圆锥曲线分类汇编

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2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题

圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =．解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝，点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。

2011-2017新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)

2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空[2011新课标]4．椭圆的离心率为〔 D 〕A．B．CD[解析]cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.[2011新课标]9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为〔 C 〕A．18B．24C．36D．48[解析]易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.[2012新课标]4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为〔C〕A．12B．23C．34D．45[解析]∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.[2012新课标]10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=C的实轴长为〔〕A．．4D．8[解析]由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=∵||AB=∴a=2，∴C的实轴长为4，故选C.[2013新课标1]4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)，则C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x[解析]∵e=∴ca=2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。

[2013新课标1]8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(C)．A．2 B．．．4[解析]利用|PF|＝Px=可得x P＝∴y P＝±∴S△POF＝12|OF|·|y P|＝221168x y+=1312∆[2013新课标2]5. 设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为(D ) A ．6 B ． 13 C ． 12D ．3[解析]如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||2PF x F F c ==3x =，而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴3c e a ===[2013新课标2]10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为(C)．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝(x -1)或y ＝ -(x -1)C ．y ＝ 3(x -1)或y ＝ -3(x -1)D ．y ＝ 2(x -1)或y ＝ -2(x -1)[解析]由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x ＝－1，当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2，在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+，解得x ＝2t ，则cos ∠NBK＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°y 1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.[2014新课标1]〔4〕已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a 〔 D 〕 A. 2 B.26C. 25D. 1 [解析]2=，解得1a =，选D. [2014新课标2]10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =〔 C 〕〔A 〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕[2014新课标2]12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值X 围是〔 A 〕〔A 〕[]1,1-〔B 〕1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，〔C〕⎡⎣〔D 〕22⎡-⎢⎣⎦，[2015新课标1]〔5〕已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=〔B 〕〔A 〕3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕12[2015新课标1]16. 已知F 是双曲线C ：x 2-82y=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A 〔0,66〕.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为12√6[2015新课标2]15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程x 24-y 2=1。

2020年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择

2020年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择一、选择题1、〔2018湖南文数〕5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，那么点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，因此它到焦点的距离为6。

.2、〔2018全国卷2理数〕〔12〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k =〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕2 【答案】B【命题意图】本试题要紧考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分不作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，应选B.3、〔2018陕西文数〕9.抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切，那么p 的值为 [C]〔A 〕12〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕4解析：此题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切，因此2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切与点〔-1,0〕因此2,12=-=-p p4、〔2018辽宁文数〕〔9〕设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔A 〔B 〔C 〕12 〔D 〕12解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，那么一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==. 5、〔2018浙江理数〕〔8〕设1F 、2F 分不为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.假设在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为〔A 〕340x y ±= 〔B 〕350x y ±= 〔C 〕430x y ±= 〔D 〕540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中查找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，此题要紧考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对运算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 6、〔2018辽宁文数〕〔7〕设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，假如直线AF 斜率为，那么PF =〔A 〕〔B 〕 8 〔C 〕〔D 〕 16解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，那么4||8sin30PF ︒== 7、〔2018辽宁理数〕 (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12+ (D) 12【答案】D【命题立意】此题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结第一篇：圆锥曲线基础知识圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

1. 椭圆椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。

当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。

椭圆具有如下性质：(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。

(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。

(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。

(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。

双曲线具有如下性质：(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。

(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。

(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。

(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。

(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。

抛物线具有如下性质：(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。

对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。

圆锥曲线分类汇编江苏版

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C :2x~2a b21 (a b 0)的左、右焦点分别1南京9月调研18.(本小题满分16分)x2 y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: + £-= 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,a2 b2P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PF1=沪1Q.3(1)若点P的坐标为(1, 2)，且△ PQF2的周长为8,(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e€ ［2-, 22］，求实数入的取值范围.2苏州暑期测试为匸丁2，点P (3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为2 2(1 ［① 求椭圆C的标准方程;②若F1QF2 —,求QF1 QF2的值•3(2)直线y x k与椭圆C相交于A, B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数3苏北四市摸底17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2在，说明理由. C :x2y2 4x 0及点A( 1,0) , B(1,2). M , N两点，MN AB，求直线l的方程; PB24、(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆2 2 2 x2 y2O :x2 y2 b2经过椭圆E : 2 1 (0 b 2)的焦点.4 b(1)求椭圆E的标准方程；)设直线l : y kx m交椭圆E于P, Q两点，T为弦PQ的中点，M( 1,0), N (1,0), 记直线TM ,TN 的斜率分别为k1, k2，当2m2 2k2 1时，求k1 k2的值.2 圆x2 a (1) y观于点。

，求OP^ OQ2的值.xOy中，已知椭17 .已知椭圆C:2fT=1 (a> b> 0)的离心率为斐，并且过点P (21) 5、(南通、泰州市2017届高三第一次调研测)如图，在平面直角坐标系y 21 (a b 0)的离心率为二2，焦点到相应准线的距离为1.b226苏州市2017届第一学期期末(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C 于两点A (X1, y1), B (X2, y2)，若直线PQ平分/ APB,求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.f--I M—*fi求椭圆的标准方程;(2)(2)设B X i,% ,C X2,y2，且3% y 0，求当OBC面积最大时，直线I的方程.2 27、（无锡市2017届高三上学期期末）已知椭圆——1，动直线I与椭圆B,C两点（B4 3在第一象限）3（1）若点B的坐标为3，求OBC面积的最大值;，28常州市2017届第一学期期末2 2x2 y217.（本题满分14分）已知圆C: x t y 20 t 0与椭圆E：p 2 1 a b 0a b的一个公共点为B 0, 2 , F c,0为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.（1 ）求t的值及椭圆E的方程；（2）过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M , N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为MPN的平分线?爲1(a b 0)的离心率为三，b 2 22x 9、(镇江市2017届高三上学期期末)已知椭圆a_ i且点(卫,一)在椭圆C 上.2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线I 交椭圆C 于P,Q 两点，线段PQ 的中点为H , 0为坐标原点，且 0H 1，求POQ 面积的最大值.2 210、(扬州市2017届高三上学期期末)如图，椭圆C:笃与1(a b 0)，圆o：x2y2b2, a b 过椭圆C的上顶点A的直线l : y kx b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设uu iuuAP PQ •(1) 若点P( 3,0),点Q( 4, 1),求椭圆C的方程;(2) 若3，求椭圆C的离心率e的取值范围.11、(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁) 2017届高三上学期期末)如图，在平面直一x2 y2角坐标系xOy中，已知椭圆8二21(a b 0)的离心率为a b42 厂，且右焦点F到左准线的距离为6 2 •2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N •1(i)当直线的PA斜率为丄时，求FMN的外接圆的方程；2(ii)设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APQ的面积的最大值.｛第1&H)k(k> 0)的直线I交椭圆C于A, B两点(A (1)求椭圆C的标准方程;(2)过点O且平行于I的直线交椭圆C于点M, N,求AT • BT ，+ MN 2的值;(3)记直线I与y轴的交点为P.若T2 TAP = 5TB，求直线13苏锡常镇调研18、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2每1(a b 0)的焦距为2，离心率为b，椭圆的右顶点为A.12南京盐城2017届二模18. (本小题满分16分)2 2如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C:侖+ b^= 1经过点(b, 2e), 其中e为椭圆C的离心率.过点T(1, 0)作斜率为在x轴下方).(1)求该椭圆的方程;(2)过点DC，2, , 2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q，求证：直线AP, AQ的斜率之积为定值(第惓翹图)D2” 1 (a b 0)的离心率为2 , C为18. （2017南京三模）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆孑+ y2 =14南通扬州二模17.（本小题满分14分）2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆爲a 椭圆上位于第一象限内的一点.（1）若点C的坐标为2 , 5，求a, b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且求直线AB的斜率.1（a > b > 0）的右顶点和上顶点分别为A, B,（1）求椭圆的离心率；（2）已知a= 2，四边形ABCD内接于椭圆, 斜率分别为k1, k2,求证：k1 • k2为定值.（第17题）15M为线段AB的中点，且OM •AB// DC.记直线AD, BC的（第18题图）21的左、右顶点分别为 A , B , 3过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P , Q 两点(点P 在x 轴上方). (1) 若 QF 如图，在平面2 x C: —4 2FP ，求直线l 的方程; 16苏锡常镇调研二19. (本小题满分16分)2 2已知椭圆C:冷爲 1(a b 0)的左焦点为F( 1,0)，左准线方程为x 2 .a b (1)求椭圆C 的标准方程；(2 )已知直线I 交椭圆C 于A , B 两点. ① 若直线I 经过椭圆C 的左焦点F , uu iuur交y 轴于点P ，且满足PA AF , uui uui，亠 PB BF .求证：为定值；②若A , B 两点满足OA OB (O 为坐标原点)，求△ AOB 面积的取值范围.17苏北三模17.(本小题满分14分)(2) 设直线AP , BQ 的斜率分别为k 1 ,求出的值；若不存在，请说明理由.18南通扬州三模17.（本小题满分14分）22过19盐城三模18.（本小题满分16分）2 2已知A、F分别是椭圆C :笃爲1（a b 0）的左顶点、右焦点，点P为椭a b圆C上一动点，当PF x轴时，AF 2PF.（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O:x2 y2为椭圆C的“关联圆” •若b ，过点P作a b椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：-32电为定值•m n。

圆锥曲线大题题型分类归纳大全

圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 21=则实数m 的取值范围为_________________.2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值范围为________________.3. 抛物线x y C 42:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。

高考数学圆锥曲线分类汇编理

l ( A) 1234( D) 232 【2013 新课标 1】4. 已知双曲线 C:a －b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√5，则 C 的渐近线方程 22 （D ）y =±x（B ）y =±1xb 21A 、45＋36＝1 x 2B 、36＋27＝11C 、27＋18＝1 x 22011-2018 新课标(理科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空【2011 新课标】7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，与 C 交于A,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（B ）（A ） 2（B ） 3（C ）2（D ）3【2011 新课标】14. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F , F 在 x 轴上， 12离心率为2 。

过 l 的直线交于 A, B 两点，且 △ABF 的周长为 16，那么 C 的方程为22x 2 y 2+ = 1 。

16 8【2012 新课标】4. 设 F F 是椭圆 E : 1 2 x 2 y 2+ a 2 b 23a = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，P 为直线 x = 上2一点， ∆ F PF 是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为（C）2 1( B ) (C ) 453 【解析】 ∆ F PF 是底角为 30o 的等腰三角形 ⇒ PF = F F = 2( a - c) = 2c ⇔ e = 2 1 2 2 1 c 3=a 4【2012 新课标】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A, B 两点， AB = 4 3 ；则 C 的实轴长为（C）( A) 2( B ) 2 2 (C ) 4 ( D ) 8【解析】设 C : x 2 - y 2 = a 2 (a > 0) 交 y 2 = 16 x 的准线 l : x = -4 于 A(-4, 2 3) B(-4, -2 3)得： a 2 = (-4) 2 - (2 3) 2 = 4 ⇔ a = 2 ⇔ 2a = 4x 2 y 2 22为(C)A 、y =±1x（C ）y =±1x 43c 5 5 c 2 a 2 + b 2b 1 【解析】由题知， =，即 ==，∴ = ，∴ = ± a24 a 2a 2a 2 4 a 2，∴ C 的渐近线方程为1y = ± x ，故选 C .2x 2 y 2【2013 新课标 1】10、已知椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版

圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。

DS高三圆锥曲线分类专题

DS 高三圆锥曲线小题专题题型一、定义法求轨迹【例题1-1】设圆x 2+y 2+2x −15=0的圆心为A ，直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；【变式训练1.1】圆和圆，动圆M 同时与两圆相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程？【变式训练1.2】平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程。

题型二、焦点三角形【例题2-1】已知F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 29=1的左右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )等于 ( )A. 6B. 10C. 20D. 25【变式训练2.1】已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，点Q 为椭圆上一点．ΔQF 1F 2的重心为G ，内心为I ，且GI ⇀=λF 1F 2⇀，则该椭圆的离心率为( )A. √22B. 12C. 13D. √23【变式训练2.2】已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=900，则椭圆的离心率取值范围为( )A. (0,√22] B. [√22,1) C. (0,√32] D. [√32,1) 【变式训练2.3】已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2=60∘，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. (0,12]B. [12,1)C. (0,√32]D. [√32,1)【变式训练2.4】设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=1200，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )．A. (0,√32] B. (0,34]C. [√32,1) D. [34,1)【变式训练2.5】已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使asin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A. (0,√2−1)B. (√22,1) C. (0,√22) D. (√2−1,1)【变式训练2.6】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上任一点，且|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，则椭圆的离心率的取值范围为( )A. [√33,√22]B. (0,√22]C. [√63,1)D. [√22,√63]【变式训练2.7】椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A. (0,23)B. (0,23]C. [23,1)D. (23,1)【变式训练2.8】双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1,F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|＝2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,＋∞) D.[3,＋∞)【变式训练2.9】已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).若双曲线C 上存在一点P ，使得sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=ac ，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (1,1+√2)B. (1,1+√3)C. (1,√D. (1,√3)【变式训练2.10】已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 2为底边的等腰三角形.若|PF 1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是______ ．【变式训练2.11】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线上任一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值的取值范围是[−34c 2,−12c 2]，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A. (1,√2)B. [√2,2]C. (1,√2)D. [2,+∞]【变式训练 2.12】已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点，满足120PF PF ⋅=，且12|||PF PF =，则该双曲线离心率为．【变式训练2.13】设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=λ|PF 2|(12≤λ≤2)，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为( )A. (0,√22] B. [√22,√53]C. [23,√53]D. [√53,1)题型三、焦点弦性质（通经）【例题3-1】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（）（A（B ）（C（D ）2【变式训练3.1】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若ON OM ⊥，则双曲线的离心率为（） A B C D ．251+ 【变式训练3.2】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______．【变式训练3.3】过双曲线x 24−y 2=1的右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD(A 、B 、C 、D 四点均在双曲线的右支上)，则1|AB|+1|CD|等于( )A. 34B. 43C. 45D. 5412,F F 2222:1x y E a b-=M E 1MF x211sin 3MF F ∠=E 32【变式训练3.4】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=10，则|HF|=()A. 14B. 16C. 18D. 20【变式训练3.5】如图，F1,F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，经过右焦点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|=2|F2Q|，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是A. √2B. √3C. √102D. √173【变式训练3.6】已知双曲线E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．【变式训练 3.7】设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→＝··········································································································································（）A.34B. －34C. 3D. －3【变式训练3.8】过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝ .【变式训练3.9】过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p＋1q等于···········································································（）A. 2aB.12aC.4aD.4a【变式训练3.10】过抛物线24y x=的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点．若3AF=|，则△AOB的面积为( )22221x ya b-=A.2C. 2 D ．【变式训练3.11】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10题型四、中点弦性质【例题4-1】已知椭圆r:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且离心率为12，ΔABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设ΔABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3，且k 1,k 2,k 3均不为0．O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1.则1k 1+1k 2+1k 3=__________．【变式训练4.1】过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的右焦点F ，且斜率为2的直线l 与双曲线的右支相交于点A ，B ，若弦AB 的中点横坐标取值范围为(2c,4c)，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (3,4)B. (2,3)C. (√3,4)D. (√2)题型五、对称性【例题5-1】椭圆C:x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 1,A 2，点P 在C 上且直线PA 2 斜率的取值范围是[−2,−1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A. [12,34] B. [34,1]C. [12,1]D. [38,34]【变式训练5.1】已知点,,P A B 在双曲线12222=-b y a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（）A.332 B.315 C.2 D.210【变式训练5.2】已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（）A.3B.4C.32D.42 【变式训练5.3】【变式训练5.4】已知椭圆12222=+by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[题型六、曲线的三角换元【例题6-1】若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A ．2．12C ．2+．1 【变式训练 6.1】设1F 是椭圆2214y x +=的下焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则1PF PO ⋅的最大值为.【变式训练6.2】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.26题型七、混合离心率【例题7-1】设F 1,F 2分别为椭圆C 1:x 2a 12+x 2b 12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22+x 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=90∘，若椭圆离心率e 1=34，则双曲线C 2离心率e 2的值为( )A. 92 B . 3√22C. 32 D . 54 【变式训练7.1】已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则1e 12+3e 22=________．中【变式训练7.2】心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|=|F 1F 2|，且|PF 2|=5，若椭圆C 1的离心率e 1∈(35,23)，则双曲线的离心率e 2的取值范围是( )A. (2,3)B. (53,2)C. (32,53)D. (32,3)【变式训练7.3】设P 为有公共焦点F 1 , F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，若椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，则9e 12+e 22的最小值为．【变式训练7.4】已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( ) (A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C)(13，+∞) (D)(0，+∞)【变式训练7.5】已知椭圆C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜122x m 22x n题型八、最值问题【例题8-1】已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A ，B 两点，若的最大值为5，则的值是 ( ) A.1 B.C.D.【变式训练8.1】已知F 1，F 2是等轴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，且焦距为4√2，点P 是C 的右支上动点，过点P 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，则|F 1P|+|PH|的最小值是( )A. 6B. 4√2C. 12D. 8√2 【变式训练8.2】已知定点(1,4)，点F 是双曲线x 24−y 23=1的左焦点，P 为右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为( )A. √41B. 9+√41C. 9D. 4【变式训练8.3】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（） A ． B ． C ．D【变式训练8.4】若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，求|PA|+|PF|取得小值时点P 的坐标。

圆锥曲线知识点清单

圆锥曲线知识点清单1.圆锥曲线定义：圆锥曲线可以定义为平面上一条曲线，是由一个平面与一个双曲面(或抛物面、圆锥、椭球)相交而得到的曲线。

2.圆锥曲线的分类：根据双曲面的切割方式，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。

3.圆：圆是一种特殊的圆锥曲线，是由一个平面与圆锥体的底面相交而得到的曲线。

圆的特点是所有的点到圆心的距离都相等。

4.椭圆：椭圆是圆锥曲线中除了圆之外最为常见的一种形式。

椭圆的特点是到两个焦点的距离之和等于定长的点构成的轨迹。

5.双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种形式，具有两个分离的点，称为焦点。

双曲线的特点是到两个焦点的距离之差等于定长的点构成的轨迹。

6.抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种形式，具有一个焦点和一个定点。

抛物线的特点是到焦点和定点的距离相等的点构成的轨迹。

7.圆锥曲线的方程：每种圆锥曲线都有其特定的方程形式。

例如，椭圆的方程可以表示为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。

8.圆锥曲线的焦点和准线：每种圆锥曲线都具有焦点和准线，它们在曲线的定义中起到重要作用。

焦点是曲线的特定点，而准线是曲线的特定直线。

9.圆锥曲线的参数方程：除了直角坐标系方程外，圆锥曲线还可以使用参数方程来表示。

参数方程由参数t控制，使我们可以通过调整参数值来改变曲线的形状。

10.圆锥曲线的基本性质：每种圆锥曲线都具有一些基本的性质，如对称性、渐近线、离心率等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析圆锥曲线。

11.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在现实生活和工程领域中有着广泛的应用，如天体轨道、卫星通信、汽车运动轨迹等。

了解圆锥曲线的性质和方程形式有助于我们更好地理解和应用它们。

12.圆锥曲线的研究方法：研究圆锥曲线的方法包括几何方法和解析几何方法。

几何方法主要是通过几何性质和图形推理来研究曲线的特性，而解析几何方法则是通过代数和数学计算来推导圆锥曲线的方程和性质。

以上是圆锥曲线的一些主要知识点，通过学习和了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线。

高考数学圆锥曲线整理分类

§1.圆锥曲线基本知识知识网络：
椭圆定义
标准方程
几何性质第二定义
作图
圆锥曲线
双曲线定义
标准方程
几何性质第二定义
作图统一定义作图
抛物线定义
标准方程
几何性质
直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆定义 1.到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定长 2a（ 2a＞ |F1F2|）的点的轨迹 2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e（ e ∈（ 0， 1））的点的轨迹 1.
程得 :
c c 2 3c 2 2 1, c 2 a 2 b 2 e 3 1 ,选 D. 2 a 4a 4b
【例 11 】（ 2006 年江西 9 ） P 是双曲线
x 2 y2 －＝1 的右支上一点， M 、 N 分别是圆 9 16
( x 5)2 y 2 4 和 ( x 5)2 y 2 1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）
A．
5 2
B．
10 2
C．
15 2
D． 5
解题思路：令 AF1 3 AF2 3m F1F2 10m 2c, 2a 2m e 【例 7】（ 2007 年四川 5）如果双曲线
4 6 3
c 10 ,选 B. a 2
x2 y2 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2， 4 2
那么点 P 到 y 轴的距离是 (
)A.
B.
2 6 3
C. 2 6
D. 2 3
解题思路：由双曲线第二定义：设右焦点为 F， P 到右准线的距离为 d，则
PF 6 = e d 2

高考数学圆锥曲线分类汇编理

提高装配式建筑施工质量的关键手段与控制措施随着科技的不断发展和人们对建筑质量要求的提高，装配式建筑作为一种先进的施工方式，逐渐受到了广大建筑行业的关注和运用。

然而，由于装配式建筑具有其独特性与复杂性，如何提高其施工质量成为了一个重要课题。

本文旨在探讨提高装配式建筑施工质量的关键手段与控制措施。

1. 规范化的设计和施工流程规范化的设计和施工流程是确保装配式建筑质量的基础。

在设计阶段，应充分考虑各个构件之间的衔接、组合形态以及整体系统协调性等因素，并进行静力学分析和风荷载计算等专业评估。

同时，在施工过程中要明确每个环节的责任划分，并严格按照预定流程执行。

只有在规范化的设计和施工流程指导下，才能有效地降低错误和失误发生的概率，从而提高整体质量水平。

2. 建立全过程监管机制建立全过程监管机制是提高装配式建筑施工质量的关键手段之一。

这包括在整个建设过程中进行实时监测和数据采集，以确保施工质量的实时可控性。

同时，要加强对装配件生产厂家和施工队伍的资质审核，严格遵守相关标准和规范，确保每个参与方都有明确的责任和义务，并对其进行有效的监督和检查。

3. 优化材料选择与采购管理材料选择与采购管理是决定装配式建筑施工质量的重要因素之一。

为了提高装配式建筑的整体品质，在选择材料时应优先选择环保、耐久、稳定性好以及适合装配作业的产品。

此外，还需加强对供应商的甄选，确保所购材料符合国家标准，并落实供应商责任追溯制度，确保所使用材料的质量可追溯。

4. 强化人员培训和技术支持人员培训和技术支持是提高装配式建筑施工质量不可或缺的手段。

首先，需要针对不同岗位的人员进行专门的培训，提高他们的工作技能和操作水平，并确保各个环节的协调配合。

其次，要加大对新技术、新工艺以及先进设备的研发与推广力度，为人员提供必要的技术支持和指导，从而降低施工中出现问题的风险。

5. 建立健全质量管理体系建立健全质量管理体系是提高装配式建筑施工质量必不可少的措施。

圆锥曲线综合五个类型 (2) (1)

（一）求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。

例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。

着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。

类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。

例2、2017年全国Ⅱ卷（理科20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2=1 上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足 NP = 2NM．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q 在直线 x =−3 上，且 OP ⋅PQ =1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解法分析】本例第Ⅰ小题充分利用主动点M 在椭圆上，而从动点N 与主动点M 之间存在横坐标相同，纵坐标有倍的关系，可利用相关点法进行求解。

⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，∴12M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=．⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=，∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线方程为3()P P Qy x x y y =-+，令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线方程为1x =-，直线过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．类型3——定义法求轨迹方程先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。

圆锥曲线分类汇总

广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线一、选择题1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）AA. 212x y =B.212y x =C.24x y =D.26x y = 2、（2009吴川）若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a的值为（）C A ．-2或2B2321或 C ．2或0 D ．-2或03、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（）C (A) 14(B) 1(C) 2(D) 2 24、（2009珠海）经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ）A.0346=--y xB. 0323=--y xC.0232=-+y xD. 0132=-+y x 5、（2009惠州）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（） DA ．2-B ．2C ．4-D ．46、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）B A ．x y 232= B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92= 7、（2009广东六校）以141222=-xy的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）D A ．1526422=+yxB.1121622=+yxC.141622=+yxD.116422=+yx8、（2009广州）已知双曲线19222=-yax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线xy 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.54 B.55558 C.45 D.774二、解答题1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：aby 20=，所以c ab=2，又222c a b -=从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e .(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：abr 2=，c d =所以，3=c ，22=a b又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b所求椭圆方程是：16922=+yx2、（2009吴川）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程；（2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q O M O N =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=kk ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………………… 7分∵O Q O M O N =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y =……………………9分又∵42020=+y x ，∴4422=+yx …………………………… 10分由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164yxy +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。

圆锥曲线分类汇编

2
1 k12
2
整理得 2 x0 2 k1 2 2 x0 y0 k1 y0 2 0 同理
2

2
2 x0 2 2 k22 2 2 x0 y0 k2 y02 2 0 2 2 2 ∴ k1k2 是方程 2 x0 2 k 2 2 x0 y0 k y0 2 0 的两实根
9、（省如东县掘港高中）顶点在原点且以双曲线为准线的抛物线方程是答案： y 6 x
2
x2 y 2 1 的右准线 3
x2 y 2 1(a b 0) 和圆 a 2 b2 O : x2 y 2 b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 APB 60 ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
2 2 整理得(1＋4k )x ＋8(ky0－k2x0)x＋4(y2 0－2kx0y0＋k x0－1)＝0. 2 2 由题意 Δ＝0，即(4－x2 0)k ＋2x0y0k＋1－y0＝0. 2 x0 x0 2 2 2 又＋y2 . 0＝1，所以 16y0k ＋8x0y0k＋x0＝0，故 k＝－ 4 4y0
2 x0 2 2 0 x0 2 y0 2 1 2 ∴ 16 12 2 x0 y0 2 2 0 8 2 x 2 2 2 y 2 2 2 0 0 y0 2 1 k k 2 1 2 2 x0 2 2 P 2,3 或P 2, 3 或 18 , 57 或 18 , 57 5 5 5 5
椭圆长轴长为曲线e的方程为处的切线l的方程是3直线m的方程为设点c关于直线m的对称点的坐标为直线pd的斜率为故直线pd恒过定点的左右焦点分别是且垂直于x轴的直线被椭圆c1求椭圆c的方程

分类汇编：圆锥曲线

山东省13市2016届高三3月试题分类汇编【圆锥曲线】一、选择、填空题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线222:14yC x -=有相同的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A,B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 2、（德州市2016高三3月模拟）已知双曲线与椭圆221259x y+=的焦点重合，它们的离心率之和为145，则双曲线的渐近线方程为 A 、33y x =± B 、53y x =± C 、35y x =± D 、3y x =±3、（菏泽市2016高三3月模拟）点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>于双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线1C 的焦点的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（） A.6 B. 5 C. 3 D. 24、（济宁市2016高三3月模拟）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为2212221,y x C C a b -=与的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为A.20x y ±= B. 20x y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=5、（临沂市2016高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别12,l l ，右焦点F 。

若点F 关于直线1l 的对称点M 在2l 上则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C . 3 D.26、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12F F ，为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o，则双曲线的离心率为 A.312+ B.512+ C.3D.57、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.38、（泰安市2016高三3月模拟）已知点()22,0Q -及抛物线24x y =-上一动点(),P x y ，则y PQ +的最小值是A.12B.1C.2D.39、（潍坊市2016高三3月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为 A.52B.62C.3D.510、（烟台市2016高三3月模拟）.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共交点为P ，且5PF =，则该双曲线的离心率为11、（枣庄市2016高三3月模拟）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1x y C a b -=的渐近线与椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>交于第一、二象限内的两点分别为,A B ，若OAB∆的外接圆的圆心为()0,2a ，则双曲线C 1的离心率为 .12、（淄博市2016高三3月模拟）已知双曲线2215y xm-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐进线方程为A. 55y x =±B. 255y x =±C. 52y x =± D. 5y x =±13、（济南市2016高三3月模拟）过点（0,3b ）的直线l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是＿＿参考答案：1、C2、D3、B4、A5、B6、A7、A8、C9、B 10、2 11、62- 12、C 13、3 二、解答题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知动圆M 过定点()0,1F -，且与直线1y =相切，圆心M 的轨迹为曲线C ，设P 为直线:20l x y -+=上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA,PB ，其中A,B 为切点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF 的最小值.2、（德州市2016高三3月模拟）已知抛物线E ：22(0)y px p =>的准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆22(5)9x y -+=的两条切线，切点为M ，N ，｜MN ｜＝33（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB = （其中O 为坐标原点）。

圆锥曲线常用知识归类

的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B，C 同号，A≠B）。（2）双曲线：双曲线焦点在 x 轴上：
{
x2 y2 y2 x2 − 2 =1，焦点在 y 轴上： 2 − 2 ＝1 a > 0, b > 0 ）（。 a2 b a b
方程 Ax 2 + By 2 = C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B 异号）。（3）抛物线抛物线：开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ，开口向左时 y 2 = −2 px ( p > 0) ，开口; 0) ，开口向下时 x 2 = −2 py ( p > 0) 。
圆锥曲线第
3
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10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。圆锥曲线的中点弦问题：点差法” 圆锥曲线的中点弦问题 “韦达定理”
b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 + 2 = 1 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=－ 2 ； a b a y0 b 2 x0 x2 y2 在双曲线 2 − 2 = 1 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ； a b a y0 p 2 在抛物线 y = 2 px( p > 0) 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 温馨提醒：因为 ∆ > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、温馨提醒对称问题时，务必别忘了检验 ∆ > 0 ！
为等轴双曲线，其方程可设为 x 2 − y 2 = k , k ≠ 0 ；④准线：两条准线 x = ±
a2 ； ⑤离心率： c

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