初中数学《不等式与不等式组》单元教学设计以及思维导图

不等式与不等式组
学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系,展示数学知识的整体性。

专题三的简单应用是考虑到学完知识学生喜欢追问：学习这些有什么用处呢？而不等式性质问题恰恰会用到解一元一次不等式（组），而学习解一元一次不等式（组）在实际生活中有什么用处呢？接着学习实际问题与一元一次不等式（组）,而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力.
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
〔知识与技能〕1、了解一元一次不等式（组)及其相关概念;2、理解不等式的性质；3、掌握一元一次不等式（组)的解法并会在数轴上表示解集;4、学会应用一元一次不等式（组）解决有关的实际问题。

〔过程与方法〕1、通过观察、对比和归纳,探索不等式的性质，在利
如77、81、101等等，所有大于75的数都是这个不等式的解，它的解有无数个。

一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

如所有大于75的数组成不等式2/3x > 50的解集,写作x 〉7 5,这个解集可以用数轴来表示.
o
75
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求不等式的解集的过程叫做解不等式．
四、能力提升：例题讲解
例[投影4]在数轴上表示下列不等式的解集：
（1)x〉-1；（2）x≥—1;(3)x<—1；（4）x≤—1
解
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注意：1。

实心点表示包括这个点，空心点表示不包括这个点；2、步骤：画数轴,定界点,走方向。

、
五、巩固新知
1、下列哪些是不等式x＋3 〉6的解？哪些不是?
－4,－2. 5，0，1，2.5，3，3。

2，4。

8，8,12
2、直接想出不等式的解集,并在数轴上表示出来：
(1）x＋3 〉6（2）2x 〈8（3)x－2 〉0。

六、归纳总结
1、什么是不等式?什么是一元一次不等式？
2、什么是不等式的解?什么是不等式的解集?
3、怎样表示不等式的解集？
作业：
1、(1）用不等式表示下列数量关系：
①a比1大;
②x与一3的差是正数;
③x的4倍与5的和是负数
（2）在－4，－2，－1，0，1，3中，找出使不等式成立的x值：（1）x+5 〉3,（2）3x < 5
［问题一］：
如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么天平会发生什么变化？如果把砝码c拿出来呢？
不等式的性质1 如果a〉b，那么 a＋c〉b＋c，a－c>b－c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
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[问题二]：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
[试一试］：
将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小,用“〈”或“〉”填空：
7×3_______4×3，
7×2_______4×2，
x〈－3
（3) 1/2x×2〉（－3）×2，
得x>－6。

(4）－2x×(－1/2)〉6×（－1/2),
得x〉－3.
三、例题讲解:解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：(1）2x－1<4x＋13；
(2）2(5x＋3)≤x－3（1－2x）。

解（1）2x－1<4x＋13，
2x－4x<13＋1，
－2x〈14,
x>－7.
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（2）2（5x＋3）≤x－3(1－2x)，
10x＋6≤x－3＋6x，
3x≤－9，
x≤－3.
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四、综合应用:
当x取何值时，代数式(x+4）/3的值比（3x-1)/2的值大1?
解根据题意,得(x+4)/3－(3x-1）/2>1，
2（x＋4)－3(3x－1）〉6，
2x＋8－9x＋3〉6，
－7x＋11〉6,
－7x〉－5，
得x〈5/7
所以，当x取小于5/7的任何数时,代数式(x+4）/3的值比（3x—
1)/2的值大1。

五、小组讨论:
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。

六、巩固练习:
1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1)2x＋1>3; （2）2－x〈1；
(3)2（x+1)〈3x; (4）3(x＋2)≥4（x－1)＋7。

2．解不等式：
（2x-3)/3 〉(3x—2)/2
七、课堂小结：
1．一元一次不等式的概念. 2．一元一次不等式的解法步骤。

八、布置作业：1、解不等式（3x+4)/2-3≤7的非负整数解。

第三课时：解不等式组
一、创设问题情景,引入新课：
[问题］：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？
［分析]：
设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x吨.由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有
1200≤30x≤1500
上式实际上包括了两个不等式
30≥1200 和30x≤1500
我们把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组:
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同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。

在数轴上表示这两个不等式的解集(图13。

3。

1），可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x ≤50。

这就是所列不等式组的解集。

所提问题的答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完.
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［概括］:
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分.利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。

二、应用举例：
例1：解不等式组：
3x—1〉2x+1 ①
2x>8 ②
解解不等式①，得x〉2
解不等式②,得x〉4
在数轴上表示不等式①、②的解集
不等式组的解集是x>4
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例2：小明解不等式组点击打开链接的过程如下，他解的是否对?如果不对,指出错在哪一步,并改正过来。

因为5x-3＞4x+2,且4x+2＞3x—2，
所以5x-3＞3x-2.
移项,得5x—3x＞-2+3.
解得x＞1/2。

诊断: 上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x ＞1/2的条件下，任取一个x的值，看是否满足不等式组。

如取x＝1，将它代入5x—3＞4x+2，得2＞6(不成立）.可知x＞1/2不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集。

正解: 由5x—3＞4x+2,得x＞5。

由4x+2＞3x—2，得x＞－4。

综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.
三、课堂练习：
教材P66：2、3、5
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。

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四、小结：
1．一元一次不等式组的概念
一元一次不等式组的解集有几种情况，如何确定？
评价要点
1．解一元一次不等式时要写明运用了那条性质．
2．强调运用不等式的性质时，应首先认清该数的数性，在决定是否变号。

当系数中含有字母时，应对系数进行分类讨论。

注意不等式的三条性质是不等式变形的理论依据。

1、2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55％,如果到2008年这样的比值要超过70％,那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？
分析:2002年北京空气质量良好的天数是多少？用x表示2008年增加的空气质量良好的天数,则2008年北京空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？
2002年北京空气质量良好的天数是365×55％；2008年北京空气质量良好的天数是x+365×55％；不等关系是：2008年北京空气质量良好的天数÷366 ＞70％。

解：设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x天，依题意,得
（x+365×55%）/366 ＞70%
去分母,得
x+200。

5 ＞256。

2
移项，合并同类项，得x＞55。

45
思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？
不是.因为x为正整数。

∴x≥56
答:2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。

注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义.例1与例2中的未知数都应是正整数.
2、甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品,同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是:累计购买100元商品后,再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95%收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠?
分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元,乙商场优惠措施的起点为购物50元,起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑?
分三种情况考虑:①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元;③累计购物超过100元。

(1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？为什么？
没有区别.因为两家商店都没有优惠。

(2)如果累计购物超过50元但不超过100元,则在哪家商店购物花费小?为什么?
在乙商店购物花费小。

因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。

（3）如果累计购物超过100元，那么在哪家商店购物花费小？
因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑:
设累计购物x元(x＞100），则在甲商店购物花费多少元？在乙商店购物花费多少元?
在甲商店购物花费:100+0。

9（x-100）元;在乙商店购物花费：50+0。

95（x—50）.
①若在甲商场购物花费小，则
50+0。

95(x—50）＞100+0.9(x—100)
解之，得x＞150
②若在乙商场购物花费小，则
50+0.95（x—50）＜100+0。

9（x-100）
解之,得x＜150
③若在两家商场购物花费相同。

50+0。

95（x-50）=100+0.9(x—100）
解之,得x=150
答：如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费一样多。

如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商店购物花费小。

若累计购物多于150元，在甲商场购物花费小；若累计购物等于150元，在两商场购物花费一样多；若累计购物多于100元少于150元，在乙商
场购物花费小。

三、课堂练习
［投影2］某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈，甲公司的优惠条件是一名教师全额收费,其余师生按7。

5折收费；乙公司的优惠条件是全体师生都按8折收费．若设标价为a元,那么哪个公司更优惠？
四、课堂小结
1、列不等式解应用题与列方程解应用题的步骤相同，所不同的是前者是不等关系，列出的是不等式，后者相等关系，列出的是方程。

2、列不等式解应用题的关键是找出不等关系。

找不等关系要抓住像“大于”、“不小于”、“超过"、“不足"、“至少”等等表示不等关系的词语。

五、布置作业：某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；(2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，请你选择最省钱的一种方案。

2、某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈,甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按7。

5折收费；乙公司的优惠条件是全体师生都按8折收费．若设
标价为a元,那么哪个公司更优惠？
第二课时：不等式组与实际问题
一、导入新课
前面我们用一元一次不等式解决了一些满足一个不等关系的实际问题，事实上，有很多问题满足两个不等关系，这就要用到一元一次不等式组。

下面我们就利用一元一次不等式组解决有关的实际问题。

二、例题
例1［投影1］ 3 个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度,不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。

每个小组原先每天生产多少件产品？
分析:“不能完成任务"的数量含义是什么？“提前完成任务"的数量含义是什么？
由学生自己独立解答。

思考:到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗？为什么? 每个小组原先每天生产16件产品，因为产品的数量是整数，所以
x＝16.
答：每个小组原先每天生产16件产品.
例2［投影2] 将若干只鸡放入若干个笼，若每4个放一笼,则有1只鸡无笼可放;若每5个放一笼，则有1笼无鸡可放，那么至少有多少只鸡,多少个笼?
分析：鸡的数量怎么求?
4×笼的数量＋1.
你怎样理解“有一笼无鸡可放”？
除去无鸡可放的一笼,剩下的最后一笼可能不足5只鸡,也可能恰好有5只鸡.
由此可以得到不等关系：
5×（笼的数量－2)＜4×笼的数量＋1≤5×（笼的数量－1）。

解:设有y个笼，根据题意,得
5（y—2)<4y+1≤5（y-1）
解之，得6≤y〈11.
思考:笼的个数y应满足什么条件？
y是整数,且取范围内的最小值。

∴y＝6
4y＋1＝4×6＋＝25.
答：至少有25只鸡，6个笼.
三、课堂练习
课本140面2题。

四、课堂小结
1、列一元一次不等式组解应用题与列一元一次不等式解应用题的思想和步骤是一样的，不同的是前者列出的是两个不等式，而后者列出的是一个不等式。

2、列不等式(组）解应用题的关键是找出不等关系.有时题目中含有“大于”、“不小于"、“超过”、“不足"、“至少”等等表示不等关系的
词语,有时却没有这样的词语。

这时，我们就要抓住具有不等意义的句子加以分析，上面的两例就是这样，要细心地体会.
作业:
课本142面8;141面4、5.
评价要点
1．能否正确将实际问题转化成数学问题．
2．能否正确理解题意中的不等关系
3．从实际问题转化成数学问题过程中体验转化的数学思想。