高中物理相遇和追击问题

高中物理相遇和追击问题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]相遇和追及问题分析1.相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2.画出物体运动的情景图，理清三大关系（1）时间关系：0t t t B A ±=（2）位移关系：0s s s B A ±=（3）速度关系：两者速度相等。

它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

3.两种典型追及问题（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）①当v 1=v 2时，A 末追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；②当v 1=v 2时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；③当v 1>v 2时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）①当 v 1=v 2 时，A 、B 距离最大；②当两者位移相等时,有 v 1=2v 2且A 追上B 。

A 追上B 所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4.相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

1)基本公式法—根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2)图像法—正确画出运动的v-t 图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解3)相对运动法—巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解4)数学方法—根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。

5.追及和相遇问题的求解步骤两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。

基本思路是：①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程④找出时间关系，速度关系 ⑤解出结果，必要时进行讨论。

(1)追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。

第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）①当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。

②若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。

③若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时两者之间距离有一个最大值。

在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。

①当两者速度相等时有最大距离②当两者位移相等时，则追上具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。

(2)相遇问题①同向运动的两物体追及即相遇②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇6.分析追及，相遇问题时要注意(1)分析问题是，一个条件，两个关系。

一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。

两个关系是：时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。

(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。

仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。

往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

7.追及问题的六种常见情形(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是V加 = V匀(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当V 减 = V 匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当V 减 = V 匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且V 减 ＞ V 匀时，则有两次相遇的机会。

(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有V 加 = V 匀，则不能追上；当两者到大同位置时V 加 = V 匀，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时V 加 ＜ V 匀则有两次相遇的机会。

(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。

(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。

(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前V 减 = V 加，则不能追上；当V 减 = V 加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时V 减 ＞ V 加，则有两次相遇机会。

（当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。

8.典型例题例火车以v 1=20m/s 速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v 2=10m/s 速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。

要使两车不相撞,a 应满足什么条件解1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。

由A 、B 速度关系： 21v at v =-由A 、B 位移关系： 022121x t v at t v +=- 2220221/5.0/1002)1020(2)(s m s m x v v a =⨯-=-=2/5.0s m a >∴ 解2：（图像法）在同一个v-t 图中画出A 车和B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.2/5.0s m a >∴ 物体的v-t 图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解3：（相对运动法）以B 车为参照物， A 车的初速度为v 0=10m/s ，以加速度大小a 减速，行驶x=100m 后“停下”，末速度为v t =0。

2/5.0s m a >∴备注：以B 为参照物,公式中的各个量都应是相对于B 的物理量.注意物理量的正负号。

解4：（二次函数极值法）若两车不相撞，其位移关系应为022121x t v at t v <--代入数据得：010010212>+-t at 其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有0214)10(1002142>⨯--⨯⨯a a 2/5.0s m a >∴把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远此时距离是多少解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

设经时间t 两车之间的距离最大。

则解2：（图像法）在同一个v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t 图像的斜率表示物体的加速度3tan 60==αt s t 20=∴当t=2s 时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积m m x m 66221=⨯⨯=∆ 动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.解3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v 0=-6m/s ，a=3m/s 2，两车相距最远时v t =0对汽车由公式at v v t +=0（由于不涉及位移，所以选用速度公式）s s a v v t t 23)6(00=--=-= 对汽车由公式 ：as v v t 2202=- （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。

）（由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。

）m m a v v s t 632)6(022202-=⨯--=-=表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.解4：（二次函数极值法）设经过时间t 汽车和自行车之间的距离Δx ，则2223621t t at t v x -=-=∆自时当s t 2)23(26=-⨯-=，m x m 6)23(462=-⨯-=∆∴ 思考：汽车经过多少时间能追上摩托车此时汽车的速度是多大汽车运动的位移又是多大例3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。

现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么(以g 表示重力加速度)解：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a 1，有 11ma mg =μ桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 22ma mg =μ设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，离开桌布后在桌面上再运动距离x 2后便停下，有 11212x a v = 22212x a v = 盘没有从桌面上掉下的条件是 221l x x ≤+ 设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有 221at x =21121t a x = 而 12x l x +=由以上各式解得 ：g a 12212μμμμ+≥ 例4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远最远距离是多大(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大解析： 法一：用临界条件求解．(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s 时,二者相距最远，所用时间为t ＝v a＝2 s,最远距离为Δs ＝v 0t －12at 2＝6 m. (2)两车距离最近时有v 0t ＝12at 2 解得t ＝4 s 汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 法二:用图象法求解．(1)汽车和自行车的v t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs ＝12×6×2 m ＝6 m. (2)两车距离最近时，即两个v t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s. 法三:用数学方法求解．(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δs ＝v 0t －12at 2因二次项系数小于零，当t ＝－v 02×⎝⎛⎭⎫－12a ＝2 s 时有最大值，最大值Δs m ＝v 0t －12at 2＝6×2 m －12×3×22 m ＝6 m. (2)当Δs ＝v 0t －12at 2＝0时相遇得t ＝4 s ，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 分析追及、相遇问题的常用方法1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2)相对运动法：巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系3)极值法：设相遇时间为t ,根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论,若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0,说明追不上或不能相碰4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 在前，速度为v A ＝10m/s ，B 在后，速度为v B ＝30m/s ，因大雾能见度低，B 车在距A 车500m 时，才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但要经过1800mB 车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞试说明理由。