不等关系与不等式的性质
专题2-1 不等关系与不等式性质(知识讲解)-八年级数学下册(北师大版)
专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）【学习目标】1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c )．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于3．（3）x，y两数和的平方不小于4．（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．【答案】（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）12x+2y≥0【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可．（1）因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4（4）因为“非负数”就是“正数或0”，所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：12x+2y≥0【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如5x>，像3x≠这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．①在不等式“a b>”或“a b<”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．①在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．举一反三：【变式1】有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10＞100．即不等式为：x+2x-10＞100．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）由题意可得5+3x>2.4×100.解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；故答案为生长年份，树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；故答案为5+3x；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；故答案为这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100，故答案为5+3x>240【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．类型二、不等式的性质2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）15x -<； （2）413x -≥； （3）1142x -+≥； （4）410x -<-．【答案】（1）6x < （2）1≥x （3）6x ≤- （4）52x > 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可；（1）解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+， 解得：6x <； （2）解：413x -≥，两边加上1得：41131x -+≥+，即44x ， 两边除以4得：1≥x ； （3）解：1142x -+≥，两边减去1得：111412x -+-≥-，即132x -≥，两边除以12-得：6x ≤-；（4）解：410x -<-，两边除以4-得：52x >． 【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式1】已知x y >，下列不等式一定成立吗？（1）66x y -<-；（2）33x y <；（3）22x y -<-；（4）2121x y +>+． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 解：（1）①x y >①66x y ->-，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式66x y -<-不成立； （2）①x y >①33x y >，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式33x y <不成立； （3）①x y >①22x y -<-，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式22x y -<-成立； （4）①x y >①22x y > ①2121x y +>+ 不等式2121x y +>+成立【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 【变式2】说明：（1）由314x -≤，得43x ≥-，是如何变形的？依据是什么?（2）由a b >，得ax bx >的条件是什么？为什么？ （3）由a b >，得ax bx ≤的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是0x ≤，当0x <时，理由是当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时，左边=右边0=．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向； （3）条件是0x ≤，理由如下：当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时， 左边=右边0=．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．类型三、不等式性质的应用3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：（1）比较22432a b b +-+与2321a b -+的大小； （2）若223a b a b +>+，比较a 、b 的大小． 【答案】（1）222432321a b b a b +-+>-+；（2）a b < 【分析】（1）直接用22432a b b +-+减去2321a b -+得出的结果与0进行比较即可得到答案；（2）直接解不等式即可.解：（1）()222243232130a b b a b b +-+--+=+>，①222432321a b b a b +-+>-+；（2）①223a b a b +>+，①()()2230a b a b a b +-+=-+>， ①a b <．【点拨】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三：【变式1】阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如221213x x <+⎧⎨+<⎩；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得112x <<． 解决下列问题：（1）请你将双连不等式534x -≤-<转化为不等式组． （2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-．【答案】（1）5334x x -≤-⎧⎨-<⎩；（2）142x ≤<【分析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可； （2）利用不等式的基本性质求出所求即可．解：（1）534x -≤-<转化为不等式组为5334x x -≤-⎧⎨-<⎩．（2）2235x ≥-+>-，不等式的左、中、右同时减去3， 得128x -≥->-，同时除以2-，得142x ≤<【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．【变式2】在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x ． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？ 【答案】（1）7＜x ＜11；（2）20【分析】（1）根据三角形的三边关系列出不等式求解即可．（2）根据第三边取值范围和三角形周长表达式列式计算即可．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）①7＜x＜11，①x的值是8或9或10，①①ABC的周长为：当x=8时，9+2+8＝19(舍去)；当x=9时，9+2+9＝20符合题意当x=10时，9+2+10＝21(舍去)；即该三角形的周长是20．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质，利用三角形三边关系建立不等式是解题的关键．。
第一讲 不等关系与不等式性质(文)
b 3 5 b＋x (5)特殊值法，令 a＝2，b＝3，x＝2，a＝2>4＝ ，所以为假 a＋x 命题．
答案：A
点评
准确记忆各性是非常有效的方法，尤其
是对于选择题或填空题，特殊值法可以节省时间．
【举一反三】 1．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是
答案：C
解析：∵a＋b>0且b<0，∴a>0且a>－b或b>－a，对于－b 与b，∵b<0，∴－b>b.由不等式传递性知a>－b>b>－a.
π π 3．若 α、β 满足－2<α<β<2，则 α－β 的取值范围是( A．－π<α－β<π π π C．－2<α－β<2 B．－π<α－β<0 π D．－2<α－β<0
)
答案：B
π π 解析：∵－2<α<β<2，∴－π<α－β<0.
4. 对于实数a、b、c，给出下列命题： ①若a>b，则ac2>bc2； ②若a<b<0，则a2>ab>b2； ③若a>b，则a2>b2； a b ④若a<b<0，则 b a . 其中正确命题的序号是______．
答案：②④
5．已知a>b>0,0>c>d，求证：ad<bc.
( D ) A．b－a>0 C．a2－b2<0
B．a3＋b3<0 D．b＋a>0
2．判断下列命题的真、假(真命题要说明成立的依据，假 命题要举出反例)： (1)若 a＞b，则 a2＞b2；
(2)若 a＞ b，则 a＞b； a c (3)若b>d>0，则 ad＞bc； (4)若 a＞b＞0＞c＞d，则 ad＜bc.
不等式关系和不等式性质
例1,将下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式： 1 (1)x-7>2 (2) 4 x 1
解：(1)根据不等式的基本性质1，
两边都加上7，得
x-7+7>2+7 即 x>9
(2)根据不等式的基本性质3，两边都
乘以 -4 ，得
1 x (4) ＞ 1 (4) 4
整理，得 x>4
a (3)3a______ ＜ 0； (4) ______0; ＞ 4
(5)a2_____0; ＞
＜ (6)a3______0
＞ ． (8)|a|______0
＜ ； (7)a-1______0
你做对了吗？
3、将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式： (1)x+5>2 x>-3 （2）3x＞5x-8 X<4
不等式定义
用符号< 、 > 、≤、≥、 连接的式子叫做不等式。 用≠连接的式子也是不等式
不等号 ＞
读
法
大于
＜ ≥
≤ ≠
小于 大于等于 （不小于）
小于等于 （不大于） 不等于
下列各式中的不等式有
个。
（1）8＜9 (2) 2a+b=0； 2 （3）a + 1 > 0 （4）3x-1≤x； （5）x-y≠1 （6）3x=0； 2 （7）4-2x （8）x + y < 0
达标检测
1、已知x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
（1）x-6＜y-6 (3) -2x＜-2y (2) 3x＜3y
（4）2x+1＞2y+1
2、已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； (3)3a______ 0； (4)-a/4______0; (5)a2_____0; (6)a3______0 (7)a-1______0； (8)|a|______0． 3、将下列不等式化成“x>a”或“x<a” 的形式： (1)x+5>2 （2）3x＞5x-8
不等式与不等关系,不等式的性质,一元二次不等式及其解法
第1课时§3.1.1不等式与不等关系教学目标1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；教学重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系教学过程一．课题导入问题1：高速公路上经常见到：”限速100公里”“限速80公里”等字样，是什么意思啊？问题2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不低于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，又是什么意思呢？现实生活中会经常见/听到一些“不低于”“不高于”“少于”“高于”“不超过”等等字眼，这说明在现实生活中，某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
二．例题讲解1）用不等式表示不等关系例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩三．课堂练习：1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则_____||d AB 。
（填不等号）2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 四．小结本节我们主要学习了用不等式来表示不等关系第2课时 §3.1.2不等式的性质教学目标1.掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 教学难点用不等式的性质证明简单的不等式。
不等式不等关系与不等
2023不等式不等关系与不等式ppt•不等式的定义和分类•不等式的性质和证明•不等式的解法和求解技巧•不等式不等关系的建立和应用目•不等式在数学和实际生活中的应用录01不等式的定义和分类不等式是指用不等号（如“$<$”,“$>$”,“$\leqslant$”,“$\geqslant$”）连接两个数或表达式的数学式子。
不等式的定义不等式可以用数学符号表示为$a < b$或$a \geqslant b$等，其中$a$和$b$是两个数学表达式或数值。
不等式的表达不等式的含义和表达不等式的分类不等式可以分为严格不等式和广义不等式。
不等式的相互关系不等式可以传递性、加法逆元、乘法逆元、正值性和正值传递性的关系。
不等式的分类及相互关系不等式在优化问题中的应用不等式可以用来描述限制条件，如时间、资源、成本等，在优化问题中起到重要作用。
不等式在数学建模中的应用不等式可以用来描述客观世界中的不等关系，如物理学、经济学、工程学等领域中的问题，通过数学建模的方法可以解决这些问题。
不等式在实际问题中的应用02不等式的性质和证明1不等式的性质和定理23如果`a>b`和`b>c`，那么`a>c`。
传递性如果`a>b`且`b>a`，那么`a=b`。
反对称性如果`a>b`，那么`a+c>b+c`。
可加性通过代数运算和代数式变形来证明不等式。
不等式的证明方法代数证明通过几何图形和几何性质来证明不等式。
几何证明通过三角函数的性质和变换来证明不等式。
三角函数证明最值问题优化问题理论证明利用不等式优化生产、分配、消费等实际问题。
利用不等式证明数学理论中的一些重要结论。
03不等式的应用举例02 01利用不等式求函数的最值。
03不等式的解法和求解技巧不等式的解法及步骤求解不等式化简合并同类项理解不等式的定义和性质移项观察不等式中未知数的系数和常数项利用不等式的性质简化不等式将不等式中的未知数分离出来构造函数或方程利用单调性或极值求解不等式的求解技巧不等式解的应用举例求最值比较大小求解概率统计问题解决实际问题04不等式不等关系的建立和应用不等式不等关系是指两个或多个数值或变量之间存在的不平等关系，这种关系通常用不等号（如“<”、“>”、“≤”、“≥”）来表示。
《不等关系与不等式(2)不等式的性质》
证明：∵a>b，∴a+c>b+c， 又∵c>d，∴b+c>b+d，
根据不等式的传递性得： a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质5：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果
a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性）
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
3、作差比较法的步骤： 作差→变形→定号→下结论
我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_a_﹤__b_ 爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为_b_﹤__ c
你能说出我和爷爷年龄的大小关系吗？ a﹤c
推论1：移项法则 a>b ⇔a+c>b+c 性质4：相加法则 a>b， c>d ⇒ a+c>b+d
性质5：可乘性
a>b, 且c>0 ⇒ac>bc a>b，且c<0⇒ac<bc
性质6 ：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd
性质7：乘方法则 a>b>0 an bn (n N,n>1)
性质8：开方法则 a>b>0 ⇒ n a n b (nN,n>1)
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a b
b c
a b
b c
0
0
(a－b)+(b－c)>0
a－c>0 a>c.
第1讲 不等关系及不等式的性质
乘方性质: a＞b＞0 开方性质: a＞b＞0
a n＞b n (n
n
N且n＞1 ）
⑨差值性质：a＞b a-b＞0
4
a＞n b
（四）一元一次不等式： 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不为零，这样的不 等式叫做一元一次不等式；其最简形式为 ax
b ，或 ax
b a
0
6、如果 x<0，那么 x x 是（ A、正数
第三部分：
） C、非正数 D、非负数
B、负数
7、已知 ( a 2)
2
2a 3b n
0 中，b 为正数，则 n 的取值范围是________。
8、已知 a<0，-1<b<0，则 a，ab，ab2 之间的大小关系按从小到大排序是___________。 9、若 a
5、某学校要印刷一批<<学生手册>>，甲印刷厂提出：每本收 1 元印刷费，另收 500 元制版 费；乙印刷厂提出：每本收 2 元印刷费，不收制版费。 （1）分别写出甲、乙两厂的收费 y甲 元 、y乙 元 与印制数量 x 本 之间的关系式；
（2）问：该学校选择哪家印刷厂印刷<<学生手册>>比较合算？请说明理由。
第二部分：
（2） a ____ b ； （3）a+b______0；
（4）a-b______0。 ，该不等式的解集
4 、已知 3 x 是 。
m 2
2m
0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m=
5、 （七中育才）若 a
b ，则 ac 2 ____ bc 2 ；若 ac 2
bc 2 ，则 a ____ b （填不等号） 。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
不等式初学篇不等关系与不等式性质
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a 不成立． 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案 D3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2<(x －2)(x －4)； ③当x >1时，x 3>x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)． 答案 ①③④解析 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3>0，即x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9)＝－1<0， 即(x －2)(x －4)<(x －3)2.③当x >1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)>0， 即x 3>x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0， 即x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)．5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B. (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．8．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立．4.a b >1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧ a >b b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是() A ．ad >bc B ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0，而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是()A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.14．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1，所以1b －1a ＝a －b ab<0. 可得1b <1a ，(12)a >(12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b， 因此只有D 项正确．15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
第九讲不等关系、不等式的基本性质
第八讲不等关系、不等式的基本性质一、知识点精讲：（一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。
不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。
注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。
“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。
（二）不等式的基本性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。
注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变（三）不等式的解集：1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。
因此，解集要达到不多不漏的严格要求。
3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．不等式的解集在数轴上的表示如下：①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)图1－1②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)图1－2③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)图1－3④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1－4)图1－44．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合.。
5．求不等式解集的过程叫做解不等式。
1. 判断不等式例1．判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.①y x + ；②73>x ； ③523=+； ④20x ≥； ⑤132=-y x ； ⑥01<-. 变式训练1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个.2．据题意列不等式：例2．用不等式表示下列数量关系.⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差； ⑵5-与x -的和一定是负数；⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.变式训练1． 用不等式表示下列数量关系.(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和； (2)x 的绝对值与1的和不小于1；(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10； (4) x 与3的和的一半时负数.3． 不等式的基本性质：例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44a-； (2)b a +与b a -.变式训练：（1）. 若由y x <得到y a x a 22<，则一定有（ ）．A ．0>aB ．0<aC ．0≠aD ．a 为任意实数（2）. 设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．P M = B ．P M > C ．P M < D ．不确定例4． 运用不等式的基本性质进行化简：1．已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b ． 考点5 图像中比较大小2．如图所示，c b a ，，分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）．A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>变式训练（1）. 如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为S R Q P 、、、，则他们的体重大小关系是（ ）．A ．Q S R P >>>B ．R P S Q >>>C ．R Q P S >>>D ．Q R P S >>> 考点6： 不等式的解和解集（不等式中字母的取值范围）1．已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围．2．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123a y x a y x 的解满足y x >，求a 的取值范围．3． 求同时满足不等式5043874756++++x x x x 和的整数解变式训练（1）．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5854a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ，求a的取值范围．3．关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ，求关于x 的不等式b ax <7的解集．变式训练（1）．不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为31-<x ，求关于x 的不等式b a x b a ->-2)3(的解集．4．关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式0312<+-x 的解，求a 的取值范围．变式1．已知不等式a x x 322434-<+（x 为未知数）的解集也是不等式21621<-x 的解集，求a 的值．A (基本训练)1．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） （A ）3x 21)4x (2-<+ （B ）24x ⨯+≤3x 21-（C ）)4x (2+≤3x 21- （D ）)4x (2+≤)3x (21-2．若a<b ，则下列各式中不成立的是（ ） （A ）b 3a4+-<+- （B ）a 3b 3-<- （C ）33b a < （D ）b 2a 2-<-3．若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是（ ）（A ）0>-b a （B ）0>ab （C ）b c a c -<- （D ）ba 11>4．如果x<0，那么x |x |-是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 5．下列不是不等式8x )5x (2-<-的解的数是（ ） （A ）－4 （B ）－5 （C ）－3 （D ）2 6．如果不等式b ax <的解集为abx <，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a≥0 （B ）a≤0 （C ）a>0 （D ）a<0 7．如图所示，x <2用数轴表示正确的是（ ）8．不等式1x 43<的非负整数解是（ ）（A ）无数个 （B ）1 （C ）0，1 （D ）1，2 二、解答下列各题 1．用不等式表示：（1）5与x 的3倍的差是正数；（2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； （4）x 除以2的商加上2，至多为5。
不等式及其性质教学讲义(新版教材)
不等式及其性质基础知识1．不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.__不等号__思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．2．比较两个实数大小的方法(1)画数轴比较法.(2)3．性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2__a>b，c>0⇒ac>bc__性质3__a>b，c<0⇒ac<bc__性质4a>b，b>c⇒a>c性质5a>b⇔b<a4．不等式性质的推论推论1__a＋b>c⇒a>c－b__推论2a>b，c>d⇒a＋c>b＋d推论3__a>b>0，c>d>0⇒ac>bd__推论4__a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n>1)__推论5a>b>0⇒a>b思考3：利用不等式性质应注意哪些问题？基础自测1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(B)A．a2>－a3>－a B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2D．a2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故选B．2．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①对，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；②对，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③对，a2＋b2－ab＝(a－b2)2＋34b2≥0.3．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是__(1)(4)__(填序号)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是__a>－b>b>－a__.5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为__m3>m2－m＋1__.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.类型作差法比较大小┃┃典例剖析__■典例1比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a ＋b)．∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.归纳提升：比较两个代数式大小的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论．这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论． ┃┃对点训练__■ 1．已知x ，y ∈R ，P ＝2x 2－xy ＋1，Q ＝2x －y 24，试比较P ，Q 的大小． 解析：因为P －Q ＝2x 2－xy ＋1－(2x －y 24)＝x 2－xy ＋y 24＋x 2－2x ＋1＝(x －y 2)2＋(x －1)2≥0，所以P ≥Q .类型 利用不等式的性质求范围 ┃┃典例剖析__■典例2 (1)已知－6<a <8,2<b <3，则2a ＋b 的取值范围是__(－10,19)__，a －b 的取值范围是__(－9,6)__.(2)已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．思路探究：(1)求a －b 的取值范围时，应先求出－b 的范围，再利用不等式的性质求解．(2)用f (1)和f (2)表示出a ，c .解析：(1)∵－6<a <8，∴－12<2a <16， ∴－10<2a ＋b <19， ∵2<b <3，∴－3<－b <－2， ∴－9<a －b <6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2)得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).则f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．∵－1≤f (2)≤5，∴－83≤83f (2)≤403.∵－4≤f (1)≤－1，∴53≤－53f (1)≤203.∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答． (2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件． (3)结合不等式的传递性进行求解． ┃┃对点训练__■2．在本例2(1)条件下，求ab 和ab 的取值范围．解析：①因为－6<a <8,2<b <3， 所以当0≤a <8时，0≤ab <24， 当－6<a <0时，0<－a <6， 所以0<－ab <18，所以－18<ab <0， 综上可知－18<ab <24.②因为－6<a <8,2<b <3，所以13<1b <12.当0≤a <8时，0≤ab <4；当－6<a <0时，0<－a <6， 故0<－a b <3，所以－3<ab <0，综上可知，－3<ab <4.类型 不等式的证明 ┃┃典例剖析__■1．利用不等式性质证明不等式典例3 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >eb －d.思路探究：要证明e a －c >e b －d ，由于e <0，所以只需证明1a －c <1b －d .如果a －c 与b －d 同号，那么只需证明a －c >b －d ，从已知条件可以得到这个不等式，因此本题可证． 解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )>0， 即a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d .又∵e <0，∴e a －c >eb －d .2．利用比较法证明不等式典例4 设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.思路探究：要证明3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即证3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)≥0即可． 解析：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.归纳提升：1.简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． ┃┃对点训练__■3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d . 解析：由题设知ab >cd >0，则ab >cd . 又a ＋b ＝c ＋d .则(a ＋b )2－(c ＋d )2＝(a ＋b ＋2ab )－(c ＋d ＋2cd )＝2(ab －cd )>0， 即(a ＋b )2>(c ＋d )2，而a ＋b >0，c ＋d >0，故a ＋b >c ＋d . 易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 ┃┃典例剖析__■ 典例5 给出下列命题：①若a <b ，c <0，则c a <cb ；②若ac －3>bc －3，则a >b ； ③若a >b 且k ∈N ＋，则a k >b k ； ④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b .其中正确命题的序号是__④__.错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑ab <0的情况，直接由a <b 推出1a >1b ，从而判断①正确；③中易忽视a 与b 的符号，默认a ，b 同为正，即推出a k >b k ，造成错误．解析：①当ab <0时，1a >1b 不成立，故①不正确；②当c <0时，c 3<0，不等式ac －3>bc －3的两边同时乘以c 3，得a <b ，故②不正确；③当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，命题不成立，故③不正确；④a >b >0⇒－a <－b <0⇒0<c －a <c －b ，同乘以1(c －a )(c －b )，得0<1c －b <1c －a，又a >b >0，∴a c －a >a c －b >b c －b，故④正确． 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况． 学科核心素养 用不等式(组)表示不等关系 ┃┃典例剖析__■构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式．注意不等式与不等关系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的范围．典例6 糖水在日常生活中经常见到，下列关于糖水浓度的问题，能提炼一个怎样的不等式呢？(1)向一杯糖水里加点糖(假设糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡． 思路探究：糖水变浓、变淡与浓度有关，所提炼的不等式即为浓度的大小比较．解析：(1)设糖水为b 克，含糖a (b >a )克，则糖水的浓度为ab ，加入m 克糖后糖水的浓度为a ＋mb ＋m.提炼出的不等式：若b >a >0，m >0，则a b <a ＋mb ＋m .(2)设淡糖水为b 1克，含糖a 1(b 1>a 1)克，则糖水的浓度为a 1b 1；浓糖水为b 2克，含糖a 2(b 2>a 2)克，则糖水的浓度为a 2b 2.故混合后的糖水浓度为a 1＋a 2b 1＋b 2.提炼出的不等式：若b 1>a 1>0，b 2>a 2>0，且a 1b 1<a 2b 2，则a 1b 1<a 1＋a 2b 1＋b 2<a 2b 2. 归纳提升：用不等式表示不等关系的步骤：(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．课堂检测·固双基1．下列说法正确的是( C )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x >y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误． 2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( B ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立． 3．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__－1__. 解析：由x 2>1得x >1或x <－1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 则{x |x <a }{x |x >1或x <－1}， 则a ≤－1，故a 的最大值为－1.4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是__m ≥n __. 解析：m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .解析：a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，∴x a >y b ，∴a x <by ，故a x ＋1<by＋1， 即0<x ＋a x <y ＋b y ，∴x x ＋a >y y ＋b.A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( A ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2a －2b －2c ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0.∵a ，b ，c 不全相等，∴P －Q >0，∴P >Q .2．若不等式a >b 与1a >1b 同时成立，则必有( C )A ．a >b >0B ．0>1a >1bC ．a >0>bD ．1a >1b>0解析：若a >b >0，则1a <1b ，同理0>a >b 时，1a <1b ，所以只有当a >0>b 时，满足1a >1b .3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( C ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 4．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是( A ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1，－2<α－β<2， 又∵α<β，∴α－β<0，－2<α－β<0.5．已知a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值( A )A ．为正数B ．为非正数C ．为非负数D ．不确定解析：因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0，a －c >b －c >0，所以1a －b >0，1b －c >0，1a －c <1b －c ，所以1a －b ＋1b －c －1a －c >0，所以1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值为正数．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为__x 1＋x 2≤12__.解析：∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.7．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b 成立的是__①②④__(填序号)．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．8．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为__8(x ＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__8xx －12>9__. 解析：(1)原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.(2)若每天行驶(x －12)km.则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9.三、解答题(共20分)9．(10分)(1)已知a <b <0，求证：b a <ab ；(2)已知a >b ，1a <1b，求证：ab >0.解析：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0.∴(b ＋a )(b －a )ab <0.故b a <a b .(2)∵1a <1b ，∴1a －1b<0，即b －a ab<0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0. 10．(10分)已知a >b >0，c <d <0，比较b a －c 与ab －d 的大小．解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴1b －d >1a －c >0，又a >b >0，∴a b －d >b a －c. B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( A ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，所以c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，因为1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34>0，所以1＋a 2>a ，所以b ＝1＋a 2>a ，所以c ≥b >a .2．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是( A )A ．[1,7]B ．[－5,13]C ．[－5,7]D ．[1,13]解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，v ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.故选A ． 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．已知1a <1b <0，给出下列四个结论：①a <b ；②a ＋b <ab ；③|a |>|b |；④ab <b 2. 其中正确结论的序号是( BD )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①因为1a <1b<0，所以b <a <0，错误；②因为b <a <0，所以a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，正确；③因为b <a <0，所以|a |>|b |不成立；④ab －b 2＝b (a －b )，因为b <a <0，所以a －b >0，即ab －b 2＝b (a －b )<0，所以ab <b 2成立．所以正确的是②④.4．已知a 、b 、c 、d 均为实数，则下列命题中正确的是( BCD )A ．若ab <0，bc －ad >0，则c a －d b>0 B ．若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0 C ．若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0 D ．若1a <1b <0，则1a ＋b <1ab解析：A 中，∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴1ab ·(bc －ad )<0，即c a －d b<0，故A 不正确；B 中，∵ab >0，c a －d b >0，∴ab (c a －d b )>0，即bc －ad >0，故B 正确；C 中，∵c a －d b >0，∴bc －ad ab>0，又∵bc －ad >0，∴ab >0，故C 正确；D 中，由1a <1b <0，可知b <a <0，∴a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b<1ab成立，故D 正确．故选BCD ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c __>__3a －c(填“>”“＝”或“<”)． 解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴1a －b ＋1b －c －3a －c＝(a －b ＋b －c )(a －c )－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )＋(b －c )]2－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )－(b －c )]2＋(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )>0， ∴1a －b ＋1b －c >3a －c.6．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列起来是__a <c <d <b __.解析：由a －d ＝c －b ，a ＋d <b ＋c 相加得a <c ，又b －d ＝c －a >0，得b >d ，又d >c ，故a <c <d <b .四、解答题(共10分)7．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，试比较A 、B 、C 、D 的大小关系．解析：∵－12<a <0，∴取a ＝－14， 则A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .证明如下：C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a ＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a， ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a＝a (a 2－a －1)1－a ＝a [(a －12)2－54]1－a， ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .。
第一章 不等式
y
2
x
3.函数 ＝kx＋b的图像如图， 函数y＝ ＋ 的图像如图 的图像如图， 函数 则当y＜ 时 则当 ＜0时，x的取值范围是 x＞﹣2 的取值范围是 ＞ y ﹣2 ﹣1 0 x ﹣1 负 正
y＝0 ＝
4.直线 1 ：y＝k 1x＋b与直线 2：y＝k 2x＋c 直线L 与直线L 直线 ＝ ＋ 与直线 ＝ ＋ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于x的不等式 的不等式k ＋ ＜ 则关于 的不等式 1 x＋b＜k2 x＋c的解集为 ＋ 的解集为 L1 y L2 x＜1 ＜ 1 0 －2 y＝k2 x＋c ＝ ＋ y＝k1 x＋b ＝ ＋ x
期中考试复习
第一章 不等式
河北省张家口市第七中学 黄磊
1.不等关系 不等关系 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质 3.不等式的解集 不等式的解集 4.一元一次不等式 一元一次不等式 5.一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式与一次函数 6.一元一次不等式组 一元一次不等式组
第一关 不等关系
5.若x＜0，则错误的是（ ） 若 ＜ ，则错误的是（ A ﹣2x＞0 ＞ B |﹣x|＞0 ﹣ ＞ 1 C ﹣ x ＜0 D ﹙﹣x﹚²＞0 ﹙﹣ ﹚ ＞ 分析：令x＝﹣1 分析： ＝ 若0＜x＜1，则x、x²、x³的大小关系是 ＜ ＜ ， 、 、 的大小关系是 分析： 分析：令x＝ 1 ＝ 2
3.下列说法错误的是（ ） 下列说法错误的是（ 下列说法错误的是 A.-3x＞9的解集为 ＜-3 ＞ 的解集为 的解集为x＜ B.不等式 ＞-1的整数解有无数多个 不等式2x＞ 的整数解有无数多个 不等式 C.-2是不等式 ＜-4的解 是不等式3x＜ 的解 是不等式 D.不等式 D.不等式x＞-5的负整数解有无数多个 不等式x＞-5的负整数解有无数多个 4.已知关于 的方程（m+2）x=4的解为 已知关于x的方程 的解为x=2 已知关于 的方程（ ） 的解为 求不等式（ 求不等式（m-2）x＞3的解集 ） ＞ 的解集 想求它
不等关系和不等式的基本性质
不等关系和不等式的基本性质【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。
②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。
③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。
④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【典型例题】例1 用不等式表示（1）5与x 的3倍的差为正数。
（2）a 与b 两数和的平方不能大于3。
（3）x 2是非负数。
（4）x 的一半比－5大，比3小。
（5）3x 的绝对值不小于5。
（6）a 的6倍与3的差不大于1。
例2 判断下列结果对不对，为什么？ ①若323,2x x >>则 ②若36,2x x -<<-则③若12,12a a>->-则 ④若a>b ，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式。
①47x +> ②514x x <+ ③415x ->- ④2542x x +<-例4 设a<b ，用“<”或“>”填空。
（1）a+6 b+6 （2）4a 4b （3）8a -8b -例5 判断下列说法是否正确。
（1）若a>b ，则22ac bc > （2）若22,ac bc a b >>则 （3）若,c ab c a b>>则 （4）若,0a b a b ->>则 （5）若0,0,0ab a b >>>则例6 有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？【练习】1．用不等式表示下列数量关系。
①a 与b 的和大于a 的2倍。
不等关系与不等式的性质 课件
基础
梳理 ⑤a＞b，c＞d⇒a＋c__＞____b＋d. x＞1，y＞2⇒x＋y＞___3___. ⑥a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac___＞___bd. x＞2，y＞3⇒x·y＞__6____. ⑦a＞b＞0，n∈N*⇒an__＞____bn.
⑧a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒ n
n a___＞___
题型3 实际应用
例3 一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面 有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为 ________．
解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体 的对角线长2 3，故2≤d≤2 3.
答案：2≤d≤2 3
点评：不等式是不等关系的符号表示在用不等式表示不 等关系时应特别注意能否取等号的问题，如本题中“超过” 或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等情况， 应该取等号．
题型2 比较大小
例2 设x∈R，比较x3与x2－x＋1的大小(写出比较过 程)．
解析：x3－(x2－x＋1)＝(x3－x2)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1)， ∵x2＋1＞0， ∴当x＞1时，x3＞x2－x＋1； 当x＝1时，x3＝x2－x＋1；当x＜1时，x3＜x2－x＋1. 点评：比较两数(式)的大小一般利用作差法，作差 法比较两个数(式)的大小可归纳为作差→变形→判断符 号→下结论．
盒．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．
解析：(1)y＞x＞0,30＞10x＋y＞9，且x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2,60x＋70y≤500，且x，y∈N*. 点评：在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须具有相 同性质，可以进行比较时，才可用；没有可比性的两个(或几个) 量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实 际问题时，一定要注意单位的统一．
不等式与不等关系
不等式的性质如下：(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：如果a>b，c>0那么ac>bc.如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性质7：如果a>b>0，那么a n>b n，(n∈N，n≥2)．(8)性质8：如果a>b>0，那么na>nb，(n∈N，n≥2)．例1.某钢铁厂要把长度为4 000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．练习：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．练习：(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；(2)设a∈R且a≠0，比较a与1a的大小．例3.对于实数a、b、c，有下列结论：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b；⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.其中正确结论的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5例4.已知－4<a<6,2<b<4，则a－2b的取值范围是________，ab的取值范围是________．。
不等关系和不等式的基本性质
5月17日（一）不等式1.不等式的定义和不等好的分类2.3.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm，设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。
4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m 的地方作为测量部位. 某树栽种时的树围为6cm, 以后树围每年增加约3cm。
设经过x 年后这棵树的树围才能超过30 cm，请列出x满足的关系式。
5.用适当的不等号表示下列关系：（1）a是正数；（2）x 的2倍与3的和小于4；（3）x 的一半与6的和大于x的4倍；（4）x 的3倍不大于x 与3的差.6.小结：列不等式时先抓住关键词，再选准不等号。
7.练习：用恰当的不等号表示下列关系:（1） a 是非负数；（2）直角三角形的一条直角边 a 比斜边 c 短；（3）x 与17 的和比它的 5 倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的 2 倍.（5）x 的 3 倍与8 的和比x 的 5 倍大；（6）x2是非负数；（二）不等式的性质1.如果5>3，那么5+2 3+2 5-2 3-2如果-1<3，那么-1+2 -1+2 -1-2 -1-2类比等式的基本性质1你能说出不等式的这个性质吗？不等式的基本性质1：不等式两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 符号语言：如果a>b, 那么a+c>b+c, a-c>b-c如果a<b, 那么a+c<b+c, a-c<b-c2.填空你能用自己的语言说一说不等式的这个性质吗？（看课本139页）3.判断正误，并口述理由4.已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：5.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：6.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：。
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C )
B．3 D．5
练习： 若 a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是( A．a＋d＞b＋c a a C.c ＞d B．ac＞bd D．d－a＜c－b
D )
命题方向
现实生活中的不等关系
[例 2]
某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆
载重为 6 t 的乙型卡车， 有 9 名驾驶员． 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙 型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的 不等式．
解法 2：则 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， 1 1 得 a＝ [f(－1)＋f(1)]，b＝ [f(1)－f(－1)]． 2 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6. 又 2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.
为什么解得的结果不同呢？
2
2
5．已知 a<0，b<－1，那么下列不等式成立的是( D ) a a A．a>b>b2 a a B.b2>b>a
a a C. >a> 2 b b
a a D. > 2>a b b
6．(2012· 湖南文，7)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论： c c ①a>b； ②ac<bc；
③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( A．① C．②③
a b (3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒c ＞d；
1 1 (4)a＞b，ab＞0⇒a＜b.
5．注意式子 a≥b 的含义是 a>b 或者 a＝b，两者只要有一 个正确，则 a≥b 就是正确的．
命题方向
[例 1]
不等式性质的应用
对于实数 a、b、c，有下列结论：
①若 a＞b，则 ac＜bc； ②若 ac2＞bc2，则 a＞b； ③若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2； a b ④若 c＞a＞b＞0，则 ＞ ； c－a c－b 1 1 ⑤若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0.
命题方向 比较数的大小
[例 4] 已知 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y) 的大小．
1 练习 设 x∈R 且 x≠－1，比较 与 1－x 的大小． 1＋x
1 x2 解 ∵ －(1－x)＝ ，x2≥0. 1＋x 1＋x x2 1 ①当 x＝0 时， ＝0，∴ ＝1－x. 1＋x 1＋x x2 1 ②当 1＋x<0，即 x<－1 时， <0，∴ <1－x. 1＋x 1＋ x x2 1 ③当 1＋x>0 且 x≠0， 即－1<x<0 或 x>0 时， >0， ∴ 1＋x 1＋x >1－x.
C
)
1 C. ≥1－a a＋1
3、给出下列结论 ①若 ac>bc，则 a>b. ②若 a<b，则 ac2<bc2. 1 1 ③若 < <0，则 a>b. a b ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d.
⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd.
③． 其中正确结论的序号是________
π (－2π，－ ) π π 4． 已知 α∈(0， )， β∈( ， π)， 则 α－2β 的范围是________2 ．
D
) B．①② D．①②③
7、已知 1 a b 5， 1 a b 3， 求3a 2b的取值范围。
8、已知f ( x) ax bx，且f (1) 1， 5 ，f (1) 1,2 ，
2
求f (2)的取值范围。
练习： 课堂巩固训练
1、已知 a＜b＜0，则下列不等式成立的是( A. a＜ b C. －a＜ －b 3 3 3 3 B. a2＜ b2 D. －a＜ －b
A )
1 2、已知|a|<1，则 与 1－a 的大小关系为( a＋1 A. 1 <1－a a＋1 1 B. >1－a a＋1 1 D. ≤1－a a＋1
3．不等式的下述性质： 性质 1(对称性) a＞b⇔b＜a，
性质 2(传递性) a＞b ⇒a＞c， b＞c
a≥b a＞b a≥b ⇒a≥c. 推广： ⇒a＞c； ⇒a＞c； b＞c b≥c b≥c
性质 3(可加性)
a>b⇔a＋c>b＋c，
命题方向 [例 5]
讨论取值范围
设 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
求 f(－2)的取值范围．
解法 1：1≤f(－1)＝a－b≤2,2≤f(1)＝a＋b≤4. 3 两式相加，得 3≤2a≤6，∴ ≤a≤3. 2 又∵－2≤b－a≤－1,2≤b＋a≤4. 3 ∴0≤2b≤3，∴0≤b≤ . 2 ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0. ∴3≤f(－2)＝4a运算性质与大小顺序关系是比较两实数大小的依 1a＞b⇔a－b＞0 据， 2a＝b⇔a－b＝0是“作差法”比较两实数大小的理论 3a＜b⇔a－b＜0 基础．
2．用比较法判断 a 与 b 的大小，常归结为两种基本形式： (1)作差比较：作差―→因式分解等变形―→判断符号． a (2)作商比较：作商―→约分、分解等变形―→判断b与 1 的 大小关系(在 a、b 同号时)．
a>b c>d
性质 5(同向可加性)
a≥b 推广： c＞d
⇒a＋c＞b＋d.
⇒a＋c≥b＋d.
a≥b ⇒a＋c＞b＋d； c≥d
性质 4(可乘性)
a＞b a＞b ⇒ac＞bc； ⇒ac＜bc； c＞0 c＜0
性质 6（同向可乘性）
a＞b＞0 ⇒ac＞bd. c＞d＞0
性质 7(乘方法则) a＞b＞0⇒an＞bn.(n∈N*且 n≥2)．
n n 性质 8(开方法则) a＞b＞0⇒ a＞ b.(n∈N*且 n≥2)
4．由不等式的性质可推出一些重要结论． (1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d.
(2)a＋c＞b⇒a＞b－c(不等式移项法则)．
要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组 来表示： x＋y≤9 10×6x＋6×8y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 x＋y≤9 5x＋4y≥30 ，即 0≤x≤4 0≤y≤7
.
命题方向
利用不等式性质证明不等式
[例 3] e . b－d2
e 若 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： 2＞ a－c