随机过程复习课及考试要求

a

2
e a
2
/( 2 2 )
, a 0 的随机变量；
试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？ （14） 设 {N (t ); t
0}是一强度为 的 Poission 过程，记 X (t )
d N (t ) ，试求随机过 dt
程 X (t ) 的均值和相关函数。 （15） 讨论 Wienner 过程和 Poission 过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。 （16） 设有平稳随机过程 X (t ) ，它的相关函数为 R X ( ) e 求 Y (t ) a
0 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 1/ 2 0 P 1/ 2 1/ 2 0 0 1 / 2 1 / 2 0 0
（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K 方程） ； （b）求 n 步转移概率矩阵； （c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？ （8） 设 Y (t ) X (1)
第六章：高斯（Gauss）过程
（1） 掌握 n 维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。 （2） 掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。 （3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。 （4） 掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为 ，强度为
典型复习题解答
（1）解：由定义，有：
D[ X (t ) X (t T )] D[ X (t )] D[ X (t T )] 2 E{[ X (t ) EX (t )][ X (t T ) EX (t T )]} B(0) B(0) 2 E{ X (t ) X (t T )} B(0) B(0) 2 B(T ) 0
1, X (t ) x Y (t ) 0, X (t ) x
t T
试将 Y (t ) 的均值函数和自相关函数用过程 X (t ) 的一维和二维分布函数来表示。 （24） 设 {X (t ), t } 是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量， 问 {X (t ) X (0), t } 是否仍为平稳过程，为什么？ （25） 设 X (t ) 为平稳过程，其自相关函数 R X ( ) 是以 T0 为周期的函数，证明： X (t ) 是 周期为 T0 的平稳过程。
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孙应飞
概率 p ij 和两步转移概率 pij (2) 。 （c）令 0 min{n; Yn 0, n 0} ，求 P{ 0 5} 。 （12） 考察两个谐波随机信号 X (t ) 和 Y (t ) ，其中：
X (t ) A cos(c t ), Y (t ) B cos(c t )
N (t )
, t 0 ，其中 {N (t ); t 0} 为强度为 0 的 Poission 过程，随
机变量 X 与此 Poission 过程独立，且有如下分布：
P{X a} P{X a} 1/ 4, P{X 0} 1/ 2, a 0
问：随机过程 Y (t ), t （9）
0
t
（18） 设随机振幅、 随机相位正弦波过程 X t V sin(t ) , t 0 ， 其中随机变量 V 和 相互独立，且有分布：
1 1 0 ~ U [0 , 2 ] , V ~ 1 / 4 1 / 2 1 / 4
令： Yt
1, 如 Xt 2 / 2 0, 反之
0 是否为平稳过程？请说明理由。
2
设 X t X 2Yt , t 0 ，其中 X 与 Y 独立，都服从 N (0, ) （a）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
（10） 设 N t ， t 0 是零初值、强度 1 的泊松过程。 （a）求它的概率转移函数 p( s, t , i, j ) P{N t j N s i} ； （b）令 X t N t t , t 0 ，说明 Y
2 的维纳过程的相关函数。
典型复习题
（1） 设 { X (t ), t 0} 是 一 个 实 的 零 均 值 二 阶 矩 过 程 ， 其 相 关 函 数 为
E{X (s) X (t )} B(t s), s t ， 且 是 一 个 周 期 为 T 的 函 数 ， 即 B( T ) B( ), 0 ，求方差函数 D[ X (t ) X (t T )] 。
形式上我们有：
P{ X (t n ) x n X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n 1 ) x n 1 } P{ X (t n ) x n , X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n 1 ) x n 1 } P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n 1 ) x n 1 } P{ X (t n ) x n , X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n 2 ) x n 2 X (t n 1 ) x n 1 } P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 , , X (t n 2 ) x n 2 X (t n 1 ) x n 1 }
2 2 2
，其中 , 为常数，
dX (t ) （ a 为常数）的自协方差函数和方差函数。 dt
（17） 设 有 实 平 稳 随 机 过 程 X (t ) ， 它 的 均 值 为 零 ， 相 关 函 数 为 R X ( ) ， 若
Y (t ) X ( s)ds ，求 Y (t ) 的自协方差函数和方差函数。
式中 A 和 c 为正的常数； 是 , 内均匀分布的随机变量， B 是标准正态分布 的随机变量。 （a）求 X (t ) 的均值、方差和相关函数； （b）若 与 B 独立，求 X (t ) 与 Y (t ) 的互相关函数。 （13） 令谐波随机信号： X (t ) A cos(c t ), 式中 c 为固定的实数； 是 0, 2 内 均匀分布的随机变量，考察两种情况： （a）幅值 A 为一固定的正实数； （b）幅值 A 为一与 独立，分布密度函数为
（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。 （2） 了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均 方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的 关系。 （3） 掌握平稳过程各态历经性的概念。 了解判断均值、 相关函数具有各态历经性的定理。
（a）试求 Rk 的分布； （b）试证 {Rk } 为马氏链，并求一步转移概率。 （21） 设有随机过程 (t ) X t Y , t ，X 与 Y 是相互独立的正态随机变量，
2
期望均为 0，方差分别为 X 和 Y 。证明过程 (t ) 均方可导，并求 (t ) 导过程的
,t 0
试求过程 Yt , t 0 的均值函数。
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（19） 设有一泊松过程 {N (t ) , t 0} ，固定两时刻 s , t ，且 s t ，试证明
s s P( N ( s) k N (t ) n) C 1 t t
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考试要求：
第一章：随机过程及其分类
（1） 了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的 n 维分布函数、分布密 度的概念。 （2） 理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质， 并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。 （3） 了解随机过程的分类方式及分类。 （4） 了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相 关函数。
2 2
相关函数。 （22） 设 {Bt ; t 0} 是 初 值 为 零 标 准 布 朗 运 动 过 程 ， 试 求 它 的 概 率 转 移 密 度 函 数
p(s, t , x, y) ˆ f Bt Bs ( y x) 。
（及实数 x ，定义随机过程
0 s
t
（6）
在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以 0 表示误差状态，1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：
p P 00 p10
（7）
p01 0.75 0.25 p11 0.5 0.5
试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。 设齐次马氏链 X n , n 0, S 1,2,3,4, 一步转移概率矩阵如下：
2
（4）
设 {Bt } 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并 说明理由。
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（5）
设 N t ， t 0 是零初值、强度 0 的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均 方意义下， Yt
N ds, t 0 是否存在，为什么？
第二章：Markov 过程
（1） 理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与 马氏过程的关系。 （2） 掌握 C-K 方程，并能利用 C-K 方程计算转移概率。 （3） 了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简 单齐次马氏链的状态进行分类。 （4） 掌握马氏链的极限性质， 掌握平稳分布的概念， 能对简单的齐次马氏链找平稳分布。 （5） 掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念， 掌握转移率矩阵 （ Q 矩阵） 的定义和求法。 （6） 掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。 （7） 理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的 Q 矩阵。