2015年复旦附中自招数学试卷

2015年复旦附中自招数学试卷
一. 填空题A
1. 若x ab =，22y a b =+，则22()()x y x y ++-=
2. 12||3x x -=，求1x 、2x 的方差
3. 从1，4，7，⋅⋅⋅，295，298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有 个
4. 解方程：2122
x x x +=-++ 5. 28152|3|
1x x x x -+--=的解有 个 6. 37531(12)8
mx mx mx x m x -<-⎧⎨+-<-+⎩有正数解，求m 的取值范围
7. 2104y x x m =-+与x 轴两个交点在x 的正半轴，求m 的取值范围
8. 495235
x y x z z +++==--时，求x y 的值 9. 矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形折叠，点B 落在
边AD 上的点M 处，C 落在N 处，求
||EC FB AM
-.
二. 填空题B
1. 扫雷游戏
2. 已知不等式21y x px ≤-++，求能使x y +最大值
为2的负实数p 的取值范围.
3. 如图所示，直线l 经过点P ，且垂直于AB ，当长方
形AOBP 的周长为20时，请求出无论图形如何变化， l 始终经过的定点坐标
4. 在反比例函数k y x
=上存在点C ，以点C 为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O 点 距离为2，则k 的取值范围
5. 已知直线MA 、NB 均与线段MN 为直径的半圆相切，直线AB 与半圆相切于点F ，P 在线段MN 上且PF MN ⊥，当直线AB 变化时，求PA PB AB
+的最大值. 6. 在1，2，3，⋅⋅⋅，39，40，数列中能找出 对数字使它们的差的绝对值为质数.
三. 解答题
1. 已知在BAC ∠的内部存在一点M ，在不画出A 点的情况下过M 点作一条直线，使它经过A 点.
2. 设1x 、2x 为220x px p --=的两根，p 为实数.
（1）求证：212
230px x p ++≥； （2）当12|||23|x x p -≤-时，求p 的最大值.
3. 实数a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 满足：① 120n a a a ++⋅⋅⋅+=；② 12||||||1n a a a ++⋅⋅⋅+=； 求证：k 个数（1,2,3,,k n =⋅⋅⋅），121||2k a a a ++⋅⋅⋅+≤
.
4. 锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为BC 、AC 、AB 边上的高，设BC a =，AC b =，AB c =，BD x =，EC y =，AF z =.
（1）用a 、b 、c 表示x ；
（2）当a 、b 、c 满足什么关系时，有2()x y z a b c ++=++.
参考答案
一. 填空题A
1. 2222a b +
2. 34
3. 197
4. 32
x =- 5. 2 6. m 为任意实数 7. 2504m << 8. 12 9. 13
二. 填空题B
1. 2. 3p =- 3. (10,10) 4. 9922k -
<<且0k ≠
5.
2 6. 283
三. 解答题
1. 法一：位似；法二：平行四边形法.
2.（1）证明略；（2）max 916
p =
. 3. 证明略. 4.（1）222
2a c b x a
+-=；（2）当a b =或b c =或c a =时，2()x y z a b c ++=++.
2015年复旦附中自主招生试卷
一. 填空题
1. 已知实数x 、y 、z 满足4x y +=，|1|29z xy y +=+-，则32x y z ++
=
2. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则ac 的值等于
3. 如图△ABC 是直角三角形，1S 、2S 、3S 为正方形，已知a 、b 、c 分别是1S 、2S 、3S 的边长，则a 、b 、c 满足的关系式为
4. 若满足关于x 的不等式组1252
x x x a <->⎧⎪⎨-<<⎪⎩或的整数解只有2-一个，则实数a 的取值范围为
5. 已知关于x 的方程2(1)2(1)0a x x a -+-+=的根都是整数，则满足条件的整数a 的值为
6. 如图，在Rt △ABC 中，3AC =，4BC =，点D 为斜边AB 上的一个动点，过D 作DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，则线段EF 长度的最小值为
7. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 种不同的取法
8. 已知1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，n x 中每一个数值只能取2-，0，1中的一个，且满足
1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，22212
37n x x x ++⋅⋅⋅+=，则33312n x x x ++⋅⋅⋅+= 9. 如图，半径分别为1和2的两个圆外切，且两圆与等腰三角形△ABC 的两腰AB 和AC 都相切，则△ABC 的面积为
10. 如图，ABCDE 是正五边形，已知1AG =，则FG JH CD ++=
二. 解答题
11. 如图，△ABC 内接于圆O ，AB BC =，AO BC ⊥，垂足为D .
（1）求证：△ABC 是等边三角形；
（2）若1AB =，P 是劣弧BC 上的动点（点P 与B 、C 不重合），PA 交BC 于点E ，设AE x =，EP y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 取值范围.
（3）在（2）的前提下，令PAC α∠=，APC β∠=，当y 取何值时，22sin sin 1αβ+=.
12. 定义[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.3]2=，[0.4]1-=-.
（1）若04x <<，解方程：22[]0x x x --=；
（2）求所有的实数x ，使得3[]43x x =+.
参考答案
一. 填空题
1. 8
2. 1-
3. a b c =+
4. 23a -<≤
5. 0，1±，2，3
6. 125
7. 2500
8. 7-
9. 162 10.
51+
二. 解答题
11.（1）证明略；（2）1y x x =
-（31x ≤<）；（3）3y =. 12.（1）1172x +=
或3；（2）1x =-或54-.。