数理金融学第3章资本资产定价模型
金融经济学-6资本资产定价模型
对于机构投资者是合理的；对于小投资者，由于资金规模分 散，对市场或价格的影响比较小
3
第一节 CAPM的假设
5.资产市场化：所有的资产都已经市场化，资本市场包括了所 有可投资资产 6.资产可细分：任何一种资产都无限可分，可按需投资 7.市场无摩擦：没有税收和交易费用 8.市场不被操控：市场处于完全竞争状态，不存在垄断和操纵 ，所有投资者都是价格接受者 9.无风险资产：市场至少存在一种无风险资产，对投资者都一 样且在同一时间段内保持不变
iM i i 2 iM M M
15
证券市场线（Security Market Line）
对于投资组合P来说，其预期收益与系统风险敏感程度之 间的关系：
rp rf p rM rf
p xi i
i 1
n
投资者投资于风险资产或风险资产组合，由于面临系统风 险，要求获得比无风险资产更高的回报率，影响因素包括: 无风险利率rf，资本市场资金紧缺时rf高；富余时rf低 市场组合的风险溢价(rM-rf)，投资者风险厌恶则溢价高， 对风险资产或组合的预期收益就高；反之溢价低，预期低 风险资产或组合的市场风险程度β，β越大投资者承担的系 统风险越大，要求高收益率；反之，预期收益率低
2 2 2 1.投资组合的风险 p xM M
当投资于市场组合的比 例xM比较低，组合风险较小
2.市场组合的风险价格水 平
rM rf
3.rf
M
10
资本市场线（Capital Market Line）
资本市场线CML的局限性： CML代表的是有效组合的预期收益率和风险之间的关系 对于单个资产而言，由于不是有效组合，位于CML的下方 ，用CML不能反映出单个资产的预期收益和风险之间的均 衡关系 因此我们引入证券市场线的概念
资本资产定价模型PPT课件
资产定价的随机过程
随机过程的基本概念
随机过程是描述一系列随机事件的数学模型，其中每个事件的发生都具有不确定性。在资产定价的上下文中，随 机过程通常用于描述资产价格的变动。
资本资产定价模型的随机过程
资本资产定价模型假设资产价格的变动遵循随机过程，并且这种变动与资产的预期回报和风险有关。通过建立适 当的随机过程模型，可以进一步研究资产价格的动态行为和风险特征。
发展历程
起源
资本资产定价模型起源于20世纪60年代，由经济学家威廉·夏普、 约翰·林特纳和简·莫辛共同发展。
发展
在随后的几十年中，CAPM经历了多次修订和完善，以适应金融市 场的变化。
应用
资本资产定价模型被广泛应用于投资组合管理、风险评估和资本预算 等领域。
发展历程
起源
资本资产定价模型起源于20世纪60年代，由经济学家威廉·夏普、 约翰·林特纳和简·莫辛共同发展。
发展
在随后的几十年中，CAPM经历了多次修订和完善，以适应金融市 场的变化。
应用
资本资产定价模型被广泛应用于投资组合管本资产定价模型用于确定投资 组合的风险和预期回报，帮助投 资者在风险和回报之间做出权衡。
风险评估
通过CAPM，投资者可以评估特 定资产或投资组合的风险，并与 其他资产或基准进行比较。
主要发现
是一种用于评估风险和预期回报之间关系的金融模型，主要用于投资组合管理 和风险评估。
CAPM的核心思想
资本的预期收益率由两部分组成，一部分是无风险利率，另一部分是风险溢价， 即风险超过无风险资产的部分。
目的和目标
目的
通过理解CAPM，投资者可以更准确 地评估投资的风险和预期回报，从而 做出更明智的投资决策。
资本资产定价模型概述(ppt42张)
6、可以在无风险折现率R的水平下无限制地借 入或贷出资金； 7、所有投资者对证券收益率概率分布的看法一 致，因此市场上的效率边界只有一条； 8、所有投资者具有相同的投资期限，而且只有 一期； 9、所有的证券投资可以无限制的细分，在任何 一个投资组合里可以含有非整数股份；
10、税收和交易费用可以忽略不计； 11、市场信息通畅且无成本； 12、不考虑通货膨胀，且折现率不变； 13、投资者具有相同预期，即他们对预期收益率、 标准差和证券之间的协方差具有相同的预期值。 上述假设表明：第一，投资者是理性的，而且严格 按照马科威茨模型的规则进行多样化的投资，并将 从有效边界的某处选择投资组合；第二，资本市场 是完全有效的市场，没有任何磨擦阻碍投资。
又由(7.3)
dv 1 dE ( r E ( r )E ( r c) M j)
于是
d d d v c c d Er ( c) d vd Er ( c)
2 2 [ ( 1 v ) ( 1 2)c v o v ( r , r ) v ]/ j j m M c Er ( M) Er ( j)
假定2：针对一个时期，所有投资者的预期 都是一致的。
这个假设是说,所有投资者在一个共同的时期内 计划他们的投资,他们对证券收益率的概率分布 的考虑是一致的,这样,他们将有着一致的证券预 期收益率﹑证券预期收益率方差和证券间的协方 差。同时,在证券组合中,选择了同样的证券和同 样的证券数目。 这个假设与下面的关于信息在整个资本市场中畅 行无阻的假设是一致的。
故
2 c o v ( r , r ) d j M M c d Er ( c)v Er ( M) Er ( j) ) c( 1
金融经济学中的资产定价
金融经济学中的资产定价资产定价是金融经济学中的一个重要概念。
它涉及到确定资产的合理价格，以及为投资者提供有效的投资决策依据。
资产定价理论和方法在金融市场中具有广泛的应用，并对实际的金融运作和投资决策产生着重要影响。
本文将介绍资产定价的基本原理和常见方法。
1. 资产定价理论的基础资产定价理论的基础是风险和回报的权衡。
根据投资者所承担的风险不同，他们对预期回报的要求也不同。
理性的投资者会选择那些风险调整后的回报高于预期的资产进行投资。
因此，资产定价理论的关键是确定风险和回报之间的关系。
2. 常见的资产定价模型（1）资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）CAPM是现代金融经济学中最重要的资产定价模型之一。
它认为，资产的期望回报与市场风险相关，通过市场风险的度量来确定资产的预期回报。
CAPM模型考虑了市场风险可以被分散的特点，通过β系数的概念来度量资产相对于市场整体风险的敏感性。
（2）套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）APT是CAPM的一个补充和扩展。
与CAPM不同，APT认为资产的回报受到多个因素的影响，而不仅仅是市场风险因素。
APT模型假设市场上存在套利机会，通过多个因素的组合来解释资产的定价和回报。
（3）期权定价模型期权定价模型主要用于衍生品的定价。
其中，最著名的是布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型。
该模型将期权的价值与标的资产的价格、执行价格、无风险利率、期权有效期和标的资产波动率等因素联系在一起。
3. 应用案例：国内股票市场的资产定价研究以国内股票市场为例，许多学者基于CAPM模型进行了资产定价的研究。
他们通过回归分析，计算不同股票的β系数，并据此对各股票的预期回报进行估计。
此外，还有学者将APT模型应用于股票市场，基于多个因素来解释股票的定价和回报。
4. 资产定价的局限性和争议尽管资产定价理论和方法在金融经济学中有着广泛的应用，但也存在一些局限性和争议。
数理金融学ROSS套利定价模型
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
套利不仅仅局限于同一种资产（组合）， 对于整个资本市场，还应该包括那些“相 似”资产（组合）构成的近似套利机会。
两因子模型
若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为
ri ai bi1 f1 bi2 f2 ei
其中，E[ei ] 0, cov(ei , e j ) 0
cov(ei , f1) 0, cov(ei , f2 ) 0
在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值
则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证 券回报率为因变量的单因子模型。 例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的 主要因素。
例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
其中
rit rmt
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
ri ai bi1 f1 bi2 f2
其回报率的方差
证券i对因子1的敏感度
2 i
b2 2 i1 f1
bi22
2 f2
2bi1bi2
cov(
f1,
f2
)
2 ei
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi1 f1 bi2 f2 ei ,
a j bj1 f1 bj2 f2 ej )
n
lim
n
2 p
资本资产定价模型0iznl.pptx
哈里·马科维茨
CAPM
• 第一节、金融风险的定义及其衡量 • 第二节、投资组合与风险分散 • 第三节、有效集与最优投资组合 • 第四节、无风险借贷与资本市场线 • 第五节、资本资产定价模型
CAPM模型的评价
• 资本资产定价模型在马科维茨的证券组合理论的基础上， 对金融资产和投资组合的风险衡量进行了更深入的研究， 并提出了单个金融资产预期收益率与其系统性风险的均衡 关系，从而导出了各种资产根据其系统性风险定价的资本 资产定价模型。应该说，夏普的研究是具有建设性的，他 把马科维茨的研究向前推进了一大步。
M
线变成了AM射线。
A
N
CML B
P
• M点是包括了所有证券的市场投资组合
•
AM是资本市场线：
RP
Rf
Rm R f
m
p
– 资本市场线描述的是市场投资组合与无风险资产所构
成的投资组合的收益率与风险之间的关系。
第五节、资本资产定价模型
• 威廉夏普对资本市场线进行了扩展，发现 个别证券或者证券组合的收益率和风险可
• 允许无风险借贷条件下的投资组合
– 投资者可在无风险资产和风险资产之间进行组合投资
– 无风险资产：Rf x1 1 =0
– 风险资产或者风险资产组合：R
– 则投资组合：RP
2 P
x2 2
2 P
x12
2 1
x22
2 2
2x1 x2 12 1 2
数理金融学基本知识
随机漫步模型
03
CHAPTER
金融衍生品定价
期权定价模型
期权定价是数理金融学中的重要内容，通过建立数学模型来预测期权的合理价格。常见的期权定价模型有Black-Scholes模型、二叉树模型等。
期权价格影响因素
期权价格受到多种因素的影响，如标的资产价格、行权价格、剩余到期时间、波动率等。这些因素通过影响期权内在价值和时间价值来决定期权的最终价格。
风险评估
对借款人的信用风险进行评估和管理。
信贷风险
市场风险
操作风险
01
02
04
03
对金融机构运营过程中可能出现的风险进行管理和预防。
对金融机构的整体风险进行评估和监控。
对金融市场风险进行识别、测量和管理。
大数据分析在风险管理中的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
与CAPM模型类似，APT模型认为资产的预期回报率与多个因素相关。这些因素可以是市场、行业、公司规模、盈利能力等。APT模型认为，如果两个投资组合在所有因素上的敏感性相同，那么它们应该有相同的预期回报率。
套利定价理论
VS
随机漫步模型认为股票价格的变动是随机的，不受过去价格的影响。
详细描述
随机漫步模型认为股票价格的变动是不可预测的，因为它们是由许多随机事件和投资者情绪决定的。根据这一模型，投资者无法通过分析过去的价格数据来预测未来的价格变动。这一模型与技术分析方法相反，后者试图通过分析价格图表来预测未来的价格走势。
信用衍生品定价模型
02
信用衍生品的定价通常采用结构化模型或简化模型。结构化模型基于公司价值和违约边界来评估信用风险，而简化模型则基于违约概率和风险利差来评估信用衍生品的价值。
金融市场中的资本资产定价模型
金融市场中的资本资产定价模型1. 引言资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是金融领域中一种用于估计资产预期回报的模型。
它在投资和风险管理方面具有重要的应用。
本文将深入探讨金融市场中的资本资产定价模型，并对其原理、假设以及实际应用进行分析。
2. 模型原理资本资产定价模型建立在投资组合理论的基础上，通过考虑资产预期回报、风险以及市场的整体风险来确定资产的合理定价。
根据CAPM，资产的预期回报是由市场回报和资产与市场的β系数共同决定的。
3. 模型假设CAPM的基本假设包括：- 完全市场：投资者可以自由买卖任何资产，不存在交易限制。
- 无风险利率：存在一个无风险资产，其回报稳定且不受市场波动影响。
- 单一期望回报：投资者只关注资产的期望回报而非风险。
- 非国际资产定价：CAPM主要适用于国内资产，不考虑国际资产定价因素。
4. β系数的解释和计算β系数是CAPM中的重要概念，用于衡量资产相对于市场的风险。
β系数大于1表示资产波动大于市场，小于1则反之。
β系数的计算通常通过回归分析进行。
5. 实际应用CAPM在实际金融市场中具有广泛的应用，特别是在投资组合的构建和风险管理中。
它可以帮助投资者评估资产回报率是否与预期相符，从而进行投资决策。
同时，CAPM也被用于确定无风险利率和评估市场风险溢价。
6. 模型局限性和争议尽管CAPM是金融领域中重要的定价模型，但它也存在一些局限性和争议。
首先，它基于一系列假设，而这些假设在现实中可能并不成立。
其次，非线性的市场波动以及无风险利率的不稳定性可能导致模型的失效。
此外，人们对CAPM的β系数解释和计算方法也存在争议。
7. 其他定价模型除了CAPM，金融市场中还存在其他一些重要的资产定价模型，如APT （Arbitrage Pricing Theory）和FFM（Fama-French三因子模型）。
这些模型在一定程度上可以弥补CAPM的局限性，并提供更全面的解释和预测能力。
金融工程3(资产定价)
2020/3/3
金融工程
套利定价模式(APT)
作为一个投资人，除非你相信自己掌握了市场 不具备的信息，并对某一项影响该公司回报的 因素的判断比市场更加准确，否则你仍然不能 通过APT模型获利。
然而，我们不能忘记有效金融市场理论，不能 超越市场信息来预测埃克森美孚公司的股票回 报水平，有关该公司回报水平的所有相关因素 的信息，都已经包含在现有的回报水平A中了。
2020/3/3
金融工程
第一节 资本资产定价模型
-Capital Assets Pricing Model (CAPM)
2020/3/3
金融工程
资产定价模型CAPM
1964年，夏普(William F. Sharpe)、林 特 纳 (John Lintner) 和 特 里 纳 (Jack Treynor)等的开创性论文为资产定价模 型(Capital Assets Pricing Model，简称： CAPM)奠定了基础。
然而，困难还不止于此，我们并不知道市场什么时
候是完善而有效的，什么时候是有缺陷而失效的。 我们只能从长期的图表中发现有关CAPM模型成立的 具体证据，而不能时刻掌握市场的可信度。
主要缺陷:排除了新信息,把投资看成净现值为0的活
动,非交易资产依赖于复制折现率,预期收益依赖于主
观判断 2020/3/3 等等
投资人只有以被动地承担风险的办法获得收 益。
这是我们目前已知最广泛应用的模型之一。
2020/3/3
金融工程
CAPM成立的前提条件
证券买卖没有税负 投资人只按照回报和风险评估资产 所有投资人对贝塔系数和资产回报的评
价相同 所有投资人都充分吸收了市场信息，并
《资本资产定价模型》课件
答疑时间
提供学习者与讲师沟通和解答疑 问的机会。
了解股票市场的基本概念和特点。
2
风险与收益
认识股票投资的风险与回报。
3
定价方法
介绍股票定价的基本方法和策略。
债券定价
1
债券市场
理解债券市场的基本概念和运作机制。
2
收益与价格
掌握债券收益率与价格之间的关系。
3
定价方法
介绍债券定价的基本方法和计算公式。
风险和回报
1 投资风险
2 回报与风险
了解不同类型的投资风险及其特征。
理解投资回报与风险之间的关系和权衡。
3 风险管理
掌握投资风险管理的方法和策略。
资本资产定价模型
基本概念
理解资本资产定价模型的基本 原理和假设。
计算方法资产定价模型应用于实 际投资决策中。
总结
课程总结
回顾资本资产定价模型的重要概 念和应用。
建议阅读
《资本资产定价模型》 PPT课件
本课程将介绍资本资产定价模型，了解股票、债券、风险和回报之间的关系， 掌握其基本原理和应用。
课程介绍
关于本课程
了解资本资产定价模型的基 本原理和应用。
股票与债券
认识股票和债券市场，了解 风险与收益。
学习目标
掌握资本资产定价模型的相 关概念和计算方法。
股票定价
1
股票市场
资本资产定价模型PPT课件
7
+ 假设1：在一期时间模型里，投资者以期望 回报率和标准差作为评价证券组合的标准。
+ 假设2：所有的投资者都是非餍足的，或进 一步，给定风险，偏好高收益胜于低收益。
+ 假设3：所有的投资者都是风险厌恶者。
+ 假设4：每种证券都是无限可分的，即，投 资者可以购买到他想要的一份证券的任何 一部分。
+ 假设5：无税收和交易成本。
2020/1/11
16
+ 工行的当前价格是4.1元，期末的期望价格 是5.0元，其期望回报率为22%。假设工行 现在价格是4.8元而不是4.1元，其期望回报 率变为4%。与其他证券比较起来，工行的 期望回报率相对太小，而风险相对太大，
+ 每一种证券的相对市场价值等于这种证券 的总市场价值除以所有证券的总市场价值。
+ 市场证券组合记为M。
2020/1/11
14
均衡的定义
一个风险资产回报率向量 r r1,, rN T 和
无风险利率 rf (相应地，风险资产价
格向量 p p1,, pN T 和无风险债券价
格 p f )称为均衡回报率(相应地，均衡 价格)，如果它们使得对资金的借贷量 相等且所有风险资产的供给等于需求。
2020/1/11
15
+ 当证券市场达到均衡时，最优风险证券组 合P就是市场证券组合M。
+ 在均衡时，每一种证券在市场证券组合的 构成比例都不为零。
– 这一特性是分离定理的结果:每个投资者都选择相同的 风险证券P 。所有的投资者都购买P，但如果P并不包括 某种风险证券，则没有人会购买P中不包含的风险证券， 那该证券的价格回下降，导致其期望回报率上升，而 这又会刺激投资者对这种证券的需求。这种调整一直 持续到证券组合P中包含每一种风险证券。
数理金融(资产定价的原理与模型)
PV
Cn C1 C2 1 r 1 r 2 1 r n
2.1.4 年金
1.普通年金的终值 2.年金的现值 3.永续年金
2.2债券及其期限结构
2.2.1债券的定义和要素 1.面值 2.期限 3.附息债券与票面利率 4.付息频率 5.分期偿还特征 6附加选择权 2.2.2债券的风险 1.利率风险 2.违约风险
2.2债券及其期限结构
1.2 期望效用函数
1.2.1 彩票（lottery）及其运算 1.2.2 彩票集合上的偏好关系 1.2.3 基数效用函数存在定理
定理 1.2 (基数效用函数存在定理) 设 B 具有性质 1—性质 3 的偏好关系” ” 则存在效用函数 U : B R 满足: (1) (2) (3)
~
P Q 当且仅当 U ( x) U ( y) P ～ Q 当且仅当 U ( x) U ( y)
任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合33具有无风险资产的均值方差分析331具有无风险资产的有效投资组合本节假定市场存在n种风险资产无风险资产的收益率是一常数设为是投资于无风险资产的权系数表示投资于种资产的投资组合的期望收益则若投资者投资于无风险资产的权系数为正则表示储蓄若权系数为负表示借贷为购买风险资产筹集资金此时最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题332具有无风险资产的均值方差分析333两基金分离定理334切点组合的含义335具有无风险资产情况下的超额收益率定义33资产称为资产组合的超额收益率将3312a写成分量形式就得到下面的定理定理32当市场存在无风险利率时任意资产的超额收益率可以用如下公式表示336市场仅存在风险资产情况下的超额收益率定理33
1.5.2 一阶随机占优
第三章数理金融
第三章 套利与资产定价3.1 一般性市场结构3.1.1 复合证券前面介绍的Arrow-Debreu 证券只在一种情形有正的支付，但现实中的大多数证券的支付分布都要复杂一些，它们在多种情形下都有正的支付。
如无风险债券在所有状态下都有相同的正支付，股票在多种状态都有正支付。
由于从理论上我们都可以用状态或有证券的某种组合复制出这些证券的支付分布，故通常又称这些现实中的证券为“复合证券”（composite seurity ）。
事实上，证券n 的支付向量.,1,,,;;;;n n w n n X x x x Ω⎡⎤=⎣⎦ ，则证券市场结构由下面的支付矩阵X 给出：1,11,1,,1,,,1,,n N w w n w N n N x x x x x x X x x x ΩΩΩ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.1.2 冗余证券不同证券的支付向量之间有可能出现线性相关的情况。
此时，某些证券的支付向量可表成其它一些证券的支付向量的线性组合。
此时，支付矩阵X 非满秩。
记j X 是剔除了证券j 后的支付矩阵，即j X 111,,,;;j j N x x x x -+⎡⎤=⎣⎦ ，则由原来的N 只证券的组合生成的任意支付也可由剔除了证券j 以后的1N -只证券来生成。
下面说明这一点。
令θ为由所有的N 只证券生成的一个组合，j θ是剔除了j 后的1N -只证券的组合。
设j x 是其它x 的线性组合。
故存在j θ*使得j j x X =j θ*设由任意θ所生成的支付： j x X X θ==j θ j jj x X θ+=(j θj j θθ+*) 这就证明了上述结论。
由于不需要证券j 时，我们也可生成相同的证券，故称证券j 为“冗余证券”（redundant security ）。
在帮助参与者进行资源配置的时候，冗余证券并没有额外的价值。
没有它们的参与，证券市场仍有同样的功能。
故在下述分析中，我们将其忽略。
即是说，由于它们总是能够达到相同的配置，故在此意义上，X 与j x 是两个等价的市场结构。
金融资产定价模型
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
3
一、基本概念
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
4
1、问题—如何确定金融资产价格
投资者面对的市场机会
各种风险资产（证券）
无风险借贷机会
由定价公式，金融资产的价格取决于折现率 （资金成本）k
k为投资者期望报酬率（必要报酬率），即出 让资金使用权所能接受的最低报酬率
CAPM反映了市场处于均衡时风险资产（或其 组合）的期望收益率与风险之间的关系
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
7
4、投资组合（portfolio）结论
收益率的标准差能够唯一度量投资风险 只有不能通过分散化投资消除的风险（系统
风险）才需要补偿 对于n种风险资产的投资组合，有马柯维茨最
在一个具有同质预期的世界中，M点对于所有的投资者是相同的。
投资者选择资本资产线上的什么位置取决于投资者风险容忍度
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
12
期望收益率
M L
r
无法实现
CML 有效边界 低效用
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
标准差
13
二、资本市场线
Capital Market Line, CML
必要报酬率=无风险收益率+风险溢酬
k与投资的系统风险成正比（非系统风险可以 分散化）
2020/5/26
茅宁 南京大学工商管理系
5
2、基本假设
市场充分竞争，单个投资者不能影响价格 单期投资，持有一个相同的周期 投资者预期一致，仅根据资产组合的期望收益
和标准差决策 资产无限可分，且可在市场上自由交易 允许无限制卖空 存在无风险资产，任何人可以无限量地按同一
《资产定价模型》PPT课件
– 积极的投资组合。投资者必须充分考虑证券实际价格 是否被高估或低估，从而选择有吸引力的证券构建证 券组合。同时还应根据市场的趋势调整资产组合。
• 当预测到市场价格呈上升趋势时，可增加高β值证券的持有 量；
• 当市场价格呈下降趋势时，则应减少高β值证券的持有量。
– 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的 基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富 和完善投资组合的理论和方法。
4- 5
一、证券组合的收益和风险
资产组合理论的前提条件 第一，证券市场是有效的; 第二，投资者都是风险厌恶者; 第三，投资者根据证券的预期收益率和
标准差选择证券组合; 第四，多种证券之间的收益是相关的。
MV
可行域
0
p
4- 15
有效边界的微分求解法*
• 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈 里·马克维茨等人于1952年建立的，其目 的是寻找有效边界。
• 通过期望收益和方差来评价组合，投资者 是理性的：害怕风险和收益多多益善。
– 在市场均衡状态下，最优风险证券组合与市场 证券组合M一致，投资者选择市场证券组合就 等价于选择了最优风险证券组合；
– 在现实中，一般用市场上某种指数所对应的证 券组合作为市场组合的近似替代。
4- 29
资本资产定价模型（CAPM）
E(RM ) Rf [E(Ri ) E(RM )] M
• CAPM的β表示式
令
i
iM
2 M
则有：E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
或: E(Ri ) Rf i [E(RM ) Rf ]
金融数学之资本资产定价模型
金融数学之资本资产定价模型引言资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）是金融数学中的重要理论模型之一。
这个模型成立的基础是，投资者对于风险有不同的承受能力，并以风险为代价来获取预期收益。
CAPM模型通过量化风险与收益之间的关系，为投资者提供一种评估资产风险与预期收益的工具。
本文将对资本资产定价模型进行详细介绍，并解释其数学原理及应用。
分析这一模型的优点和局限性，并讨论对该模型的应用和未来发展的展望。
资本资产定价模型原理资本资产定价模型的基本原理是根据风险与收益之间的正相关关系，通过给定的无风险利率和市场风险溢价，计算资产的预期收益。
CAPM模型的核心方程为：$$ E(r_i) = r_f + \\beta_i(E(r_m)-r_f) $$其中，E(r i)表示资产i的预期收益，r f是无风险利率，$\\beta_i$为资产i的系统风险系数（Beta系数），E(r m)表示市场的预期收益。
系统风险系数通过衡量资产相对于整个市场的风险敞口，反映了资产与市场之间的系统性风险关系。
如果资产的Beta系数大于1，意味着资产的风险相对于市场风险具有较高的敞口；反之，如果资产的Beta系数小于1，资产相对于市场风险的敞口较低。
资本资产定价模型的优点1.提供了一种可靠的方法来衡量资产的预期收益。
CAPM模型通过考虑市场风险与无风险利率的关系，使得投资者能够预测资产的回报。
2.方便比较不同资产的风险与收益。
CAPM模型使用Beta系数来衡量资产的风险敞口，使得投资者能够对不同资产进行风险和收益的比较。
3.可作为投资决策的参考。
通过CAPM模型，投资者可以评估某一资产的风险与预期收益，从而更理性地进行投资决策。
资本资产定价模型的局限性1.忽略了非系统性风险。
CAPM模型假设市场是完全有效的，并且只考虑了资产与市场之间的系统性风险关系，忽略了资产自身的非系统性风险。
2.对市场风险溢价的预测存在不确定性。
资本资产定价模型(CAPM模型)
E (ri )
E(rm )
rf
0
1
i
证券市场线(Security Market Line,SML)
资本资产定价模型，又称证券市场线，由此模 型可知单个资产的总风险可以分为两部分，一 部分是因为市场组合 m 收益变动而使资产 i 收 益发生的变动，即 i 值，这是系统风险；另一 部分，即剩余风险被称为非系统风险。单个资 产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而 与其非系统风险的大小无关。
rC (1 wA wB )rf wArA wBrB rC rf wA (rA rf ) wB (rB rf )
E (rC rf ) wA[ E (rA ) rf ] wB [ E (rB ) rf ] (wA A wB B )[ E (rM ) rf ]
β 值及其经济含义
β值经济含义：是单个风险资产的超额回报率（如单只股票） 与整个证券市场（大盘）的超额回报率之间关系的一种度 量。
i
E (ri ) rf
E (rm ) rf
E(rm ) rf 可以看成是市场组合超额回报率，所以，对于 来 rm说，m 1。像上证180等指数都可以看成一个市场组 合。
E(ri ) rf 就可以看成单只股票 i 的超额回报率。
1 ：股票 i与整个股市超额回报的上下涨落完全保持一致； 2 ：股票 i 的波动幅度是整个股市波动幅度的2倍； 0.5 ：股票 i的波动幅度是整个股市（大盘）波动幅度的一半。
β 值及其经济含义
ri
H 2
A 1
CAPM的假设条件
①存在许多投资者，与整个市场相比，每位投资者的财富 份额都很小，所以投资者都是价格的接受者，不具备操纵 市场的能力，市场处于完善的竞争状态； ②资本资产定价模型是一个两期模型，在实践中意味着所 有的投资者都只计划持有投资资产一个相同的周期，而不 考虑计划期以后的事情； ③投资者只能交易公开市场交易的金融工具，并且假设投 资者可以不受限制的以固定的无风险利率借贷； ④没有交易成本和交易税，即市场是无摩擦的； ⑤所有的投资者都是理性的，都按照均值-方差来优化自 己的投资组合； ⑥所有的投资者都以相同的观点和分析方法来对待各种投 资工具，他们对所交易的金融资产未来支付的概率分布、 预期值和方差等都有相同的估计，这就是一致预期假设。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
资本资产定价模型
3.1 资本资产定价模型（CAPM）
❖资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是由美国Stanford大学 教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合 理论基础上提出的一种证券投资理论。
❖CAPM解决了所有的人按照组合理论投资 下，资产的收益与风险的问题。
13
3.1.4 定价模型——证券市场线（SML）
▪ CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差 联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益 率是如何与其自身的风险相联系。
▪ CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价，因此， 就由CML推导出SML。
▪ 命题3.2：若市场投资组合是有效的，则任一资产i的 期望收益满足
风险σp
6
3.1.2 分离定理
❖ 无论投资者的偏好如何，直线FM上的点就是最 优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风 险资产组合的有效边界分离了。
❖分离定理（Separation theorem）：投资者对风 险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构 成是无关的。
❖ 所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不 同，都会将切点组合（风险组合）与无风险资产 混合起来作为自己的最优风险组合。因此，无需 先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组 合。
im
2 m
m
ri
rf
im
2 m
( rm
rf
)
r f i ( rm r f )， 证 毕 。
16
证券市场线（Security market line）
ri
rm
M
rf
SML
当w=0时，曲线im的斜率等 于资本市场线的斜率。
σ
15
d rw dw
ri
rm
,
d w dw
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
w
2 i
(w
1)
2 m
w
(1 2 w ) im
因此，
d rw d w
w0
d rw / d w d w / dw
w0
( ri rm ) m
im
2 m
该斜率与资本市场线相等则
( ri rm ) m ＝ rm r f , 解 得
效应用者，人人都是理性的！ ▪ 这些投资者对每个资产回报的均值、方差以及协
方差具有相同的预期，但风险规避程度不同。 ▪ 根据分离定理，这些投资者将选择具有相同的结
构的风险基金（风险资产组合）。投资者之间的 差异仅仅体现在风险基金和无风险资产的投资比 例上。
9
▪ 若市场处在均衡状态，即供给＝需求，且每一位 投资者都购买相同的风险基金，则该风险基金应 该是何种基金呢？（对这个问题的回答构成了 CAPM的核心内容）
❖CAPM 理论包括两个部分：资本市场线 （CML）和证券市场线（SML）。
2
3.1.1 引子
▪ 在前面，我们讨论了由风险资产构成的组 合，但未讨论资产中加入无风险资产的情 形。
▪ 假设无风险资产的具有正的期望收益，且 其方差为0。
▪ 将无风险资产加入已经构成的风险资产组 合（风险基金）中，形成了一个无风险资 产+风险基金的新组合，则可以证明：新组 合的有效前沿将是一条直线。
后 的 组 合 的 期 望 收 益 与 风 险 ； rm ,m 为 市 场 组 合 的 期 望
收 益 与 风 险 。
▪ CML是无风险资产与风险资产构成的组合 的有效边界。
➢ CML的截距被视为时间的报酬 ➢ CML的斜率就是单位风险溢价
▪ 在金融世界里，任何资产组合都不可能超 越CML 。由于单个资产一般来说，并不是 最优的资产组合，因此，单个资产也位于 该直线的下方。
rirf im 2(rmrf) m
rf i(rmrf)
14
证明：考虑持有权重w资产i，和权重(1- w)的市场组 合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有
rww ri(1w )rm
ww 2i2(1w )2m 22w (1w )im
r
m
i
rf
市场组合
证券i与m的组合构成的有效 边界为im；
im不可能穿越资本市场线；
❖ 资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组 合之间的分配。
❖ 资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的 风险资产构成资产组合。
❖ 由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好 的情况下，确定最优的风险组合。
8
3.1.3 资本市场线的导出
一个具有非凡创意的假设！ ▪ 假设市场中的每个投资者都是资产组合理论的有
❖ 风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M， 少投资无风险证券F，反之亦反。
7
分离定理对组合选择的启示
❖ 若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问 题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策 （Capital allocation decision）和资产选择决策 （Asset allocation decision）。
▪ 风险基金＝市场组合（Market portfolio）：与 整个市场上风险证券比例一致的资产组合。对股 票市场而言，就是构造一个包括所有上市公司股 票，且结构相同的基金（如指数基金）。
▪ 因为只有当风险基金等价与市场组合时，才能保 证：（1）全体投资者购买的风险证券等于市场 风险证券的总和——市场均衡；（2）每个人购 买同一种风险基金——分离定理。
4
组合的标准差为
一种风险资产与无风险资产构 成的组合，其标准差是风险资 产的权重与标准差的乘积。
p w11
(2)
由（1）和（2）可得
rp
p 1
r1
(1
p 1
)rf
＝rf
(r1 rf
1
)
p
可以发现这是一条以rf 为截距,以
r1 rf
1
为斜率的直线。
命题成立，证毕。
收益rp rf
非有效
不可行
3
▪ 命题3.1：一种无风险资产与风险组合 构成的新组合的有效边界为一条直线。
证明：假定风险组合(基金）已经构成，
其期望收益为r1，方差为
，无风险资产
1
的收益为rf ，方差为0。w1为风险组合的投
资比例，1 w1为无风险证券的投资比例，
则组合的期望收益rp为
rp w1r1 (1 w1)rf
(1)
10
收益
M 无风险收益率F
标准差
在均衡状态下，资产组合（FM直线上的点） 是市场组合M与无风险资产F构成的组合，因 此，可以根据图形得到
11
rp
rm
m 资本市场
线CML
rf
σm
σp
rp
rf
rm rf
m
p
其 中 ， rf为 市 场 无 风 险 收 益 率 ； rp,p为 加 入 无 风 险 资 产