圆锥曲线分类汇编
中职高考分类汇编：第九章 圆锥曲线
A.4
B.3
C.2
D.1
2.(01T13)设 P 是双曲线 − = 1上一点，P 到双曲线一个焦点的距离为 10，
则 P 到另一个焦点的距离是 （ ）
A.2 B.18
C.20
D.2 或 18
√
3.(01T14)中心在坐标原点，焦点在 x 轴，且离心率为 ,
焦距为 1 的椭圆方程是（ ）
A.2x + 4y = 1 B. + = 1 C.4x + 2y = 1 D. + = 1 4.(01T20)双曲线 − = 1的离心率是 ____
广东省中职高考：2010 年圆锥曲线部分
1.(10T14)双曲线 − = 1的焦点坐标是（ ）
A.(−2,0), (2,0)
B.(0, −2), (0,2)
C.(0, −4), (0,4)
D.(−4,0), (4,0)
2.(10T22)(本大题满分 12 分)
√
已知中心在坐标原点，焦点F , F 在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ， 抛物线x = 4y的焦点是椭圆 C 的一个顶点.
A.6 B.8 C.10 D.12
3.(04T16)已知抛物线y = mx 的准线方程为y = −1，则 m＝ ( )
A.−4 B.4
C.
D.−
4.(04T24) (本大题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xoy 中，点 A 在第一象限内，已知点B(5,0)
且满足OA⃗. OB⃗ = OA⃗. BA⃗， OA⃗ + OB⃗ = √185, 求直线 AB 的方程.
5.(01T25) (本大题满分 14 分)
已知直线y = 2x + b与椭圆 + = 1相交于不同的两点 A、B. 定点 P 的坐标为(1,2), 求 b 值,使△PAB 的面积最大,并求这个最大值.
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2
1 k12
2
整理得 2 x0 2 k1 2 2 x0 y0 k1 y0 2 0 同理
2
2
2 x0 2 2 k22 2 2 x0 y0 k2 y02 2 0 2 2 2 ∴ k1k2 是方程 2 x0 2 k 2 2 x0 y0 k y0 2 0 的两实根
9、（省如东县掘港高中）顶点在原点且以双曲线 为准线的抛物线方程是 答案： y 6 x
2
x2 y 2 1 的右准线 3
x2 y 2 1(a b 0) 和圆 a 2 b2 O : x2 y 2 b2 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 O 的两条切线,切 点分别为 A, B ,满足 APB 60 ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
2 2 整理得(1＋4k )x ＋8(ky0－k2x0)x＋4(y2 0－2kx0y0＋k x0－1)＝0. 2 2 由题意 Δ＝0，即(4－x2 0)k ＋2x0y0k＋1－y0＝0. 2 x0 x0 2 2 2 又 ＋y2 . 0＝1，所以 16y0k ＋8x0y0k＋x0＝0，故 k＝－ 4 4y0
2 x0 2 2 0 x0 2 y0 2 1 2 ∴ 16 12 2 x0 y0 2 2 0 8 2 x 2 2 2 y 2 2 2 0 0 y0 2 1 k k 2 1 2 2 x0 2 2 P 2,3 或P 2, 3 或 18 , 57 或 18 , 57 5 5 5 5
椭圆长轴长为曲线e的方程为处的切线l的方程是3直线m的方程为设点c关于直线m的对称点的坐标为直线pd的斜率为故直线pd恒过定点的左右焦点分别是且垂直于x轴的直线被椭圆c1求椭圆c的方程
2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题
圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝， 点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。
2011-2017新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空[2011新课标]4．椭圆的离心率为〔 D 〕A．B．CD[解析]cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.[2011新课标]9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为〔 C 〕A．18B．24C．36D．48[解析]易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.[2012新课标]4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为〔C〕A．12B．23C．34D．45[解析]∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.[2012新课标]10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=C的实轴长为〔〕A．．4D．8[解析]由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=∵||AB=∴a=2，∴C的实轴长为4，故选C.[2013新课标1]4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)，则C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x[解析]∵e=∴ca=2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。
[2013新课标1]8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(C)．A．2 B．．．4[解析]利用|PF|＝Px=可得x P＝∴y P＝±∴S△POF＝12|OF|·|y P|＝221168x y+=1312∆[2013新课标2]5. 设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为(D ) A ．6 B ． 13 C ． 12D ．3[解析]如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||2PF x F F c ==3x =， 而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴3c e a ===[2013新课标2]10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为(C)．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝(x -1)或y ＝ -(x -1)C ．y ＝ 3(x -1)或y ＝ -3(x -1)D ．y ＝ 2(x -1)或y ＝ -2(x -1)[解析]由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x ＝－1，当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线， 垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2， 在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°y 1)x －． 当直线l 的斜率小于0时，如图所示， 同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.[2014新课标1]〔4〕已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a 〔 D 〕 A. 2 B.26C. 25D. 1 [解析]2=，解得1a =，选D. [2014新课标2]10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =〔 C 〕 〔A 〔B 〕6 〔C 〕12 〔D 〕[2014新课标2]12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值X 围是〔 A 〕〔A 〕[]1,1-〔B 〕1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，〔C〕⎡⎣〔D 〕22⎡-⎢⎣⎦，[2015新课标1]〔5〕已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=〔B 〕 〔A 〕3 〔B 〕6 〔C 〕9 〔D 〕12[2015新课标1]16. 已知F 是双曲线C ：x 2-82y=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A 〔0,66〕.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为12√6[2015新课标2]15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程x 24-y 2=1。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线三种曲线类型。
本文
将对圆锥曲线的知识点进行总结。
一、椭圆
1. 定义：椭圆是平面上到两个定点距离的和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的方程：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a、b均为大于0的常数。
3. 基本性质：
a) 长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点连线的长度的两倍，短轴是通过两个焦点，且垂直于长轴的线段长度。
b) 离心率：可以通过离心率e求出。
e = c/a，其中c为焦点离心距，a为长轴的一半。
c) 焦点坐标：焦点的纵坐标分别为±√(a²-b²)。
d) 直径：椭圆的直径是任意一条过中心点的线段长度。
e) 弦：椭圆上的任一弦与两个焦点连线的乘积恒等于常数。
f) 弦长公式：弦长等于2a√(1-(x₁²/a²))。
g) 切线方程：椭圆上点P(x₁,y₁)的切线方程为xx₁/a² + yy₁/b² = 1。
四、总结
圆锥曲线是一类重要的曲线类型，包括椭圆、双曲线、抛物线。
每种曲线具有不同的
方程形式和基本性质。
熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的方程、基本性质和相关公式对解
题非常有帮助。
需要注意圆锥曲线的形状、坐标以及与直线的位置关系等内容，以便于解
决与其相关的问题。
高考数学圆锥曲线分类汇编理
2011-2018新课标(理科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空【2011新课标】7. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ B ） （A（B（C ）2 （D ）3【2011新课标】14. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。
过l 的直线 交于,A B 两点，且 △ABF 2的周长为16，那么C 的方程为221168x y += 。
【2012新课标】4. 设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线上一点， ∆是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】 ∆是底角为的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== 【2012新课标】8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ C ）()A ()B()C 4 ()D 8【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A-(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=【2013新课标1】4. 已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52，则C 的渐近线方程为( C)A 、y =±14x （B ）y =±13x（C ）y =±12x（D ）y =±x【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C .【2013新课标1】10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
圆锥曲线分类汇编江苏版
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C :2x~2a b21 (a b 0)的左、右焦点分别1南京9月调研18.(本小题满分16分)x2 y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: + £-= 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,a2 b2P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PF1=沪1Q.3(1)若点P的坐标为(1, 2)，且△ PQF2的周长为8,(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e€ ［2-, 22］，求实数入的取值范围.2苏州暑期测试为匸丁2，点P (3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为2 2(1 ［① 求椭圆C的标准方程;②若F1QF2 —,求QF1 QF2的值•3(2)直线y x k与椭圆C相交于A, B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数3苏北四市摸底17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2在，说明理由. C :x2y2 4x 0及点A( 1,0) , B(1,2). M , N两点，MN AB，求直线l的方程; PB24、(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆2 2 2 x2 y2O :x2 y2 b2经过椭圆E : 2 1 (0 b 2)的焦点.4 b(1)求椭圆E的标准方程；)设直线l : y kx m交椭圆E于P, Q两点，T为弦PQ的中点，M( 1,0), N (1,0), 记直线TM ,TN 的斜率分别为k1, k2，当2m2 2k2 1时，求k1 k2的值.2 圆x2 a (1) y观于点。
，求OP^ OQ2的值.xOy中，已知椭17 .已知椭圆C:2fT=1 (a> b> 0)的离心率为斐，并且过点P (21) 5、(南通、泰州市2017届高三第一次调研测)如图，在平面直角坐标系y 21 (a b 0)的离心率为二2，焦点到相应准线的距离为1.b226苏州市2017届第一学期期末(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C 于两点A (X1, y1), B (X2, y2)，若直线PQ平分/ APB,求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.f--I M—*fi求椭圆的标准方程;(2)(2)设B X i,% ,C X2,y2，且3% y 0，求当OBC面积最大时，直线I的方程.2 27、（无锡市2017届高三上学期期末）已知椭圆——1，动直线I与椭圆B,C两点（B4 3在第一象限）3（1）若点B的坐标为3，求OBC面积的最大值;，28常州市2017届第一学期期末2 2x2 y217.（本题满分14分）已知圆C: x t y 20 t 0与椭圆E：p 2 1 a b 0a b的一个公共点为B 0, 2 , F c,0为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.（1 ）求t的值及椭圆E的方程；（2）过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M , N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为MPN的平分线?爲1(a b 0)的离心率为三，b 2 22x 9、(镇江市2017届高三上学期期末)已知椭圆a_ i且点(卫,一)在椭圆C 上.2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线I 交椭圆C 于P,Q 两点，线段PQ 的中点为H , 0为坐标原点，且 0H 1， 求POQ 面积的最大值.2 210、(扬州市2017届高三上学期期末)如图，椭圆C:笃与1(a b 0)，圆o：x2y2b2, a b 过椭圆C的上顶点A的直线l : y kx b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设uu iuuAP PQ •(1) 若点P( 3,0),点Q( 4, 1),求椭圆C的方程;(2) 若3，求椭圆C的离心率e的取值范围.11、(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁) 2017届高三上学期期末)如图，在平面直一x2 y2角坐标系xOy中，已知椭圆8二21(a b 0)的离心率为a b42 厂，且右焦点F到左准线的距离为6 2 •2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N •1(i)当直线的PA斜率为丄时，求FMN的外接圆的方程；2(ii)设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APQ的面积的最大值.｛第1&H)k(k> 0)的直线I交椭圆C于A, B两点(A (1)求椭圆C的标准方程;(2)过点O且平行于I的直线交椭圆C于点M, N,求AT • BT ，+ MN 2的值;(3)记直线I与y轴的交点为P.若T2 TAP = 5TB，求直线13苏锡常镇调研18、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2每1(a b 0)的焦距为2，离心率为b，椭圆的右顶点为A.12南京盐城2017届二模18. (本小题满分16分)2 2如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C:侖+ b^= 1经过点(b, 2e), 其中e为椭圆C的离心率.过点T(1, 0)作斜率为在x轴下方).(1)求该椭圆的方程;(2)过点DC，2, , 2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q，求证：直线AP, AQ的斜率之积为定值(第惓翹图)D2” 1 (a b 0)的离心率为2 , C为18. （2017南京三模）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆孑+ y2 =14南通扬州二模17.（本小题满分14分）2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆爲a 椭圆上位于第一象限内的一点.（1）若点C的坐标为2 , 5，求a, b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且求直线AB的斜率.1（a > b > 0）的右顶点和上顶点分别为A, B,（1）求椭圆的离心率；（2）已知a= 2，四边形ABCD内接于椭圆, 斜率分别为k1, k2,求证：k1 • k2为定值.（第17题）15M为线段AB的中点，且OM •AB// DC.记直线AD, BC的（第18题图）21的左、右顶点分别为 A , B , 3过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P , Q 两点(点P 在x 轴上方). (1) 若 QF 如图，在平面2 x C: —4 2FP ，求直线l 的方程; 16苏锡常镇调研二19. (本小题满分16分)2 2已知椭圆C:冷 爲 1(a b 0)的左焦点为F( 1,0)，左准线方程为x 2 .a b (1)求椭圆C 的标准方程；(2 )已知直线I 交椭圆C 于A , B 两点. ① 若直线I 经过椭圆C 的左焦点F , uu iuur交y 轴于点P ，且满足PA AF , uui uui，亠 PB BF .求证： 为定值；②若A , B 两点满足OA OB (O 为 坐标原点)，求△ AOB 面积的取值范围.17苏北三模17.(本小题满分14分)(2) 设直线AP , BQ 的斜率分别为k 1 ,求出的值；若不存在，请说明理由.18南通扬州三模17.（本小题满分14分）22过19盐城三模18.（本小题满分16分）2 2已知A、F分别是椭圆C :笃爲1（a b 0）的左顶点、右焦点，点P为椭a b圆C上一动点，当PF x轴时，AF 2PF.（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O:x2 y2为椭圆C的“关联圆” •若b ，过点P作a b椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：-32电为定值•m n。
圆锥曲线大题题型分类归纳大全
圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。
【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。
【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。
巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 21=则实数m 的取值范围为_________________.2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值范围为________________.3. 抛物线x y C 42:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。
高考数学圆锥曲线分类汇编理
l ( A) 1234( D) 232 【2013 新课标 1】4. 已知双曲线 C:a －b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√5，则 C 的渐近线方程 22 （D ）y =±x（B ）y =±1xb 21A 、45＋36＝1 x 2B 、36＋27＝11C 、27＋18＝1 x 22011-2018 新课标(理科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空【2011 新课标】7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， 与 C 交于A,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（B ）（A ） 2（B ） 3（C ）2（D ）3【2011 新课标】14. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F , F 在 x 轴上， 12离心率为2 。
过 l 的直线 交于 A, B 两点，且 △ABF 的周长为 16，那么 C 的方程为22x 2 y 2+ = 1 。
16 8【2012 新课标】4. 设 F F 是椭圆 E : 1 2 x 2 y 2+ a 2 b 23a = 1(a > b > 0) 的左、右焦点，P 为直线 x = 上2一点， ∆ F PF 是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为（C）2 1( B ) (C ) 453 【解析】 ∆ F PF 是底角为 30o 的等腰三角形 ⇒ PF = F F = 2( a - c) = 2c ⇔ e = 2 1 2 2 1 c 3=a 4【2012 新课标】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A, B 两点， AB = 4 3 ；则 C 的实轴长为（C）( A) 2( B ) 2 2 (C ) 4 ( D ) 8【解析】设 C : x 2 - y 2 = a 2 (a > 0) 交 y 2 = 16 x 的准线 l : x = -4 于 A(-4, 2 3) B(-4, -2 3)得： a 2 = (-4) 2 - (2 3) 2 = 4 ⇔ a = 2 ⇔ 2a = 4x 2 y 2 22为(C)A 、y =±1x（C ）y =±1x 43c 5 5 c 2 a 2 + b 2b 1 【解析】由题知， =，即 ==，∴ = ，∴ = ± a24 a 2a 2a 2 4 a 2，∴ C 的渐近线方程为1y = ± x ，故选 C .2x 2 y 2【2013 新课标 1】10、已知椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
圆锥曲线常用知识归类
{
x2 y2 y2 x2 − 2 =1， 焦点在 y 轴上： 2 − 2 ＝1 a > 0, b > 0 ） （ 。 a2 b a b
方程 Ax 2 + By 2 = C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B 异号） 。 （3）抛物线 抛物线：开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ，开口向左时 y 2 = −2 px ( p > 0) ，开口; 0) ，开口向下时 x 2 = −2 py ( p > 0) 。
圆锥曲线 第
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10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 圆锥曲线的中点弦问题： 点差法” 圆锥曲线的中点弦问题 “韦达定理”
b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 + 2 = 1 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=－ 2 ； a b a y0 b 2 x0 x2 y2 在双曲线 2 − 2 = 1 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ； a b a y0 p 2 在抛物线 y = 2 px( p > 0) 中，以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 温馨提醒：因为 ∆ > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、 温馨提醒 对称问题时，务必别忘了检验 ∆ > 0 ！
为等轴双曲线，其方程可设为 x 2 − y 2 = k , k ≠ 0 ；④准线：两条准线 x = ±
a2 ； ⑤离心率： c
圆锥曲线知识点汇总
圆锥曲线知识点汇总在数学的世界里，圆锥曲线如同璀璨的明珠，闪耀着独特的魅力。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学、物理以及工程等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入探索圆锥曲线的奥秘。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
椭圆的标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）表示椭圆的长半轴，＼（b\）表示椭圆的短半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
椭圆的性质包括：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leqb\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线是平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
双曲线的标准方程也有两种形式：焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）表示双曲线的实半轴，＼（b\）表示双曲线的虚半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
高考数学圆锥曲线知识点归纳总结
高考数学圆锥曲线知识点归纳总结在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，准确理解和掌握圆锥曲线的相关概念和性质对于解题至关重要。
本文将对圆锥曲线的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试。
一、圆锥曲线的基本概念在正式介绍圆锥曲线的各个具体曲线之前，我们首先需要了解圆锥曲线的基本概念。
圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交而形成的曲线。
相交的平面可以与圆锥的两个交点、一条交线或者圆锥的某一侧相切，由此得到不同类型的圆锥曲线。
二、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基础的一类曲线。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义可以通过焦点和离心率进行描绘。
离心率小于1的椭圆称为狭椭圆，离心率等于1的椭圆称为圆形，离心率大于1的椭圆称为宽椭圆。
椭圆的一些性质和公式：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1。
2. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于常数2a，即F1F2 = 2a。
3. 椭圆的长半轴长度为a，短半轴长度为b，焦距为c。
满足a^2 =b^2 + c^2。
4. 椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
三、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一类曲线。
与椭圆不同，双曲线是开放的曲线，其两个分支无限延伸。
同样可以通过焦点和离心率来定义双曲线。
双曲线的一些性质和公式：1. 双曲线的离心率e满足e大于1。
2. 双曲线的焦点到直归的距离之差等于常数2a，即F1F2 = 2a。
3. 双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为c。
满足a^2 =b^2 + c^2。
4. 双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
四、抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，与椭圆和双曲线不同，抛物线是开放的曲线，其只有一个分支。
抛物线的形状类似于开口向上或向下的弓。
抛物线的一些性质和公式：1. 抛物线的离心率e等于1。
2. 抛物线的焦点与直线的距离相等，即F1F2 = PF。
3. 抛物线的焦点与顶点的距离为a，焦点的坐标为(a,0)。
分类汇编：圆锥曲线
山东省13市2016届高三3月试题分类汇编【圆锥曲线】一、选择、填空题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线222:14yC x -=有相同的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A,B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 2、（德州市2016高三3月模拟）已知双曲线与椭圆221259x y+=的焦点重合，它们的离心率之和为145，则双曲线的渐近线方程为 A 、33y x =± B 、53y x =± C 、35y x =± D 、3y x =±3、（菏泽市2016高三3月模拟）点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>于双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线1C 的焦点的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ） A.6 B. 5 C. 3 D. 24、（济宁市2016高三3月模拟）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为2212221,y x C C a b -=与的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为A.20x y ±= B. 20x y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=5、（临沂市2016高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别12,l l ，右焦点F 。
若点F 关于直线1l 的对称点M 在2l 上则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C . 3 D.26、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12F F ，为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o，则双曲线的离心率为 A.312+ B.512+ C.3D.57、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.38、（泰安市2016高三3月模拟）已知点()22,0Q -及抛物线24x y =-上一动点(),P x y ，则y PQ +的最小值是A.12B.1C.2D.39、（潍坊市2016高三3月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为 A.52B.62C.3D.510、（烟台市2016高三3月模拟）.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共交点为P ，且5PF =，则该双曲线的离心率为11、（枣庄市2016高三3月模拟）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1x y C a b -=的渐近线与椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>交于第一、二象限内的两点分别为,A B ，若OAB∆的外接圆的圆心为()0,2a ，则双曲线C 1的离心率为 .12、（淄博市2016高三3月模拟）已知双曲线2215y xm-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐进线方程为A. 55y x =±B. 255y x =±C. 52y x =± D. 5y x =±13、（济南市2016高三3月模拟）过点（0,3b ）的直线l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是＿＿ 参考答案：1、C2、D3、B4、A5、B6、A7、A8、C9、B 10、2 11、62- 12、C 13、3 二、解答题1、（滨州市2016高三3月模拟） 已知动圆M 过定点()0,1F -，且与直线1y =相切，圆心M 的轨迹为曲线C ，设P 为直线:20l x y -+=上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA,PB ，其中A,B 为切点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF 的最小值.2、（德州市2016高三3月模拟）已知抛物线E ：22(0)y px p =>的准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆22(5)9x y -+=的两条切线，切点为M ，N ，｜MN ｜＝33（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB = （其中O 为坐标原点）。
圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版
圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。
圆锥曲线分类汇总
广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线一、选择题1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）AA. 212x y =B.212y x =C.24x y =D.26x y = 2、（2009吴川）若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a的值为（ ）C A ．-2或2B2321或 C ．2或0 D ．-2或03、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 14(B) 1(C) 2(D) 2 24、（2009珠海）经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ）A.0346=--y xB. 0323=--y xC.0232=-+y xD. 0132=-+y x 5、（2009惠州）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（ ） DA ．2-B ．2C ．4-D ．46、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）B A ．x y 232= B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92= 7、（2009广东六校）以141222=-xy的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）D A ．1526422=+yxB.1121622=+yxC.141622=+yxD.116422=+yx8、（2009广州）已知双曲线19222=-yax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线xy 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.54 B.55558 C.45 D.774二、解答题1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：aby 20=，所以c ab=2，又222c a b -=从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e .(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：abr 2=，c d =所以，3=c ，22=a b又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b所求椭圆方程是：16922=+yx2、（2009吴川）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q O M O N =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=kk ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………………… 7分∵O Q O M O N =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y =……………………9分又∵42020=+y x ，∴4422=+yx …………………………… 10分由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164yxy +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。
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(2) 当点 P x0, y0 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
(3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF BF 的最小值.
【答案】(1)依题意 d 0 c 2 3 2 ,解得 c 1(负根舍去) ，抛物线 C 的方程为 x2 4 y ;
2 ,此时 t 25 , k 4 ; 综上所述:| MN | 的最小值是 8
2
;
5
3
3
5
28．（2013 年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在轴上,短轴长为 2， 离心率为，
(I)求椭圆 C 的方程；(II)A,B 为椭圆 C 上满足的面积为的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设,求实数的值.
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,焦距为 2c .若直
线y3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F2 2MF2F1 ,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】 3 1
26．（2013 年高考天津卷（文））已知抛物线 y2 8x 的准线过双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的一个焦点, 且 a2 b2
A．1
B．2
C．4
D． 4 6
【答案】C 17．（2013 年高考江西卷（文））已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,
与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=
（）
A．2:
B．1:2
C．1:
D．1:3
【答案】C
18．（2013 年高考山东卷（文））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 M,若在点 M 处的
y1 y2 x02 2 y0 , y1 y2 y02 ， x0 y0 2 0
AF BF y02 2y0 x02 1=y02 2y0 y0 22 1
=2
y02
2
y0
+5=2
2
2
(2)设点 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) , P(x0 , y0 ) , 由 x2
4 y ,即 y
1 x2,得 y 1 x .
4
2
∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y y1
x1 2
(x
x1 )
,
即y
x1 2
x
y1
1 2
x12
.
∵
y1
1 4
x12
,
∴
y
x1 2
年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 , P 是 C 上的
点 PF2 F1F2 , PF1F2 30 ,则 C 的离心率为
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
10．（2013 年高考大纲卷（文））已知 F1 1,0, F2 1,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于
C． y 1 x 2
D． y x
（）
6 ．（2013 年高考福建卷（文））双曲线 x2 y2 1 的顶点到其渐近线的距离等于
（）
A． 1 2
B． 2
C．1
2
D． 2
【答案】B
7 ．（2013 年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 1 ,则 C 的方程是 2
C 的离心率为
（）
A． 3 5
B． 5 7
C． 4 5
D． 6 7
【答案】B
12．（2013 年高考重庆卷（文））设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 600 的
直线 A1B1 和 A2B2 ,使 A1B1 A2B2 ,其中 A1 、B1 和 A2 、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双
22．（2013 年高考辽宁卷（文））已知 F 为双曲线 C : x2 y2 1的左焦点, P,Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等 9 16
于虚轴长的 2 倍,点 A5, 0 在线段 PQ 上,则 PQF 的周长为____________.
【答案】44
23 ．（ 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 （ 文 科 ）） 设 AB 是 椭 圆 的 长 轴 , 点 C 在 上 , 且 CBA π . 若 4
【答案】
将 x m 代入椭圆方程 x2 y2 1,得|y|= 2 - m2
2
2
29．（2013 年高考广东卷（文））已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F 0,cc 0 到直线 l : x y 2 0 的
距离为 3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2
曲线的离心率的取值范围是
（）
A． ( 2 3 , 2] 3
B．[ 2 3 , 2) 3
C． ( 2 3 , ) 3
D．[ 2 3 , ) 3
【答案】A
13．（2013 年高考大纲卷（文））已知抛物线 C : y2 8x 与点 M 2, 2 ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交
于 A, B 两点,若 MA MB 0 ,则 k
y2 b2
1(a b 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A
是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / /OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的
离心率是
（）
A． 2 4
B． 1 2
C． 2 2
D． 3 2
【答案】C
3 ． （2013 年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|,
x
y1
.
∵点 P(x0 , y0 ) 在切线 l1 上,
∴ y0
x1 2
x0
y1 .
① 同理,
y0
x2 2
x0
y2 .
②
综合①、②得,点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 的坐标都满足方程
y0
x 2
x0
y.
∵经过 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的,
∴直线 AB
切线平行于的一条渐近线,则=
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
19．（2013 年高考浙江卷（文））如图是椭圆 C1:x42+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点
A．B 分别是在第二.
四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是（ ）
（第 19 题图）
A． 2
【答案】 二、填空题
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 9：圆锥曲线
一、选择题
1
．（2013
年高考湖北卷（文））已知 0
π 4
,则双曲线 C1
:
x2 sin2
y2 cos2
1
与
C2Βιβλιοθήκη :y2 cos2x2
sin2
1的
（）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
2
．（2013 年高考四川卷（文））从椭圆 x2 a2
AB 4 , BC 2 ,则 的两个焦点之间的距离为_______.
【答案】 4 6 3
24．（2013 年高考北京卷（文））若抛物线 y2 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程为_____.
【答案】2, x 1
25．（2013 年高考福建卷（文））椭圆 :
x2 a2
【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为: x2 2 py( p 0) ,
且 p 1 p 2 ,所以抛物线方程是: x2 4 y ; 2
(Ⅱ)设
A( x1 ,
x12 4
), B(x2,
x22 4
) ,所以 kAO
x1 4
, kBO
x2 4
, 所以
AO 的方程是:
y
x1 4
x
,
由
y
（）
A． 1 2
【答案】D
B． 2 2
C． 2
D． 2
14．（2013 年高考北京卷（文））双曲线 x2 y2 1的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
A． m 1 2
【答案】C
B． m 1
C． m 1
D． m 2
（）
15．（2013
年上海高考数学试题（文科））记椭圆
x2 4
ny 2 4n 1
B． 3 D．
3 C．2
6 D． 2
20．（2013
年高考湖南（文））设
F1,F2 是双曲线
C,
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.
使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 1 _______.
【答案】 3 1
21．（2013 年高考陕西卷（文））双曲线的离心率为________. 【答案】
1 围成的区域(含边界)为 n
n
1, 2,
,当
点 x, y 分别在 1, 2,
上时, x y 的最大值分别是 M1, M 2 ,
,则
lim
n
M
n