二元一次不等式(组)与平面区域

二元一次不等式 （组）与平面区域
生活实例
春节的时候,爸爸给5岁的小明10元压岁钱,小 明想用于买零食和玩具.但为了培养小明的爱心与 责任意识,爸爸要求他必须从中拿出一部分捐给灾 区的小朋友,剩余的钱用于买零食和玩具，小明应 该如何分配用于买零食和玩具的钱呢？请你帮小明 列出这其中蕴含的不等关系式.
集合称为二元一次不等式(组)的解集．
问题一
在平面直角坐标系中
二元一次方程 x y 6表示的直线 将坐标平面分成哪几个部分？
y 直线上
x – y -6=0 左上方区域
O
6
x
6
右下方区 域
问题二
以下各点的坐标代入 x y 6 中，结果是什么?有何规律？
(5, 1) (5,3) (5, 4)
(1,0)或(0,1)作为测试点．
口诀如下：“直线定界，特殊点定域”．
二元一次不等式
知新盖能 1．二元一次不等式(组)的概念 (1)含有______未知数，并且未知数的次数是____ 两个 一次 的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次 不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组． 二元一次不等式(组) (2)满足__________________的x和y的取值构成有 序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的
y x- y -6=0
(5,3)
O
(5, 1) (5, 4)
6
x
6
问题三
二元一次不等式x-y-6<0的解集 表示的是什么图形？
y x- y -6=0
(5,3)
O
(5, 1) (5, 4)
6
x
6
问题三
验证
O
y
A( x, y2 )
x- y -6=0
设点P（x,y 1）是直线 x- y -6=0上的点,则y 1 =x- 6 选取点A(x，y 2)，使它的 坐标满足不等式x – y < 6
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同
侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号相同，故为 了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法， 当C≠0时，常取原点(0,0)，若原点满足不等式， 则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；
若原点(0,0)不满足不等式，则原点不在的一侧，
即为不等式表示的平面区域．若C＝0，可考虑点
题型五：综合应用
例4、 试确定m的范围，使点（1，2）和 （1，1）在3x-y+m=0的异侧，则（1，2）和（1，1）
代入3x-y+m 所得数值异号， 则有（3-2+m）（3-1+m）<0
所以（m+1）(m+2) <0
即：-2<m<-1
典例精析
如图,表示满足不等式 (x-y)(x+2y-2)＞0的点(x,y) 所在区域应为：( B )
y y 1 O 2 1
χ
y 1
O 2
(A)
O y 1
2
χ
(B)
χ
O
2
χ
(C)
(D)
例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
x－y＜2， 2x＋y≥1， x＋y＜2.
x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3
y=5 y=a
所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
答案:5≤a<7
-5
o
2 x=2
x
y=a
例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板 可同时截得三重规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型
A规格
钢板类型
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 第二种钢板
2 1
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,
这个问题中存在一些不等关系，我们 应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
x 解析:设买文具和玩具的钱数分别为 ，,y 则由题意可知应满足： x y 10，x 0, y 0
即转化为满足
x y 10 x 0 的有序数对( x, y ) . y 0
二元一次不等式组
◆直线x-y-6=0左上方点的坐标是否都满足不等 式x-y-6<0？
是
◆直线x-y-6=0右下方点的坐标呢？
满足不等式x-y-6>0
y
边界 x-y-6=0
左上方区域 x-y-6<0
O
x
右下方区域 x-y-6>0
思考：Ax＋By＋C＞0 （＜0）的解集表示的图形：
一般地， Ax＋By＋C＞0 （＜0） 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧 Ax+By+C=0 所有点组成 的平面区域.
【思路点拨】
先画出不等式对应的直线，再判
定表示的区域即可．
①作线
②取点 ③画区域
表示直线2x＋y－1＝0上及右上方的区域；
x＋y＜2表示直线x＋y＝2左下方的区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示：
1．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0 和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括 边界)用不等式组表示为________． 解析：本题是在已知平面区域前提 下，用不等式(组)表示已知平面区域， 可在三条直线外任取一点，将其坐标代 入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一 个不等式．
题型一：画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
y
x+4y>4
（1）x +4y>4 变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
x+4y=4
o
x
x+4y<4
y
o
x-y-4>0 x-y-4=0
x
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
方法总结：
1、一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界（注意边界的虚实） 平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界， 把边界画成实线。
Ax0 By0 C 的正负即可判断.
1 ，0 4． 已知点 P1(0,0)， 2(1,1)， 3 3 ， P P 则在 3x＋2y－1≥0 表示的平面区域内的点是( A．P1、P2 )
B．P1、P3
解析： 分别将P1、P22、P3点坐标代入3x＋2y－1， C．P2、P3 D．P 比较发现只有3×0＋2×0－1＝－1<0，故P 1 点 不在此平面区域内，P2、P3均在此平面区域内． 答案： C
y
通常取（0，0）（1，0）（-1，0）
O
Ax + By + C = 0 x
Ax （1） By C 0表示直线 Ax By C 0 某一 侧所有点组成的平面区域. （2）把直线画成虚线表示区域不包括边界； 把直线画成实线表示区域包括边界； （3）在直线的某一侧取一个特殊点 ( x0 , y0 ) ,从
18,27块,用数学关系和图形表示上述要求
规格类型
钢板类型
A规格 (15)
B规格 (18)
C规格 (27)
张数
第一种钢板
2 1
1 2
1 3
x
y
第二种钢板
成品块数
2x+y x+2y x+3y
解:设截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 则
2 x y 15 x 2 y 18 x 3 y 27 x 0 y 0
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
预习测评 1．不等式2x＋3y－4<0表示的 平面区域在直线2x＋3y－4＝0的 ( ) A．右上方 B．右下方 C．左下方 D．左上方 解析：(0,0)满足不等式． 答案：C
典例精析 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）
例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y
黄色区域
x+y-1≤0 x-2y+2＞0 y≥-1
-2
1
o
-1
1
x
x≥0 例2 不等式组x＋3y≥4 3x＋y≤4
所表示的平面区域
的面积等于( 3 A. 2 4 C. 3
) 2 B. 3 3 D. 4
y
18 16 14 12 10 M 8 6 4 2 0 -2 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
2x+y=15
x+2y=18
方法感悟 判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法
是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C＞0
为例)． (1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝ 0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
5．不等式x－2y≥0表示的区域是
(
)
解析：画直线x－2y＝0，其右下方即为表示的 平面区域，选C. 答案：C
画出不等式（1）x－2y≥0表示 的区域
(2)x－2y＋4≥0；
2．在平面直角坐标系中，满足不 等式x2－y2≥0的点(x，y)的集合是如下 图所示的 ( )
解析：代入点(1,0)和(－1,0)检验． 答案：B
6
P( x, y1 )