2020赢在微点理科数学大二轮复习大题1

考前顶层设计·数学理·教案
→→ 因为 A1C⊥EF，所以A1C·EF＝0，
所以(－2)×(－2)－t×2t＋2 3×0＝0，解得 t＝2 2。
→ 所以EF＝(－2，
2，0)，E→D＝－32，0，
3。 2
设平面 DEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则EE→→DF··nn＝＝00，，
＝
|n|·|A1C1|
4＝ 6×4
66。
所以直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值为 66。
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19．(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上， 直线 y＝32x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好 是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 的另一个焦点是 F1，且M→F1·M→F2＝94。
则△F2PQ 的周长为 4a＝8。
又 S△F2PQ＝12·4a·r(r 为三角形内切圆半径)，
所以当△F2PQ 的面积最大时，其内切圆面积最大。
设直线 l 的方程为 x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
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因为M→F1·M→F2＝－2c，－32c·0，－23c＝94， 所以 c＝1。
又 a12＋49b2＝1， a2＝b2＋1，
a2＝4， 解得b2＝3。
所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1。
(2)由(1)知 F1(－1,0)，过点 F1(－1,0)的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，
－2x＋ 2y＝0， 所以－32x＋ 23z＝0，
取 x＝1，则 n＝(1， 2， 3)。
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→→ A1C1＝AC＝(－2,0,2 3)，
设直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角为 θ，
→
所以
→ sinθ＝|cos〈n，A1C1〉|＝
|n·A1C1| →
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解 (1)证明：如图，连接 AB1，交 A1B 于点 H，连接 A1B 交 EF 于点 K， 连接 DK，
因为四边形 ABB1A1 为矩形， 所以 H 为线段 A1B 的中点， 因为点 E，F 分别为棱 AB，BB1 的中点， 所以点 K 为线段 BH 的中点，所以 A1K＝3BK。 又 CD＝3BD，所以 A1C∥DK。 又 A1C⊄平面 DEF，DK⊂平面 DEF， 所以 A1C∥平面 DEF。
的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 E－xyz。
设 AB＝4，AA1＝t(t>0)，
则 A1(2，t,0)，C(0,0,2
3)，E(0,0,0)，F－2，2t ，0，D－23，0，
3， 2
→ 所以A1C＝(－2，－t,2
3)，E→F＝－2，2t ，0。
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(1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 过点(－1,0)，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求△F2PQ 的内切 圆面积的最大值。 解 (1)设椭圆 C 的方程为xa22＋yb22＝1(a>b>0)， 因为点 M 在直线 y＝32x 上，且点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右 焦点 F2(c,0)，则点 Mc，32c。
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所以π6<2π－θ<2π，0<23π－2θ<23π， 所以π2－θ＝23π－2θ 或π2－θ＋23π－2θ＝π， 解得 θ＝6π或 θ＝1π8， 故∠DCA＝π6或∠DCA＝
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17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，B＝3π，点 D 在边 AB 上，BD＝1， 且 DA＝DC。
(1)若△BCD 的面积为 3，求 CD； (2)若 AC＝ 3，求∠DCA。
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解 (1)因为 S△BCD＝ 3， 所以12·BC·BD·sinB＝ 3，解得 BC＝4， 在△BCD 中，利用余弦定理得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB，解得 CD＝ 13。 (2)在△ACD 中，可设∠A＝∠DCA＝θ， 则∠ADC＝π－2θ， 又 AC＝ 3，由正弦定理得sinAπ－C 2θ＝sCinDθ，
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专项微测 第二部分 考卷题型篇Ⅱ (大题•规范练)
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大题1 “17题～19题”＋“二选一” 46分练
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解答题：本大题共 4 小题，共 46 分。第 22 题～23 题为选考题。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为正三角 形，点 D 在棱 BC 上，且 CD＝3BD，点 E，F 分别为棱 AB，BB1 的中点。
(1)证明：A1C∥平面 DEF； (2)若 A1C⊥EF，求直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值。
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(2)由(1)知，EH∥AA1， 因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱， 所以 AA1⊥平面 ABC，所以 EH⊥平面 ABC。 因为△ABC 为正三角形，且点 E 为 AB 的中点，
所以 CE⊥AB。
→→ → 故以点 E 为坐标原点，分别以EA，EH，EC的方向为 x 轴、y 轴、z 轴
所以 CD＝2co3sθ。 在△BDC 中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝23π－2θ，
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因为 2θ∈0，23π，所以 θ∈0，π3， 由正弦定理得sCinDB＝sin∠BDBCD，
即 CD＝2sin23π3－2θ， 所以 cosθ＝sin23π－2θ， 于是 sinπ2－θ＝sin23π－2θ。 因为 0<θ<π3，