高中物理一题多变一题多解在教学中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
一题多解在中学物理习题教学中的应用——记一道力学题的多种解法
以及 运 动学 公 式 ：ｓ：
（４）
联 立 （３）、（４）并代 人 已 知条 件 ｍ＝３ｋｇ，ｔ＝２ｓ，ｓ＝５ｍ 得
２２．５Ｎ
这 是 用平 均 速 度 公 式所 做 的 解 答 。 解法 四 ：由 动 能定 理 得 ：
（，咿 ｓ： 舢 （１）
再 由 运 动学 公 式 ：ｓ＝ ａｔ： （２）
Ｆ￣＝２２．５Ｎ
这 是 利 用 运 动 学 方 程 （１）、（２）及 动 力 学 方 程 （３）所 做 的
运 动 。但 稍 加 分 析 会得 出并 不 是 自 由落体 运动 的结 论 。
解 答 过 程 力 。所 以不 是 自由 落 体 运 动 ；二 是
再 由 ２ （２）
及 ｓ＝
（３）
联立 （１）、（２）、（３）并代 入 已知 条 件 解 得
ｖ，＝Ｓｍ／ｓ Ｆ，＝２２．５Ｎ
解 法 六 ：由动 能定 理 （ｍｇ—Ｆｆ） ｓ＝ １ ｍｙ （１）
以及＿＿ （２）
＿＿ （３）
联 立 （１）、（２）、（３）解 得 ｖ￣＝５ｕｄｓ， ２２．５Ｎ 运 用 动量 定 理 与 运 动 学 公式 搭 配 解 题 的方 法 有 ： 解法七：由动量定理 （，咿 跏 ＝肌ｋ （１）
‘
设 刚 分 离 时 男 演 员 速 度 的大 小 为 Ｖ。，方 向 与 ｖ０相 同 ； 女 演 员 速 度 的 大 小 为 ｖ２， 方 向 与 ｖ０相 反 ， 由 动 量 守 恒 ， （ｍＩ＋ｍ ０＝ｍ 广ｍｊｖ２分离后 ，男演员做 平抛运动 ，设男 演员 从 被 推 出 到 落 到Ｃ点 所 需 的 时 间 为 ｔ，根 据 题 给 条 件 。由 运
动 学 规 律 ，４Ｒ＝ １ Ｘ－－ＶＩｔ，根 据 题 给 条 件 ，女 演 员 刚 好 回Ａ
新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的有效运用
教改前沿JIAO GAI QIAN YAN新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的有效运用张英彬沧州市第二中学 （河北省沧州市 061000）摘 要：在新课改背景下，高中物理教学不仅要传授给学生相应的物理知识，还要重点培养学生的理性思维，提升学生的分析能力，让学生可以运用所学发现并解决日常生活中的物理问题，达到学以致用的目的。
而问题教学法是一种具有创新特点的教学方法，将其应用到高中物理教学中，具有十分重要的作用。
但如何才能有效运用问题教学法，是高中物理教师需要解决的问题。
关键词：问题教学法 高中物理 教学 运用新课程改革的不断深入，使得高中物理教学内容与教学形式发生了很大的变化。
如果教师依然使用传统的灌输式教学方法，不仅无法激发出学生的学习兴起，还有可能产生反作用，让学生对物理学习产生排斥。
在这种情况下，教师必须要掌握问题教学法的有效运用技巧，通过问题教学法的有效运用来保证高中物理教学质量的有效提升。
1 新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的运用原则所谓问题教学法，指的是以将问题贯穿于整个物理教学过程中，教学需要进行相应问题情境的创设，让学生发现问题、提出问题，然后再通过自主学习或者合作探究等有效学习方法进行解决问题。
要想将问题教学法有效运用到高中物理教学中，需要遵循以下几大原则。
1.1 趣味性原则经过大量的教学实践，只有激发出学生对物理知识的学习兴趣，才能够让学生积极主动的参与到物理教学活动中。
问题教学法的运用，也需要以激发学生对物理知识的学习兴趣为前提条件。
对此，教师在设置物理问题的时候，可以加强一切有趣生活现象、历史故事、漫画插图以及音视频的运用，并使用学生喜闻乐见的方式。
只有保证物理问题设计的幽默性与有趣性，才能够对学生的注意力进行有效的吸引，对学生的学习欲望进行有效的刺激。
1.2 延伸性原则在高中物理教学中，问题教学法的有效运用，也应当遵循延伸性原则，即教师需要提出具有一定延伸性的物理问题，需要提出既与教材内容相关，又高于教材基本要求的物理问题，确保可以通过这一物理问题，引起学生的深度思考，进而让学生通过课外物理知识的探索来提升自身的物理思维[1]。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙发布时间：2021-09-29T00:58:37.125Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月上作者：练芳宙[导读] 数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
浙江省杭州市建德市航头初级中学练芳宙摘要：数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
在数学教学过程中也可以发现，以一些常见的习题求解与分析过程为例，通过对于同一道题目分析和寻找出不同的解答方式，能够帮助学生加强知识点之间的联系，增加数学知识学习的有效性。
那么这也就要求初中数学教师在教学环节当中，就需要注重将这种思维运用，以及渗透到数学课堂中，帮助学生逐渐建立这种数学学习思维。
而笔者也将针对于该种教学方式，在学科当中的渗透展开相关探讨。
关键词：初中数学；一题多解；一题多变；提高效果；加快思维转变；加强知识联系；提高解题效果；增强思考水平随着近几年来素质教育在教育过程中的不断渗透，培养学生一题多解的能力也是教学要求。
不仅要求学生进行概念知识点的掌握，更加要求学生在学习概念知识基础上，加强知识点之间的联系，学会从多角度多方面解决这些问题。
一题多解让学生学会从不同的方位以及角度去分析题目。
而一题多变则是通过题目设题变化出的新问题让学生对知识的理解更深刻，体现出思维的可创性。
而且在课堂中让学生学会从不同的角度，从不同的方向去看待问题，也是为了能够帮助学生，在学习数学知识内容时可以建立自身的思维形式，提高学生数学学习的综合能力。
经过教师的合理设置和数学课堂的趣味开展，学生不仅能够借助一题多解建立起良好的数学知识应用能力，也将借助一题多变的探究和分析实现数学素养的建立和健全。
一题多解在普通物理教学中的作用
一
题 多解 在 普通 物 理 教 学 中的作 用
祁 翔
湖北黄冈师范学院物理科学与技术学院 ４８０） ３００ 惯性质量同引力质量的等效性并不意味着 （
的主动 引力 质量 为 ｍ ，被 动 引力 质 量为 ｍ 产生和感受引力作用的特性 ，在一定条件下总 ，
则物体 １受 到物 体 ２的引 力 为： 。 ｍ 是 同时存 在 、同时变 化 的 ，以致 它们在数 量上 ＝Ｇ 。 ｍ ／ ｒ，物体 ２受到物体 １的引力为 ：Ｆ ： 存在 着正 比关 系 ，因而适 当选 择单 位时 ，可用 。
Ｇｍ２ ｍ１／ｒ． ＂
同一 数量来 表 征这两 种质量．
３ 测 度质 量
一
根据 牛顿 第三 定律 。 。 ＝Ｆ
可推 出 ：ｍ１ ｍ１ ＝ｍ ｍ ” Ｋ ” ２ ２＝ ／ ／
个物体或一群物体所含的物质的多少的 这是 说 明主动 引力质 量 与被 动引力 质 量永 量度 ，通 常称 之为物质 之量． 它包含 以下 两个
根据实验观察所得的结果与物体 自由下落 的多 少似 乎更 为 恰 当． 因此 宜 称 为测 度 质 量 ： 而在 动能公 式 Ｅ ＝ｍ ２及 质 心 动量 公 式 ｍ ｙ／ ｙ 的加 速度 ａ 相 等． 即 。 ａ１ ａ２ ａ０ Ｚ 之 中的 ｍ、ｍ 及 肘 系指 惯 性 的大小 ， ｍ 它们应 称 为惯性质 量． 又 由于物 体在地 面 附近 的重力 可写 成 ：
到 的 重 力 分 别 为 Ｐ 、Ｐ ，惯 性 质 量 分 别 为 ｍ惯 ，ｍ ，则 根据 牛顿第 二定 律得 ：
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”作者：刘彦永来源：《求学·教学教研版》2018年第03期摘要：“一题多解”能快速整合所学知识，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.教学中的“一题多解”和“一题多变”旨在通过强化训练提高学生解题技巧与技能，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可發散，又可回归，做到收放自如.本文通过对2013年高考课标Ⅰ卷16题的分析、解法探究和变式练习，浅谈试题“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .一、试题分析本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.二、解法探究（一题多解）本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，解得cos θ=-255.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，解得cos θ=-255.【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），其中cos φ=15，sin φ=25.因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，即f″（θ）=-sin θ+2cos θ三、解后反思函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、s in 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.四、变式练习（一题多变）为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第象限角.【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= .【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，故cos 2θ=2cos2θ-1=35.【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，则-π2【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2【变式题6】【解法1】根据条件知f（0）=fπ4，即a=1.检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），其中a=tan θ.根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：2015年重庆高考文科数学14题：设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .2009年安徽高考理科数学14题：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .五、结束语“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.参考文献[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.。
一题多解和一题多变
２０２４年１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一题多解和一题多变:一道有关抛物线焦半径问题的探究∗◉江苏省新沂市第一中学㊀吴玉章㊀苗庆硕㊀㊀抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型,其可以联系起抛物线的定义(问题的本质)㊁几何性质( 数 的属性)与几何特征( 形 的特征)㊁焦半径公式(三角形式)等, 串联 起平面解析几何㊁平面几何㊁函数与方程㊁三角函数等众多相关知识,为问题的切入与解决提供较多的思维视角,给问题的解决提供更多的方案与技巧方法,是有效发散数学思维,考查学生 四基 ㊁数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体,备受各方关注．１问题呈现问题㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝．此题以抛物线为问题场景,通过设置过准线与x 轴交点的直线l与抛物线交于两点,利用两个角相等来创设定交点问题,进而求解相应焦半径的长度．涉及抛物线的焦半径问题,可以从解析几何的实质入手,利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理;也可以从平面几何的图形入手,利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理;还可以从焦半径的公式入手,利用三角函数思维来合理数学运算㊁逻辑推理与综合应用等．不同思维视角的切入,都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法,实现问题的巧妙解决．２问题破解２．１解析几何思维解法１:设线法．依题意可得p＝４,则F(２,０),C(－２,０)．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图１所示．设直线l的方程为x＝m y－２,其中m＞０．设A(x１,y１),B(x２,y２),y１＞y２＞０．图１联立x＝m y－２,y２＝８x,{消去参数x并整理,可得y２－８m y＋１６＝０．利用韦达定理,可得y１＋y２＝８m,y１y２＝１６,则|A B|＝１＋m２|y１－y２|＝１＋m２ ６４m２－６４＝８m４－１,|B C|＝１＋m２|y２|＝１＋m２ y２．由抛物线的定义,可得|A F|＝x１＋p２＝m y１－２＋２＝m y１．由于øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线．由三角形内角平分线定理,得|C F||A F|＝|B C||A B|,即４m y１＝１＋m２ y２８m４－１．整理并化简,可得m y１y２＝３２m２－１,即１６m＝３２m２－１,则m２＝４３,解得m＝２３３．所以y１＋y２＝８m＝１６３３,又y１y２＝１６,解得y１＝４３,则|A F|＝m y１＝２３３ˑ４３＝８．解后反思:设线法是借助解析几何思维处理问题的一种 通性通法 ,成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法．２．２平面几何思维解法２:几何法．依题意可得,p＝４．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图２所示．过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为D,３８∗课题信息:江苏省教育科学 十四五 规划普教重点课题 指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究 ,课题编号为B/２０２１/０２/３４;江苏省教研室第十一期立项课题 差异教学在课程基地中应用的实践研究 ,课题编号为２０１５J K１１ＧL O４２．解法探究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀图２E,延长E B交A F于点G．由于E GʊC F,因此øG B F＝øC F B,又øA F B＝øC F B,所以øA F B＝øG B F,可得|B G|＝|F G|．由øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线,利用三角形内角平分线定理可得|A B||B C|＝|A F||C F|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,可得|A B||C F|＝|B C| |A D|．由于E GʊC FʊD A,因此|B G||C F|＝|A B||A C|,|B E||A D|＝|B C||A C|．所以有|B G| |A C|＝|B E| |A C|,可得|B G|＝|B E|,又结合抛物线的定义有|B E|＝|B F|,故|B G|＝|F G|＝|B F|,即әB F G是正三角形,从而øB F G＝６０ʎ,可得øA F x＝６０ʎ．利用抛物线的焦半径公式,可得|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:平面解析几何侧重 数 与 形 的结合与转化,借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等,实现问题的突破与应用．２．３三角函数思维解法３:性质法．依题意可得,p＝４．图３根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图３所示,过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E．设øA F x＝θ,其中θ为锐角．结合øA F B＝øC F B,利用抛物线的焦半径公式可得|A F|＝p１－c o sθ＝p２s i n２θ２,|B F|＝p１－c o s(θ＋π－θ２)＝p１＋s i nθ２．由øA F B＝øC F B知,F B是øA F C的角平分线,则利用三角形内角平分线定理可得|C F||A F|＝|B C||A B|．结合比例性质,可得|C F||A F|＋|C F|＝|B C||A B|＋|B C|＝|B C||A C|．而由E BʊD A,可得|B E||A D|＝|B C||A C|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,|B E|＝|B F|,即|B C||A C|＝|B E||A D|＝|B F||A F|,所以|C F||A F|＋|C F|＝|B F||A F|,即pp２s i n２θ２＋p＝p１＋s i nθ２p２s i n２θ２,整理可得s i nθ２－２s i n２θ２＝０．解得s i nθ２＝１２,或s i nθ２＝０(舍去),结合θ为锐角,解得θ＝６０ʎ．所以|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:抛物线的焦半径三角公式|A F|＝p１－c o sθ(θ为直线A F的倾斜角),是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论．借助三角函数思维,结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用．３变式拓展３．１同源变式变式１㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|B F|＝．在此基础上,可以对问题进行一般化的归纳与总结．结论:已知抛物线y２＝２p x(p＞０)的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝２p,|B F|＝２p３．变式２㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A B|＝．３．２同阶变式变式３㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则直线A F的斜率为．变式１,２,３的参考答案分别为:８３,８７３,ʃ３．４教学启示此类涉及抛物线的焦半径问题,往往是多知识点交汇与融合的产物,这样的创设契合高考数学命题精神,而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角,给各层面的学生提供了更多的机会,从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性．在数学学习中,针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题,要深刻体会并加以系统学习,把握问题的实质与内涵,构建知识体系,理解技巧方法,形成解题习惯,培养数学品质．Z４８。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。
它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。
一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。
例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。
一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。
例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。
一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。
例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。
总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。
一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝
一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝
高中数学内容多，而数学题是永远做不完的，那么有没有一种行之有效的，高效的复习方法吗？尝试一下一题多解和一题多变吧。
可能会有人认为，如果追求一题多解和一题多变，会加重学生学习负担。
其实不然，因为一题多解是采用多种方法解决同一道问题，在解决问题的同时又能复习巩固多项数学基础知识，加深理解记忆多条数学规律，熟练多项解题技能，而且通过一个阶段的自我训练，掌握了一题多解的思路，又找到各种不同类型的题目的简便解法，那时候就不需要做那么多题目，实际上就是跳出了题海，必然减轻了课业负担。
除此之外，一题多解还有很多的好处。
例如，在化学网考试中，如果碰到了某道题，用一种方法没有解决，我们不会失去信心，还可以用另外的方法来试试；当用一种方法解决完问题后，可以用另一种方法来进行验算，有效地避免了错误的产生。
另外，高中数学教学的最高目标是通过少而精的习题教学,既使学生巩固所学知识,又使学生思维能力、逻辑推理能力、分析问题能力等多方面得到训练、培养与提高。
一题多变是实现这一目标，跳出题海的法宝。
一题多变是在一道题的基础上通过改变部分条件或数字从而行成一个新的数学问题，
通过一题多变可以使学生很好的掌握与本题相关或相似的一系列数学问题，能很好的以一道题为载体解决多个或多类数学问题，并且有利于学生发现各种类似问题的联系和差异，从而掌握和消化多个数学问题。
通过一题多变的练习不仅能使学生很好的掌握数学知识及其内在联系，而且可以让学生通过有限的训练达到掌握多个数学问题的目的。
因此，一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝。
谈谈“一题多变”在数学课堂教学中的作用
谈谈“一题多变”在数学课堂教学中的作用摘要：所谓“一题多变”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。
即教师可不断更换命题中的非本质特征，即变换问题中的条件；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，或改变问题的结论；或者换成相近的条件、相似的问题，通过一组问题的变化，从而使学生掌握数学对象的本质属性，使学生在问题的变换中锻炼思维的周密性、灵活性、创新性和兴趣性，总之变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。
关键词：一题多变锻炼思维周密性灵活性创新性兴趣性所谓“一题多变”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。
即教师可不断更换命题中的非本质特征，即变换问题中的条件；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，或改变问题的结论；或者换成相近的条件、相似的问题，通过一组问题的变化，从而使学生掌握数学对象的本质属性。
使学生在问题的变换中锻炼思维的周密性、灵活性、创新性、兴趣性。
下面我结合自己的教学实践对数学一题多变教学谈几点看法。
一、改变问题的条件，锻炼学生思维的周密性和灵活性变式教学通过变换问题的条件，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面，使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题；同时学会比较全面地看问题，注意事物之间的联系，这样在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而使学生更深刻地理解课堂教学的内容，使学生的思维的周密性和灵活性得到锻炼。
比如我把问题：等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为多少？进行了以下6种变式：变式1：如果一个三角形的底和腰是方程x2-6x+9=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式2：等腰三角形的两边是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式3：等腰三角形的两边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式4：平行四边形的两邻边是方程x2-6x+8=0的两根，则这个平行四边形的周长为多少？变式5：平行四边形的两邻边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个平行四边形是_____？变式6：平行四边形的两边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个平行四边形的周长为多少？这样通过这一组题的变式，不仅让学生明白了等腰三角形中底和腰与两边的不同，而且也让学生把方程节的不同情况和三角形、四边形的变长的变化联系起来，同时在变式同时也锻炼了学生的思维的紧密性、周全性。
一题多解和一题多变在数学教学中的运用探讨
一题多解和一题多变在数学教学中的运用探讨作者：黄廉春来源：《少男少女·教育管理》2018年第08期摘要：文章从一题多解和一题多变这两种常用的有效教学方法出发，分析了一题多解和一题多变的教学方法产生的前提与作用，以及列举了如何巧妙地选择典型例题，实现一题多解和一题多变的教学方法的交互运用，摸索新课程改革背景下如何利用一题多解与一题多变的教学方法发展学生的思维，实现与高中数学课程的整合，以达到最佳的教学效果。
关键词：中学数学；一题多解；一题多变；运用策略教师在平时的教学中要有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会，启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法解决同一个数学问题，或改变题目的条件与问题形成相关题型，从而锻炼学生思维的灵活性，培养学生的开拓性和创造性。
进行一题多解和一题多变的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法，能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。
一、开展一题多解和一题多变教学所需的条件任何一种教学方法的实施与应用都离不开一定的前提条件，下面就谈谈实现一题多解和一题多变的教学所要具备的条件。
（一）健全的知识结构是一题多解和一题多变的基础一题多解与一题多变的根基在于全面、系统、准确、透彻地理解和掌握数学基础知识、基本技能、基本原理和方法。
真正掌握了数学知识的学生就能将所学的知识内化成知识点、知识线、知识面有机结合的自我知识结构，就能使所学知识具有稳固性、迁移性和灵活性，就能从知识结构的网络上找到具体的知识点以及相关的知识线、知识面，从而得出不同的解题策略。
只要知识结构中有一项残缺、断链，则解题过程必然中断，无法使思维触角伸向不同的方向。
（二）灵活的思维是一题多解和一题多变的关键问题的解决过程是活跃的、敏捷的思维运动过程。
实践表明，思维习惯好、思维品质佳的学生，一题多解和变式联想的能力就强。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用
教学研究一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用李 阔（吉林省四平市第一高级中学3年20班，吉林 四平 136000）【摘要】科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
【关键词】科学技术；新课程标准；一题多解；一题多变一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力。
在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养学生思维的发散性和创造性。
下面我将结合人教版三年级数学教材浅析如下：一题多解所谓“一题多解”，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路、不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。
教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
如：“你们的折法相同吗？为什么涂色部分都是这张纸的四分之一？”通过一题多解，让学生异中求同，从而揭示出分数的本质。
一、鼓励学生进行一题多解的实际练习。
一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
二、口述不同的解题思路和解题方法。
口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的解题思路和解题方法，不用具体解答，让学生动脑动口。
三、引导学生自己找出最简便的解法。
在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在此过程中，找出最简便的解题方法。
一题多解训练，还应当注意以下几点：(1)目的要明确。
(2)要注意把握上这种课的时机。
(3)选题要得当，方法要灵活。
一题多变所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法。
通过“一题多变”可以激发学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度，有利于扩大学生的视野，可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用作者：闫萧寒来源：《求知导刊》2014年第12期摘要：数学知识内容丰富、形式多变，对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义、推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
“一题多解”与“多题一解”的解题策略能够提升学生的数学问题解答能力，对学生数学水平的提升具有重要的影响。
下面就几道典型的一题多解与多题一解问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与多题一解问题，领略一题多解与多题一解问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。
关键词：“一题多解”；“多题一解”；中学数学教学；数学教学质量意大利著名的数学家、物理学家伽利略·伽利雷曾经说过：“数学是描述世界的语言。
”数学符号和数学公式精确、简洁而优美，为我们的生活带来了无限的便利，指引我们更好地认识世界、感受世界。
“一题多解”与“多题一解”的思想能够有效满足新课程改革背景下，对中学数学教学的要求，改善传统教学方式中的缺点和不足之处，使学生能够形成一定的数学思维，为学生未来的数学知识学习和综合能力的发展奠定良好的基础。
一、“4多”原则对数学教学的作用“4多”原则主要指的是多看、多想、多做和多问，“4多”原则能够直接影响中学数学教学的质量和效果。
1.多看数学知识离不开多看、多学，学生需要多看书，做好课前预习、课后复习才能将课本中的数学知识和数学难点进行深刻的理解。
多看对于中学数学教学具有积极的影响，学生对课堂教学内容产生了一定的了解，就会使课堂教学活动变得更加轻松、愉快，使中学数学教学达到事半功倍的效果[1]。
2.多想数学教学不仅在于指导学生学习数学知识点、提升学生的问题解答能力和数学知识灵活运用能力，更在于使学生通过数学知识的学习、应用，形成一定的数学逻辑思维能力和数学独立思考能力[2]。
3.多做俗话说：“熟能生巧。
”多做、多练能够增加学生对数学知识的深刻理解，巩固学生的数学知识和提升学生对数学知识灵活运用的能力，融会贯通，把不同内容的数学知识点关联起来，帮助学生建立一个完整的知识结构和框架体系[3]。
例谈“一题多问、一题多解”在高三物理习题课中的应用
作者： 刘鹏汉
作者机构： 甘肃省民乐县第一中学,734500
出版物刊名： 学周刊：上旬
页码： 160-160页
年卷期： 2015年 第3期
主题词： 一题多问 一题多解 高三物理习题课 应用
摘要：高三物理习题课是高三物理教学最主要的课型,无论怎样的课型,教师都应重视物理科学中蕴含的方法和培养学生的物理思维。
就高三物理习题课而言,我们进行物理教学时,应提倡一题多问,一题多解,一题多变,不应求解物理问题时就题论题。
学生做习题在于精不在于多,因为学生只要有了物理思维和掌握了科学的解题技巧,便能举一反三、融会贯通。
笔者认为,“一题多问、一题多解”对于培养学生的物理思维是一种切实有效的方法。
本文主要例谈“一题多问、一题多解”在高三物理习题课中的应用,以供读者领略。
“一题多变”在教学中的应用
“一题多变”在教学中的应用教师是学生学习的领路人之一，在教学实践中占主导作用，在课堂上如何去“导”占主体地位的学生进行高效地学习，经常是教师们探讨的热门话题。
著名教育家陶行知先生说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”；因此我们的教学重点是培养学生的思维能力，而且我们教师也经常在教学中一点一滴的有意识地做。
教学中，“一题多变”是学生发散思维培养的一种有效方法之一，进行适当的一题多变，可以帮助学生打破思维定势，培养学生的发散性思维。
课堂教学中，教师在引导学生解题时多进行变式训练是极有必要的，它能带来诸多益处。
下面是学生对在课堂上遇到“直线到底有多少条” 的例题及其变式题的做法。
例1 过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=4，则符合条件的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【解答】解：设直线l的方程为：y-1=k（x-2），则P （2- ，0），Q（0，1-2k）.∴S△OPQ=4= 2- 1-2k，化为： -4=±8，化?椋?4k2-12k+1=0，4k2+4k+1=0，解得k= ，或k=- .因此符合条件的直线l有3条。
故选：C.例2过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=8，则符合条件的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条学生这时很有疑问了，难道这种题型有规律？答案是肯定的，根据上面的解法很快地得出结论符合条件的直线有4条，学生这时又想，何时满足条件的直线是2 条，3条，4条？有没有可能出现1条或不存在直线的情况？同学的学习好奇心现已被我们调动，我们老师趁热打铁说我们来研究一下，先画画图，如图：连结OM为直线l，当l分别按逆时针和顺时针旋转至m 和n时，直线与坐标轴所围成的面积从0逐渐增加至无穷大，因此，无论直线与坐标轴所围成的面积是多少，所求的直线至少有两条，且k>0，当k0方程只有一个负根，此时k0k1+k2=- 0即S>4时，方程有2个不等的负根，此时k0，方程（1）有两个不等的实根当S>2ab时，△2>0，方程（2）也有两个不等的实根即当S>2ab≥0时，此时满足条件的直线有4条当S=2ab，△2=0，方程（2）也有两个不相等的实根，此时满足条件的直线有3条当00，方程（2）有两个不等的实根当S>-2ab时，△1>0，方程（1）也有两个不等的实根即当S>-2ab≥0时，此时满足条件的直线有4条当S=-2ab时，△1=0，方程（1）也有两个不相等的实根，此时满足条件的直线有3条当02ab时，满足条件的直线有4条当S=2ab时，满足条件的直线有3条当S。
高中物理一题多变一题多解在教学中的应用共80页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
高中物理一题多变一题多解在教学中 的应用
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不Байду номын сангаас好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克