导数经典题

1．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为

A ．22

p B ．2p C ．22p D ．24p

【答案】B

2．已知

x x x f -=3

)(，如果过点),2(m 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 A. 6

【答案】B

3．函数sin cos [0,]2

y x y x π

==与在内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x 轴所围成的三角

形的面积为 （ ）

A ．

2

B C ．D ．【答案】A

解：联立方程 y=sinx y=cosx 解得y=sinx 与y=cosx 在[0，π/ 2 ]内的交点为P 坐标是（π/ 4 ，

2

），

则易得两条切线方程分别是y-

2= 2 （x-π/ 4 ）和y- 2=- 2

（x-π/ 4 ）， y=0时，x=π /4 -1，x=π/ 4 +1，

于是三角形三顶点坐标分别为 （π /4 ， 2

）；（π /4 -1，0）；（ π /4 +1，0），

s=1 /2 ³2³ ，

即它们与x 轴所围成的三角形的面积是

2

． 4．若曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a =( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 【答案】B

试题分析：因为，2()(0)f x x x =>，所以，'()2(0)f x x x =>曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切

线斜率为2a (0)a >，2()f a a =，所以，切线方程为220ax y a --=，其纵、横截距分别为2,2

a

a -，

从而215422

a

a ⨯⨯=，a =6，选B.

考点：导数的几何意义，直线方程，三角形面积公式.

5．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：(1)[()()]0'-->x f x f x ，

22(2)()--=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是 （ ）

A ．(1)(0)

B ．(2)(0)>f ef

C ．3(3)(0)>f e f

D ．4

(4)(0)

【答案】C

试题分析：当1>x 时，()()()[]()()()()0001>-'⇒>-'⇒>-'---x f e x f e x f x f x f x f x x

x ，令

()()()()()0>-'='⇒=---x f e x f e x F x f e x F x x x ，所以()x F 在区间[)+∞∈,1x 上单调递增，所

以()()23F F >，即()()2323f e f e -->；又22(2)()--=x f x f x e ，则()()2

20-=e f f ，于是()()033f f e >-，即3(3)(0)>f e f .

考点：1.导数的公式与法则；2.函数的单调性

6．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为

31

812343

y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）

A.9万件

B.11万件

C.12万件

D.13万件 【答案】A

试题分析：由3

1812343

y x x =-

+-，281(9)(9)y x x x '=-+=-+-.本题中，0x ≥.因为[0,9)x ∈时，0y '>；[9,)x ∈+∞时，0y '≤.所以31

812343

y x x =-+-，在[0,9)在[9,)+∞上单调递减.所以当9x =时，y 有最大值.9万件.

考点：利用导数求函数单调性、利用单调性求最大值

7．已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)3f =-，且对任意x R ∈总有()3f x '<，则不等式

()315f x x <-的解集为 ( )

A.(),4-∞

B.(),4-∞-

C.()(),44,-∞-+∞

D.()4,+∞ 【答案】D ．

试题分析：设()()()()315315F x f x x f x x =--=-+，则()()3F x f x ''=-． 对任意x 总有()3f x '<，()()30F x f x ''∴=-<，()()315F x f x x ∴=-+在R 上是减函数．(4)3f =- ，

(4)(4)34150F f ∴=-⨯+=．()315,()()3150,4f x x F x f x x x <-∴=-+<∴< ，故选考点：利用导数研究函数的单调性的应用．

8．已知3

2

9()6,,()()()02

f x x x x abc a b c f a f b f c =-

+-===＜＜且，现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ＞；②(0)(1)0f f ＜；③(0)(2)0f f ＞；④(0)(2)0f f ＜.

其中正确结论的序号为（ ）

A.①③

B.①④

C.②④

D.②③

【答案】D

试题分析：由题意得，2

f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（）， ∴当x 1＜或x 2＞时，f

x 0'（）＞，当1x 2＜＜时，f x 0'（）＜， ∴函数f x （）的增区间是12-∞+∞（，），（，），减区间是12（，）， ∴函数的极大值是5

f 12abc =-（

），函数的极小值是f 22abc =-（），

∵a b c ＜＜，且f a f b f c 0===（）

（）（）， ∴a 1b 2c f 10＜

＜＜＜，（）＞且f 20（）＜，解得2abc ＜＜∴f 0abc 0=-（）

＜， 则f 0f 10f 0f 20（）（

）＜,（）（）＞， 故选D ．

考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点.

9．已知函数3

2

()f x ax bx cx d =+++在O ，A 点处取到极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线

22sin cos ,,33y x x x x x ππ⎡⎤

=+∈⎢⎥⎣⎦

上，则曲线()y f x =的切线的斜率的最大值是（ ）