圆的综合解题策略
直线和圆典型问题的解题策略
典型问题的解题策略
包括求解直线和圆的方程，判断直线 和圆的位置关系，以及利用直线和圆 的知识解决一些实际问题。
分享学习心得和体会
通过本次课程的学习，我更加深入地理解了直线和圆的基本概念和性质，掌握了它 们的方程和位置关系的判断方法。
在学习的过程中，我发现多做一些练习题能够帮助我更好地掌握知识点，提高自己 的解题能力。
目的限制条件。
06
CATALOGUE
总结与提高
回顾本次课程主要内容
直线和圆的基本概念和性质
包括直线的斜率、截距、平行与垂直 ，圆的半径、圆心、弦、弧等基本概 念和性质。
直线和圆的方程
包括直线的点斜式、斜截式、一般式 ，圆的标准方程、一般方程等。
直线和圆的位置关系
包括直线与圆的相切、相离、相交等 位置关系，以及如何利用判别式判断 位置关系。
直线和圆典型问题 的解题策略
contents
目录
• 直线与圆基本概念及性质 • 典型问题一：求切线方程 • 典型问题二：求弦长或弦中点坐标 • 典型问题三：判断点与圆、直线与圆位
置关系 • 典型问题四：求解最值问题 • 总结与提高
01
CATALOGUE
直线与圆基本概念及性质
直线方程及其性质
直线方程的一般形式
当直线与圆有多个交点时，需 要分别求出各段弦的长度和中 点坐标。
04
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典型问题三：判断点与圆、直线与圆位置 关系
点在圆内、圆上、圆外判断方法
已知圆的方程 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 和点的坐标 $(x_{0},y_{0})$，计算 点到圆心的距离 $d=sqrt{(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}}$。
“圆”来如此简单
D′ D
C′
3
A
2 A′
12
B′
（3）当展开的图形是前 D ′
C′
面 和 上 表 面 时 ，长 方 形 的
3
长 AB=12，宽 BC′ =2 + 3=5，
由勾股 定理得：路径长 AC′ A ′
B′
为 AC′ = AB2 + BC′2 =
A 122 + 52 = 169 =13（m）
12
2 B
这样，很快比较出最短的一段是第（3）种情况，就可以计算
如图，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形 ABCD 在直线上
按顺时针方向不滑动每秒转动 90°，转动了 3 秒后停止，则顶点
A 经过的路径长为_______
A1
D1
D
C
A2
走过的路径长为 1/4（2×8Π+2×10Π+2×6Π）＝12Π。
归纳：根据圆的定义，绕定点旋转一定的角度形成的轨迹
A
12
B′ C
3
B
分析：要求长方体两点之间的最短距离，最直接的做法是
将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意不同的
展法，答案不同，需要分别分析。
二、学生解答
解：（1）当展开的图形是前面和右侧面时，长方形的长 AC=
12 + 3=15，宽 CC ′ =2，由 勾 股 定 理 得 ：路 径 长 AC ′ 为 AC' =
技法点拨
118
“圆”来如此简单
■李玲慧
摘 要：作辅助圆解题是一种重要的解题策略。根据圆的
定义、圆的基本性质做辅助圆解题，题中无圆，圆来完美，圆来
如此简单。
关键词：辅助圆；角度不变；轨迹意识
高考数学复习考点题型归类解析39圆与方程(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题39圆与方程一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议1．处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质．要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想．2．帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法．三、自主梳理1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．2．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 （1）圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.（2）有关弦长问题的2种求法3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)|r－r|＜d(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．四、高频考点+重点题型考点一、圆的方程、轨迹方程例1-1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．例1-2．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A 的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；例1-3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|PM||PN|=12，又M（1，0），N（4，0），∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，化简得：x 2+y 2＝4，则动点P 轨迹W 方程为x 2+y 2＝4；例1-4.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．例1-5.设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.例1-6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.例1-7．若AB =2，AC =√2BC ，则S △ABC 的最大值． 【解答】解：设BC ＝x ，则AC =√2x ，根据面积公式得S △ABC =12AB •BC sin B =12×2x ×√1−cos 2B ， 又根据余弦定理得cos B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =4+x 2−(√2x)24x=4−x 24x，代入上式得： S △ABC ＝x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216，由三角形三边关系有：{√2x +x ＞2x +2＞√2x，解得：2√2−2＜x ＜2√2+2．所以当x ＝2√3时，x 2﹣12＝0，此时S △ABC 取得最大值√12816=√8=2√2． 故答案为：2√2例1-8.(多选)设有一组圆C ：(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *)，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点 答案 ABD解析对于A，存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝1，故A正确；对于B，因为圆心(1，k)恒在直线x＝1上，故B正确；对于C，当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D，将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．考点二. 直线与圆的位置关系例2-1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b21＝r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．例2-2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k−4k|√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33∴直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]故答案为[−√33，√33]例2-3．若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )A．(－∞，2)B.(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)解析：选C ∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.例2-4．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1B.2C．3D．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．题型三切线问题例3-1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，=√2，则有√1+k2解可得k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1)2+(2+1)2=√10，则切线长为√(√10)2−(√2)2=√8=2√2，（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．例3-2．直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【解答】解：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部， 且点A 与圆心O 之间的距离为OA =√10， 圆的半径为r =√2， ∴sin θ=√2√10， ∴cos θ=√2√10，tan θ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．例3-3．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22] 【解答】解：由题意画出图形如图：点M （x 0，1），要使圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45°， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值， 此时MN ＝1，图中只有M ′到M ″之间的区域满足MN ＝1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]． 故选：A ．例3-4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是（ ） A ．[2√73，2√2）B ．[2√143，2√2）C ．[2√53，2√3）D ．[2√33，2√5） 【解答】解：设AC ＝x ，则x ≥3，由PC ⊥AP 可知AP =√AC 2−PC 2=√x 2−2， ∵AC 垂直平分PQ ， ∴PQ ＝2PC⋅AP AC=2•√2⋅√x 2−2x=2√2•√1−2x 2．∴当x ＝3时，PQ 取得最小值2√2•√1−29=2√143． 又√1−2x 2＜1， ∴PQ ＜2√2． ∴2√143≤PQ ＜2√2．故选：B ．例3-5．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d＝3∴|PA|＝|PB|=√d2−r2=2√2|PA|r=2√2∴s PACB=2×12故答案为：2√2考点四直线与圆相交的弦长问题例4-1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√2B．√2C．√6D．2√62【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2，表示以C （﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．由题意可得，直线l ：kx +y +4＝0经过圆C 的圆心（﹣2，2）， 故有﹣2k +2+4＝0，∴k ＝3，点A （0，3）． 直线m ：y ＝x +3，圆心到直线的距离d =√2=√2，∴直线m 被圆C 所截得的弦长为2√2−12=√6． 故选：C ．例4-2．直线y ＝kx +3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4相交于M ，N 两点，若MN ＜2√3，则k 的取值范围是．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y ＝kx +3的距离为d ，则d =√k 2+12，由于(MN 2)2=4﹣d 2，且MN ＜2√3，求得 d ≥1，∴1≤d ＜2，即√k 2+1∈[1，2），由d ≥1求得k ≤−34，k ≥0，由d ＜2 求得 −3−2√65＜d ＜−3+2√65， 即k 的取值范围是{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}， 故答案为：{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}． 例4-3．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（ ） A ．2√5B ．4√5C ．6√3D ．8√3【解答】解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25的圆心坐标为C （1，2），半径为5． 由直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，得m （2x +y ﹣7）+x +y ﹣4＝0， 联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1．∴直线l 过定点P （3，1），点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时|PC|=√(1−3)2+(2−1)2=√5．∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√52−(√5)2=4√5．故选：B．例4-4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为5．【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2 OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．•|AC|（|BM|+|MD|），四边形ABCD的面积为：s=12从而：s=1|AC|⋅|BD|=2√(4−d12)(4−d22)≤8−(d12+d22)=5，2当且仅当d12＝d22时取等号，故答案为：5．考点五、直线与圆的交点问题例5-1.在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为。
《圆的整理与复习》教学设计【优秀5篇】
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直线与圆的综合问题
此时|2k— 0| :k2+1全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）a直线与圆的综合问题考点一与圆有关的最值问题考法（一）斜率型最值问题［典例］已知实数x,y满足方程x2 + y2— 4x+ 1= 0,求#的最大值和最小值.入2 2［解］原方程可化为（x— 2） + y = 3,表示以（2,0）为圆心，，3为半径的圆.$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设x= k,即y= kx.入当直线y= kx与圆相切时（如图），斜率k取得最大值或最小值,解得k= 土, 3.所以x的最大值为一 3,最小值为—一 3.入［解题技法］形如尸y—b型的最值问题，可转化过定点（a, b）的动直线斜率的最值问题x — a求解.如本题y= y~0表示过坐标原点的直线的斜率.x x— 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法（二）截距型最值问题［典例］已知实数x, y满足方程x2 + y2— 4x+ 1 = 0,求y— x的最大值和最小值.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2)2 + y 2= 3,故可令x — 2= 3cos 0, y= . 3si n 0,X =A /3COS 0+ 2即彳厂y= . 3sin 0,从而 y — 3sin 0—.3cos ［解］y —x 可看作是直线y=x+ b 在y 轴上的截距，如图 所示，当直线y= x+ b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或 最小值，此时|2—0^b| = 解得b= — 2±6.所以y —x 的 最大值为—2+ .6,最小值为—2— 6.［解题技法］形如 尸ax+ by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解. 如本 题可令b= y — x ，即y=x+ b ，从而将y — x 的最值转化为求直线y=x+ b 的截距 的最值问题.另外，此类问题也常用三角代换求解.由于圆的方程可整理为 (x —0-2 = (6S in 〔0—寸―2,进而求出y — x 的最大值和最小值.考法(三)距离型最值问题［典例］已知实数x, y 满足方程x 2 + y 2 — 4x+ 1 = 0,求x 2 + y 2的最大值和最 小值. ［解］如图所示，x 2 + y 2表示圆上的一点与原点距离的平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 -2— 0 2+ 0 — 0 2= 2,所以x 2 + y 2的最大值是(2 + ,3)2= 7 + 4 3, x 2 + y 2 的最小值是(2 — . 3)2 = 7 — 4 3. ［解题技法］形如 尸(x — a)2+ (y — b)2型的最值问题，可转化为动点(x, y)与定点(a, b) 的距离的平方求最值.如本题中x 2 + y 2 = (x — 0)2 + (y — 0)2，从而转化为动点(x,—2k — 0— k+ 2|. ----- =1解得k=3 土;y — 2 x — 1的最大值为3+^・ y)与坐标原点的距离的平方.［专题训练］1.已知圆C: (x+ 2)2 + /= 1, P(x, y)为圆上任意一点，贝U 匕2的最大值为X — 1解析：设匚2 = k,即 kx — y — k+ 2= 0,x- 1圆心 C(—2,0), r = 1.当直线与圆相切时，k 有最值,答案：节2. ____________________ 设点 P(x, y)是圆：x 2+ (y — 3)2= 1 上的动点，定点 A(2,0), B( — 2,0)，则 貳—B 的最大值为 .解析：由题意，知工A = (2 — x, — y), "PB = (— 2—x, — y),所以"PY R 宜= x 2 + y 2 — 4,由于点P(x, y)是圆上的点，故其坐标满足方程x 2 + (y — 3)2= 1,故x 2=— (y — 3)2 + 1,所以"P1? = — (y — 3)2 + 1 + y 2 — 4 = 6y — 12易知 2<y<4,--- A -- A所以，当y= 4时，PA -B 的值最大，最大值为6X 4— 12= 12.答案：12 考点二直线与圆的综合问题［典例］已知直线1: 4x+ ay — 5= 0与直线I': x — 2y= 0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线I 对称，且圆C 过点M(— 1,— 1).(1)求直线l 与圆C 的方程.n—•—2 =—1,m= 0,解得］.-0(0,0).n = 0,(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P, Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足k MP+ k MQ = 0,求证：直线P Q的斜率为1.［解］⑴•••直线1: 4x+ ay— 5 = 0与直线I' : x— 2y= 0相互垂直，•'4X 1 — 2a = 0,解得 a = 2.•••直线I的方程为4x+ 2y— 5 = 0.设圆C的圆心C的坐标为(m, n).•••圆心C(m, n)与点(2,1)关于直线I对称，m+2 n+1.4 X 2~ + 2 X ~2~ — 5 = 0,•••圆C 的半径 r = |CM|= 2.•••圆C的方程为x2 + y2= 2.(2)证明：设过点M的直线MP的斜率为k,则过点M的直线MQ的斜率为—k,直线MP的方程为y+ 1 = k(x+ 1).•••直线MP与圆C相交,y+1 = k(x+1,•联立得方程组(2 2lx2+y2=2,2 2 2消去 y 并整理，得(1 + k )x + 2k(k— 1)x+ k — 2k— 1 = 0.•••圆C 过点 M(— 1,— 1),2 2 k — 2k— 1 2k+ 1 — km—2同理，将k替换成—k,可得X Q =2—k2— 2k+1-xP•— 1)= 2 ，• xP= 21 + k 1+ k所以圆心C到直线x+y+ 2= 0的距离为|2+ 2|2 2,y Q — y p — k(X Q + 1)—1 — k(x p+ 1)+ 1 — k(X Q + X P厂 2k •'k pQ = = = = 1.X Q — X P X Q — X P X Q— X P[解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.[专题训练]1.(优质试题全国卷川)直线X+ y+ 2 = 0分别与X轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(X — 2)2 + y2 = 2上，则△ ABP 面积的取值范围是( )A. [2,6] B . [4,8]C. L.2, 3 2]D. [2 2, 3 2]解析：选A 设圆(x— 2)2+ y2 = 2的圆心为C,半径为r，点P到直线x + y+ 2= 0的距离为d，则圆心 C(2,0)，r = .2,可得 d max= 2讥+ r = 3灵 ,d min = 2.2 — r = 2.由已知条件可得AB|= 2 2,1所以△ABP面积的最大值为2AB| d max= 6,1△XBP面积的最小值为2AB|d min = 2.综上，MBP面积的取值范围是[2,6].则圆心C到直线I的距离d= |2— 0+ m| |2+ m|2 = 22 2 CM2匸 d2 + 哆2,所以4=“ 2(2+ m)2 + 2,2.(优质试题湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C: x2 + y2— 4x= 0及点 A( — 1,0), B(1,2).(1)若直线I平行于AB,与圆C相交于M , N两点，|MN| =AB|，求直线I的方程；2 2(2)在圆C上是否存在点P,使得|FA |+|PB匸12?若存在，求出点P的个数; 若不存在，说明理由.解：⑴因为圆C的标准方程为(x— 2)2+ y2 = 4,所以圆心C(2,0)，半径为2.因为 I /AB, A(— 1,0), B(1,2),2— 0所以直线1的斜率为C=1,设直线I的方程为x — y+ m= 0,因为 |MN匸 |AB|= 22+ 22 = 2 2,解得m= 0或m= — 4,故直线I的方程为x — y= 0或x— y— 4= 0.(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x, y)，则(x— 2)2 + y2 = 4, |PA|2 + |PB|2= (x+1)2 + (y— 0)2 + (x— 1)2+ (y— 2)2= 12, 即卩 x2 + y2— 2y — 3 = 0, 即卩 x2+ (y — 1)2 =4, 因为 |2- 2|v ] 2— 02+ 0— 1 2< 2+ 2,所以圆(x— 2)2 + y2 = 4 与圆 x2+ (y— 1)2= 4 相交，所以存在点P,使得|PA|2 + |PBf= 12,点P的个数为2.即卫手宰、r.由基本不等式，得 严a 2r 三翕=近，当且仅当a 4= 1，即a =±时取 ［课时跟踪检测］1. 已知圆 C: x 2 + y 2 — 2x — 2my+ m 2— 3= 0 关于直线 I: x — y+ 1 = 0 对称， 则直线x=—1与圆C 的位置关系是()A .相切B .相交 C.相离D .不能确定解析：选A 由已知得C: (x — 1)2+ (y — m)2 = 4,即圆心C(1, m)，半径r =2,因为圆C 关于直线I: x — y+ 1 = 0对称，所以圆心(1, m)在直线I: x — y+ 1= 0上，所以 m= 2.由圆心C(1,2)到直线x= — 1的距离d= 1 + 1 = 2= r 知，直 线x= — 1与圆C 相切.故选A.2. 直线ax+ zy+ 2 = 0与圆x 2 + y 2= r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是a()A. 1 B . — 1C. ±D. a 可为任意非零实数一 1解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax+ -y+ 2 = 0的距离等于半径r ，a等号.故选C.3. 与圆x 2 + y 2 + 2 2y+ 1 = 0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选B圆的标准方程为x 2 + (y+ ,2)2= 1，设切线方程为y= kx+ m ，B. ,21 "T则詈1,整理得(2+ m)2= k 2+ 1,又因为切线在两坐标轴上的截距相等,；k +1mf(>/2+ m k + 1，0,所以m 二—m ，联立方程得m解得或ki m — m,戶±k =—1, 、 、、 、所以切线方程为y=或y= — x —2 2,切线共有3条.m= — 2 2, 4.已知点P(x, y)是直线kx+ y+4 = 0(k>0)上一动点，PA, PB 是圆C: x 2+ y 2 — 2y= 0的两条切线，A, B 是切点，若四边形FACB 的最小面积是2,则k 的值为()A. 3 C. 2 .2解析：选D 圆C: x 2 + y 2— 2y= 0的圆心为(0,1)，半径r = 1.由圆的性质， 知S 四边形PACB = 2S PBC .T 四边形PACB 的最小面积是2, /S ZPBC 的最小值为1,则1 rd min = 1(d 是切线长)，「d min = 2. v 圆心到直线kx+ y+ 4= 0的距离就是PC 的最小 值，.•.|PC|min = 2= d +1 = 5.・.k>0,.°k = 2故选 D.W + k 25.(优质试题 赣州七校联考)已知圆C: x 2 + y 2— 2ax — 2by+ a 2 + b 2— 1= 0(av 0)的圆心在直线-3x —y+ 3= 0上，且圆C 上的点到直线 3x+ y= 0的距离的最大值为1+ .3,则a 2+ b 2的值为()1解析：直线l 的方程可变形为y=3ax+ 4,所以直线I 过定点 (0,4)，且该点在圆M 上.圆的方程可变形为x 2+ (y — 2)2 = 4,所以A. 1 B . 2C. 3D. 4解析：选C易知圆的标准方程为(x— a)2 + (y— b)2= 1,所以圆心为(a, b),由圆心在直线，3x— y+. 3= 0上，可得• 3a— b+ 3= 0,即b= . 3(a+ 1) ①.厂M3a+ b| 厂圆C上的点到直线3x+ y= 0的距离的最大值 d max= 1 + 2 =』3+ 1,3得|.3a+ b匸2 3 ②.由①②得|2a+ 1|= 2,又av0,所以a=—㊁，a2 +2 2a2 + 3(a+ 1)2= 3.6.已知实数x, y满足(x+ 5)2 + (y — 12)2= 25,那么x2+ y2的最小值为解析：由题意得寸x2+ y2= p(x- 0$+( y-0$表示点P(x, y)到原点的距离，所以-‘X + y的最小值表示圆(x+ 5) + (y — 12) = 25上一点到原点距离的最小值.又圆心(—5,12 )到原点的距离为 J — 5 2+ 122= 13,所以［X2 + y2的最小值为 13 — 5 = 8.答案：82 27.已知P(x, y)为圆(x— 2) + y = 1上的动点，贝U |3x + 4y — 3|的最大值为2 1解析：设 t= 3x + 4y— 3, 即卩 3x+ 4y — 3 — t = 0.由圆心(2,0)到直线 3x+ 4y— 3|6- 3—1|—1= 0 的距离 d= —21,\/32+ 42解得—2 w tw 8所以 |3x+4y— 3| max= 8.答案：88.(优质试题贵阳适应性考试)已知直线I: ax— 3y+ 12= 0与圆M : x2 + y2n圆心为M(0,2),半径为2•如图，因为/AMB = 3,所以△AMB是等边三角形，且边长为2,高为.3,即圆心M至U直线I的距离为•. 3,所以2= .3,解得ayj a + 9=± 3.答案：±_ 39.已知曲线C上任一点M(x, y)到点E - 1, 和直线a： y=—扌的距离相等，圆 D: (x—1)2 + Jy — *)= r2(r>0).(1)求曲线C的方程；(2)过点A( — 2,1)作曲线C的切线b,并与圆D相切，求半径r.解: (1)由题意得、(x+ 1 J + Jy—1J = y+ 4 .两边平方并整理，得y= (x+1)2.•••曲线C的方程为y= (x+ 1)2.2(2)由 y= (x+ 1)，得 y' = 2(x+ 1).•••点A( — 2,1)在抛物线C 上,•••切线b的斜率为y' |x=-2= — 2.•••切线b 的方程为 y— 1 = — 2(x+ 2),即卩 2x+y+ 3= 0.又直线b与圆D相切,•••圆心D 1, 2到直线b的距离等于半径,| 1, n—4y= 0相交于A, B两点，且/ AMB = 3,则实数a = ________________ .Y1+2 + 3I =诬V5 = 10 .10.已知过点A(1,0)且斜率为k的直线I与圆C:(x— 2)2+ (y— 3)2= 1交于M, N两点.(1)求 k的取值范围;2k 2+ 6k+ 129k 2 1 + k 2.(2) 1OM ON = 12,其中0为坐标原点，求|MN|.解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直 线x= 1与圆C 相切.当直线的斜率存在时，设切线方程为 y= k o (x-1)，即k o x-y — k o = 0. •••圆C 的半径r= 1，|k o — 3|4•••圆心C(2,3)到切线的距离为.2— = 1,解得k o =3.屮0+13 •••过点A 且斜率为k 的直线I 与圆C 有两个交点，44••k >3，即k 的取值范围为3，+.2 2 2(2)将直线I 的方程y= k(x — 1)代入圆C 的方程，得(1 + k)x — (2k + 6k+ 4)x2+ k + 6k+ 12 = o.设 M(X 1，y 1)，N(X 2，y 2)，则22k 2 + 6k+ 4X 1 + x 2 =2 —，1 + k2 2•°y 1y 2= k (X 1 — 1)(x 2 — 1) = k (X 1X 2 — X 1 — X 2 + 1)=2—>—>1ok 2 + 6k+ 12•OM ON = X 1X 2 + y 1y 2=2= 12，解得 k= 3 或 k= o(舍去).1 + k•直线I 的方程为3x — y — 3= o.故圆心(2,3)在直线I上，•|MN|= 2r = 2.B级1.已知圆 M: (x—2)2 + (y — 2)2 = 2，圆 N: x2+ (y— 8)2 = 4o,经过原点的两直线l1，I2满足11丄12,且l1交圆M于不同两点A，B，I2交圆N于不同两点C，所以k的取值范围为2- 3,于D,记l i的斜率为k.(1)求 k的取值范围;(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值.1 解：(1)显然 20,所以可设11的方程为y= kx,则12的方程为y=—只.|2k- 2| 厂依题意得点M到直线l1的距离d1= ------------------ 产 2.A/1 + k3 42整理，得 k — 4k + iv0,解得 2- .3v kv 2+ ,3.①同理，点N到直线12的距离d2= r8k^=2v 2屮0,■\/1 + k2解得-乎kv于②由①②可得2- 3v kv^5.3 2X1 X2 X4 X3 X1 + X2X3 + X4X2 X1 X3 X4 ' X1X2 X3X4 '全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以X3 + X4=-抚，24k 2X 3X 4=2.将直线12的方程代入圆(2)设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), D(X 4, y 4).将直线l i 的方程代入圆M 的方程，得(1 + k 2)x 2-4(1 + k)x+ 6= 0,~ .4(1+ k)6所以 x 1 + X 2=2 , X 1X 2=2.1 + k1 + kN 的方程，得(1 + k 2)x 2 + 16kx+ 24k 2 = 0,由四边形ABCD 为梯形可得X = X 6,X 2 X 3所以—+ + 2 = —+ + 2,所以 =全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2 , 「2— 2 ,x— 2)+( y+4)y E — y F k X E— 1 — 3 + k X F— 1 + 3 X E—X F X E — X F —2k+ k X E + X FX E — X F13,故直线EF的斜率所以(1 + k)2= 4,解得k= 1或k= — 3(舍去).故k的值为1.2.(优质试题成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1,— 2)的距离与到点B(2,— 4)的距离之比均为*.(1)求曲线C的方程;(2)设点P(1,— 3),过点P作两条相异的直线分别与曲线 C相交于E, F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段 EF的最大值.■- i x— 1 + y + 2 2解：⑴设曲线C上的任意一点为Q(x,y),由题意得2整理得x2 + y2= 10,故曲线C(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1,—3),故可设直线PE的方程为y+ 3— k(x— 1),联立方程得节3；" 7 ' 消[x2 + y2— 10,去 y 得(1 + k2)x2— 2k(k+ 3)x+ k2 + 6k— 1— 0,因为 P(1,— 3)在圆上，所以 x— 12 2k + 6k— 1 k — 6k— 1一定是该方程的解，故可得 x E— 2 —，同理可得 X F —厂，所以 k EF1 + k 1 + k7 1为定值一3设直线EF的方程为y——§x+ b,则圆C的圆心(0,0)到直线EF的全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以当b — 0时，线段EF 取得最大值，最大值为2.10. 、基础知识距离d —平生，所以|EF 寸1 + 9 2 10-9b 2 辿 3 v b <10 3，1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i, r2, d= |O i O2|)二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为x o x+ y o y= r2.②过圆(x-a)2 + (y- b)2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o — a)(x- a)2+ (y o-b)(y- b) = r .③过圆x2 + y2 =r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+y o y= r2.(2)直线被圆截得的弦长1 2 2“、弦心距d、弦长I的一半2及圆的半径r构成一直角三角形，且有r = d + ?1 2考点一直线与圆的位置关系全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1 — m= 0与圆C:x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A •相交B •相切C •相离D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由2 2［x +(y-1)= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5 = 0,因为△= 16m2 + 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=<1< , 5，故直线I与寸m2+ 1圆相交.2 2 法三：直线I: mx— y+ 1 — m= 0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x + (y— 1)=5的内部，所以直线I与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2= 1的切线，则切线方程为()A.3x+ 4y — 4 = 0B.4x— 3y+ 4 = 0C.x= 2 或 4x— 3y+ 4= 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)D. y=4 或 3x + 4y— 4= 0(2)(优质试题成都摸底)已知圆C: x2 + y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，经过点M(m, m)作圆C的切线，切点为P,则|MP|=［解析］(1)当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为|k — 1 + 4 — 2k| 4y— 4= k(x—2),即 kx— y+4 — 2k= 0,则 ---------------- =1,解得 k= 3，则切线方彳k2+ 1 3程为4x— 3y+ 4= 0,故切线方程为x = 2或4x— 3y + 4 = 0.2 2⑵圆C: x + y — 2x— 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，所以直线l: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1+ 2m+ 1= 0,解得 m=— 1,所以 |MCf= 13, |MP|= ：13-4 = 3.［答案］(1)C (2)3考法(三)弦长问题ax+ by+ c= 0 被圆 x2 + y2 = 1 所截［典例］⑴若a2+ b2 = 2C2(CM0)，则直线得的弦长为A*D. 2(2)(优质试题海口一中模拟)设直线y=x+ 2a与圆C: x2 + y2— 2ay— 2= 0相交于A，B两点，若AB| = 2 .3,则圆C的面积为( )B. 2nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C= 0的距离d= / |C|=刁乩=寸a2 + b2伽誓j=¥，所以-2，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1—全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)弦长为2.(2)易知圆C: x8 9 + y2— 2ay-2= 0的圆心为(0, a)，半径为-''a2+ 2.圆心(0,lai 2 2a)到直线y= x+ 2a的距离d = ，由直线y= x+ 2a与圆C: x + y — 2ay— 2 = 02相交于A, B两点，|AB|= 2 .3,可得+ 3= a2 + 2,解得a2= 2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4n故选A.［答案］⑴D (2)A［专题训练］1 •已知圆的方程是x2 + y2= 1,则经过圆上一点皿于，于的切线方程是解析：因为M于，2是圆x2 + y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x+ y+ a= 0,所以今+今+ a = 0,得a=—.2,故切线方程为x+ y— 2 = 0.答案：x+ y—. 2= 09 若直线kx— y+ 2= 0与圆x2 + y2— 2x — 3= 0没有公共点，则实数k的取值范围是 __________ .解析：由题知，圆x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2 = 4,圆心(1,0)到直|k+ 2| 4线 kx— y+ 2 = 0 的距离 d>2,即，>2,解得 0vkv$.V k2+1 3答案：0，3解析：因为点A, B关于直线I: x+y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k =1,即y=x+ 1.又圆心i— 1, m在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(—1,1),半径r = 2,所以圆心到直线y=x+ 1的距离d=¥，所以|AB|= 2 ；r2— d2= .6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(优质试题山东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a>0)截直线x+y 二0所得线段的长度是2.2,则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是()A •内切B •相交C •外切D •相离x2 + y2— 2ay= 0,［解析］法一：由 x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为2 2,•'：；：.、：■：a + — a j = 2\:.2.2 2又 a>0,「a= 2. A圆M 的方程为 x + y — 4y= 0,即 x2+ (y — 2)2 = 4,圆心 M(0,2)，半径 r1 = 2.又圆 N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1,圆心 N(1,1),半径匕=1,JMN匸'0— 1 2 + 2— 1 2= 2.•.“一「2= 1, r1 + r2= 3,1<|MN|<3,A两圆相交.法二：由题知圆M : x2+ (y— a)2 = a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+y= 0的距离d=；，所以2 a2—；二2 .2,解得a= 2•圆M，圆N的圆心距|MN|=・2, 两圆半径之差为1两圆半径之和为3,故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (优质试题太原模拟)若圆C i: x2 + 1与圆C2: x2 + y— 6x — 8y+ m= 0 外切，则m=()A. 21B. 19C. 9 D . — 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径「1 = 1,因为圆C2的方程可化为 (x— 3)2 + (y—4)2= 25— m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径「2= 25— m(mv 25).从而 C1C2|=」32 + 42= 5•由两圆外切得 |C1C2|=「1 +「2,即卩 1+ 25— m= 5, 解得m= 9,故选C.2.(变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ______________ .…一“、,、一fx2 + y2— 4y= 0,解析：联立两圆方程 2 2两式相减得，2x— 2y — 1 = 0,［(x—1) + ( y—1) = 1,I—1| y［2因为N(1,1), r = 1,则点N到直线2x — 2y— 1 = 0的距离d= 2一2=広，故公共弦长为2寸1 -乎f =学答案：―4［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的 3步骤C. 3 解析：选B(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长；(2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求n +匕，『1 —匕|； ⑶比较d, r 1+ r 2,『1 —呵的大小，写出结论.［课时跟踪检测］1.若直线2x+ y+ a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ± 5D. ±3圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5,因为直线与圆相切，所以有曇=75，即 a= ±5.故选 B.2.与圆C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12= 0, C 2： x 2 + y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有 C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为 C 1： (x — 3)2 + (y+ 2)2= 1, C 2： (x — 7)2+ (y — 1)2 = 36,则两圆圆心距|C 1C 2|=「7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半 径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选 A. 3.(优质试题 南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2 + (y — 3)2 = 4截得 的弦长为2 3，则直线的倾斜角为()n. 5 nA ・6或石n-nB . — 3或 33. 设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B 关于直线I: x+ y= 0对称，则AB| = ______________ .。
与圆有关的综合问题
与圆有关的综合问题题型一：与圆有关的轨迹问题[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法[针对训练]1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.题型二：与圆有关的最值或范围问题[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝(5－1)2＋(t －4)2≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C. [答案] C[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[针对训练]1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|，则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|， 两边平方，得OM ―→·ON ―→≤0， 所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤22×2＝1， 解得－2≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]． 答案：[－2， 2 ]2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q |＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q |的最小值是________．解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ，n )，则|PN |2＝|P Q |2＋|N Q |2＝|P Q |2＋1，又|P Q |＝|PO |，所以|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，化简得3m ＋4n ＝12，即点P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q |的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离，点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝125，故|P Q |的最小值是125.答案：125[课时跟踪检测]1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，若A ，B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值是( ) A.2＋62B. 3 C ．2D.3＋1解析：选C 如图所示，连接OA ，OB 和OC . ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， 在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OCsin ∠OAC ，∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |的最大值为2，故选C.2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－1解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22＝5，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D. 5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠ACB 最大，此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 27＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x －3)2＋y 2＝14和(x ＋3)2＋y 2＝14上的点，则|P Q |＋|PR |的最小值是________．解析：设两圆圆心分别为M ，N ，则M ，N 为椭圆的两个焦点， 因此|P Q |＋|PR |≥|PM |－12＋|PN |－12＝2a －1＝2×4－1＝7，即|P Q |＋|PR |的最小值是7. 答案：78．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是________．解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ，y )，由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y －1)2＝4，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a 的不等式组⎩⎨⎧a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3，解得0≤a ≤3， 综上可得，实数a 的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]9．(2019·唐山调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2. 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切，连接C Q ，CM ， 则|Q M |＝|C Q |2－|CM |2＝|C Q |2－16，当C Q ⊥l 1时，|C Q |取得最小值，|Q M |取得最小值，此时|C Q |＝|5＋3|2＝42，故|Q M |的最小值为32－16＝4.10．(2019·广州一测)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k . 当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2. 整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)＞0，得b 2＜2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k ＜－33或k ＞33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1, 3 ]．。
与圆相关题的解题策略
四 、 体 求 解 法 整
例 ４ 有 六 个 等 圆 拼 成 甲 、 、 三 种 形 状 ， 相 邻 两 圆 均 互 乙 丙 使 相 外 切 ， 图 ５所 示 ， 心 的连 线 （ 线 ） 别 构 成 正 六 边 形 、 行 如 圆 虚 分 平 四边 形 和 正 三 角 形 ， 圆心 连 线 外 侧 的 ６个 扇 形 （ 将 阴影 部 分 ） 面 的 积 之 和依 次 记 为 Ｓ、 Ｑ， （ ） Ｐ、 则 ．
形是解题 的前提 ． 二 、 类 讨 论 法 分
例 ２ ｏ ０ 和 ｏ ０． 切 于 Ａ，直 线 Ｏ ｏ ０于 另 一 点 Ｂ， 相 ０ 交 交
ｏ Ｄ 于 另 一 点 Ｆ，过 点 作 ｏ 切 线 ，切 点 为 Ｄ，交 ｏ 于 ｃ ０的 ０ 点 ， Ｅ上ＡＢ， 足 为 ．求 证 ： Ｄ＝ Ｅ． Ｄ 垂 Ｃ Ｄ
Ｂ Ｃ为 ｏ ０。 的切 线 ，
Ｃ ＤＡ＝／ＤＦ Ｅ，从 而 Ｃ Ａ＝ Ｅ Ｄ ＤＡ．
・ ． ．
连 接 ４Ｃ，ＡＢ为 ｏ ０的 直 径 ，
‘ ． ．
Ａ Ｃ 上 ＢＣ ．
又 ＡＤ公 共 ，
‘ ． ．
Ｂ
Ｆ
Ｒｔ ＥＤＡ Ｒｔ ＣＤＡ． △ △
ＣＤ ＝ＤＥ ．
—
．
—
（ ） 接 ＡＤ、 ， ＡＯ：＿ ＼ ０ ２连 ＤＦ 若 ｌ ／ ４ ｌ ＿ Ｅ：＿ ／ ＝ １、 －
，
，
ｊ
ｊ
求 ＡＣ：Ｆ 的 Ｄ
值．
解 ： １ Ｃ Ｄ ＡＧ Ｃ Ｄ Ｆ ． （ ） Ｅ＝ Ｅ， ＝ Ｇ， Ｇ＝ Ｇ
（ 连 接 ＡＣ ．Ａ ２） ．・ Ｂ上Ｃ ‘ Ｄ，
几何综合题的解题策略(一)
几何综合题的解题策略(一)几何综合题的解题策略几何综合题是高考数学中难度较大的题型之一，它通常由多个几何图形组合而成，要求我们根据图形的性质和条件来解答问题。
为了帮助大家更好地应对这一题型，以下是一些解题策略供大家参考：确定图形在开始解题前，需要先确定题目所提供的几何图形究竟是什么，是三角形还是矩形？是正方形还是圆形？只有正确地确定图形，我们才能有针对性地运用几何知识解答问题。
此外，还需注意图形的数量，是只有一个图形还是多个图形组合而成。
刻画图形性质一旦确定了图形，接下来就要对每个图形进行性质的刻画。
我们需要看看这个三角形或者矩形是否是等边三角形或正方形，是否存在内切圆或外接圆等，同时需要刻画图形的角度大小、边长等信息。
建立方程在刻画了图形性质后，就需要建立方程。
通过图形性质的刻画，我们可以得出一些条件式，如勾股定理、三角形内角和等于180度等。
我们需要根据条件式建立出方程，并结合所求的未知量来解答问题。
同时也要注意方程的数学性质，如方程的次数、根的情况等。
运用几何关系在建立方程后，我们需要再次重温几何关系，如图形的相似性、共线性、重合性等，来看看是否能够得出更多的条件式。
通过这些条件式，我们能够得出更加精确的答案。
综合思考解题要点还不止于此。
有时我们还需要综合上述步骤来进行思考，如通过已知的图形性质和条件式，推出原本不是条件式的一些信息，再来解答问题。
此外，我们还需要灵活运用代数公式、三角函数等知识，才能有针对性地解决特殊问题。
通过以上几点，相信大家对几何综合题的解题策略又有了更深入的认识。
在练习几何综合题时，一定要耐心思考、仔细分析，相信高考难不倒我们！注意事项虽然有了上述的解题策略，但是在解题的过程中，我们还需要注意以下几点：•注意审题，看清题目要求，全面、准确理解问题的含义。
•注意画图，清晰地描绘出各种几何图形，符号的规范性。
•注意符号，符号的使用要准确、清晰，符合几何语言习惯。
•注意步骤，解题过程要有条不紊，分清主次，不漏逻辑，不失严密性。
初三数学圆的解题技巧
初三数学圆的解题技巧圆，这个看似简单的图形，其实在数学的世界里，能让人乐此不疲。
初三的数学里，圆的题目总是充满了各种各样的考验，但只要掌握了几个关键技巧，你会发现解题其实没那么难。
今天咱们就来聊聊这些技巧，让你轻松应对圆的难题！1. 圆的基本概念1.1 圆的定义首先，咱们得知道什么是圆。
圆是由一个点（圆心）到圆上所有点的距离都相等的图形。
这个距离就是半径。
听起来简单吧？但这可是解圆题的基础哦。
1.2 圆的元素圆的基本元素有圆心、半径、直径、弦、切线。
圆心就是圆的中心点，半径是圆心到圆上任何一点的距离，直径则是穿过圆心的最长的线段，弦是圆内任意两点之间的线段，而切线则是与圆相切的直线。
这些概念都得熟记于心哦！2. 圆的常见问题与技巧2.1 弦的性质圆里的弦有个很重要的性质：在圆内，两条弦的长度如果相等，它们到圆心的距离也相等。
这就像两个“好朋友”，总是保持一样的距离。
利用这一点，可以帮助你解决很多涉及弦的题目。
2.2 圆心角与弦的关系圆心角就是圆心到圆上两点的夹角。
圆心角的一半就是弧所对的弦所夹的角，也就是所说的“圆周角”。
换句话说，圆心角越大，对应的弦也越长。
掌握这一点，你就能轻松搞定那些需要计算角度的题目。
2.3 切线与圆的关系切线和圆的关系特别简单：切线与圆在切点处垂直。
就是说，切线的斜率和圆的半径在切点处正好是“直的”。
这个性质常常用来求解与切线相关的题目，比如找切点或者切线的长度。
3. 解题策略3.1 画图“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
”解题时，画图是非常重要的一步。
画图不仅能帮助你理清思路，还能让你更好地理解题目中的条件和要求。
别怕麻烦，拿起铅笔动手画吧！3.2 应用公式圆的题目中，有几个公式是必备的，比如圆的周长公式(C = 2pi r)和圆的面积公式(A = pi r^2)。
这些公式的运用可以帮你快速解答涉及周长和面积的问题。
3.3 综合运用有些题目需要综合运用多个知识点，比如既要用到弦的性质，又要考虑圆心角和弧的关系。
圆的周长面积 解决问题策略
师：转化是一种常见的、极其重要的解决问题的策略，在我们天天进行的计算中也多次用到了转化的思路
1．了解特点，计算结果。
出示例2：1/2+1/4+1/8+1/16
观察算式，你有什么发现?相邻的两个分数有什么关系?
师：用我们以前学过的方法可以怎样算?(先通分)通分就是把异分母分数转化成同分母分数，是数的转化。其实，如果将这个算式转化为图形，更为有趣。
2、学习“试一试”。
⑴课件出示“试一试”的组合图形，全班交流：这个组合图形由哪些
平面图形组合而成？求这个组合图形的面积，其实就是求哪两个平面图形面积的和？
⑵学生独立计算。
⑶展示、交流。
三、巩固拓展1．完成“练一练”。
⑴学生独立计算后和同桌交流自己的解题思路。
⑵全班展示、交流：左边的阴影是哪两个基本图形组合而成？求这个阴影的面积是求这两个基本图形的面积和还是面积差？右边的图形呢？
学生讨论、交流,教师小结：
（1）有些不规则的图形可以转化成熟悉的简单图形。
（2）图形转化时可以运用平移、旋转等方法。
（3）转化后的图形与转化前相比，形状变了，大小没有变。
三、应用策略，解决问题
1.指导完成练一练
（1）自主读题，弄清题意。
（2）启发：观察这两个图形，它们有什么特点？你打算用什么方法解决这个问题？
（3）学生尝试解答。
（4）交流反馈，课件演示。
（5）引导反思：转化前后的图形，周长不能变。
3.指导完成练习十六第2题。
用分数表示图中的涂色部分。
（1）学生独立填空。
（2）引导交流，课件演示。
重点讨论第三个图形，鼓励不同的方法。
（3）引导反思：转化时不能改变图形面积的大小。
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。
2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。
3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。
二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。
2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。
3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。
4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。
5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。
三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。
2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。
3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。
4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。
5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。
通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。
2020年中考数学压轴题训练-圆的综合(学案)
第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。
它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。
三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。
年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。
感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。
精品文档 (28)《圆》重难点突破
《圆》重难点突破一、圆的认识突破建议：1．为学生提供丰富的圆的素材。
数学上的圆是抽象后的产物，与生活中所见到的圆形物体既有联系，又有区别。
由此，教学时应提供丰富的圆的生活素材，利用多媒体或事物展示的同时，适时描述刻画数学上的圆，也可以让学生介绍举例数学上的圆，以进一步帮助学生建立圆的表象，为学生学习后续知识打下良好的基础。
2．加强用圆规画圆的方法指导，突出数学要素，帮助学生加深对圆的本质特征的认识。
教学时要对学生画圆方法进行具体指导，在规范的方法示范的同时，引导学生画出位置、大小各不相同的圆，并着重指明画圆方法中的一些数学要素：圆规的“脚尖”“两脚之间距离”在画圆时起什么作用？以揭示圆的本质，帮助学生清楚地认识到圆的圆心和半径分别决定圆的位置与大小。
3．加强动手操作活动，引导学生自主探索圆的特征。
教学时，应以问题导向为主线，放手让学生有序展开活动，通过折一折、画一画、量一量等方式，建立清晰的表象，探究圆的各种特征。
例如：“圆有多少条半径？”“半径与直径的长度有什么样的关系？”“圆心决定什么”“半径又决定什么？”，等。
最后，在学生探究的基础上，引导学生对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以形成系统的、科学的概念体系。
二、圆的周长公式推导、圆的周长计算突破建议：1．以问题为导向，组织学生合作与交流，自主归纳圆周长计算公式。
教学圆的周长，首先可根据“怎样求出圆桌和菜板边缘所箍铁皮的长度？”引导学生自己想出各种方法，再动手试一试。
教师对“绕”“滚”方法进行必要的指导的同时，组织学生讨论比较这些方法的异同，使学生明白这些方法都是将一个未曾学过的曲线图形的长度转化为可以直接测量的直线线段的长度，渗透“化曲为直”的转化思想。
进而，在“还可以怎样求圆的周长？”这一问题的引领下，引导学生讨论：圆的周长和什么有关？圆的周长与半径（直径）到底又怎样的关系？我们又该怎样去研究？再次激发起学生探究的欲望，提升学生的思维层次，促进学生有的放矢寻求更为一般化的求圆周长的方法，为学生自主归纳圆周长的计算公式做好了策略与技术上的准备。
寻根溯源__抓住本质_例说圆折叠问题的解题策略2021
= 3a，所以 AC = 15a，所以 AB = 5 槡10 a，所以 AB ∶ BC
= 槡10 ．
故选 B．
评析 此题利用两次折叠后同一个圆周角对
应的弦相等 BC = DC = DE，结合给定的 AE，CE 的线
段比，构造相似三角形，进而利用勾股定理求解，设
计巧妙，解题始终不离折叠本质．
2 锁定折叠后圆的圆心破解
切点 G，则 O'G = 6，O'G ⊥ BO，又 ∠AOB = 90°，所以
AO
∥
O'G，易得
△OEH
∽
OE △O'OG，所以O'O
=
OH ，
O'G
4 所 以2OH
=
O6H，所以
OH
=
2槡3
，在
Ｒt△OEH
中得
EH
= 2，在 Ｒt△OFH 中得 FH = 2槡6 ，所以 EF = 2 + 2槡6 ． 评析 此题折叠的是扇形，折叠的是圆的一部
又 AC = BC = 2槡3 ，∠ACB = 120°，所以 ∠ABC = 30°，AB = 6．
连接 O'E、O'F，则 O'A = O'E = O'F = 3，由 EG =
1 BG，O'E = 2
1 2 AB，所 以 O'G
=
1 2 AG，所 以 易 得
△BGE ∽ △AGO'，所以 ∠O'AG = ∠EBG = 30°，则
∠ACB = 120°，以 AB 为直径在 △ABC 另一侧作半
圆，圆心为 O，点 D 为半圆上的动点，将半圆沿 AD 所
在直线翻折，翻折后的弧 AD 与直径 AB 交于点 F，当
初中数学圆的知识点及解题技巧
初中数学圆的知识点及解题技巧初中数学圆的知识点及解题技巧圆是初中数学中比较重要的一个知识点，也是中考、高考中常出现的题型。
在掌握圆的基本定义和性质之后，还需要掌握圆的重要应用，例如圆的切线和割线等。
下面我们来介绍一下初中数学圆的知识点及解题技巧。
一、圆的基本定义圆是一个平面上所有到一个固定点的距离都相等的点构成的图形。
这个固定点叫作圆心，图形中半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，在圆上的点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的基本性质1. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，也是圆上截取的任何弦中最长的一条。
2. 半径相等的圆互相重合，半径不等的圆不能重合。
3. 圆上的弧度等于它所对的圆心角的度数，也就是说，圆上的角都是弧度制的度数。
4. 在同一圆周上的两个弧所对的圆心角相等。
三、圆的常见元素及解题技巧1. 弦和弧弦是连接圆上任意两点的线段，它截取了圆的一段弧。
弧与弦的关系是：它们所对的圆心角相等。
如果弦把一条弧分成了两段，则这条弧就叫做弦所对的弧。
2. 圆心角以圆心为顶点的角叫作圆心角，它所对的弧叫做圆心角所对的弧。
在同一圆周上，圆心角相等的两个弧所对应的圆弧角度相等。
3. 切线和割线切线和割线是圆和直线的关系。
切线是与圆相切的直线，它在切点处与圆的切点的交点垂直于半径。
而割线则是与圆交于两个不同点的直线，它截取了圆的两段弧。
4. 弧长和扇形弧是圆上的一段弯曲的线段，它所对应的圆心角叫做弧度。
弧分为弧度和弧长两个概念，所以我们经常说到“圆心角的弧度制度数”和“弧长”两个概念。
一个扇形是由一个半径和弧组成，它是一个圆的一部分。
解题技巧：1. 确定中心点和半径，计算圆的周长、面积和弧长。
2. 确定圆心角的度数和弧度制，计算弧长。
3. 确定弦或弦所对的角度数，计算该弦所对应的弧长。
4. 利用切线和割线所对应的角度来计算角度或者其所对应的弧度。
5. 利用圆与线段之间的距离公式来计算圆与线段之间的距离。
四、解题策略和技巧1. 熟记圆的基本定义和性质。
与圆相关题的解题策略
与圆相关题的解题策略作者：赵钦荣来源：《初中生·考试》2010年第11期数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括,是数学能力与数学素养的重要组成部分. 在解具体数学题的过程中,能够总结出解题方法和思路,就可以收到举一反三、事半功倍的效果.下面把解与圆相关题的策略总结如下.一、构造法例1(2010年上海卷)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图1所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.(1)求弦BC的长;(2)求圆O的半径.(本题参考数据:sin67.4°=■,cos67.4°=■,tan67.4°=■)解:(1)过点O作OD⊥AB,则∠AOD+∠AON=90°,即sin∠AOD=cos∠AON=■.AD=AO×sin∠AOD=13×■=5,OD=AO×sin67.4°=13×■=12.由已知可得AB∥NS,AB⊥BC,所以E点是BC的中点,且BE=DO=12.所以BC=24.(2)连接OB.OE=BD=AB-AD=14-5=9.在Rt△BEO中,BE=12,所以BO=■=■=■=15,即圆O的半径为15米.温馨小提示:理解方位角的概念,根据垂径定理构造直角三角形是解题的前提.二、分类讨论法例2⊙O和⊙O1相切于A,直线OO1交⊙O于另一点B,交⊙O1于另一点F,过B点作⊙O1的切线,切点为D,交⊙O于C点,DE⊥AB,垂足为E. 求证:CD=DE.证明:当两圆内切时,如图2.连接DF、AD.∵ AF为⊙O1的直径,∴ FD⊥AD.又DE⊥AB,∴∠DFE=∠EDA.在△EDA和△CDA中,∵ BC为⊙O1的切线,∴∠CDA=∠DFE, 从而∠CDA=∠EDA.连接AC, AB为⊙O的直径,∴ AC⊥BC.又AD公共,∴ Rt△EDA≌Rt△CDA.∴ CD=DE.当两圆外切时,如图3,结论仍成立.证明略.温馨小提示:证明此题要注意两点,两圆相切分内切和外切两种;两圆相切,切点一定在两圆圆心的连线上.三、方程法例3如图4,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,弦CD、AF相交于点G,过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M,且■=■.(1)在图中找出相等的线段(直接在横线上填写,所写结论至少3组,所添辅助线段除外,不写推理过程):.(2)连接AD、DF,若AO=■■,OE=■■,求AC∶DF的值.解:(1)CE=DE,AG=CG,DG=FG.(2)连接AC. ∵ AB⊥CD,∴ EC=ED,AC=AD.由相交弦定理,得AE·BE=CE2.∴ CE=3.∴ CD=AF=6.又∵∠GDF=∠GFD,∴ GD=GF.设EG=x,则AG=6-(3-x)=3+x.在Rt△AEG中,AG2=AE2+EG2,∴ (3+x)2=(■)2+x2,解得x=1.而△AGC∽△DGF,∴ ■=■=■=2.温馨小提示:要熟练掌握垂径定理、圆周角定理、相交弦定理和切割线定理,这是解题的基础.四、整体求解法例4有六个等圆拼成甲、乙、丙三种形状,使相邻两圆均互相外切,如图5所示,圆心的连线(虚线)分别构成正六边形、平行四边形和正三角形,将圆心连线外侧的6个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为S、P、Q,则().A. S>P>QB. S>Q>PC. S>P且P=QD. S=P=Q分析:逐一计算各个图形中阴影部分的面积,显然有些麻烦. 若将六个扇形的圆心角视为一个整体,则可以利用多边形内角和定理,整体求解.解:在图甲中,六个圆心角之和为n1=(6-2)×180°=720°;图乙中六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角,即n2=360°+2×180°=720°;图丙中六个圆心角之和为三角形内角和加上三个半圆的圆心角,即:n3=180°+3×180°=720°.由此可见,这三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的. 因此,它们外部阴影部分的面积相等,即S=P=Q. 选D.温馨小提示:观察图形特点,从整体上考虑问题是求解的关键.五、割补法例5如图6,将半径为2 cm的⊙O分割成十个区域,其中弦AB、CD关于点O对称,EF、GH 关于点O对称,连接PM,则图中阴影部分的面积是cm2(结果用π表示).分析:如图6,根据对称性可知,S1=S2,S3=S4,S5=S6,S7=S8. 因此阴影部分的面积是整个圆面积的■,应为■π×22=2π(cm2).温馨小提示:把阴影部分分成5部分,圆的剩余部分也分成5部分,使之对应面积两两相等,这样能简捷求解. ■。
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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“圆”单元学习中学生系统错误及其口试策略分析
“圆”单元学习中学生系统错误及其口试策略分析1. 概念模糊在学习“圆”单元时，一些学生对于圆的概念模糊不清，无法准确地描述圆的定义和特征，甚至将椭圆、椭圆和圆混为一谈。
2. 基本性质不清楚学生对于圆的基本性质了解不清楚，例如圆的直径、半径、周长、面积的计算公式不熟练或错误。
3. 圆的相关定理不熟悉在学习圆的相关定理时，一些学生对于圆内接四边形、圆外接四边形、相交弦定理等定理不熟悉，导致无法正确应用。
4. 计算错误在解答与圆相关的习题时，学生经常出现计算错误，导致得出错误的结果。
5. 解题能力不足在口试时，学生往往缺乏解题的思路和方法，对于实际问题无法进行灵活运用。
二、口试策略分析针对学生概念模糊的问题，教师可以通过引导学生观察日常生活中的圆形物体，如圆形的餐盘、篮球、拖把桶等，让学生通过观察和描述加深对圆的认识。
教师还可以利用多媒体辅助教学工具向学生展示圆的定义和特征，让学生通过视觉和听觉的方式更好地理解圆。
在教学过程中，教师可以通过例题讲解和练习巩固的方式帮助学生掌握圆的基本性质。
教师还可以设计一些生动有趣的活动，让学生在游戏中学习，在娱乐中领悟圆的基本性质，从而更好地掌握。
3. 多角度学习定理在学习圆的相关定理时，教师应该引导学生从不同角度进行学习，可以通过实例分析、推导演绎等方式，让学生深入理解定理的内涵，掌握定理的证明方法，从而更好地运用到解题过程中。
在口试准备过程中，学生应该注意计算的准确性，尤其是在计算圆的周长和面积时，要熟练掌握计算公式，注意单位的转换，减少计算错误的可能性。
在平时的学习中，学生应该多多进行练习，提高解题的灵活性和速度，培养解题的思维能力，增强在口试中的应变能力。
学生在“圆”单元学习中的系统错误不是无法克服的障碍，只要学生在平时的学习中能够认真对待，同时教师在教学中采取有效的策略进行指导，相信学生一定能够在口试中取得更好的成绩。
希望本文对于读者能够有所帮助，同时也祝愿学生们在口试中取得优异的成绩。
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圆的综合专题讲解
历年来几何题作为压轴题是目前的一大趋势，其中主要有三种情况的框架，圆，正方形，菱形。
这三种图形较为特殊，其中各块内容综合性较好的融合进去；今天我们主要来学习圆的综合问题的解法，希望有所体会，得到较好的感悟。
对于复杂几何问题，我们的解决思路是运用方程思想标图，另外通过题目条件找等量关系，列出方程，后面解方程，得解。
【例1】（2019杭州中考-23）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆☉O ，BC OD ⊥于点D ，连接OA .
（1）若∠BAC=60°，
①求证:OA OD 2
1=②当1=OA 时，求△ABC 面积的最大值.
（2）点E 在线段OA 上，OD OE =.连接DE ，设m ABC = ∠OED ∠，
n ACB = ∠OED ∠（m ，n 是正数）.若ACB ABC ∠ ∠<，求证：
m -02=+n .
【变式1-1】（2019宁波中考-26）如图1，O 经过等边△ABC 的顶点A ，C （圆心O 在△ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF ⊥EC 交AE 于点F.
（1）求证：BD=BE.
（2）当AF ：EF=3:2，AC=6时，求AE 的长。
（3）设EF
AF =x ,tan ∠DAE=y.①求y 关于x 的函数表达式；
②如图2，连结OF,OB ，若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍，求y 的值.
【例2】在圆O中，AC为直径，AB=3BC，D为弧AC上的一点，连接AD，DC，BD。
在△ABD中分别过B，D作DE⊥AB于点E，作BG⊥AD于点G，DE交AC于点F，DE，BG相交于点H，连接OH，∠OHD=82o，四边形DHBC为平行四边形。
求∠BDE的度数。
【例3】如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求弧BD的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。
若EF=AB，求∠OCE的度数．
【例4】如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB＝60°，若AB＝6cm．
（1）求弦AC的长；
（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．
①当t＝1时，求PQ的长；
②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．
【例5】如图，⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC=45°时，AE=EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED=；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O 交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．
【变式5-2】如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，垂足为点B ，连接CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连接
AD 并延长交BC 于点F ．则下列结论正确的有（）
①∠CBD=∠CEB ；②
BC CD BE BD =；③点F 是BC 的中点；④若23=AB BC ，tanE=3110-．A ．①②B ．③④
C ．①②④
D ．①②③变式5-2
【变式5-3】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若54=AB AC ，求DF
AF 的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O 直径为10，求△EFD 的面积．
【例6】（2019年一模-15）如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠= ，以边AC 为直径的⊙O 交边AB 于点D ，过点D 作O 的切线，与边BC 交于点E ，若3tan 4B =，AC=4，则DE 的长为.
【例7】（2019年二模-16）如图，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE,DE.若AC AB 2=，则ABE CDE S S ∆∆:的值为.
【例8】如图，C 、D 是以AB 为直径的圆O 上的两个动点（点C 、D 不与A 、B 重合），在运动过程中弦CD 始终保持不变，M 是弦CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ．若CD=3，AB=5，PM=x ，则x 的最大值是（）
A ．5
B ．3 C.2.5 D.3
2【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（）
A ．1
B ．23
C ．2
D ．2
作业：
1、如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）
A．B．C．2D．
2、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线AD交BC的延长线于点D，H是OA的中点，CH的延长线交切线AD于点F，BF交⊙O于点E，连接AE，若OB=2，则AE的长为（）
A．
55
8
B．
55
4
C．3D．
33
4
第2题
3、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为2，CF=1，求弧BD的长（结果保留π）．
4、如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边B 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ，已知∠CAD ＝∠B.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若BC ＝8，2
1tan B ，求⊙O 的半径.
5、如图，直线y=2x+2与x 轴，y 轴分别交于A、B 两点，点C 是在第一象限内此直线上的一个动点，以BC 为直角边作如图所示的等腰直角三角形BCD，点E 在过A、C、D 三点的圆上，且DE⊥BD，连结CE、AD．
（1）找出图中一对相似三角形（不再标记字母），并说明理由；
（2）在C 的运动过程中，DE 的长度是否改变？若不变，请求出DE 的长；若变化，请说明理由．。