规划求解 - 最短路径问题 - TSP问题

合集下载

TSP问题的解决方案

《算法设计与分析》实验报告一学号：姓名:日期： 20161230 得分:一、实验内容：TSP问题二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1、蛮力法1）基本思想借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。

首先构造距离矩阵,任意节点到自身节点的距离为无穷大。

在第一行找到最小项a［1］[j]，从而跳转到第j行，再找到最小值a［j][k]，再到第k行进行查找。

..然后构造各行允许数组row[n]=｛1,1…1}，各列允许数组colable［n]=｛0,1,1….1},其中1表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经被访问。

如果改行或该列不允许访问,跳过该点访问下一节点。

程序再发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点,依次访问这些节点找到最小的即可;在访问最后一个节点后，再次访问，会返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。

2）复杂度分析基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n 个点，则计算的次数为n^2—n.T（n)=n＊(n-1)=O（n^2)。

2、动态规划法1）基本思想假设从顶点s出发，令d(i，V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合）中各个顶点一次且仅一次,最后回到出发点s的最短路径长度.推导：（分情况来讨论）①当V’为空集，那么d（i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3—>城市0（0为起点城市）。

此时d（i, V’)=Cis（就是城市i 到城市s 的距离)、②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。

你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

d（i, V’）=min{Cik + d（k，V’—{k｝)｝注:Cik表示你选择的城市和城市i的距离,d(k，V’—{k})是一个子问题。

综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：2）复杂度分析和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题,把原来时间复杂性O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。

动态规划求解TSP问题

f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7

对于k=4, 有

f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造

决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}

TSP-动态规划

算法总体思想
动态规划算法总体思想 :
在每种情况下, 列出各种可能的局部解, 然后按某些条件, 从局部解（或中间解）中挑选出可能产生最佳解的结果，而扬弃其余。
TSP问题
从某一城市出发，遍历各城市一次且仅一次，最后返回原地，求最短路径。分析: 令T(Vi;V)表示从Vi出发, 经V各点一次, 最后返回Vi的路径模型 T(Vi;V)=min{dij+T(Vj;V\{vj})} 要求的问题是:
TSP问题
从某一城市出发，遍历各城市一次且仅一次，最后返回原地，求最短路径。 (3) T(V2;V3,V4)=20 T(V3;V2,V4)=19 T(V4;V2,V3)=18 (4) T(V1;V2,V3,V4)=min{d12+T(V2;V3, V4), d13+T(V3; V2,V4), d14+T(V4;V2,V3)} =min{6+20,7+19,9+18} =26 故最短路径为：1,2,4,3,1 1,3,4,2,1
TSP问题
复杂性估计：
T(V1;V2,V3,V4)
T(V2;V3,V4)
T(V2;V3) T(V2;V4)
T(V3;V2,V4)
T(V3;V2) T(V3;V4)
T(V4;V2,V3) T(V4;V2) T(V4;V3)
T(v34; φ)
T(V2;φ)
T(v3; φ)
算法总体思想
结论 :
动态规划虽然提供了一种解法，但也不是一种可行的算法。
算法总体思想
最佳原理 :
假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1,D2,…,Dn，如若这个决策是最优的，对于任何一个整数k，1<k<n，不论前面k个是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策 DK+1,Dk+2,…,Dn也是当前最优的。

TSP问题的算法研究

TSP问题的算法研究简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是指在旅行商（salesman）需要依次拜访多个城市，并最终返回起点城市的问题。

TSP是一个著名的NP-hard问题，在实际应用中有着广泛的应用。

本文将对TSP问题的算法研究进行探讨。

问题描述给定n个城市之间的距离矩阵D(n*n)，以及起点城市，要求找到一条最短的路径，使得旅行商能够依次经过每个城市，并最终回到起点城市。

传统方法基于暴力搜索的穷举算法最简单直观的解决TSP问题的方法是穷举法。

即尝试遍历所有可能的路径，计算每条路径的总长度，并找出最短路径。

但这种方法的时间复杂度为O(n!)，随着城市数量的增加，计算量呈指数级增长，不适用于大规模问题。

动态规划算法动态规划算法可以用于求解TSP问题的近似解。

其基本思想是将问题划分为子问题，并利用子问题的最优解求解原问题的最优解。

但是由于TSP问题的子问题形态特殊，采用动态规划算法时需要引入状态压缩技巧，以减小问题规模，提高求解效率。

进化算法遗传算法遗传算法是一种基于进化和遗传机制的优化算法，常用于解决TSP问题。

其基本思想是模拟生物进化中的遗传、突变、选择等过程，通过不断迭代优化求解策略，最终找到最优解。

遗传算法的步骤如下：1.初始化一组随机的路径作为初始种群。

2.计算每个路径的适应度评估值，即路径长度。

3.使用选择操作选取一部分适应度较高的个体作为父代。

4.使用交叉操作生成子代，在子代中引入新的解，并避免陷入局部最优解。

5.使用变异操作对子代进行突变，增加种群的多样性。

6.计算新种群中每个路径的适应度评估值。

7.重复步骤3-6，直到满足停止条件。

蚁群算法蚁群算法是基于蚁群觅食行为的启发式算法，常用于求解TSP问题。

其基本思想是通过模拟蚂蚁在寻找食物过程中的行为，不断更新路径信息素，从而实现解的优化。

蚁群算法的步骤如下：1.初始化一群蚂蚁，每只蚂蚁在一个城市开始。

最短路径求最值12个模型详解

最短路径求最值12个模型详解最短路径求最值是指要在最小的距离内求出最优的结果。

最短路径求最值的12个模型如下：1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是求解对给定城市进行最佳巡回路径的一种最优化问题。

2. 最大流最小割：最大流最小割是一种最优化问题，它是用最小的割点将一个连通图分割成两部分，使得最大的流量在这两部分之间流动的最优化问题。

3. 关键路径算法：关键路径算法是一种运用于解决项目计划问题的最优化算法，它寻找出在所有可能路径中，最短的项目路径作为最终的项目安排。

4. 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种最短路径搜索算法，它通过控制向图中每个点的距离，来求出从指定点出发到达目的地最短的距离。

5. 弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种求解最短路径的算法，通过使用动态规划的方法，它可以在网络中快速求出最短路径。

6. 贝尔曼-福德算法：贝尔曼-福德算法是一种求解最短路径的算法，它利用宽度优先和深度优先搜索结合的方法，求出网络中任意两点之间的最短路径。

7. 克鲁斯卡尔算法：克鲁斯卡尔算法是一种解决最短路径问题的算法，它通过比较每条边的权值来求解8.斐波那契堆：斐波那契堆是一种运用斐波那契算法实现最小堆和最大堆结构的数据结构，可以帮助快速查找最大和最小值。

9. A*算法：A*算法是一种运用heuristics函数的最优化搜索算法，它可以快速的找到最短的路径。

10. Dijkstra–Scholten算法：Dijkstra–Scholten算法是一种在复杂网络环境中求解最短路径的算法，它采用端到端的方法求出最适合的路径。

11. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种最短路径算法，它将路径最优化的目标写成一个系统的线性方程，并利用动态规划技术解决这类问题。

12. Johnson算法：Johnson算法是一种运用反向算法实现最短路径搜索的方法，它由索引器和搜索器两部分组成，索引器会根据输入的起点和终点，快速计算出最短路径并输出。

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种典型的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的研究意义和应用价值。

TSP常用来描述一个旅行商在给定的一系列城市之间寻找最短路径的问题，即如何选择最短路径经过所有城市并回到起始城市。

针对TSP问题，有多种求解方法可供选择，下面将介绍一些常用的方法及其优缺点。

1.穷举法穷举法是一种非常简单和直观的方法，它会列举出所有可能路径并计算它们的总长度，然后从中选择最短的路径作为最优解。

穷举法的优点是能够保证找到最优解，但当城市数量较多时，计算量呈指数级增长，很难在合理的时间内得到结果。

2.贪婪算法贪婪算法是一种基于局部最优策略的求解方法。

它从一些城市出发，在每一步选择离当前城市最近的未访问过的城市作为下一步访问的城市，直到所有城市都访问过并回到起始城市。

贪婪算法的优点是简单、易于实现，计算速度较快。

然而，贪婪算法并不能保证得到最优解，可能会陷入局部最优解。

3.动态规划动态规划是一种通过将原问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题的方法。

对于TSP问题，可以使用动态规划求解。

动态规划的优点是能够在较短的时间内找到最优解，但由于需要存储大量的中间结果，空间复杂度较高。

4.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法。

它通过对候选解进行遗传操作（交叉、变异等），然后根据适应度函数来评估和选择较好的解进行下一轮进化，直到满足停止条件为止。

遗传算法的优点是适用于大规模问题，能够得到较优解，但其需要调整一些参数，并且收敛速度较慢。

5. Lin-Kernighan启发式算法Lin-Kernighan启发式算法是一种基于局部优化的TSP求解方法。

它采用迭代的方式，在每一步通过反转局部路径来优化当前解，直到达到停止条件。

Lin-Kernighan算法的优点是计算速度较快，对于大规模问题也有较好的效果。

求解TSP问题算法综述

求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。

该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。

本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。

接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。

然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。

本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。

我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。

我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。

二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。

本节将对一些代表性的经典算法进行综述。

暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。

其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。

虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。

动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。

对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。

然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

tsp问题有几种方案

TSP问题有几种方案引言TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，找出一条最短路径，使得旅行商可以从起始城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到起始城市。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学领域被广泛研究。

本文将介绍TSP问题的几种解决方案。

1. 暴力法暴力法是最简单直接的解决TSP问题的方法。

该方法通过枚举所有可能的路径，并计算每个路径的总距离，最后找出最短路径。

但是，由于TSP问题的解空间随着城市数量的增加呈指数级增长，因此暴力法的时间复杂度非常高，不适用于大规模的问题。

2. 穷举法穷举法是改进的暴力法，通过剪枝操作减少了暴力法的时间复杂度。

穷举法一般使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来遍历解空间，并在搜索过程中记录当前路径的总距离。

当搜索到目标节点时，更新最短路径。

穷举法的时间复杂度仍然很高，但相比暴力法有所改善。

3. 动态规划动态规划是一种常用的解决TSP问题的方法。

动态规划通过将原问题划分为若干子问题，并记录每个子问题的最优解，从而通过计算较小规模的问题得到整体问题的最优解。

具体来说，动态规划中的状态转移方程可以表示为：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])，其中 S 表示已经访问过的城市集合，i 表示当前城市，j 表示 i 的上一个访问的城市。

通过迭代计算出 dp[S][i]，最后找出使得 dp[S][i] + d[i][0] 最小的 i 值作为最优路径的终点。

4. 贪心算法贪心算法是一种启发式算法，它通过贪心地选择当前最优解来逐步构建整体问题的解。

在TSP问题中，贪心算法每一步都选择离当前城市最近的未访问过的城市，直到遍历完所有城市。

然而，贪心算法并不能保证得到最优解，因为局部最优解并不一定是全局最优解。

5. 遗传算法遗传算法是一种演化算法，模拟生物进化的过程来寻找最优解。

tsp原理

tsp原理TSP原理。

TSP（Traveling Salesman Problem）问题是一种经典的组合优化问题，它的基本形式是这样的，假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他需要找到一条最短的路径，使得他每个城市只访问一次，最后回到出发的城市。

这个问题看似简单，实际上却是一个NP难题，即使是在较小规模的情况下，也很难找到最优解。

TSP问题的重要性在于它具有广泛的应用，例如在交通规划、电路板布线、物流配送等领域都有着重要的作用。

因此，对TSP问题的研究一直是学术界和工业界的热点之一。

TSP问题的解决方法有很多种，其中比较常见的包括贪心算法、动态规划、遗传算法、蚁群算法等。

这些方法各有优劣，适用于不同规模和特点的TSP实例。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来求解TSP问题。

贪心算法是一种简单而直观的方法，它每次选择距离最近的未访问城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过为止。

贪心算法的优点在于实现简单，时间复杂度低，适用于小规模的TSP实例。

然而，贪心算法并不能保证得到最优解，因为它只考虑局部最优解而忽略了全局最优解。

动态规划是一种经典的求解TSP问题的方法，它通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的最优解来逐步求解原问题。

动态规划算法可以保证得到最优解，但是在TSP问题中，由于状态空间的指数级增长，动态规划方法往往只适用于小规模的TSP实例。

遗传算法是一种基于生物进化原理的启发式优化算法，它通过模拟自然选择、交叉、变异等过程来搜索最优解。

遗传算法适用于大规模的TSP实例，并且具有较好的全局搜索能力。

然而，遗传算法的时间复杂度较高，需要大量的计算资源。

蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，它通过蚂蚁在解空间中的随机搜索和信息素沉积来寻找最优路径。

蚁群算法适用于中等规模的TSP实例，具有较好的鲁棒性和收敛性。

然而，蚁群算法的参数调节和收敛速度较难控制。

总的来说，TSP问题是一个重要且具有挑战性的优化问题，对于不同规模和特点的TSP实例，我们可以根据具体情况选择合适的求解方法。

tsp问题总结归纳

tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。

本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。

一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。

该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。

在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。

二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。

然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。

2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。

动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。

3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。

遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。

三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。

通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。

结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。

穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。

TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。

通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。

动态规划-TSP问题-最短超级串

动态规划-TSP问题-最短超级串2020-03-03 22:55:08问题描述：给定⼀个字符串数组 A，找到以 A 中每个字符串作为⼦字符串的最短字符串。

我们可以假设 A 中没有字符串是 A 中另⼀个字符串的⼦字符串。

⽰例 1：输⼊：["alex","loves","leetcode"]输出："alexlovesleetcode"解释："alex"，"loves"，"leetcode" 的所有排列都会被接受。

⽰例 2：输⼊：["catg","ctaagt","gcta","ttca","atgcatc"]输出："gctaagttcatgcatc"提⽰：1 <= A.length <= 121 <= A[i].length <= 20问题求解：解法⼀：暴⼒求解⾸先我们要明确的就是，本题可以转化成图论的题⽬，就是在⼀个图中要遍历所有的节点⼀次，最后路径的最⼩值是多少。

（这⾥和TSP略有不同，即我们不需要返回起始节点）暴⼒求解，可以理解为全排列，只不过我们做了⼀些剪枝操作进⾏了加速。

时间复杂度：O(n!)int res = (int)1e9;List<Integer> path;int n;public String shortestSuperstring(String[] A) {n = A.length;int[][] graph = new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = Math.min(A[i].length(), A[j].length()); k >= 0; k--) {if (A[j].substring(0, k).equals(A[i].substring(A[i].length() - k))) {graph[i][j] = A[j].length() - k;break;}}}}helper(A, graph, 0, 0, 0, new ArrayList<>());StringBuffer sb = new StringBuffer();for (int i = 0; i < n; i++) {int node = path.get(i);String s = A[node];if (i == 0) sb.append(s);else sb.append(s.substring(s.length() - graph[path.get(i - 1)][node]));}return sb.toString();}private void helper(String[] A, int[][] graph, int k, int used, int curr, List<Integer> curr_p) {if (curr >= res) return;if (k == n) {res = curr;path = new ArrayList<>(curr_p);return;}for (int i = 0; i < n; i++) {if ((used & (1 << i)) != 0) continue;curr_p.add(i);helper(A, graph, k + 1, used | (1 << i), k == 0 ? A[i].length() : curr + graph[curr_p.get(curr_p.size() - 2)][i], curr_p);curr_p.remove(curr_p.size() - 1);}}解法⼆：DPdp[s][i] : 当前访问过的节点状态为s，且以i为结尾的最短路径。

规划求解 - 最短路径问题 - TSP问题

城市数量N N-1 城市距离下限城市距离上限
城市的连通顺序 13 3 2 11 6 1 7 8 10 4 12 5 9
340.00 182
TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE
7200
13 最短的遍历路径
340
12
369
20
随机距离矩阵公式
100
距离矩阵
城市11 41 74 77 20 58 98 56 80 93 62 0 64 0 20
城市3 城市4 城市5 城市6 城市7 城市8 城市9 城市10 城市11
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
城市13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
城市12 城市13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0

基于改进蚁群算法求解最短路径和TSP问题

基于改进蚁群算法求解最短路径和TSP问题宋世杰;刘高峰;周忠友;卢小亮【摘要】为了能高效地求解最短路径和TSP问题,利用速度恒定的蚂蚁群,行走最短路径的蚂蚁首先达到终点这个基本原理,提出了一种改进的蚁群算法.因为只要有一个蚂蚁达到终点,算法停止,所以该算法避免了蚂蚁往返爬行所消耗的时间.针对一定规模的最短路径和TSP问题,设置足够量的蚂蚁群,通过该算法能较快地求出全局最优解或者能很好逼近最优解的近似解,算法的时间复径杂度是线性级的,迭代次数较少,而且该算法是并行处理的.通过实验仿真,结果表明算法是可行有效的.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2010(020)004【总页数】4页(P144-147)【关键词】蚁群算法;最短路径;TSP问题;并行性【作者】宋世杰;刘高峰;周忠友;卢小亮【作者单位】内江师范学院,数学与信息科学学院,四川,内江,641112;内江师范学院,数学与信息科学学院,四川,内江,641112;内江师范学院,数学与信息科学学院,四川,内江,641112;内江师范学院,数学与信息科学学院,四川,内江,641112【正文语种】中文【中图分类】TP1830 引言随着社会的不断发展,最短路径问题已广泛应用于交通运输、物流配送、网络分析、管道铺设、厂区选址与布局等与生产实践息息相关的问题。

以交通运输为例,搜索城市路网中两点间的最短路径就显得极其重要。

但在实际运用中发现,当城市路网结点过多时经典算法就会导致计算量急剧增加,搜索开销相当大,效率很低。

蚁群算法是由意大利学者Dorigo等人于20世纪90年代初期通过模拟自然界中蚂蚁集体寻径的行为而提出的一种基于种群的启发式随机搜索算法[1～4],蚁群算法具有并行性、鲁棒性、正反馈性等特点。

蚁群算法最早成功应用于解决著名的旅行商问题(TSP),以及二次分配问题(QAP)、车间任务调度问题(JSP)、图的着色问题、网络路由等许多复杂的组合优化问题[5～8]。

动态规划解TSP问题

用动态规划方法编程求解下面的问题：某推销员要从城市v1 出发，访问其它城市v2，v3，…，v6 各一次且仅一次，最后返回v1。

D 为各城市间的距离矩阵。

问：该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=012201622561801011274516804323415105019232125301801250403020100654321v v v v v v D1、变量设定阶段k ：已遍历过k 个结点，k=1,2…6,7。

K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1状态变量Xk=(i ，Sk)：已遍历k 个结点，当前位于i 结点，还未遍历的结点集合为Sk 。

则X1=(1，{2,3,4,5,6})，X6=(i ，Φ)，X7=(1，Φ)决策变量Uk=(i ，j)：已遍历k 个结点，当前位于i 结点，下一个结点选择j 。

状态转移方程：X k+1 = T(Xk ，Uk) = (j ，Sk-{j}) 第k 阶段的指标函数Vk = D[i,j]。

最优指标函数Fk(Xk) = Fk(i ，Sk)：已遍历k 个结点，当前从i 结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。

则Fk(i ，Sk) = min{ D[i,j] + F k+1(j ，Sk-{j}) } 1≤k ≤6 F 7(X7) = F 7(1，Φ) = 02、分析：（1）k=6时，F6(i ，Φ) = min{D[i,1] + F7(X7)} = D[i,1] i=2,3,4,5,6（6）k=1时，F1(1,S1) = min{D[1,j] + F2(j,S2)}3、伪代码和时间复杂度为方便计算，结点编号改为0到5.(1)用一张二维表格F[][]表示F(i,Sk)，行数是n，列数是2n-1。

(2)行号表示当前所在的结点i。

列号对应的五位二进制表示表示{V5,V4,V3,V2,V1}的一个子集，1表示在集合中，0表示不在集合中。

算法TSP问题

遗传算法解决TSP问题1.TSP问题的形式化描述所谓TSP问题（旅行商问题）即最短路径问题就是在给定的起始点S到终止的通路集合中，寻求距离最小的通路，这样的通路成为S点到T点的最短路径。

在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。

用遗传算法解决这类问题，没有太多的约束条件和有关解的限制，因而可以很快地求出任意两点间的最短路径以及一批次短路径。

2.遗传算法（1），遗传算法的介绍。

遗传算法是一种模拟生命进化机制的搜索和优化方法，是把自然遗传学和计算机科学结合起来的优化方程，有很强的解决问题的能力和广泛的适应性。

其假设常描述为二进制位串，位串的含义依赖于具体应用。

搜索合适的假设从若干初始假设的群体集合开始。

当前种群成员通过模仿生物进化的方式来产生下一代群体，如随机变异和交叉。

每一步，根据给定的适应度评估当前群体的假设，而后使用概率方法选出适应度最高的假设作为产生下一代的种子。

下面介绍几个遗传算法的基本概念：（1）染色体（Chromosome）：在使用遗传算法时，需要把问题的解编成一个适合的码子。

这种具有固定结构的符号串既是染色体，符号串的每一位代表一个基因。

符号串的总位数成为染色体的长度，一个染色体就代表问题的一个解，每个染色体也被称为一个个体。

（2）群体（Population）：每代所产生的染色体总数成为群体，一个群体包含了该问题在这一代的一些解的集合。

（3）适应度（Fitness）：对群体中每个染色体进行编码后，每个个体对应一个具体问题的解，而每个解对应于一个函数值。

该函数值即适应函数，就是衡量染色体对环境适应度的指标，也是反映实际问题的目标函数在前一代群体的基础上产生新一代群体的工作成为遗传操作，基本的遗传操作有：（1）选择（Select）：按一定的概率从上代群体中选择M对个体作为双亲，直接拷贝到下一代，染色体不发生变化。

（2）交叉（Crossover）：对于选中进行繁殖的两个染色体X，Y，以X，Y为双亲作交叉操作，从而产生两个后代X1，Y1.（3）变异（Mutation）：对于选中的群体中的个体（染色体），随机选取某一位进行取反运算，即将该染色体码翻转。

TSP,最短路问题

约束（）可表示为：约束（4）可表示为：
ui − u j + N xij ≤ N − 1 ( for i ≠ j; i = 2,3,..., N ; j = 2,3,..., N ) All u j ≥ 0
•ui,uj 可以作为决策变量，也可以赋值，可以作为决策变量，也可以赋值，值取相应点的访问次序。如，u值取相应点的访问次序。值取相应点的访问次序
约束（）确保：约束（4）确保：由决策变量得到一条独立的子路径，由决策变量得到一条独立的子路径，此解是不可行的；不可行的；由决策变量得到一条完整的路径，由决策变量得到一条完整的路径，此解是不可行的；可行的；
• 对上面的图，有决策变量取值：
x15 = x21 = x43 = x34 = x52 = 1
• 2.环路改进算法 • 环路改进算法在给定初始可行解的情况下，使用某种优化策略来改进当前的可行解．这些策略一般都以局部优化作为基础． • 最常用的局部优化策略为k-交换，即：将在当前环路上的k条边与不在当前环路上的k条边交换位置，以得到新的合法环路．若选取的交换边集合使得环路的权值改进最大，则称为k-优化(kopt)．考虑到计算时间的限制，一般都选择较小的k，最常用的是2-opt和3-opt．
TSP问题
• 旅行商问题(Traveling Salesman Problem，TSP)，也称为货郎担问题，是爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton和英国数学家Thomas Penyngton Kirkman在19世纪提出的数学问题。它是指给定n个城市并给出每两个城市之间的距离，旅行商必须以最短路径访问所有的城市一次且仅一次，并回到原出发地，现已证明它属于NP难题。由于该问题的描述简单，而其实际模型在连锁店的货物配送、网络布线等优化问题和印来一直吸引着国内外许多研究人员进行研究，他们尝试着用各种算法来求解TSP问题。

ortools 案例

ortools 案例ortools是一个开源的、高效的运筹学工具包，可用于解决各种优化问题。

它提供了多个求解器，包括整数规划、线性规划、约束规划等，并且支持多种编程语言。

在本文中，我们将列举一些使用ortools解决的案例。

1. 旅行商问题(TSP)：TSP是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条最短的路径，使得旅行商可以访问所有城市并返回出发点。

ortools提供了TSP求解器，可以帮助我们找到最优解。

2. 排序车间调度问题(JSP)：JSP是一种经典的调度问题，目标是在给定的时间内完成尽可能多的任务。

ortools提供了JSP求解器，可以帮助我们找到最优的调度方案。

3. 装箱问题(BPP)：BPP是一种组合优化问题，目标是将一系列物品装入尽可能少的容器中。

ortools提供了BPP求解器，可以帮助我们找到最优的装箱方案。

4. 路径规划问题：ortools提供了多个路线规划求解器，如最短路径规划、最短路径覆盖等。

这些求解器可以帮助我们找到最优的路径规划方案。

5. 分配问题：ortools提供了多个分配问题求解器，如最大匹配、最优分配等。

这些求解器可以帮助我们找到最优的分配方案。

6. VRP问题：VRP是一种典型的车辆路径规划问题，目标是在给定的时间内，用最少的车辆完成一系列任务。

ortools提供了VRP求解器，可以帮助我们找到最优的路径规划方案。

7. 航班调度问题：航班调度问题是一个复杂的规划问题，目标是在给定的时间内安排航班的起降和停靠。

ortools提供了航班调度求解器，可以帮助我们找到最优的航班调度方案。

8. 产能规划问题：产能规划问题是一个经典的生产调度问题，目标是在给定的时间内安排生产任务，以最大化产能利用率。

ortools 提供了产能规划求解器，可以帮助我们找到最优的生产调度方案。

9. 割边问题：割边问题是一个图论问题，目标是找到一条最小的边，将图分成两个连通分量。

ortools提供了割边求解器，可以帮助我们找到最小割边。