2）y i （x ） =Cy i （x ）不是方程（5-5）的通解.那么在什么条件下才能保证y^Gyjx ） +C 2y 2（x ）就是通解呢?定义5.5设y i （x ）和y 2（x ）是定义在某区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数k i 和k 2，使k i y i （x ）+k 2y 2（x ） =0在区间I 上恒成立，则称函数％（x ）与y 2（x ）在区间I 上线性相关，否则称线性无关.由定义5.5可知，判断函数y^x ）与y 2（x ）线性相关或线性无关的方法:当y^X ）= 一鱼=常数时，y i （x ）与y 2（x ）线性相关•当 y i （x ） k 2y 2（x ）线性无关.定理5.2 如果函数y i （x ）和y 2（x ）是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解.（证明略）2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法（5-5）的两个线性无关的特解.所以只要r 满足方程P 、q 为常数即当r 是方程（5-7）的根时，函数y =e rx就是方程（5-5）的解.定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程.特征方程的根称为特征根.y 2(x) y i (x)H 常数时，y i （x ）与由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程猜想方程（5-5）有形如y =e rx的解，其中r 为待定常数•将y=e rx代入该方程，得（e"）” + 卩（「）’初（「）+ pre" r/2rx=(r 中 pr 中q)e =0 , rx由于e H0,(5-7)设r,、r2为特征方程（5-7）的两个特征根.根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况:（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根r i H「2,则y i = e rix和y^ e r2x是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为^C1e r1^C2e r2x，其中C1、C2为任、、八Nr、匸意吊数.（2）若方程（5-7）有两个相等实根r, =「2 = r =-卫则仅得到一个特解y^e rx2利用常数变易法可得到与y1 =e rx线性无关的另一个特解y= xe rx，故方程（5-5）的通解为y =C1e r x +C2xe r x，其中C,、C2为任意常数.（3）若方程（5-7）有一对共轭复根» =a +i P与『2 =a - i p，则y^e^*^x和y2 是方程（5-5）的两个复数特解.为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解e^cos Px和e^x sin Px .故方程（5-5 ）的通解为y =e g C i cos P x +C2 sin P x），其中C,、C2 为任意常数.由定理5.1可知，以上两个函数e Q X cos P x和^x si n P x均为方程（5-5）的解，且它们线性无关.上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法, 称为特征根法.一般步骤:第一步写出所给微分方程的特征方程;第二步求出特征根;第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解. （特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1特征根与通解的关系特征方程r2+pr +q =0的两个根r, , q 微分方程y"+ py' + qy=O的通解例5-11 求微分方程y“-2y'-3y=0的通解.解该方程的特征方程r — 2r —3 = 0的特征根为匚=—1, D = 3 ( 口H j).所以，方程的通解为y - De- +C2e3x.例5-12 求微分方程y”+2y' + y=0满足初始条件y(0)=0, y'(0) =1的特解.解该方程的特征方程r2 +2r +1 =0的特征根为R =「2 = -1.所以方程的通解为y =(C1 +C2X)e」上式对x求导，得: y，=C2e 一-(G +C2x)e 一将y(0) =0, y'(0) =1代入上两式，解得G =0 , C2 =1 .因此，所求特解为y = xe^ 例5-13 求微分方程y”—2y，+5y =0 的通解.解该方程的特征方程r2 -2r +5 =0的特征根为匚=1 +2i ,心=1 -2i .所以，方程的通解为y = e x(C1 cos2x +C2Sin2x).5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7形如y" + p yyqy = f(x) , p 、q 为常数的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构如果函数y^x)是方程(5-8)的一个特解，Y(x)是该方程所对应的线性齐其中Q n (x)是与P n (x)同次待定多项式.(5-8)定理5.3 次方程(5-5)的通解，那么y =Y(X)+y "x)(5-9)是方程(5-8) 的通解.定理 5.4 如果函数y 1(x)是方程y" + Py'+qy = fjx)的特解，函数y 2(x)是方程y +py +qy =f 2(x)的特解，那么/ = y i”(x) +y 2(x)(5-10)就是方程y" + py' + qy = f 1(x) + f 2(x)的特解.2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 5.3,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解.以下介绍当自由项 f(x)为几类特殊函数时求特解的方法: (1) f(X)=P n (x)e/x, P n (x)是x 的n 次多项式，A 是常数微分方程的特解可设为沖k. /Xy =x Q n (x)e"，不是特征根时，k =/是单特征根时，k = 1(2) f (X) =P n(x)cos©x (或P n(x)s in ©x), P n(x)是x 的n 次多项式，©是常数微分方程的特解可设为… ks /、 C /、. ■, 血i非特征根时，k=0y=X[Qn(X)沁x+R n(X)s gX] '｛勿j是特征根时，心其中Q n(x)和R n(x)是与P n(x)同次待定多项式.(3) f (X) =ecos^x (或e赵sin w x), A与©均为常数微分方程的特解可设为k7 几+切)非特征根时，k=0y =x e那[Acoseox+Bsin^x], —,iA+©i是特征根时，k= 1(4)当f (x)为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可.例5-14 求微分方程y"-2y' = 3x+1的通解.解方程y"—2y'=0的特征方程r -2r=0的特征根为r, = 2 , “=0 •于是方程y"-2y'=0的通解为又因为P n(x) =3x +1，几=0是单特征根，所以原方程的特解可设为y* = xQ n(X)= x( Ax + B)3 5代入原方程，解得 A = ——, B = - 一.故原方程的通解为4 4C 2x 土小3 2 5^C1e 中C2 一一X —-x .4 4例5-15 求微分方程y"中y ' + y=3e2x的一个特解.y =C i cosx +C 2 sin xy * = x( Acosx + Bsin x)解方程y " + y + y =0的特征方程 r 2+r +1=0的特征根为r 1r2 = 一一1 "*^i . f(x^3e 2x , Z =2非特征根，所以原方程的特解可设为2 2代入原方程，解得T .故所求特解为几尹例5-16 求微分方程y" + 3/ +2y=xe 上X 的一个特解. 解方程y ”+3y ' + 2y =0的特征方程r2+3r +2=0的特征根为口 = 一2 ,「2 = —1 . f(X)=xe'x, P n (x) =x ，扎=-2是单特征根,所以原方程的特解可设为/ =x(Ax +B)e41 X 2代入原方程，解得A = —— ,B = —1.故所求特解为y*=x(—— —1)e2 2例5-17 求微分方程y " + y = Sin X 的通解.=0的特征方程r 2 +1 =0的特征根为山=i ，「2 =-i .于是方程¥丄y +y =0的通解为又因为f(X)=sin X ，几+ Q i =i 是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得 A=—1, B=0 •故原方程的通解为 21y = G cosx +C 2Sin x —一 xcosx .2例5-18 求微分方程y" + y=xcos2x 的一个特解.解方程y" + y =0的特征方程r 2+1=0的特征根为r , = i , q = —i .f （X ）= XCOS2X ，乙+ © i = 2i 不是特征根，所以原方程的特解可设为y * =(Ax + B) cos2x + (Cx + D)sin 2x1 4 代入原方程，解得 A = — — , B=0 , C=0, D=—.故所求特解为39* 1 4y =——xcos2x + — sin 2x .3 9例5-19 求微分方程y "+3y '-y =e X cos2x 的一个特解.解方程y "+3y ' —y=0的特征方程r2+3r —1=0的特征根为r 1设为y * =eX ( Acos2x + Bsin 2x)解方程y -2y ' + y =0的特征方程r 2 -2r +1=0的特征根为n = q = 1 .1f 1（x ） =—e X , f 2（x ） =sinx , =1是二重特征根，=i 不是特征根，所以两个分解r 23 V 13f （x ） =e x cos2x ，几+ eo i =i+2i 不是特征根，所以原方程的特解可代入原方程,例 5-201 10得 A =———,B=——.故所求特解为101101 y * =e X ( -^^cos2x + n 2x).101 1011求微分方程y "—2y' + y=—e +sinx 的一个特解. cos2x +2方程的特解可分别设为y r = Ax 2e x 与 y2 = B cosx +Csin x1分别代入两个分解方程，解得A= — ,B= — ,C=0 .故所求特解为4X 12 xy = — x e4习题1.求下列各微分方程的通解:5. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y" —4y' + 3y =0, y(0) =6, y'(0) =10 ； (2)y" —4y' + 4y=0, y(0) =1 , y'(0) = 4 .1 +- cosx . 25.3(1) y " = X +sin x ；(2)利xy =(3) xy" + y'=0 ；(4)H 1, xy — 一 y = xe ;(5)八1 +(y )2；+ _2 1 2 (y) =0. -y2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:⑴ yJe 2x, y(1) =y(1) =y"(1) =0 ;2(2) y” —3(y) =0 , y(0) =0 , y(0) =—3.判断下列各函数组是线性相关还是线性无关: (1) x与 X 2； (2) e2x与 6e 2x； X(3) x与xe ； / 、 x. x .(4) e cosx 与e sin4. 求下列各微分方程的通解:(1) y” —y'=0；(2) y “+ 4y=0 ； (3) y” —10y'+25y =0 ；(4) y "+y ' + y= 0 .6. 求下列各微分方程的一个特解:7. 求下列各微分方程的通解:&求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) yJ3yq2y=5，y(0) =1，y'(0) =2 ； (2) y"-y =4xe X , y(0)=0, "(0)=1.5.4微分方程应用举例微分方程在实践中有着广泛的应用.在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际问题中的未知函数.而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面的知识•本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用.例5-21曲线L 上点M(x,y)处的法线与x 轴的交点为 N ，且线段 MN 被y 轴平分.求曲线L 的方程.解如图5-2，设曲线的方程为 y =y(x).先建立法线 MN 的方程.设法线上的动点坐标为(X ,Y),由于法线MN 的的斜率为 1k 法=-二，于是法线MN 的方程为y'1Y-y = -rXy(1) y"_2y ，—3y =3x +1 ; yN_4y ，+ 4y =e 2x ； (3)y "-2y ，+ 2y =e 」sinx ；y "+ 4y = X +1 +sin X .(1) y "-2y y = X 2y" + 2y'-3y =e X ；(3) y "+y =e x +cosx ；yH-y ，-2y = x + cos2x .-x)又因为线段 MN 被y 轴平分，从而MN 与y 轴交点坐标为p(0丄)，代入上式，得，2^-y =—丄(0-X)，即 yy' = —2x例5-22 设有一 RC 电路如图5-3所示，电阻 R = 1O 0，电容C =0.1F ，电源电压U =10si nt(V)，开关K 闭合前，电容电压u c =0，求开关K 闭合后电容电压随时图5-3解设开关K 闭合后电路中的电流为i(t)，电容极板上的电荷为q(t)，则有用分离变量法解得X 2其中c 为任意正数.CRc . dq d(Cu c) c du e q = cu c, i =— = ------------------- = c ---dt dt dt根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即U c + Ri = U，于是有u^Rcdu c- .将R = 10 , C = 0.1 , U =10sint代入，得uC +u c =10sint .又因为开关K闭合前, 电容电压u c =0,即u c (0) =0 .从而问题转化为初值问题:(u C +U c =10si nti u c(0) =0用通解公式求得通解u c = Ae，+5(s i ti-cos)将初始条件u c (0) =0代入通解，求得A=5•所以，所求特解为U c =5e 丄+5(s in t-cost)此即为所求规律U c(t)的表达式.例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比(比例系数为常数k > 0)，起跳时的速度为0 .求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系.解这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律 F =ma建立微分方程.设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为v =v(t)，则加速度a =v'(t).由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有 F =mg -kv，由牛顿第二定律F = ma可得速度V =v(t)应满足的微分方程为mg -kv =mv .又因为起跳时的速度为0 ,即其初始条件为v(0) =0 •所以，这个运动问题可化为初值问题:何g - kv = mv’ 卜(0) = 0上tmg -kv =Ce m .将初始条件为 v(0) =0代入通解，解得kv^^O-e 韦t) , 0<t<T (T 为降落伞着地时间)，此 k即为所求函数关系.在时刻t =0时，测得其温度为150C ,10分钟后测得温度为100£ .已知牛顿冷却定律: 物体冷却速率与物体和介质的温差成正比. 求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分钟后该物体的温度.解设物体的温度与时间的函数关系为T =T(t).因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率(温度的变化速度)t =20代入，得 T(20) =24 +12604051 过0疋 64(°C).例5-25弹簧振动问题.设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体.簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反•设给物体一个初始位移X o ，初速度V o ，则物体便在其平衡位置附近上下振动•已知阻力与其速度成正比,用分离变量法求出通解为C =mg .因此，所求特解为例5-24 物体冷却过程. 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为 249 , T (t) <0 ,而物体和空气的温差恒为正.所以，根据牛顿冷却定律可得¥十(一24).又因为在时刻而问题转化为初值问题：t=0时，测得其温度为1509，即有T(0)=150 .从其中k > 0为比例常数.T(0) =150用分离变量法或通解公式解得T =24+1260山.将T(10) =100代入，求得k.^^^0051.故物体的温度与时间的函数关系为T =24+126eq 051•将当弹求振动过程中位移 x 的变化规律.////////解建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点. 位移x 是时间t 的函数X = x(t).物体在振动过程中受到弹簧恢复力f 与阻力R 的作用•由虎克定律，有 f「1,2 = -n ±v n 2 -豹2.具体情况讨论如下:弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反;R = -P v ，其中卩> 0为比例系数(或称阻尼系数)，负号表示阻力与速度方向相反.根据牛顿第二定律F = ma ，可得ma = —kx - 出.又因为 a = x"(t)，V =x'(t)，记 2n =巴八2m所以上述弹簧振动问题化为初值问题:亍2|d X , _ dx ." --- +2n —— dt dt1x(0) =X 0,x'(0)这是一个二阶常系数齐次线性方程, 其特征方程为r 2 +2nr 2=0，特征根为=—kx ，其中k >0为(1) 大阻尼情形，即n X .这时, 特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为x = GeG 』2^2^ +c e -(E n 2看)t(2) 临界阻力情形，即 n =©O图5-4停止，称为弹簧的阻尼自由振动.习题5.41 •设过点(1,1)的曲线L 上任意点M(x,y)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A 、B , 且线段AB 被点M 平分.求曲线L 的方程.2 •在如图5-5所示的RC 电路中，已知开关S 闭合前，电容上没有电荷，电容两端C ，电源电压为E •把开关S 合上，电源对电容充电，电图5-5 3.将温度为100心的沸水注入杯中，放在室温为20°C 的环境中自然冷却，5min 后测得温度为60乜.求水温与时间的函数关系，并计算水温自100七降至30°C 所需时间.4. 设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量这时，特征根r ,=『2 = -n , 所以方程的通解为X = (C i + C 2t)e 』t(3)大阻尼情形，即n X这时，特征根是一对共轭复根「1,2 = -n ±晶2 _n 2i ，所以方程的通解为X =e 』t (C 1 cos JJ -n 21 + C2 sin上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定. 这类振动问题均会因阻尼的作用而容电压U c 逐渐升高.求电容电压U c 随时间t 变化的规律.电压为零，电阻为 R ，电容为为0.025kg 的物体.先将物体用手拉到离平衡位置0.04m 处，然后放手，让物体自由振动.若物体所受的阻力大小与运动速度成弹簧的弹性系数 k=0.625N/m ，阻尼系数4 =0.2N ‘s/m .求物体的运动规律. 知识拓展:马尔萨斯（Malthus ）模型Malthus ）模型是最简单的生态学模型.给定一个种群，我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间发展变化的.为此，我们作出如下假设:模型假设:1. 初始种群规模已知 x （0） =X o ，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的;2. 种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）3.种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等;4.环境资源是无限的.确定变量和参数：为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数:t :时间（自变量），x （t ） : t 时刻的种群密度，b :瞬时出生率，d :瞬时死亡率.模型的建立与求解:考察时间段［t,t +A t ］（不失一般性，设 M>0）,由物质平衡原理，在此时间段内种群的数量满足:t + A t 时刻种群数量-t 时刻种群数量 =也t 内新出生个体数- A t 内死亡个体数,正比，方向相反, 马尔萨斯（x(t +A t) -x(t) =bx(t)At -dx(t)At=(b-d)x(t):=Ax(t) dt满足初始条件x(0) =X o 的解为X(t) ^00(5 = X 。

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2
2
y Ce ．
x2
5.2 一阶微分方程
5.2.2 齐次方程
如果一阶微分方程
dy f ( x, y ) dx
y y 中的函数 f ( x, y) 可写成 x 的函数，即 f ( x, y ) ( ) ，则称这方程为齐次方 x
程．
2 2 例解方程 y x
dy dy xy ． dx dx
du u dx u 1 ．
1 dx (1 )du ， u x
u ln u ln x ，
ln xu u C ，
y 代上式中的 u ，便得所给方程的通解 x
ln | y | y C． x
5.2 一阶微分方程
5.2.3 一阶线性微分方程
方程
dy P( x) y Q( x) dx
所以通解为
5
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx 2 [ Q( x)e dx C ] ( x 1)2 [ ( x 1) 2 C ] ． 3
3
5.2 一阶微分方程
5.2.4 一阶微分方程应用举例
应用微分方程解决具体问题的步骤是：（1）分析问题，建立方程，并提出初始条件；
y ( )2 dy x 解：原方程可写成， dx y 1 x
dy du y u x u 因此是齐次方程．令 x ，即 y ux ，则 dx dx ，
5.2 一阶微分方程
du u2 于是原方程变为 u x ， dx u 1
即
分离变量，得两边积分，得
或写为以
x
5.2 一阶微分方程
例求微分方程
dy 2xy 的通解． dx
1 dy 2xdx ， ( y 0) y
解：此方程为可分离变量方程，分离变量后得
两边积分，
1 dy 2 xdx y ，
得
ln | y | x2 C1 ，
从而
y ex C1 eC1 ex ．
因为 eC1 是任意常数,把它记作 C ，得所给方程的通解
齐次线性方程的通解为
y C( x 1)2 ．
用常数变易法．把 C 换成 u ，即令
y u( x 1)2 ，
代入所给非齐次线性方程，得
5 2 u ( x 1)2 2u ( x 1) u ( x 1) 2 ( x 1) 2 ， x 1
即
u ( x 1) ，
5 dy 2 y ( x 1) 2 的通解。例求方程 dx x 1
解：方法一：这是一个非齐次线性方程，先求对应的齐次线性方程
dy 2 y 0， dx x 1
5.2 一阶微分方程
分离变量，得
dy 2dx y x 1 ，
两边积分，得
ln y 2ln( x 1) ln C ，

称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y 及其导数是一次方程．如果
Q( x) 0 ，则方程称为齐次的；如果 Q ( x) 不恒等于零，则方程称为非齐次的．
使用常数变易法求非齐次线性方程的通解为
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q( x)e dx C ] ．
分离变量后，得两边积分，得
dQ ln 4dP ， Q
Q 1600 e P ．
5.2 一阶微分方程
例（落体问题）设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比，运动员离塔时 (t 0) 的速度是零，求运动员下落过程中速度和时间的函数关系．
5.2 一阶微分方程
5.2.1 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g ( y)dy f ( x)dx
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy ，另一端只含 x 的函数和 dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．
可分离变量的微分方程的解法：首先,分离变量，将方程写成 g ( y)dy f ( x)dx 的形式；然后两端积分， g ( y)dy f ( x)dx ，求得 G( y) F ( x) C ．
（2）求出此微分方程的通解；
（3）根据初始条件确定所需的特解．
例（经济问题）某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 P ln 4 ，已知商品的最大需求量为 1600 单位，求需求量 Q 与价格 P 的函数关系．
解：设所求的函数为 Q Q( P) ，根据题意，得
P dQ P ln 4 且 Q(0) 1600 ， Q dP
么此函数称为该微分方程的解．
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．用于确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件．在通解中，利用初始条件确定通解中任意常数后所得的解，称为微分方程的特解．我们把求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题．
第五章常微分方程
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究．因此如何寻找出所需要的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式．这样的关系式就是所谓微分方程．微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数，这就是解微分方程．

第五章常微分方程
5.1 微分方程的基本概念 5.2 一阶微分方程
5.3 可降阶的微分方程
5.1 微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．如果把某一函数和它的导数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，那
1 2
5.2 一阶微分方程
两边积分，得
3 2 u ( x 1) 2 C ． 3
再把上式代入 y u( x 1) 中，即得所求方程的通解为
2
3 2 y ( x 1) [ ( x 1) 2 C ] ． 3 2
2 P ( x ) 方法二：这里， Q( x) ( x 1) 2 ， x 1