人教版高中数学必修二教学案-《解析几何初步》全章复习与巩固复习

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解析几何课程教案

解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。

二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。

2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。

3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。

4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。

5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。

三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。

五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。

人教版高中数学必修二教学案-《立体几何初步》全章复习

人教版高中数学必修一教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《立体几何初步》全章复习课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《立体几何初步》全章复习【知识网络】【要点梳理】知识点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --=+ 221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238ππ⨯+⨯+⨯+⨯⨯-=【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

人教版高中数学必修2全部教案(最全最新)

人教版高中数学必修2第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪。

四、教学过程（一）创设情景，揭示课题1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个）2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。

问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。

（二）、研探新知空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台；旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。

1、棱柱的结构特征：（1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？（学生讨论）（2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。

（3）棱柱的表示法及分类：（4）相关概念：底面（底）、侧面、侧棱、顶点。

2、棱锥、棱台的结构特征：（1）实物模型演示，投影图片；（2）以类似的方法，根据出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念、分类以及表示。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

2020高考专题复习之必修二-解析几何初步

人教版高中数学必修二专题复习讲义
年级：上课次数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
课题
《解析几何初步》全章复习与巩固复习课型
□ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课授课日期及时段
教学内容
《解析几何初步》全章复习与巩固复习
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．
常用的直线方程有：
①00()y y k x x -=-；。

高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案

高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案（2009年秋期）南阳市八中王庆凡§2、1直线与直线的方程第一课时直线的倾斜角和斜率一、教学目标: 1、知识与技能：（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．（2）、理解直线的倾斜角的唯一性.（3）、理解直线的斜率的存在性.（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2、情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.三、教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.四、教学过程（一）、直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和一个倾斜角α．．．．．．．.(二)直线的斜率一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有， 1=(y－0)／(x－0)所以 x = y，可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.(六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.五、教后反思：第二课时两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．二、重难点重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．三、教学方法：启发、引导、讨论.四、教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等). （三）、例题：例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)（四）、课堂练习：P94 练习 1. 2.（五）、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.（六）、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.五、教后反思：第三课时直线的点斜式方程一、教学目标1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

高中数学必修2知识讲解《立体几何初步》全章复习与巩固 -基础

方法二由直棱柱性质得：平面 AA1B1B⊥平面 A1B1C1，交线为 A1B1，又∵C1A1=C1B1，M 为 A1B1 的中点，
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∴C1M⊥A1B1 于 M. 由面面垂直的性质定理可得 C1M⊥平面 AA1B1B. （2）【证明】由（1）知 C1M⊥平面 A1ABB1， ∴C1A 在侧面 AA1B1B 上的射影为 MA. ∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1， ∴A1B⊥平面 AMC1，又 AM 平面 AMC1，∴A1B⊥AM. （3）【证明】方法一由棱柱性质知四边形 AA1B1B 是矩形， M、N 分别是 A1B1、AB 的中点，
7 a2． 3
【总结升华】这是一个球内接三棱柱，球心是三棱柱两底中心连线的中点，这是本题的关键之处．
举一反三：
【变式 1】如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB AD 3cm , AA1 2cm ,则四棱锥 A BB1D1D 的体积
为
cm3.
【答案】6. 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ ABD 中 BD=3 2 cm, BD 边上的高是 3 2 cm(它也是
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下面画出（单位：cm）.
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结 BC '，证明： BC '∥面 EFG.
D' G
F
E D
A
C' B'
C B
6 2
正视图
2 2
4
4
侧视图
【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，利用转化思想 V=V 长方体-V 正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，连接 AD′，在所给直观图中连接 BC′，证明 EG∥BC′，即可证明 BC′∥面 EFG．【解析】（1）如图

2020版高中数学高一必修2教案及练习归纳整理38巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固-提高

【巩固练习及参考答案与解析】1.已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行,则m 的值为( ) A.0 B.8- C.2 D.102.经过圆2220x x y ++=的圆心C,且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是( ) A.10x y -+= B.10x y --= C.10x y +-= D.10x y ++=3.若圆心在x C 位于y 轴左侧,且与直线x+2y ＝0相切,则圆C 的方程是( )A.22(5x y +=B.22(5x y ++=C.22(5)5x y -+= D.22(5)5x y ++=4.如果圆22()(1)1x a y -+-=上总存在两个点到原点的距离为2,则实数a 的取值范围是( )A.((0,22)-B.(-C.(1,0)(0,1)-D.(1,1)-5.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )A.2B.21+C.221+D.221+ 6.(2016 湖南模拟)若圆C ：x 2+y 2+2x －4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点(a ,b )所作的切线长的最小值是( )A.2B.3C.4D.6 7.在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中,在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )A.4条B.5条C.6条D.8条8.过点(-4,0)作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点,如果|AB |＝8,则x 的方程为( ) A.5x+12y+20＝0B.5x+12y+20＝0或x+4＝0C.5x -12y+20＝0D.5x -12y+20＝0或x+4＝09.直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(a ＜0)相交于两点A,B,弦AB 的中点为(1,0),则直线l 的方程为________.10.已知圆C 的圆心与点P (-2,1)关于直线y ＝x+1对称.直线3x+4y -11＝0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB |＝6,则圆C 的方程为________.11.已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的负半轴上,直线l ：x －y －1=0被圆C 所截得的弦长为,则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________.12.设),0(为常数k k k b a ≠=+,则直线1=+by ax 恒过定点 .13.(2016 湖北孝感模拟)设直线l 的方程为(a +1)x +y +2－a =0(a ∈R ). (1)若直线l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围；(2)若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积等于2,求实数a 的值.14.(2015秋新疆校级月考)已知圆222:(2)1O x y ++= .P (x ,y )为圆上任一点,求21y x --、x －2y 的最大、最小值.15. 已知曲线C ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay －20＋20a ＝0. (1) 证明：不论a 取何实数,曲线C 必过一定点；(2) 当a ≠2时,证明曲线C 是一个圆,且圆心在一条直线上； (3) 若曲线C 与x 轴相切,求a 的值.16.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,平行于x 轴且过点A ()的入射光线1l 被直线l :y x =反射,反射光线2l 交y 轴于B 点,圆C 过点A 且与1l 、2l 相切.(1)求1l 所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点,求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案与解析】1. 【答案】B 【解析】42,82mk m m -==-=-+ 2.【答案】A【解析】设所求直线方程为x -y+m ＝0,又过(-1,0)点,代入得m ＝l,故直线方程为10x y -+=. 3.【答案】D【解析】设圆心为(a,0)(a ＜0).因为直线x+2y ＝0与圆相切,=即=,解得5a =-.所以圆C 的方程为22(5)5x y ++=.4.【答案】A【解析】∵ 圆22()(1)1x a y -+-=上总存在两个点到原点的距离为2,∴ 圆O ：224x y +=与圆C ：22()(1)1x a y -+-=相交,∵ OC =,由R r OC R r -<<+得：13<<,∴ 0a <<∴ 0a -<或0a << 故选：A .5. 【答案】B【解析】圆心为max (1,1),1,1C r d ==6.【答案】C【解析】将圆C ：x 2+y 2+2x ―4y +3=0化为标准方程得：(x +1)2+(y ―2)2=2,∴圆心C (－1,2),半径r =∵圆C 关于直线2ax +by +6=0对称, ∴直线2ax +by +6=0过圆心,将x =―1,y =2代入直线方程得：―2a +2b +6=0,即a =b +3,∵点(a ,b )与圆心的距离d =∴点(a ,b )向圆C 所作切线长l ==4==≥当且仅当b =－1时弦长最小,最小值为4. 故选C. 7.【答案】B【解析】画出草图观察并计算验证可知这样的直线有5条. 8.【答案】B【解析】当l 斜率不存在时,方程为x ＝-4,此时弦心距为3,半径为5,可得半弦长为4,满足题意；当l 斜率存在时,设方程为(4)y k x =+,,又半径为5,半弦长为4,可求得512k =-,则l 为512200x y ++=.9.【答案】x -y -1＝0【解析】该圆的圆心为(-1,2),圆心与弦AB 中点确定的直线应与直线l 垂直,故斜率乘积应等于-1,可得111l k -==-,所以直线l 的方程为01y x -=-,即10x y --=.10.【答案】22(1)18x y ++=【解析】设点P (-2,1)关于直线1y x =+的对称点为C (a,b ),则11212122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，. ∴ 01a b =⎧⎨=-⎩，.∴ 圆心C (0,-1),∴ 圆心C 到直线34110x y --=的距离为|411|35d --==. 又弦长|AB |＝6,由半径、半弦长、弦心距d 构成直角三角形得222||2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴ 29918r =+=.∴ 圆C 的方程为22(1)18x y ++=. 11.【答案】x +y +1=0【解析】设圆心坐标为(a ,0),则由直线被圆C 所截得的弦长为,得222(1)a +=-,解得a =3或－1,∵ 圆心在x 轴的负半轴上, ∴ a =－1,故圆心坐标为(－1,0), ∵直线l 的斜率为1,∴ 过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为y －0=－(x －1),即x +y +1=0 故答案为：x +y +1=0 12.【答案】11(,)k k【解析】1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=对于任何a R ∈都成立,则010x y ky -=⎧⎨-=⎩。

高中数学必修2知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =，则:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程；（3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,)B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-，则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：k=，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，.∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =，∴ 直线l 的方程为34100x y -+=． ∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==当a =（满足0a <<|MN|．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

《解析几何》课程教案

《解析几何》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念和性质；（2）掌握直线的斜率、截距、方程以及直线与坐标轴的交点；（3）学会运用解析几何解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生认识解析几何的基本概念，培养学生的空间想象能力；（2）借助图形软件或坐标纸，直观展示直线方程的图形含义，提高学生的数形结合能力；（3）运用小组讨论、探究等方法，探讨直线与坐标轴的交点问题，培养学生的合作与交流能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、坚持不懈的科学精神；（3）通过实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 解析几何的基本概念与性质（1）点的坐标；（2）直线的斜率与截距；（3）直线方程的表示方法。

2. 直线的斜率、截距与方程（1）斜率的定义与计算；（2）截距的定义与计算；（3）直线方程的斜截式与点斜式。

3. 直线与坐标轴的交点（1）直线与x轴的交点；（2）直线与y轴的交点；（3）直线与坐标轴的交点求解方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）解析几何的基本概念与性质；（2）直线的斜率、截距与方程；（3）直线与坐标轴的交点求解方法。

2. 教学难点：（1）直线方程的表示方法；（2）直线与坐标轴的交点求解方法。

四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）讲授法：讲解解析几何的基本概念、性质和直线的斜率、截距、方程；（2）案例分析法：分析实际问题，引导学生运用解析几何知识解决问题；（3）小组讨论法：探讨直线与坐标轴的交点问题，培养学生的合作与交流能力。

2. 教学手段：（1）多媒体教学：利用PPT、图形软件等展示直线方程的图形含义；（2）板书教学：板书关键步骤，强化学生对知识点的理解；（3）实践操作：让学生动手操作，绘制直线图形，提高学生的实践能力。

五、教学评价1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式和方法，以及与合作同学之间的交流情况；2. 终结性评价：通过课后作业、课堂测试等方式，检查学生对直线方程、直线与坐标轴交点等知识的掌握程度；3. 综合评价：结合学生的课堂表现、作业完成情况和测试成绩，全面评价学生对解析几何知识的掌握及运用能力。

《解析几何》课程教案

《解析几何》课程教案一、教学目标1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。

2. 培养学生解决实际问题能力，提高空间想象能力。

3. 引导学生运用数形结合思想，提高数学思维能力。

二、教学内容1. 解析几何的基本概念（1）坐标系（2）点、直线、圆的方程（3）图形的位置关系2. 解析几何的基本公式（1）距离和角度公式（2）直线方程的求解（3）圆的方程及其应用三、教学重点与难点1. 重点：解析几何的基本概念和基本公式的掌握。

2. 难点：直线与圆的位置关系的理解和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解解析几何的基本概念和基本公式。

2. 利用数形结合思想，引导学生直观理解直线、圆等图形的性质。

3. 运用案例分析法，分析实际问题，提高学生解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 引入：通过简单的实例，让学生感受解析几何在实际生活中的应用，激发学习兴趣。

2. 讲解：系统讲解解析几何的基本概念和基本公式，注意引导学生理解和记忆。

3. 练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并及时解答学生的疑问。

4. 应用：分析实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，布置课后作业。

教案暂编至此，如有需要，后续章节将继续编写。

请您参考并提出宝贵意见。

六、教学评价1. 评价方式：过程性评价与终结性评价相结合，主要评价学生对解析几何基本概念和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。

2. 评价指标：（1）课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和练习的情况。

（2）作业完成情况：学生完成作业的质量和速度。

（3）实际问题解决能力：学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新意识。

七、教学资源1. 教材：《解析几何》教材，为学生提供系统的学习材料。

2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解，提高课堂效果。

3. 习题库：收集各种类型的习题，为学生提供充足的练习机会。

4. 案例素材：收集与实际问题相关的素材，用于教学实践环节。

人教版高中数学必修2教案本章复习(二)

本章复习（二）课型：复习课一、复习目标： 1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二、例题分析：例1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ． ∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1． ∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．说明要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．小结：例2．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．证明：(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ． ∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ． ∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．A1B ADC NQMNMPCBA(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC α．否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α；由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α，与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾．又∵MN α，∴AC ∥α，又AC α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ．同理可证BD ∥平面MNP ．例3．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC =12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中， 222212EG FG AC EF +==∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o，即BD CD ⊥，AC CD C =I ∴BD ⊥平面ACD例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o，24AB BC ==时，求MN 的长。

高中数学第二章平面解析几何初步章末复习课学案新人教B版必修2

第二章平面解析几何初步学习目标 1.熟练掌握直线方程的四种形式，并会判断两直线的位置关系.2.会运用两点间距离、点到直线的距离及两平行线间的距离公式解决一些实际问题.3.理解圆的标准方程和一般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系的相关应用．1．直线倾斜角的范围直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°. 2．写出直线的斜率公式(1)直线l 的倾斜角α满足a ≠90°，则直线斜率k ＝________________.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是直线l 上两点，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率为k ＝________________. 3．直线方程的几种形式 (1)点斜式：________________. (2)斜截式：________________.(3)两点式：________________(x 1≠x 2，y 1≠y 2)． (4)截距式：________________(a ≠0，b ≠0)． (5)一般式：________________. 4．两直线平行与垂直的条件l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2A 2B 2C2由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程． 5．距离问题d＝x2－x12＋y2－y126.平行直线系和垂直直线系(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx＋Ay＋n＝0.7．圆的方程(1)圆的标准方程：________________.(2)圆的一般方程：________________.8．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则(1)l与圆C相离⇔________.(2)l与圆C相切⇔________.(3)l与圆C相交⇔________.9．圆与圆的位置关系设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；当r1＋r2＝d时，两圆外切；当|r1－r2|＝d时，两圆内切；当r1＋r2＜d时，两圆外离；当|r1－r2|＞d，两圆内含．10．空间直角坐标系空间两点间距离公式：设空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，两点的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝________________.特别提醒：(1)计算直线被圆截得的弦长的常用方法①几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．②代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． (2)对称问题①点关于点的对称：求点P 关于点M (a ，b )的对称点Q 的问题，主要依据M 是线段PQ 的中点，即x P ＋x Q ＝2a ，y P ＋y Q ＝2b .②直线关于点的对称：求直线l 关于点M (m ，n )的对称直线l ′的问题，主要依据l ′上的任一点T (x ，y )关于M (m ，n )的对称点T ′(2m －x,2n －y )必在l 上．③点关于直线的对称：求已知点A (m ，n )关于已知直线l ：y ＝kx ＋b 的对称点A ′(x 0，y 0)的一般方法是依据l 是线段AA ′的垂直平分线，列出关于x 0，y 0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 0－n x 0－m＝－1，y 0＋n 2＝k ·x 0＋m2＋b .④直线关于直线的对称：求直线l 关于直线g 的对称直线l ′，主要依据l ′上任一点M 关于直线g 的对称点必在l 上．类型一两直线的位置关系例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．反思与感悟已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可．跟踪训练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．类型二直线的方程例2 过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．反思与感悟求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．跟踪训练2 已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．类型三圆的方程例3 已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．反思与感悟 (1)求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题． (2)采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 ①选择圆的方程的某一形式．②由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)． ③解出a ，b ，r (或D ，E ，F )． ④代入圆的方程．跟踪训练3 在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．类型四直线与圆的位置关系例4 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．反思与感悟直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法．一般常用几何法，而不用代数法．因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．跟踪训练4 与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________________________．类型五数形结合思想的应用例5 设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上． (1)求x －2＋y 2的最小值；(2)求y ＋2x ＋1的最小值．反思与感悟 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．跟踪训练5 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞1．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－12．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝93．直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y －1＝04．若直线mx －(m ＋2)y ＋2＝0与3x －my －1＝0互相垂直，则点(m,1)到y 轴的距离为________．5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值．1．求直线的方程时需要充分利用平面几何知识，主要求解方法有数形结合法、待定系数法、轨迹法等．在求解时，一定要注意直线方程的各种形式的局限性．平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系．高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用．2．在求解圆的有关问题时，常使用几何法．常使用的圆的几何性质如下：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．答案精析知识梳理 2．(1)tan α (2)y 2－y 1x 2－x 13．(1)y －y 0＝k (x －x 0) (2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (4)x a ＋y b＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝07．(1)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(2)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0) 8．(1)d ＞r (2)d ＝r (3)d ＜r 10.x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12题型探究例1 解 (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0.① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率也存在， ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .③∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b )．④③④联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.跟踪训练1 解 (1)若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a a －－2×1＝0，a a 2－－6×1≠0.∴a ＝－1，∴当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)当直线l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直，当直线l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝11－a， k 1＝－a 2.∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1. ∴a ＝23.例2 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx .令y ＝0，得x ＝－1，x ＝－2k.由题意，得|－1＋2k|＝1，即k ＝1.∴两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 跟踪训练2 解 l 1的斜率k 1＝3a －01－－＝a ，当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －－a －0＝1－2a a.∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2,0)、B (1,0)，这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.例3 解设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． ∵圆心在直线2x ＋y ＝0上， ∴b ＝－2a ，即圆心为C (a ，－2a )．又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ， (2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2[(2－a )2＋(－1＋2a )2]，解得a ＝1或a ＝9， ∴⎩⎨⎧a＝1，b ＝－2，r ＝2或⎩⎨⎧a＝9，b ＝－18，r ＝13 2.综上所述，所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.跟踪训练3 解 (1)方法一由B (2,0)，C (0，－4)知，BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0.方法二由题意，得|AB |＝|AC |＝5，则△ABC 是等腰三角形，所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2，所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0.(2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.例4 解 (1)由题意知，圆心C (1,2)，半径为r ＝2，①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切；②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴直线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 跟踪训练4 (x －2)2＋(y －2)2＝2解析曲线可化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝52，根据图示可知，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线x ＋y －2＝0的距离为2，所以圆心坐标为(2,2)．故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.例5 解 (1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)之间的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋－2＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1. (2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当切线为l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43. 故y ＋2x ＋1的最小值是43.跟踪训练5 C [曲线y ＝1＋4－x 2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2,4)的直线．设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1＋4－2k 0|1＋k 20＝2，得k 0＝512.又直线PA 的斜率为k 1＝34，所以实数k 的取值范围是512<k ≤34.]当堂训练1．C 2.B 3.A4．0或5解析由题意，得3m ＋m (m ＋2)＝0，解得m ＝0或m ＝－5，∴点(m,1)到y 轴的距离为0或5.5．解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．又直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以|3＋3|1＋m 2＝2，解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋m 2. 由2 4－|3＋3|1＋m 22＝2105，得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。

人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-；②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ．要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ；（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；（2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；（3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；（4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ；（5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点；有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-．故使12//l l 的a 的值为0或16-．解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-．例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=．若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y-+=或320x+=(∵点P是第一象限点，∴不合题意，舍去)．联立方程000013202240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得312xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得193718xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.∴137918P⎛⎫⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y+-=关于直线:3410l x y+-=对称的直线b的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线（AB l⊥，AB的中点在l上）；（2）设(,)P x y是所求直线b上一点，则P关于l的对称点(,)P x y'''的坐标适合直线a的方程；（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l，则////b l a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y+-=上取一点(2,0)A，设A点于l的对称点00(,)B x y，则00203410220423x yyx++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B-，由2403410x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D-．由两点式可求得直线b的方程：211160x y++=．方法二：设(,)P x y是所求直线b上任一点；设P关于l的对称点(,)P x y'''，则有：''341022'4'3y yx xy yx x++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x yxx yy-+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y'''在直线:240a x y+-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=．类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,3)B，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程．【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+ 【解析】（1）AB的中点坐标3(,22-，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为33y x=-+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP 的斜率为211132-=-- ，即有直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，即34m =-，则直线l 的方程为2x －y －5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1，且a ∈R ．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O ，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得，求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=．错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21m k m =+．因为21||(1)2m m ≤+，所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立．所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12．圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==，当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2．【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。

人教版高中数学解析几何教案2023

人教版高中数学解析几何教案2023一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解解析几何的基本概念和相关定理；2. 掌握解析几何的常用方法和技巧；3. 运用解析几何解决实际问题；4. 培养逻辑思维和数学建模能力。

二、教学重点1. 解析几何的基本概念和相关定理；2. 解析几何的常用方法和技巧；3. 解决实际问题的应用能力。

三、教学内容1. 解析几何的基本概念解析几何是研究几何图形与代数方程之间的关系的数学分支。

在解析几何中，我们通常使用坐标系来描述和研究几何图形，其中平面几何用二维坐标系表示，空间几何用三维坐标系表示。

2. 直线的表示与性质直线是解析几何中最常见的图形之一。

在二维坐标系中，我们通常使用直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程来表示直线。

直线的性质包括平行、垂直和夹角的概念。

3. 圆的表示与性质圆是由平面上距离一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。

在解析几何中，我们通常使用圆的标准方程和一般方程来表示圆。

圆的性质包括切线、切点和弦的概念。

4. 解析几何中的常用方法和技巧解析几何中有一些常用的方法和技巧，包括平移、旋转、放缩和证明。

这些方法和技巧可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

5. 实际问题的解决解析几何不仅可以用于研究几何图形本身，还可以应用于解决实际问题。

例如，解析几何可以用于计算物体的运动轨迹、设计建筑的结构等方面。

四、教学方法1. 导入法通过与学生的互动，引出解析几何的基本概念和相关定理，以激发学生的学习兴趣。

2. 示范法通过具体的例子和实际问题，向学生展示解析几何的常用方法和技巧，帮助他们理解和掌握相关知识。

3. 练习法通过大量的练习和实战演练，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的应用能力。

4. 归纳法通过总结和归纳，帮助学生理清解析几何的知识体系，加深他们对相关概念和定理的理解。

五、教学资源1. 人教版高中数学教材及相关参考书籍；2. 多媒体课件和板书；3. 解析几何相关的练习题和试题。

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