capm资本资产定价模型推导及应用

• Milton Friedman, 1976年诺贝尔经济学奖得主:
对一种理论的假设，我们应该关心的并不是 它们是否完全符合现实，因为这是永远不可 能的。我们关心的是，对于我们所研究的问 题而言，它们是不是一种很好的近似。对此 我们只需要看该理论是否有用，即它是否能 够给出足够准确的预测。
风险资产有效前沿
资本市场线 (CML)
• CML描述了有效组合的期望收益率和风险 （标准差）
• 资本市场线
rp
rf
rM rf
M
P
• 每单位风险的回报 (风险价格)
rM rf
M
应用CML的一个例子
• rM 15% ， M 21% ，并且 rf 7% • rp 16.6% (有效组合), p ? • 答案：
ri
rf

iM

2 M
(rM
rf )

2 M

N
i1 i iM
• 描述了在均衡状态下单个证券（以及非有效证券组 合）的期望收益率和风险之间的关系
• 通常用于度量证券风险的是其对市场组合标准差的 边际贡献，即该证券与市场组合的协方差
证券市场线 (SML)
• Beta的定义如下
0 ,1, K ，使得：
E(ri ) 0 1bi1 KbiK
r • 如0果存在无f风险资产，其收益率为r f ，那么
• 构造一个投资组合，要求该组合对这K个因素的敏 感度为1，同时对其它的因素的敏感度为0。像这样
的投资组合就叫作因素资产组合。如果第k个因素
资产组合的收益率为 k，则
• 一价定理是通过套利过程实现的 • 套利是指投资者可以构造一个投资为零的
资产组合而又赚取无风险利润 • 风险套利
一次套利机会？(1)
• 三种证券的价格和可能的收益
证券 A
价格 70
状态１下 状态２下 的收益 的收益
50
100
B
60
30
120
C
80
38
112
一次套利机会？(2)
• 利用证券A和B来构造一个投资组合，使得 该组合的收益与证券c的收益完全相同
• 因素１可以理解为，比如说，GDP预期的偏差； 而因素２则可以表示未预期到的通货膨胀。两个 因素的期望值均值为零
• 假如无风险利率为4%。因素１的资产组合的期望 收益率为10%，而因素２的资产组合的期望收益 率为12%
APT的例子
• 考虑一资产：bA1 0.5，bA2 0.75
E(rA ) rf bA1(1 rf ) bA2 (2 rf )
i

iM

2 M

iM i M
• SML
ri rf i rM rf
证券市场线 (SML)
ri
rM
SML M
rf
i
1.0
Beta
• 1的证券一般来说和市场同步涨跌 • 1的证券一般涨跌幅度都大于市场; 称
为进攻型证券（aggressive security） • 1的证券一般涨跌都小于市场；称为保
APT (2)
• 构造满足以下条件的套利组合
－ 零投资
－ 无风险
组合的期望收益率必然为零（无套利机会）
• N资产的套利组合的收益率为
rp N i E(ri ) N ibi1F~1 N ibiK F~K N ii
i 1
i 1
i 1
i 1
APT (3)
守型证券（defensive security）
CAPM的特征
• 总风险＝系统风险＋非系统风险
ri i i RM i

2 i

i2
2 M


2
• 证券组合的beta等于组合中的各个证券beta
值的加权平均
n
P wi i
i 1
运用 SML的一个例子
证券A 证券B 市场 无风险利率
项目投资中的资本成本（2）
• 两块业务：电动马达和气涡轮 • 每块业务各占企业总体的50％
• 制造电动马达的业务的 值为1.0，制造气涡轮 的业务的 值为1.5
• 假设 rf ＝0.05，rM rf =0.08
• 在分析电动马达事业部和气涡轮事业部的投资项 目时，我们分别应该使用什么折现率？
rp rp / a

ri rM
p
p / a a0
( iM

Fra Baidu bibliotek
2 M
)
/

M
• 在点M处，CML的斜率，(rM rf ) / M ，必
须等于曲线IM的斜率：
ri rM
( iM


2 M
)
/
M
rM rf
M
证券市场线(SML)
• 期望收益率和风险之间的均衡关系为：
APT(套利定价模型) (1)
• APT假设：
ri E(ri ) bi1F~1 biK F~K i
其中：
ri : 第i项资产的随机收益率 E(ri ) : 第i项资产的期望收益率 bik : 第i项资产对第k个因素(k 1,2, K )的敏感性 F~k : 影响所有资产收益率的、均值为零的第k个因素 i : 均值为零的随机扰动项
A
-28,000 +20,000 +40,000
B
-36,000 +18,000 +72,000
C +80,000 -38.000 -112,000
总计 +16,000
0
0
APT的假设
• 证券的期望收益率是由多种因素线性决定 • 投资者对收益的产生过程有相同的信念 • 完全竞争和没有摩擦的资本市场
值的基本决定因素
• 估计一项全新经营项目，例如几年前的移 动电话，的 值
• 与商业周期的相关关系 • 生产技术
－ 运营杠杆（Operating Leverage） • 移动电话行业：与电子产品行业相似
竞争力与正的NPV
• 如果一个项目的NPV为正，则该项目的收 益率肯定会大于经过风险调整之后的均衡 收益率（risk-adjusted equilibrium return ）
状态１： 50 A 30B 38 状态２： 100 A 120B 112 A 0.4，B 0.6
该组合的构造成本 0.4 70 0.6 60 64
一次套利机会？(3)
• 假设卖出1000单位的证券C
• 套利的结果：
证券
投资 状态１ 状态２
• 竞争优势 • 产品市场和要素市场的不完美
CAPM的修正与替代模型 Fama-French 三因素模型
期望收益率 rf 1 市场风险收益
2 与规模相关的风险收益
3 账面 市值比风险收益
第六课 （2） 套利定价模型 (APT)
一价定理与套利
• 在竞争性市场中，两项相同资产的均衡价 格应该相同
投资基金的业绩评估
• (rP rf ) P P (rM rf ) P ， • ˆ P 0 ，业绩优异 • ˆ P 0，业绩正常 • ˆ P 0 ，业绩较差
项目投资中的资本成本（1）
• 估计 － 运用回归方法 － 依据历史资料
• 各种投资经纪公司，如美林，都公开出版 发行关于股票的 值
变动 － 未预料到的通货膨胀
k rf k
APT (5)
k k rf
因此，可以把 k理解为第k个因素的风险 溢价
E(ri ) rf bi1(1 rf ) biK ( K rf )
APT的例子
• 假设
ri E(ri ) bi1F~1 bi2 F~2 i
4% 0.5 6% 0.758% 4% 3% 6% 13%
因素的确定
• APT没有明确指明这些因素是什么 • Chen, Roll and Ross(1986, JOB)：
－ 未预料到的工业产量的变动 － 未预料到的Baa级债券收益率和AAA级债券收 益率之间的价差变动 － 未预料到的长期利率和短期利率之间的价差
rP
P
rP rM
rf
市场组合
CML M
M
P
市场组合
• 每个投资者选择持有的风险资产组合都是切点组 合
• 均衡时，切点组合必然是市场组合 • (两基金)分离定理：风险资产的最优组合无需考
虑投资个人对风险和收益的偏好 • 不同的投资者根据各自的风险厌恶程度，持有无
风险资产和市场组合的不同组合 • 市场组合是一个有效组合
M
•
•B
• A SML
•
•
•
0.7 1.0
1.3
i
在投资组合选择中运用CAPM
• CAPM提供了消极投资策略的依据 － 按市场投资组合的比例分散持有多种风险资产 － 该组合与无风险资产再组合，以获得所希望的风险 （标准差）－收益组合
• 指数法：充分分散化的股票投资组合，与市场指数近似 － 比积极的投资策略交易成本低 － 历史上比大多数（75％）积极管理的投资基金业绩 更优良
资本资产定价模型 (CAPM)
假设
• 在单期模型中，投资者以期望收益率和标准 差作为评价证券组合好坏的标准
• 投资者对风险证券的期望收益率、方差和协 方差有相同的预期
• 投资者都是风险厌恶和非满足的
• 完美的市场：无税收，无交易成本，证券无 限可分，借贷利率相等，投资者可以免费获 取信息
假设是否现实?
0.166

0.07

0.15 0.07 0.21

P
rP rM
rf
CAPM的导出 (1)
M I
CML I
M
P
CAPM的导出 (2)
• 一个投资组合，其中a%投资于风险资产i ，
(1-a%)投资于市场组合，则该组合的均值和 标准差为：
rp ari (1 a)rM (1)

p

[a
2
2 i
(1
a)
2

2 M

2a(1
a) iM
]1/ 2 (2)
• a的变动对均值和标准差的影响为：
CAPM的导出 (3)
rp a
ri
rM
(3)
p
a

2a
2 i

2
2 M

2a
2 M
2 iM
4a iM
期望收益率 12.0% 8.0% 10.0% 5.0%
标准差 20% 15% 12%
• 均衡期望收益率:
rA 0.05 1.3 0.10 0.05 11.5% rB 0.05 0.7 0.10 0.05 8.5%
Beta 1.3 0.7 1.0
ri
0.10 0.05
2[a
2
2 i

(1

a)2

2 M
2a(1 a) iM
]1/ 2
(4)
•利用方程(3)、(4)，当a=0时，我们可以得到
rp a
ri rM
a0
p
iM


2 M
a a0
M
CAPM的导出 (4)
• 在市场达到均衡时，点M处的风险－收益 曲线的斜率为：
• 零投资
iN1i 0
• 无风险
k
N i 1
ibik
0，对于所有的k和
N
1个wi的方程，又方程组（行列式）i1
wi i

0
知唯一解为每个wi均为0
• 组合的期望收益率等于0
N i1 i
E(ri
)

0
APT (4)
• Ross(1976)证明，必定存在着K+1个系数