树与图的简单遍历算法
图的遍历算法
1图的遍历问题在实践中常常遇到这样的问题：给定n个点，从任一点出发对所有的点访问一次并且只访问一次。
如果用图中的顶点表示这些点，图中的边表示可能的连接，那么这个问题就可以表示成图的遍历问题，即从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中每个顶点各做一次且仅做一次访问。
图的遍历操作和树的遍历操作功能相似，是图的一种基本操作，图的许多其它操作都是建立在遍历操作的基础上。
由于图结构本身的复杂性，所以图的遍历操作也比较复杂，主要表现在以下几个方面：(1) 在图结构中，没有一个确定的首结点，图中任意一个顶点都可以作为第一个被访问的结点。
(2) 在非连通图中，从一个顶点出发，只能够访问它所在的连通分量上的所有顶点，因此，还需要考虑如何选取下一个出发点以访问图中其余的连通分量。
(3) 在图结构中，如果有回路存在，那么一个顶点被访问后，有可能沿回路又回到该顶点。
⑷在图结构中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，存在如何选取下一个要访问的顶点的问题。
基于以上分析，图的遍历方法目前有深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)两种算法。
下面将介绍两种算法的实现思路，分析算法效率并编程实现。
1.1深度优先搜索算法深度优先搜索算法是树的先根遍历的推广，它的实现思想是：从图G的某个顶点V o出发，访问V o,然后选择一个与V o相邻且没被访问过的顶点V i访问，再从V i出发选择一个与V i相邻且未被访问的顶点V j进行访问，依次继续。
如果当前被访问过的顶点的所有邻接顶点都已被访问，贝U退回已被访问的顶点序列中最后一个拥有未被访问的相邻顶点的顶点W，从W出发按同样的方法向前遍历，直到图中所有顶点都被访问。
其递归算法如下：Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; // 访问标志数组Status (*VisitFunc)(int v); //VisitFunc是访问函数，对图的每个顶点调用该函数void DFSTraverse (Graph G Status(*Visit)(i nt v)){VisitF unc = Visit;for(v=0; vvG.vex num; ++v)visited[v] = FALSE; //访问标志数组初始化for(v=0; v<G .vex num; ++v)if(!visited[v])DFS(G v); //对尚未访问的顶点调用DFS}void DFS(Graph G int v){ //从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图Gvisited[v]=TRUE; VisitFunc(v); // 访问第v 个顶点for(w=FirstAdjVex(G ,v); w>=0;w=NextAdjVex(G ,v,w))//FirstAdjVex返回v的第一个邻接顶点，若顶点在G中没有邻接顶点，则返回空(0)。
树与森林的遍历
第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。 要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat， 如何使传 送的长度最短？ 首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。 为了保证长度最短， 先看字符出现的次数， 然后将出现 次数当作权， 如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 先序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲 作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度 路径和路径长度 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 路径长度 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。 树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111
第15讲图的遍历
V6
V8
V8
V7
V5 深度优先生成树
V8 V1
V2
V3
V4 V5 V6 V7
V8 广度优先生成树
27
例A
B
CD E
F
GH
I
K
J
L
M
A
D
G
LCF
KI E
H M
JB
深度优先生成森林
28
二、图的连通性问题
▪1、生成树和生成森林
▪ 说明
G
▪ 一个图可以有许多棵不同的生成树
KI
▪ 所有生成树具有以下共同特点：
g.NextAdjVex(v, w))
{
if (g.GetTag(w) == UNVISITED)
{
g.SetTag(w, VISITED);
g.GetElem(w, e);
Visit(e);
q.InQueue(w);
}
}}}
24
一、图的遍历 两种遍历的比较
V0
V1 V4
V0
V1 V4
V3
V2 V5
16
一、图的遍历
广度优先遍历序列?入队序列?出队序列?
V1
V2
V3
V1
V4
V5 V6
V7
V8
遍历序列： V1
17
一、图的遍历
广度优先遍历序列?入队序列?出队序列?
V1
V2
V3
V2 V3
V4
V5 V6
V7
V8
遍历序列： V1 V2 V3
18
一、图的遍历
广度优先遍历序列?入队序列?出队序列?
V1
V2
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
dfs通用步骤-概述说明以及解释
dfs通用步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述DFS（深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，它通过深度优先的策略来遍历图中的所有节点。
在DFS中，从起始节点开始，一直向下访问直到无法继续为止，然后返回到上一个未完成的节点，继续访问它的下一个未被访问的邻居节点。
这个过程不断重复，直到图中所有的节点都被访问为止。
DFS算法的核心思想是沿着一条路径尽可能深入地搜索，直到无法继续为止。
在搜索过程中，DFS会使用一个栈来保存待访问的节点，以及记录已经访问过的节点。
当访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其所有未访问的邻居节点加入到栈中。
然后从栈中取出下一个节点进行访问，重复这个过程直到栈为空。
优点是DFS算法实现起来比较简单，而且在解决一些问题时具有较好的效果。
同时，DFS算法可以用来解决一些经典的问题，比如寻找图中的连通分量、判断图中是否存在环、图的拓扑排序等。
然而，DFS算法也存在一些缺点。
首先，DFS算法不保证找到最优解，有可能陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
另外，如果图非常庞大且存在大量的无效节点，DFS可能会陷入无限循环或者无法找到解。
综上所述，DFS是一种常用的图遍历算法，可以用来解决一些问题，但需要注意其局限性和缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的搜索策略。
在下一部分中，我们将详细介绍DFS算法的通用步骤和要点，以便读者更好地理解和应用该算法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构：在本文中，将按照以下顺序介绍DFS（深度优先搜索）通用步骤。
首先，引言部分将概述DFS的基本概念和应用场景。
其次，正文部分将详细解释DFS通用步骤的两个要点。
最后，结论部分将总结本文的主要内容并展望未来DFS的发展趋势。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解到DFS算法的基本原理和它在实际问题中的应用。
接下来，让我们开始正文的介绍。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对DFS（Depth First Search，深度优先搜索）的应用和重要性进行介绍。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。
生成树算法的三个步骤
生成树算法的三个步骤生成树是图论中的重要概念，它描述了一个连通图的一个子图，该子图包含了图中的所有顶点，并且是无环的。
生成树算法是用来找到一个连通图的生成树的一种方法。
本文将介绍生成树算法的三个步骤：图的遍历、边的选择和生成树的构建。
一、图的遍历图的遍历是生成树算法的第一步，它的目的是将图中的所有顶点访问一遍。
常用的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的一个邻接顶点，然后再递归地访问该邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
广度优先搜索是通过队列的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的所有邻接顶点，然后再依次访问这些邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
二、边的选择边的选择是生成树算法的第二步，它的目的是选择一些边，使得这些边构成一个连通图的生成树。
常用的边的选择算法有最小生成树算法和最大生成树算法。
最小生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法是从一个顶点开始，每次选择一条最小权值的边，将该边连接的顶点加入到生成树中，直到所有顶点都被加入到生成树中。
克鲁斯卡尔算法是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到生成树中。
最大生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最大。
常用的最大生成树算法有逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法。
逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法的原理与克鲁斯卡尔算法和普里姆算法相反。
三、生成树的构建生成树的构建是生成树算法的第三步，它的目的是根据选择的边构建一个生成树。
生成树可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否有边。
邻接表是一种链表的数据结构，其中的每个节点表示一个顶点，节点的值表示该顶点的邻接顶点。
遍历算法是什么？
遍历算法是什么？概念介绍：搜索引擎原理：搜索引擎，通常指的是收集了万维网上几千万到几十亿个网页并对网页中的每一个词（即关键词）进行索引，建立索引数据库的全文搜索引擎。
当用户查找某个关键词的时候，所有在页面内容中包含了该关键词的网页都将作为搜索结果被搜出来。
在经过复杂的算法进行排序后，这些结果将按照与搜索关键词的相关度高低，依次排列。
遍历算法：所谓遍历(Traversal)，是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。
访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。
遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
当然遍历的概念也适合于多元素集合的情况，如数组。
搜索引擎原理概念延伸：百度蜘蛛：是一种网络爬虫（又被称为网页蜘蛛，网络机器人，在FOAF社区中间，更经常的称为网页追逐者），是一种按照一定的规则，自动地抓取万维网信息的程序或者脚本。
另外一些不常使用的名字还有蚂蚁、自动索引、模拟程序或者蠕虫。
广度抓取：广度优先搜索策略是指在抓取过程中，在完成当前层次的搜索后，才进行下一层次的搜索。
该算法的设计和实现相对简单。
在目前为覆盖尽可能多的网页，一般使用广度优先搜索方法。
也有很多研究将广度优先搜索策略应用于聚焦爬虫中。
其基本思想是认为与初始URL在一定链接距离内的网页具有主题相关性的概率很大。
另外一种方法是将广度优先搜索与网页过滤技术结合使用，先用广度优先策略抓取网页，再将其中无关的网页过滤掉。
这些方法的缺点在于，随着抓取网页的增多，大量的无关网页将被下载并过滤，算法的效率将变低。
深度抓取：深度优先搜索策略从起始网页开始，选择一个URL进入，分析这个网页中的URL，选择一个再进入。
如此一个链接一个链接地抓取下去，直到处理完一条路线之后再处理下一条路线。
深度优先策略设计较为简单。
然而门户网站提供的链接往往最具价值，PageRank也很高，但每深入一层，网页价值和PageRank都会相应地有所下降。
图的定义和基本术语图的存储结构图的遍历生成树最短路径
DeleteVex(&G, v) //删除顶点 初始条件: 图G存在， v和G中顶点有相同特性 。 操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(&G, v, w) //插入弧 初始条件:图G存在，v 和w是G中两个顶点。 操作结果:在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， 则还增添对称弧<w,v>。
DestroyGraph (&G ) // 销毁 初始条件:图G存在。 操作结果:销毁图G 。
LocateVex(G, u) // 定位 初始条件:图G存在，u 和G中顶点有相同特性 。 操作结果: 若G中存在顶点u ，则返回该顶点在 图中位置 ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v)// 求值 初始条件:图G存在，v 是G中某个顶点。 操作结果:返回v的值。
//{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell {// 弧的定义 VRType adj;//VRType是顶点关系类型。对无权图，
//用1或0表示相邻否；对带权图，则为权值类型。 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcCell ,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM] [MAX_VERTEX_NUM];
V2
V3
0110 0000 0001 10 0 0
//－ －图的数组(邻接矩阵)存储表示－－
#define INFINITY INT_MAX //最大值∞ #define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG, UDN }graphkind；
表示，称为无向边；
图的遍历(深度优先遍历和广度优先遍历)
遍历规则 从图中某结点v0出发，深度优先遍历（DFS: Depth First Search）图的规则为： 访问v0； 对v0的各个出点v01，v02，…，v0m，每次从它们中按一定方式（也可任选）选取一个未被访问过的结点，从该结点出发按深度优先遍历方式遍历。 然，因为我们没有规定对出点的遍历次序，所以，图的深度优先遍历结果一般不唯一。
20.2 深度优先遍历
例如，对图 20‑1给出的有向图与无向图，一些遍历结果（结点访问次序）为： 左图：从1出发：1，2，4，5；或1，5，2，4 从2出发：2，1，5，4；或2，4，1，5 右图：从a出发：a，b，c，d；或a，b，d，c; … …
A 如果不想让visited或top做为函数参数，也可以在函数中将其定义为static型量。但是，这样的程序是不可再入的，即函数再次被调用时，static型的量也不重新初始化，造成错误！
上面函数中的参数visited和top实质上是中间变量，只是为了避免在递归调用时重新初始化而放在参数表中，造成使用的不方便，为此，做个包装程序： long DFS1(int g[][CNST_NumNodes], long n, long v0, long *resu ) { char *visited; long top=0; visited = new char[n]; for (long i=0; i<n; i++) visited[i]=0; long num=DFS1( g, n, v0, visited, resu, top ); delete visited; return num; }
深度优先遍历非递归算法的一般性描述。
long DFS_NR(图g，结点v0)
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树的结构
图 1 树的层次结构 由图 1 可以看出树的形状就像一棵现实中的树，只不过是倒过来的。
树的相关术语
1. 一个结点的儿子结点的个数称为该结点的度。 一棵树的度是指该树中结点 的最大度数。 2. 树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
3. 树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。 除根结点外的分枝结点 统称为内部结点。 例如在图 1 中，结点 A，B 和 E 的度分别为 3，2，0。其中 A 为根结点,B 为内 部结点，E 为叶结点，树的度为 3。 4. 如果存在树中的一个结点序列 K1,K2,..,Kj， 使得结点 Ki 是结点 Ki+1 的父结 点(1≤i≤j)，则称该结点序列是树中从结点 K1 到结点 Kj 的一条路径或道路。我们称这 条路径的长度为 j-1，它是该路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目。树中 任一结点有一条到其自身的长度为零的路径。 例如，在图 1 中，结点 A 到结点 I 有一条路径 ABFI，它的长度为 3。 5. 如果在树中存在一条从结点 K 到结点 M 的路径， 则称结点 K 是结点 M 的 祖先，也称结点 M 是结点 K 的子孙或后裔。 例如在图 1 中， 结点 F 的祖先有 A， B 和 F 自己， 而它的子孙包括它自己和 I,J。 注意，任一结点既是它自己的祖先也是它自己的子孙。 6. 我们将树中一个结点的非自身祖先和子孙分别称为该结点的真祖先和真 子孙。在一棵树中，树根是唯一没有真祖先的结点。叶结点是那些没有真子孙的结 点。子树是树中某一结点及其所有真子孙组成的一棵树。 7. 树中一个结点的高度是指从该结点到作为它的子孙的各叶结点的最长路 径的长度。树的高度是指根结点的高度。 例如图 1 中的结点 B，C 和 D 的高度分别为 2，0 和 1，而树的高度与结点 A 的高度相同为 3。 8. 从树根到任一结点 n 有唯一的一条路径， 我们称这条路径的长度为结点 n 的深度或层数。根结点的深度为 0，其余结点的深度为其父结点的深度加 1。深度相 同的结点属于同一层。 例如，在图 1 中，结点 A 的深度为 0；结点 B，C 和 D 的深度为 1；结点 E，F， G，H 的深度为 2；结点 I 和 J 的深度为 3。在树的第二层的结点有 E，F，J 和 H， 树的第 0 层只有一个根结点 A。 9. 树的定义在某些结点之间确定了父子关系， 我们又将这种关系延拓为祖先 子孙关系。但是树中的许多结点之间仍然没有这种关系。例如兄弟结点之间就没有 祖先子孙关系。如果我们在树的每一组兄弟结点之间定义一个从左到右的次序，则 得到一棵有序树；否则称为无序树。设结点 n 的所有儿子按其从左到右的次序排列 为 n1,n2,..,nk，则我们称 n1 是 n 的最左儿子，或简称左儿子，并称 ni 是 ni-1 的右邻兄 弟，或简称右兄弟(i=2,3,..k)。 图 2 中的两棵树作为无序树是相同的，但作为有序树是不同的，因为结点 a 的 两个儿子在两棵树中的左右次序是不同的。后面，我们只关心有序树，因为无序树 总可能转化为有序树加以研究。
树及应用实验报告
树及应用实验报告实验目的研究树结构及其应用，了解树的基本概念和常见操作，掌握树在实际问题中的运用。
实验内容1. 树结构的定义和特点2. 常见树的实现方式3. 二叉树及其操作4. 树的遍历算法5. 树在排序和搜索中的应用6. 树在图算法中的应用实验步骤与结果1. 树结构的定义和特点树是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
一个节点可以有多个子节点，但每个节点只有一个父节点。
树具有以下特点：- 树中只有一个根节点，它没有父节点。
- 每个非根节点有且只有一个父节点。
- 除了根节点外，每个节点可以有零个或多个子节点。
- 节点之间通过边连接。
2. 常见树的实现方式树可以通过链表或数组两种方式进行实现。
链表实现的树称为链式树，数组实现的树称为顺序树。
链式树的节点是通过指针进行连接的，每个节点包含数据和指向子节点的指针。
链式树的优点是插入和删除节点方便，缺点是访问节点需要遍历链表。
顺序树将节点存储在一个数组中，通过计算索引值来访问对应位置的节点。
顺序树的优点是访问节点快速，缺点是插入和删除节点困难。
3. 二叉树及其操作二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点。
二叉树的操作包括插入节点、删除节点、查找节点等。
二叉树的插入节点操作如下：1. 如果树为空，则将新节点作为根节点。
2. 如果新节点的值小于当前节点的值，则将新节点插入到当前节点的左子树中。
3. 如果新节点的值大于当前节点的值，则将新节点插入到当前节点的右子树中。
二叉树的删除节点操作如下：1. 如果要删除的节点是叶子节点，则直接删除它。
2. 如果要删除的节点只有一个子节点，则将子节点替代要删除的节点。
3. 如果要删除的节点有两个子节点，则将它的后继节点替代要删除的节点。
4. 树的遍历算法树的遍历算法包括先序遍历、中序遍历和后序遍历。
先序遍历按照根节点、左子树、右子树的顺序遍历树。
中序遍历按照左子树、根节点、右子树的顺序遍历树。
后序遍历按照左子树、右子树、根节点的顺序遍历树。
树的简单路径
树的简单路径概述树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成。
每个节点可以有零个或多个子节点，除了根节点外，每个节点都有一个父节点。
树的路径是指从树的根节点到叶节点的一条路径，其中每个节点都是相互连接的。
在树的路径中，简单路径是指路径上的节点都不重复。
也就是说，简单路径不允许经过同一个节点两次，因此它是唯一的。
在本文中，我们将讨论如何找出树的简单路径。
深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树和图的算法。
它的基本思想是，从根节点开始，首先访问当前节点，然后按照某种顺序遍历它的子节点。
在处理树的简单路径问题时，我们可以使用深度优先搜索算法来找到所有可能的路径。
具体步骤如下： 1. 从根节点开始，将当前节点添加到路径中。
2. 如果当前节点是叶节点，则将路径添加到结果列表中。
3. 否则，递归地遍历当前节点的子节点。
4. 在递归返回之前，将当前节点从路径中删除。
代码实现下面是一个使用深度优先搜索算法找到树的简单路径的示例代码（以Python为例）：def dfs(root, path, res):if not root:returnpath.append(root.val)if not root.left and not root.right:res.append(list(path)) # 将路径添加到结果列表中else:dfs(root.left, path, res)dfs(root.right, path, res)path.pop() # 将当前节点从路径中删除示例假设我们有以下树的结构：1/ \2 3/ \4 5我们可以使用上述代码来找到该树的所有简单路径。
首先，创建一个空的结果列表和一个空的路径列表。
然后，从根节点开始调用DFS函数，将根节点、路径列表和结果列表作为参数传递给它。
在DFS函数内部，我们首先将当前节点的值添加到路径列表中。
由于根节点不是叶节点，我们需要递归地调用DFS函数来遍历它的子节点。
图的遍历的概念
图的遍历的概念图的遍历是指通过遍历图中的所有节点，访问图中的每个节点一次且仅一次的过程。
在图的遍历过程中，我们会将节点标记为已访问，以确保不重复访问节点。
图的遍历是解决许多图相关问题的基础，如查找路径、遍历连通图、检测图的连通性等。
常用的图遍历算法有深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）和广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）。
深度优先搜索（DFS）：DFS是一种先访问节点的深层节点，再回溯访问较浅层节点的遍历方式。
DFS通过递归或者使用栈来实现。
从图的某个起始节点开始，沿着一条路径访问到尽头，再回溯返回上一个节点，继续向另一条路径遍历。
DFS的过程可以看作是沿着树的深度进行遍历的过程。
DFS的一个经典应用是在迷宫中找到一条路径。
广度优先搜索（BFS）：BFS是一种先访问离起始节点最近的节点，再逐渐扩展访问离起始节点更远节点的遍历方式。
BFS通过使用队列实现。
从图的某个起始节点开始，先将该节点加入队列中，然后逐个访问队列中的节点，把与当前节点相邻且未访问过的节点加入队列。
BFS的过程可以看作是树的层次遍历的过程。
BFS的一个经典应用是在社交网络中寻找两个人之间的最短路径。
在图的遍历中，我们除了记录已访问节点外，还可能需要记录节点的前驱节点，以便在找到目标节点后，能够回溯找到从起始节点到目标节点的路径。
在实际应用中，图的遍历可以用来解决许多问题。
比如在地图应用中，我们可以用图的遍历算法来查找最短路径。
在社交网络中，我们可以用图的遍历算法来查找两个人之间的路径或者关系的强度。
在编译器设计中，我们可以用图的遍历算法来检查代码的连通性。
在迷宫问题中，我们可以用图的遍历算法来找到一条通往出口的路径。
然而，图的遍历并不是一个简单的任务，尤其是针对大规模的图。
在处理大规模图的遍历时，我们需要考虑空间复杂度、时间复杂度以及算法的效率。
为了提高图的遍历的速度和效率，我们可以借助剪枝等优化技巧，以减少搜索空间。
深度优先搜索原理与实践及代码示例
深度优先搜索原理与实践及代码示例深度优先搜索（Depth First Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它通过从根节点开始，沿着树的深度遍历直到某个叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续遍历下一个分支。
DFS通常使用递归实现，也可以使用栈来辅助实现。
一、DFS原理深度优先搜索基于“尽可能深入地搜索”的原则。
它从根节点出发，先访问子节点，再访问子节点的子节点，直到达到某个终止条件。
然后回溯到上一个节点，继续访问该节点的其他子节点，直到遍历完整个树或图。
二、DFS实践下面以一个简单的二叉树为例，演示DFS算法的实践过程。
假设有以下二叉树：```1/ \2 3/ \4 5```DFS的遍历顺序是：1 -> 2 -> 4 -> 5 -> 3。
以下是实现DFS遍历二叉树的示例代码：```pythonclass Node:def __init__(self, data):self.data = dataself.left = Noneself.right = Nonedef dfs(node):if node is None:returnprint(node.data)dfs(node.left)dfs(node.right)# 创建二叉树node1 = Node(1)node2 = Node(2)node3 = Node(3)node4 = Node(4)node5 = Node(5)node1.left = node2node1.right = node3node2.left = node4node2.right = node5# DFS遍历二叉树dfs(node1)```运行上述代码，将输出：1 2 4 5 3。
可以看到，DFS按照深度优先的原则遍历二叉树节点。
三、DFS的应用深度优先搜索算法有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：1. 图的连通性判断：可以通过DFS遍历图的所有连通节点，判断图是否连通。
数据结构中的树、图、查找、排序
数据结构中的树、图、查找、排序在计算机科学中，数据结构是组织和存储数据的方式，以便能够有效地对数据进行操作和处理。
其中，树、图、查找和排序是非常重要的概念，它们在各种算法和应用中都有着广泛的应用。
让我们先来谈谈树。
树是一种分层的数据结构，就像是一棵倒立的树，有一个根节点，然后从根节点向下延伸出许多分支节点。
比如一个家族的族谱，就可以用树的结构来表示。
最上面的祖先就是根节点，他们的后代就是分支节点。
在编程中，二叉树是一种常见的树结构。
二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有特定的性质，即左子树中的所有节点值都小于根节点的值，而右子树中的所有节点值都大于根节点的值。
这使得在二叉搜索树中查找一个特定的值变得非常高效。
二叉搜索树的插入和删除操作也相对简单。
插入时，通过比较要插入的值与当前节点的值，确定往左子树还是右子树移动，直到找到合适的位置插入新节点。
删除节点则稍微复杂一些，如果要删除的节点没有子节点，直接删除即可；如果有一个子节点，用子节点替换被删除的节点；如果有两个子节点，通常会找到右子树中的最小节点来替换要删除的节点，然后再删除那个最小节点。
接下来，我们聊聊图。
图是由顶点（也称为节点）和边组成的数据结构。
顶点代表对象，边则表示顶点之间的关系。
比如，社交网络中的用户可以看作顶点，用户之间的好友关系就是边。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，就像单行道；无向图的边没有方向，就像双向车道。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表等。
邻接矩阵用一个二维数组来表示顶点之间的关系，如果两个顶点之间有边，对应的数组元素为 1，否则为 0。
邻接表则是为每个顶点建立一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
图的遍历是图算法中的重要操作，常见的有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是沿着一条路一直走到底，然后再回头找其他路；广度优先遍历则是先访问距离起始顶点近的顶点，再逐步扩展到更远的顶点。
图论path的概念
图论path的概念图论（Graph Theory）是研究图的组合结构和定量特性的数学分支学科。
在图论中，Path是指由边依次连接起来的一系列节点，这些节点间没有重复，也没有形成环的情况。
Path是图中最基本的概念之一，研究Path的性质和算法在图论中具有重要意义。
一、Path的定义和类型Path是由边依次连接起来的一系列节点,这些节点间没有重复，也没有形成环的情况，它是一条单向路线。
路径起始点和终点的节点分别被称之为起点和终点。
具体来说，Path可分为以下两种类型：1. 简单Path：简单Path是指除起点和终点外，Path上的所有其他节点都只经过一次的Path。
简单Path可以含有重复的边（两个节点之间的边可能会被反复经过），但是不允许有重复的节点。
2. 回路（Circuit）：回路是指Path的起点和终点都是同一个节点的Path。
回路允许经过相同的节点或边，但是相同的边不能重复经过。
二、Path的性质Path作为图论中的基本概念之一，具有以下重要性质：1. 长度：Path的长度是指连接起点和终点之间经过的边数。
2. 相交：在同一张图上，两个不同的Path可以重叠，但是它们不能穿过彼此，也就是说两条Path不能通过完全相同的节点和边同时连接起点和终点。
3. 连通：在一个无向图中，如果两个节点之间存在一条Path，那么这两个节点就是连通的。
特别地，如果一幅无向图中，每一个节点都可以通过Path到达所有其他节点，则该图是连通的。
4. 路径的存在性：对于无向图和有向图来说，两个节点之间存在Path的充分必要条件就是它们连通，即起点和终点之间必须存在通路。
三、Path的算法Path是许多图论算法的基础，也是许多实际问题中需要解决的问题。
在图论算法中, Path算法是指通过搜索、遍历等方式寻找连接两个节点之间的Path的算法。
常用的Path算法有以下几种：1. 深度优先搜索（DFS）：深度优先搜索算法是图论算法中用于遍历或搜索图形和树的一种算法。
dfs算法例题
DFS算法（深度优先搜索）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从根（或选择的任意节点）开始，尽可能深的搜索树的分支，直到达到叶子节点或者无法继续搜索为止，然后将这些节点记录下来。
下面是一个简单的DFS算法的例题：题目：无向图的DFS遍历假设我们有一个无向图，其中每个节点都有一个与之关联的权重。
我们的任务是使用DFS 算法遍历这个图，并输出所有路径的总权重。
以下是使用Python实现的DFS算法：```pythondef dfs(graph, start, visited=None):if visited is None:visited = set()visited.add(start)print(start, end=' ')for next in graph[start] - visited:dfs(graph, next, visited)return visited```在这个算法中，`graph`是一个字典，表示图的邻接表。
字典的键是节点，值是与该节点相邻的节点的集合。
`start`是开始搜索的节点。
`visited`是一个集合，用于跟踪已经访问过的节点。
算法的工作原理如下：1. 将当前节点标记为已访问，并将其添加到`visited`集合中。
2. 打印当前节点的权重。
3. 对于当前节点的每一个未访问的邻居节点，递归调用`dfs`函数。
这将确保从当前节点开始的深度优先搜索进行下去。
4. 当递归调用结束时，所有已经访问过的节点都返回到上一层，所以无需再次打印它们。
5. 返回`visited`集合，其中包含所有已访问的节点。
使用这个算法，我们可以遍历图并找到所有路径的总权重。
例如，假设我们有一个如下的图：```pythongraph = {'A': set(['B', 'C']),'B': set(['A', 'D', 'E']),'C': set(['A', 'F']),'D': set(['B']),'E': set(['B', 'F']),'F': set(['C', 'E'])}```我们可以使用以下代码来遍历这个图并输出所有路径的总权重：```pythondfs(graph, 'A') # 从节点'A'开始遍历```输出结果应该是：```vbnetA B C D F E 14A B D E F 13A C F 6```这意味着从节点'A'开始的三种不同的路径的总权重分别是14、13和6。
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树与图的简单遍历算法
发表时间：2019-01-14T09:56:22.797Z 来源：《科技新时代》2018年11期作者：闵俊齐
[导读] 树与图是两种重要的数据结构，而树可以说是一种特殊的图，它的两两结点之间存在唯一简单路径。
重庆第二外国语学校重庆 400065
摘要：树与图是两种重要的数据结构，而树可以说是一种特殊的图，它的两两结点之间存在唯一简单路径。
利用其特殊性质，人们创造了许多算法来处理数据结构问题和程序调用问题。
而树与图的遍历算法也是数据结构中重要的算法之一。
本文从树与图的概念出发，简单的介绍了树与图的主要存储方式，并重点对二叉树的简单遍历算法、哈夫曼树的生成和图的深度优先遍历及广度优先遍历做出了介绍。
关键词：数据结构；二叉树；图；遍历算法
1.树与图的概念
树是一种数据结构，是由n（n≥0）个结点构成的具有明显层次关系的有限集合。
一棵树一般由一个根节点和若干个子结点构成。
结点与结点之间具有明显的并列或层次关系，这种层次关系称为父子关系。
在一棵树中，没有父结点的结点被称为根结点。
树有几个重要的概念，以下做出简单的介绍——树的度：某个结点拥有的子树的数量称为这个结点的度，度为零的结点也叫做叶结点，而度不为零的结点叫做分支结点。
树的深度：一棵树的根结点的层次为1，其他结点的层次是其父结点的层次加1。
一棵树里最大的层次的值被称为这棵树的深度。
树有无序树，有序树，二叉树等。
其中二叉树是每个结点最多有两个子结点的树，每个结点的子树通常被称为“左子树”和“右子树”，故二叉树中每个结点的度的最大值为2，而又有左右之分，二叉树中结点的次序不能任意颠倒。
除最后一层的叶结点没有子结点外，其余每一层的每个结点都具有两个子结点的二叉树称为满二叉树。
如果存在一个深度为h的二叉树，它的除h层外其余各层（1~h-1）的结点数都达到了最大值，并且它的第h层的结点全部集中在树的左边，这种二叉树就被称为完全二叉树。
完全二叉树是由满二叉树引申出来的，它是一种效率很高的数据结构。
本文后部分将会介绍二叉树的简单遍历算法。
图由若干个顶点组成的有限非空集合和各个顶点的边构成，通常表示为G（V,E），其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
图数据结构主要研究形状和图形数据元素之间的关系。
它必须反映数据所对应的元素之间的几何关系和拓扑关系。
图依照边的方向可分为有向图和无向图。
有向图由顶点和弧构成。
弧有弧尾和弧头，带箭头的一边称为弧头。
图结构与树结构相比较，图中的任意两个元素都有可能相关。
而对某个结点而言，树下层可能有多个元素，上层只有能一个元素，复杂度比树大[1]。
2二叉树与图的储存方式
2.1二叉树的储存方式
二叉树有两种储存方式：顺序存储和链式存储。
顺序储存就是按照完全二叉树的结点层次顺序存储的一种只适用于完全二叉树的储存方式，且在最坏的情况下，k个结点的单支数却只需要长度的 -1的一维数据。
这种储存需要一个完全连续地址，所以会占用许多的储存空间。
在二叉树中，每个结点信息一般都由一下几个部分构成：该结点的数据元素（Data）、指向左子树的指针（L child）和指向右子树的指针（R child）。
利用指针，我们可以很好的存储二叉树。
若使用二叉链表，每个结点的结构如图1（a）所示。
一般可以（L,D,R）来表示。
在三叉链表中，可表示每个结点的父结点，结构如图1（b）所示。
一般可以（L,D,P,R）来表示[5]。
链式储存不需要完全连续地址，节约储存空间[2]。
图2
3.二叉树的遍历算法及哈夫曼树的生成
3.1二叉树的遍历算法
遍历，是指用某种方法沿着某条路对每一个元素做一且仅一次访问，它是二叉树的重要运算之一。
二叉树的主要有三种访问方式：先序遍历、中序遍历、后序遍历。
具体实现过程如下：
先序遍历：先序遍历是按照“根节点→左子树→右子树”的顺序来访问一个二叉树。
以下图为例，先序遍历的结果为“ABDECFG”。
获得该结果的思维过程是：先访问根节点A，A有左右两个子树，根据先左后右的顺序，所以访问B。
因为B中也有左右两个子结点，递归调用，访问结点D。
D没有子结点，所以接下来访问B的右结点E。
此时，左子树以访问完毕，开始访问右子树。
以相同的规则，接下来依次访问
C,F,G。
中序遍历：中序遍历按照“左子树→根节点→右子树”的顺序来访问二叉树。
依然以下图为例，中序遍历的结果是“DBEAFCG”。
获得该结果的思维过程是：从根结点A开始，访问其左子树。
将根结点A的左子树单独拿出来看，B作为根结点也具有左右子树，而其左子树只具有一个结点C，所以先访问C，再访问B，接着访问E。
此时，A的左子树已全部访问，故接下来访问A和它的右子树。
根据相同的规则，后面的访问顺序为F,C,G。
后序遍历：后序遍历按照“后序左子树→后序右子树→根节点”的顺序来访问二叉树。
还是以下图为例，后序遍历的结果是“DEBFGCA”。
获得该结果的思维过程是：从左到右，从叶结点到父结点，依次访问树中的结点，顺序为D,E,B,F,G,C。
最后访问根结点A。
三种遍历方法的遍历过程中查找的节点及路线是一样的，只是访问的顺序不同[3]。
3.2哈夫曼树的生成
哈夫曼树又称最优二叉树。
给定n个权值{W1,W2,……Wn}作为n个子结点来构建一棵二叉树，如果这棵二叉树的带权路径达到最小，就称这样的具有最小带权路径的二叉树为最优二叉树。
哈夫曼树的实现过程如下简述：
（1）根据给定的n个权值{W1,W2,……Wn}来构造出由n棵二叉树组成的集合N={C1,C2,……Cn}，在二叉树集合N中的每棵二叉树Ci中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树皆为空。
（2）在集合N中选取两棵权值最小的二叉树，将这两棵二叉树分别作为左子树和右子树来重新构建一棵新的二叉树，这棵新的二叉树的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
（3）于集合N中删除在步骤（2）中使用的两个二叉树，并将步骤（2）中新创建的一个二叉树加入集合N。
（4）重复步骤（2）和（3），直到集合N中只剩下一棵二叉树，这棵二叉树便是所求的最优二叉树[4]。
如图1所示。
我们给定一组权值{9,5,3,7}，以其来构造一棵最优二叉树。
根据以上提到的步骤沿（a）、（b）、（c）、（d）便可构造出一棵最优二叉树。
建立最优二叉树后便使用哈夫曼编码进行储存。
这样可以节约内存，提高效率。
在最优二叉树建立后从根结点到所以叶结点的每个左分支为0，右分支为1，让后从上到下写出每个结点的哈夫曼编码。
图1中每个结点的哈夫曼编码为：A-0 B-110 C-111 D-10。
值得注意的是，由于二叉树的左右子树交换对其父结点的权值大小没有影响，所以给定一组权值所创造的最优二叉树并不是唯一的。
最优二叉树的主要表现具有直观性，对其编码进行通讯可以极大的提高信息通道的利用率，降低信息传递时间，降低信息传递成本[2]。
4.图的遍历
图的遍历算法主要有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先搜索是树的先根遍历的推广，从图中任意一点V开始，访问V，再依次从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直到图中所以和V路径相通的点都被访问到，若还有顶点未被访问，则从另一未访问的点出发进行深度优先遍历。
如在图二中，先从顶点1开始访问，与顶点1相邻的顶点为顶点2和顶点4，我们选取顶点2作为下一个访问点，这之后访问顶点5，最后访问顶点3。
此时，本侧的访问结束，但顶点1还有与之相邻的未访问的顶点，于是接下来访问顶点4，到此为止，改图的所有结点都完成了访问，于是该图的遍历就结束了。
该图深度优先遍历顺序总结为：1→2→5→3、4。
广度优先搜索是树的按层遍历的类似。
从图中任意一点V开始，访问V，再依次从V的未被访问的邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使先被访问到的邻接点先于后被访问顶点的邻接点被访问，直到图中所以的顶点被访问。
如图2中广度优先遍历的顺序为：14253。
参考文献
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[2] 陈桂英,王亚鹏. 哈夫曼树及其应用[J]. 河南科技,2014(24):256-257.
[3] 刘洋. 一种统一的二叉树结构遍历算法及其实现[J]. 赣南师范大学学报, 2004, 25(3):10-13.
[4] 韩相军,郭春英. 浅谈哈夫曼树及其应用[J]. 濮阳教育学院学报,2001(03):45-49.
[5] 张静,邬恩杰. 二叉树的二叉链表存储结构的构造算法[J]. 电脑编程技巧与维护,2018(05):59-60+63.。