广州大学数学模型2017-2018 A卷试卷及解答

0
n
计算 dG 并令其为 0，得 dn
n
p(r) dr
∫0 ∫ ∞
p(r) dr
=
a−b b−c
或
∫n
n p(r) dr = a − b …（10 分）
0
a−c
因为需求量 r 服从正态分布 N (µ,σ 2) ，从而 x = r − µ 服从标准正态分布 N (0,1) 。 σ
由标准正态分布的性质可知，
表：本年度三个部门产品的投入产出情况（单位：百亿元）
产出 投入
农业
工业
商业
外部需求
农业
6
4
3
7
工业
2
12
3
23
商业
2
4
9
15
（数学模型+32 学时--（A 卷）共 6 页/第 3 页
总产出
20 40 30
初始投入
10
20
15
总投入
20
40
30
四、 (20 分)报童每天清晨向报社购入报纸零售，每份报纸的购进价为 0.75 元，售出
价为 1 元，退回价为 0.6 元。又假设报纸需求量服从均值 µ =500 份，均方差σ =50 份的正
态分布 N (µ,σ 2 ) ，即密度为 p(r) =
1 2π σ
exp -
(r − µ)2 2σ 2
。
已知服从标准正态分布的随机变量 ≤ 0.32 的概率约为 0.625，请问报童每天应购进多少份
k2
k2
Q1 = 2 = 1 ， h = l
Q2 s + 2 8h +1
d
…（12 分）
模型分析 这反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它与 h=l/d 有关。
例如，当 h≈4 时，Q1/ Q2≈0.03，双层玻璃窗比同等材料单层的节约热量 97%
左右。
…（15 分）
（数学模型+32 学时--（A 卷）共 6 页/第 2 页
报纸才能使平均收入最高？这个最高收入是多少？
解：设报童每天购入 n 份报纸时的平均收入为 G(n)，记购进价为 a, 售出价为 b，
退回价为 c，报纸需求量为 r。由于 n 和 r 通常很大，视它们为连续变量，则有
…（2 分）
n
∞
∫ ∫ G(n) = [(a − b)r − (b − c)(n − r)]p(r) dr + (a − b)np(r) dr …（6 分）
…（13 分）
s(4) = (13,11, 7,13,17)T , s(5) = (24, 20,13, 24,31)T ,
（数学模型+32 学时--（A 卷）共 6 页/第 5 页
（或计算 A 的特征多项式为 f(A)= x5－4x2－3x－2, 其最大特征值λ为 1.8393, 对应特征向量 s = (0.2137 , 0.1794, 0.1162, 0.2137, 0.2769)T ）。 因此，5 位选手的排名为 {5, 1(4), 2, 3}，选手 1 和选手 4 名次相同。…（15 分）
二、（15 分）已知热传导定律为 Q = k ∆T ，其中 Q 为单位时间由温度高的一侧向另外 d
一侧通过单位面积的热量，k 为热传导系数，∆T 为两侧温度差，d 为均匀介质的厚度，而
常用玻璃与不流通、干燥空气的热传导系数之比介于 16 与 32 之间。请分析比较用同等材
料建造的双层玻璃窗与单层玻璃窗的隔热效果。
5、如果 x1 和 x2 都是非负整数变量，分别表示对甲乙两种产品的采购量（单位：吨），则
“只有当购入 500 吨的产品甲时，才能购买产品乙”的等价表示为（ D ）。
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A． x1 ≤ x2 B. x1 ≥ x2 C. x1(x2 − 500) = 0 D. (x1 − 500)x2 = 0
表：本年度三个部门产品的直接消耗系数表
产出 投入
农业
工业
农业
0.3
0.1
工业
0.1
0.3
商业
0.1
0.1
商业
0.1 0.1 0.3
解：（1）由上述表可得三个部门产品本年度的直接消耗系数矩阵，记为 A，用 产出向量 x 表达三个部门的总产出，需求向量 d 表达它们产品的外部需求。… （2 分）
由于各部门的总投入等于总产出，求解代数方程 x=Ax+d, …（6 分）
∫ ∫ ∫ n
p(r) dr =
0
1 2π σ
n 0
exp
−
(r − µ 2σ 2
)2
dr
=
1 2π
n−µ
σ −σµ
exp −
x2 2
dx
…（14 分）
≈
P(x
|
x
≤
n− σ
µ
)
=
a a
−b −c
=
1− 0.75 1− 0.6
=
0.625
因此，由题目可知， n − µ = n − 500 = 0.32 ， n = 516 。 …（18 分）
此竞赛图对应的邻接矩阵为：
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
A
=
1
0
0
0
0
0 0 1 0 1
1
1
1
0
0
…（8 分）
记第 k 级得分向量 s(k) = Ak 1, k ≥ 1, 1 = (1,1,1,1,1)T ，则有 …（10 分）
s(1) = (2, 2,1, 2,3)T , s(2) = (4,3, 2, 4,5)T , s(3) = (7, 6, 4, 7,9)T ,
一、 选择题（4 分×5=20 分）
1、哪些因素不会影响光盘的数据容量 （ A ）
A. 光盘的数据读取时间
B. 光盘驱动的方式
C. 光盘存储数据的线密度 D. 所选用激光的种类 2、在常见的传染病模型中，假定病人被治愈后还可被感染的是以下哪种模型（ C ）。
A. SI 模型 B. SIR 模型 C. SIS 模型 D. SID 模型
可得 x=(20, 40, 30)T。因此，本年度三个部门的总产出分别为 20, 40, 30 百亿元。…
（8 分） （2）由上述可知，x= (I－A)－1 d，先求得
1.5 (I - A)-1 = 0.25
0.25 1.5
0.25 0.25
，…（12
分）
0.25
0.25
1.5
则 (I－A)－1 (0 1 0)T= (0.25 1.5 0.25) T。因此，当工业部的外部需求增加 1 个单 位时，三个部门的总产出分别增加 0.25, 1.5, 0.25 百亿元。…（15 分）
院、系领导 审批并签名
广州大学
2017-2018 学年第
A卷
2 学期考试卷
参考解答及评分标准
课程 数学模型 考试形式（闭卷，考试）
学院
系
专业
班级
学号
姓名
_
题次 一 二 三 四 五 六 七 总分 评卷人
分数 20 15 15 20 15 15
100
评分
警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察 看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。”
六、（15分）通过数学模型这个课程的学习，想必大家对于应用数学建模的方法解决实际 问题有了深刻印象，请写出几个学习感受最深的数学模型以及你对它们的理解。
解：开放型题目，写出 4 到 5 个数学模型以及对它们的学习见解，而每个模型 的完整叙述给 3 至 4 分。
（数学模型+32 学时--（A 卷）共 6 页/第 6 页
解：模型假设
1．热量传播过程只有传导，没有对流。
2．室内温度 T1与室外温度 T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态。
3．玻璃介质材料均匀，热传导系数为常数。
…（2 分）
模型构造
记双层玻璃窗内层玻璃外侧温度为 Ta，外层玻璃内侧温度为 Tb，玻璃热传 导系数 k1，空气热传导系数 k2，玻璃厚度为 d，夹层空气厚度为 l，则单位时 间单位面积的热量传导为 …（4 分）
五、(15 分) 下图为 5 位网球选手循环赛的结果。作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出
几条完全路径，用适当方法排出 5 位选手的名次。
解：首先，易见以上竞赛图是双向连通的，且有完全路径如下：…（1 分）
5→1→2→4→3
5→2→3→1→4
5→2→4→3→1
5→3→1→2→4
4→5→3→1→2 …（6 分）
三、（15 分）在投入产出模型中，简单假设某国家农工商三个经济部门的产品一年的直 接消耗系数表如下所示，且本年度三个部门产品的外部需求分别为 7, 23, 15（百亿元）。求 解：
（1）根据各部门总投入等于总产出的原则，本年度三个部门的总产出分别为多少？ （2）若本年度工业部的外部需求增加 1 个单位，则三个部门的总产出分别增加多少？
Q1
=
k1
T1
- Ta d
=
k2
Ta
- Tb l
=
k1
Tb
d
T2
…（6 分）
消去 Ta ,Tb 得
Q1
=
k1(T1 d(s
- T2 ) + 2)
,
s = k1l k2d
同理，对于厚度为 2d 的单层玻璃窗，其热传导为
…（8 分）
Q2
=
k1
T1 - T2 2d
…（10 分）
因为 k1 = 16 ~ 32 ，保守估计 k1 = 16 ，可得