定积分微积分练习题总结

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大学数学微积分练习题及答案

大学数学微积分练习题及答案本文为大学数学微积分练习题及答案的整理，旨在帮助读者巩固和提高微积分的知识和技能。

以下是一些常见的微积分练习题及其解答，供读者参考。

1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。

解答：我们可以使用导数的定义来求解。

根据定义，导数f'(x)为函数在任意一点x处的斜率，可以通过求极限得到。

根据导数的性质，多项式的导数等于各项的导数之和。

因此，我们可以按照导数的定义，先求出各项的导数，然后相加得到f'(x)。

f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)'= 6x - 2所以，函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数为f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。

解答：根据指数函数e^x的积分规则，不定积分∫e^xdx等于e^x再乘上一个常数C。

因此，∫e^xdx = e^x + C3. 求函数f(x) = sin(x)的定积分∫(0 to π/2)sinx dx。

解答：我们可以利用定积分的定义来求解。

根据定积分的定义，∫(0 to π/2)sinx dx表示在区间[0, π/2]上sinx的面积。

因为sinx在[0, π/2]上是正值，所以∫(0 to π/2)sinx dx等于sinx在[0, π/2]上的图像所围成的面积。

又因为sinx在[0, π/2]上是递增的，所以面积等于∫(0 to π/2)sinx dx等于单位圆上π/2对应的弧长，即π/2。

所以，∫(0 to π/2)sinx dx = π/2。

4. 求函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值。

解答：函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值可以通过计算积分的平均值得到。

根据积分的定义，函数在区间[1, 2]上的平均值等于函数在该区间上的积分除以区间的长度。

平均值= ∫(1 to 2)x^3 dx / (2 - 1)= [1/4*x^4] (1 to 2) / 1= (2^4-1^4) / 4= (16-1) / 4= 15/4所以，函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值为15/4。

定积分微积分练习题总结

1．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________. 3已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 4．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )6．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________． 7 221x x dx --⎰= 8.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 9.已知f (x )为奇函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．1610. .设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ 则20()f x dx ⎰=（） A.34 B.45 C.56 D.不存在11 已知221,[2,2]()1,(2,4]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩,当k = 时, 340()3k f x dx =⎰成立 12．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确13已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．14．若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________．15 求曲线2y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积.16 求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.。

定积分微积分练习题总结

定积分、微积分练习：1. （2010年广东北江中学高三第二次月考）620(1)x dx +⎰=2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) 1(2)e x e dx x-⎰． 3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b4．已知a ∈[0，π2]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.5．⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.6.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.7．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.8．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.169．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________．10.221x xdx --⎰=11.已知f (x )为偶函数且6⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 12.已知f (x )为奇函数且6⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．1614.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，x 2＋6，x >0.求⎠⎛-11f (x )d x .15. .设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ 则20()f x dx ⎰=（）A.34B.45C.56D.不存在16. 已知221,[2,2]()1,(2,4]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩,当=时, 340()3kf x dx =⎰成立 17．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 18.(2010·烟台模拟)若y ＝x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．018．设f (x )＝1⎰|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．求解析式19．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 20．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且1⎰f (x )d x ＝5，1⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________．曲线面积问题：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.21. 求在[0,2]π上，由轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 22．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛ac f (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d xD ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．224.如图，阴影部分的面积是（）A ．32B ．329-C ．332 D ．33525.如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y =-1所围成图形的面积．26．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及xA.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 27．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x <0)cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ．1C ．2 D.1228．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 29．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．30. 求曲线2y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 31.求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.32. 设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且 f ′（x ）=2x +2.（1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.33. 抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．利用定积分解决物理问题①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.34．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A．249米B．261.2米C．310.3米D．450米35.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]的位移为()A.176B.143C.136D.11636．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为____米37. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？38．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为() A．0.05 J B．0.5 JC．0.25 J D．1 J。

微积分公式和定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）、基本导数公式二、导数的四则运算法则三、高阶导数的运算法则nx na In(1 ) u x v x (2)cu cuu ax baxkc n uk 0xv (k) x四、基本初等函数的阶导数公式(12)(15)cosx secxlog a xarcta nxsin x secx tan x1 1 x 2(13)(16)tanxarcs in xarccotxsec 2 xIn⑶ sinx⑹cotxcscx1 x 2(11)(17)In x(14)COSX csc 2 x cscx cot xarccosx(18)uvuvu v uv ""2 vax beax bcos axsin ax bna cos ax bax b ⑹n a n n! 1ax五、微分公式与微分运算法则cosx sin xdx tanxsecx secx tan xdxe x dxd (12) log a x1dx xlna(13)na sin axb n —21dxln ax bnax bsin x cosxdxsec xdxIn adxd arcs in xcotx csc xdxcscx cscx cot xdxd(ii)In x1 dxxd (15) arcta nx1 x2dx d(16)六、微分运算法则⑴ d u v du dv⑶ d uv vdu udv七、基本积分公式kdx kx cx dxxx aa dxln ae x dxsin xdx cosxd(14)arccosx1dx.1 x2 arccotxcudxxcduvdudxudv2 vIn xcosxdx sin x cdx sec xdx tanx⑻ cos xtan xdx In cosx c secxdx In secx tanx c1 1 x ---- dx - arcta n- c a x a acotxdx In sin x c cscxdx Incscx cotx c11lx a-2 --- 2 dx Incx a 2a|x a积分型换元公式1f ax b d^- f ax b d ax b au ax bf x x 1dx 1 f x d xu x1f In x -dxf In x d In xxu In xX X 工x Xf e e dx f e d exu e 1r x X 」 1 r x i x f a a dx ------------ f a d aIn axu af sin x cosxdx f sin x d sin x u sin xf cosx sin xdxf cosx d cosxu cosxf tan x sec xdx f tan x d tan xu tanx2f cotx csc xdx f cotx d cotxu cotx1~~2~sin xcsc xdx cot x cdx arctanx c1 x 2(ii) arcs in x c八、补充积分公式dx.xarcs in ca1dxIn x V x 2~a 2十、分部积分法公式形如 xFnxdx 令口 x n , dv sin xdx 形如 x c °sxdx令口 x n , dv cosxdx⑵形如 x arctanxdx ，令 u arctanx , dv x n dx 形如 x lnxdx ，令 u ln x , dv x n dx卜一、第二换元积分法中的三角换元公式2 2(1)a xx a si nt (2)、a 2 x 2 x ata nt⑶ x 22a x a sect【特殊角的三角函数值】1.3sin — —sin — —sin 1（1）sin 0 0（2）6 2（3）32（4）2（5）sin.31cos — —cos — — cos — 0（1）cos0 1（2）6 2 (3)3 2 (4) 2(5) cos 1tan -仝tan3 tan —（1）tanO 0（2）63 （3）3（4）2不存在（5） tancot—cotcot — 0（1cot0不存在（2）6（3）3 3（4）2（5） cot 不存在十二、重要公式n ax I⑴形如Xedx ，令udv e ax dx⑶形如 axe sin xdx ecosxdx 令 u e ax ,sinx,cosx 均可。

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ，则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)，即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。

微积分练习100题及其解答

x 0 t x
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim

2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ；解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0，则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3，即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ，所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ，解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ．（2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立，即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

微积分公式及定积分计算练习

微稅分公式与定稅分廿算练习（附加三角函数公茨）一、基本导数公式⑴（C°（2）宀旷（3）（g）' =cosx⑷(cosx) =-sinx(5)(kmx) = sec2 x^(cot x) = -esc2 x(7)(secx) =secx ・tanx(8)(cscx) =-cscxcotx(log *)' = —1—(arcsin x) = 2_. (arccos x) = _ --^=⑫' 7x\n a丁1一2(⑷”1一2 ^（arctanx/^^Carccotx；=-占肋（0 = 1二、导数的四则运算法剧(w±v) =11 ±V r(MV)= ll'v + UV三、高阶导数的运算法剧（1）［"（WWxF—WQWx）1'”[“(ox + b)]'" = aS/切(o¥ + Z?)(4) ［“⑴•咻）尸）（x》H（x）JO囚、基本初等函数的n阶导数分衣（汕“（2）（严『(1 )⑶（打”）Mintsin(ox+b)Y) (4)7T 12>=a' sin ax+ b + n •—cos(ax +方)"⑸=a n cos ax + b + n•兰2丿\(町< ax + b）⑹五、微分公式与fit分运算法剧帥（祇+对"=（-1）"心"心一邛⑺cix + h)fl---- + c \naf ——dx= fsec 2 xdx = tanx + c ⑻」cos* x Jf —L — = f esc 2 xdx = -cot x + c f —⑼」siirx J(10」1 +对f dx = arcsin x + c(11) Jl-F八、补充秋分公貳J tan xdx = -In |cos x| + c J cot xdx = In |sin x| + cJ sec xdx = ln|sec x + tanx| + c j esc xdx = In |cscx-cot x\ + cc 11 x fl » x-a⑴ d (c) = 0 ⑵〃 (x")= “严么⑶〃 (sin x) = cos xdx(4) 〃 (cos x) = _sin 人〃v (5)d (tan x ) = sec 2 xdx 伦)d (cot x) = -esc 2 xdx(7)d (sec x) = sec x ・ tan xdx 侶)d (esc x) = - esc x cot xdx^.d(e x \ = e x dx.^.d(a x \ = a x \nadx,. ⑼ '丿 (10 '丿 (11)〃仃co U _1 d (arcsin x] = dx J(arccosx)=——=2dxd (arctan x)=〔】、dx d (arc cot -v)=-〔】、dxAs 做分运算法U⑴〃 (“ ± v ) = du ± dv ⑵ d (cu) = cdu⑶ d (wv) = vdu + udv ⑷ "L 一 lt ^v「丿v 2七.基本稅分公式kdx = kx+c"严⑶用讪⑺ j* sin xdx = - cos x+cdx = arctan x + cJ 1.. Jx = arcsin - + c [ 1.十、分部积分法公式⑴形如J""%,令« = dv = e ax dx 形』X sin皿令U = X n , dv = sin xdx 形』x”cos皿令十,d v =CO sxdx ⑵形如J V ，! aiCtan Xcix ,令“ =arctan x clv = x n clx 形如J V 4 ,令u = In xt dv = x'l dx⑶形如F Shl皿」严CQSxdx令“=严,血x,cosx均可十一、第二换元稅分法中的三角換元公貳dx = \n x + yjx2 ±a2⑴ J/x = osin/ ⑵ J ，+F x = atant (3)~a x = asect【将殊角的三角函数值】(1)cosO = 1k 73cos —=——6 2十二.重要公式（系数不为0的怖况）1-cosx-sinx 〜x tanx 〜x arcsinx 〜x arctan x~ x ln(l + x)~U~2—l~xlz十四、三角函数公衣1 •两角和公实sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A 一 3) = sin A cos B 一 cos A sin B cos(A + B) = cos A cos B-sinA sin B cos( A -B) = cos A cos B + sin 4 sin 3(1)sin 0 = 0 兀1sin — = _ (2) 6 2 (3)龙>/3sin —=——3 2sin — = 1 (4) 2 (5 ) sin 龙=0(1)tan 0 = 0(2)tanM6 3(3)tan ?=^(4) tan — 2 不存在(5) tan^ = 0 (1 ) 8t°不存在(2)cot- = V36(3)cot —3(4)7T ccot — = 02 (5) co”不存在 cos — = 0 (4) 2(5 ) cos/= _1(1 )(4)(7) sin x (lim ------- = 1lim 亦=1 lim arc cot x = 0XT30 (10)lim e x = oo2lim(l + x)7 =e (2)-八 7limarctanx = —(5 ) 一 2 lim arccot x =(8 ) x 一+ ・・・ + ©_\in\yfa(a >o) = 1lim «rctanx = - —(6 ) —x 2 (9) !呼 _0(12)十三、下列常用等价无穷小关系（XT°）z 4 c、 tan A + tan 3 z 4 补 tan A- tan Btan(A + B) = ---------------------- tan(A -B) = ------------------------1 - tan A tan B 1 + tan A tan B/ , cot A ・ cot 3 — 1 z 4 c 、 cot A cotB + \cot(A + B) =----------------------- cot(A _ B)= -------------------------cot B +cot A cot B-cotA2 •二倍角公式sin 2A = 2 sin A cos A cos2A = cos 1 2 A-sin 2 A = l-2sin 2 A = 2cos 2 A-l 2 tan >4tan 2A = ---------- —1-tan" A3•半角公成.A /1-cosA A /1 + cosA Sin 7_V —2 — COS 2~\ —2—4 •和差化秋公6•万能公衣2 tan — 2 sin a = ---------- --- cos a =1-tan 2 — —tan a = 2- 1-tan 2- 2 27 •平方关系sin 2 x + cos 2 x= 1 sec 2 x-tan 2 x = \ csc 2x-cot 2x = l8.fl«关系tanx ・cotx = l secx-cosx= 1 cscx sinx = \9 •商数关系sinx cosxtan x = ------- cot x = ---------cos x sinx1 + tan2 —21+cos A sin A・・, c ・a+bsintz + sin/? = 2sin --------2 f c a + b cos a + cosb = 2 cos -------2a-b .・, r a + b . (i_b・ cos --- sin a 一 sin b = 2 cos2 2 2a_b f c . a + b . u_b cos a 一 cos b = -2 sin ----------- sin -------- 2•cos •sintan a + tan /?=sin(d + b)cos "・差公 Stsinasinb = -— 2L ]rcos (a + Z?) — cos (a -b)]sinocosZ? = — sin (« + /?) +sin (€/-/?) cos a sin Z?=21 r n cos a cos/? = — [cos (a+ Z?) + cos—[sin (//+ Z?)-sin (6/-/?)] 22tanI1 + tanA tan —= 21-cos A sin A A ------ = cot —= 1 + cos A 1 + cos A 21 一 cos A 1 一 cos A十五.几种常见的St分方程dv3.—阶拔性非齐次St 分方程：^+，，（A ）V =（?（A ）髙考定稅分应用常见題型大全选择题（共21小愿）1. （2012.） $0图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,囲点P 怡好取自明彫部分A. 1B. 1C. 1 D ・145672. （2010.）由曲a y=x 2, y=x 3围成的齐闭图形面枳为（）A. 1B. 1C. 1D. 712 4 3122,汪[0, 1]3•设f （x ）=l 2-^ 圧（1，2],因数图象与x 讷围成討闭区域的而枳为（）A. 3B. 45C. 5 6D.674（2对丄） d x4. 定枳分1X的值为（ )A. 9B. 3+ln2c. 3-ln2D. 6+ln245. 如图所示，曲Sy=x 2和曲Sy=V^围成一个叶形图（明影跚分），貝面枳是（）dy1 •可分离变量的做分方程：页= /(x)g(y)/1 (x)gi (y)^+z (x)g2 (y)dy=o2 •齐次做分方程:解为广"平（4sJ 2 开(x+cosx) dx6. 飞 =()A. TtB. 2C. -n7. 已知函»f (x)的定义域Jl[-2, 4],且f (4)=f(・2)虬f (x)为f(x)的导函数,函数y=f ( x )的图象如图所示，團平面区锁f ( 2a +b ) <1 (a^O, b^O)所围成的而枳是8. f oVdx 与f o 1e xdx 相比有关系氏() A.2B. 2/ o'e'dx < J oQ dx J o 1e <dx> / Je” dx C.2D.z(f <e x dx ) 2= / 01e' dxJ Je x dx=( 01e' dxD ・返2D. 4C. 5D. 89. 若a= j JTO HQ「1 ,b= Jo cosxdx,则a 与b 的关系是(A. a< bB. a> bC. a=b10. r a J 0 ({1 - Cx-1) 2"X 2)%值是( )A. 7T _ 1B.兀_ ■ 1 C ・兀一 .14 3 432 3S R sinxdx)D. a+b=OD.兀11.若f(x)=2A. 12+e2 - eX>1h X<1（e为自然对数的U数），则；o f 3）12-e2+eB. 12+ec. D.dx ,=(丄-・e12.已知f(x)=2-|x|, M3 dx=(A. 3B. 4C.)3.5 D.4.513.设f ( x ) =3 - |x -1|, | J 22f ( x ) dx=(A. 7B. 8C. 7.5D. 6.514.枳分『三aVa2 - x2dx；15.f 巳知函数A. 1/216.是( A. 4(x)二C.na2D.2na2cosx,"x+b 0<x<1的图象与X轴所围成图形的面枳为（）B. 1C. 2D. 3/2_3兀由因数y=cosx ( 0WXW2H )的图象与頁线* 2 K y=l Bi围成的一f封团图％的面枳C. 7T “T+1° 2n17.曲Sy=x3在点（1, 1） 5b的幼裁与x轴及直线xT两围成的三角形曲而枳为（）A・丄B・212 6 C. 13D.丄2A. 16B. 18C. 20D. 2219.如图中阴影跚分的面枳是（尸sin. (x - 20.曲线 A. V2T-手）（0<x< 葺）―44 与坐标轴围成的面枳是（）B. 2-^2C. V2D. Q V22pk21.如图，P （3a, a ）是反比网函y=x （ k> 0 ）与00的一个交点，图中明影册分的面枳髙考定稅分应用常见題型大全（含答案）参考答案与試题解析选择題（共21小題）1. （2012.） 50图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P, IM 点P 恰好取自明影部分的側率为（）B. 9-2^3C. 32D. 35为10n,囲反比例因数的解桥衣为（B. 10y-D. 27y-y=x考/定枳分在求面枳中的应用;JI ・501974 专趣：计算臥分析：根H 題意，易得正方形OABC 的面枳，观察图形可得，阴黔部分由因数XX 与戶"匚围成，由定枳分公式，廿算可得阴黔部分的面枳，逍而由几何槪塑公衣廿算可得答案.解答：解:禺据题意,正方形OABC 的面枳为1 x1=1,_2 2 2而明黔部分由因数y=x 与戶换围成，貝面枳为山(讥・x)dx=(亏/・2)|上瓦16 _1则正方形OABC 中任取一点P,点P 取自阴影部分的御率为二乞；故选C.fiih 本题考査几何枫世的廿算，涉及定枳分在求面枳中的应用，关进是正彌卄算出阴影跚分的面枳・考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专趣：计算题.分析：要求曲8y=x 3, y=x 3围应的討阳图形面枳,根据定稅分的几何意义,只要求/o 1(x 2-X s ) dxU 可.解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是(1, 1), (0, 0)故枳分区间是[0, 1]—X 1 - A X l~-所求封闭图形的面枳为丿oUx 2 ・x 3)dx=3 4 12,故选A.目评：本题考査定枳分的星胡知识，由定枳分求曲线围戒封闭图形的面枳.3 (2010-)由曲s y=x 2, y=x 3围应的对闻图形面枳为()A. _14 B. _15 C.丄6D. 17A. 112B. _14C.丄3D. 712x 2, xE [0, 1]3•设f （x ）=l 2_x »圧（1，2],因数图象与x 抽围成討ffl 区域的而枳为（） A. 3B. 4C. _5D. _64 5 6 7考点：分段函数的解折貳*法及其图象的作法；因数的图象；定枳分在求面枳中的应用.501974 专趣：计算題；数形结合.分析「利用坐标系屮作出函数图象的形状，通过定枳分的企貳，分别对两部分用定枳分求出其面枳，再把它们«|加，即可求出围戒的封用区域曲血图形的面枳.故选C自评：本題考査分段因数的图象相定枳分的运用，考查枳分与曲ii 图形面枳的关系，属干中時題•解題关邃是找出被枳函数的原函数，注恿运算的准确性・考点：定枳分；傲枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974专题:廿算臥分析：由題设条件，求岀被枳函数的原函数，然后根掘槪枳分基本定理求岀定枳分的值即可. 解答： r 2(2x+-) dx解: 1X = ( x 2+lnx ) |i 2= ( 22+ln2 ) - (12+ln1 ) =3+ln2故选 B.4.「2 定枳分1 （2x+丄）dxx的值为(A. 9B. 3+ln2）C ・ 3-ln2 D. 6+ln2s= S Jx 2dx+r f ■ (2- x) dx二# (2 - 号)冷Sih 本題考査求定枳分，求解的关建是拿常住定枳分的定义及相关因数的导数的求法，属于基胡題・考/定枳分；定枳分的简单应用.501974 专題：计算臥分析：味立由曲S y=x 2fn 曲找X 仮两个解桥貳求出交点坐林，然后在XG (0, 1)区间上利用定枳分的方法求出围应的面枳即可.(x=l (x=0 解得(尸1或ty=o,设曲线与頁线围应的面枳力s,_1囲 s= J' o 1 (Vx-X 2) dx=3 故选：C目评：考查学生求因数交点帝法的能力，利用定枳分求图形而枳的能力.J 2 开(x+cosx) dx 6. 一" =() A. TiB. 2考fi ： a 枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974 专题:计算臥分析：1由于 F ( x ) = 2x 2+sinx 为 f ( x ) =x+cosx 的一个原函数即 F ( x )二f ( x ), ffi 据 J ?f ( x )dx=F (x)『公氏即可求出值.解苔： 1解：•・•( 2x 2++sinx) =x+cosx,D.返2C.-nD. 423貝而枳是( )=(2x 2+sinx ) 2=2.故笞案为:2.点评：此題考査学生拿捋函数的求导法则，会求因数的定枳分运算，是一道基就臥7.已知函 at (x)的定艾域为［-2, 4］, flf(4)=f( - 2)=1, f'(x ) ^f(x)的导函数,函数y=f* ( x )的图象如图所示，则平面区域f ( 2a +b ) <1 (a5：0f bMO)两围成的面枳是考点:定枳分的简单应用.501974分ffi ： ffilg 导函数的图象，分桥原函数的性喷或作出原函数的草图，找出a 、b 満足曲条件, 画出平面区域，即可*解.解答•2解:由图可知［・2, 0)上f (x) <0,函数f (x)在［・2, 0)上单期递«,(0, 4］上r (x) >o, •••因数f (x)在(0, 4］上单调递增,故在［・2, 4］上，f(x)的最大值为f ( 4 ) =f (・2)=1,r-2<2a-Hb<4《a>0.-.f ( 2a+b ) <1 ( azO, b^O ) =>〔b 》0表示的平而区域如图所示：故选B.r2( x+cosx ) dxJTSih 本題考査了导数与函数单燜It 的关系及找性规则问题的绘台应用，属干高苗題•解决时要注意数形结合思想应用.28. j 01e x dx 与J o*e x dx 相比有关系式(C.z(f 01e x dx ) 2= f 01e x dx考点:定枳分的简单应用;定枳分.501974 专题：计算亂分析：2根据枳分所表示的几何意义是WiSx=0,x=1及函9y=e x 或y=e‘ 在图象第一象限岡W 与坐标轴围成的面枳，只需酉出函数图象规察而枳大小即可.解皐解:/Mix 表示的几何意义是WSSx=0, x=1及函fiy=e x 在图象第一象限职与坐标轴围成的面枳,Jo'e x "dx 表示的几何豆义是111^ x=0, x=1及函» y=e x '在图象第一象限同* 与坐标箱囲成的面枳, 如因2 2••当 0 < x < 1 时，e"x > e“ ,故有：j o e x dx > f 01e' dx故选B.A.2/ o 1e'dx < J 01e , dx B. zJ Je x dx> / o e' dxD.2J Je x dx= / 01e" dx定枳分运算是求导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可 u 于基雷題.J R sinxdx| 9.若圧 T , b= ；O cosxdx , H a 与b 的关系是( ) A. a<bB. a> bC. a 二bD. a+b=O考点：定枳分的简单应用.501974 专題：计算臥2-1 1亠 > 1, 1 .I jS1 1 •11 11pfiih 本題主要考查了定枳分, 利用几何意义怖求解, T Rsinxdx a= 2・ cosx ) T=・ cos2 )JI-cos 2 ) = - cos2«sin24.6°,b=J Jc 0S xdx =sinx1°=sin1 - sin0=sin1 «sin57.3°.S R sinxdx I n•. a= 2 =(・ cosx )2 =(・ cos2 )JT・ cos 2 )二・ cos2« -cos114.6°=sin24.6°,b=」0cosxdx =s inx I 0=S jn1 - sin0=sin1 -sin57.3°,・•・b > a.故选A.Sih 本题考査定枳分的应用，是基础題.解题时娶汰真审題，仔细解答. 10. ；o (V1- (x-l) «2) ^^[1 是( )A.丄£_丄B. _K _1C.匹—丄D.考点：定枳分的简单应用.501974y专题：计算題.分桥：根据枳分两表示的几何意义是以(1,0 )为岡心，1为半径第一象限岡％与施物裁XX? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，只需求出風的面枳秦以呱分之一与Uft 物我在第一象限的部分与x 轴flisx=i 围成的图形的面枳即可.解答：解；枳分所表示曲几何意义是£1(1, 0 )为風心，1为半径第一象限同扳与施掏找y=x? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，故只需求出岡的而枳秦以呱分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和頁线x=1围应的图形的面枳之差.I -------------------- - 仃 7T、勺 7T 13 1 1即打(Ji 匸"17巨-恭)d*=E.瑞/djz.gx I L T _I 故苔案选A目评：本題主要考查了定枳分，定枳分运算是*导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可利用几何意义怖求R, BT 1«8考点:定枳分的简单应用.501974 专題：廿算臥分析：由于因数力分段函数，枚将枳分区同分为两部分，进而分别求出祁应的枳分，即可得到结论. 解答：解：S pf (x) dx = s Jxdx+ / \ ( - e x ) dx_^x 2 丨| [寺- /+e 故选C.点评：本題車点考查定枳分，解趣的关址是將枳分区冋分为两部分，再分别求出相应的枳分.12. B fflf(x)=2-|x|, H ；-l f 3)dx=() A. 3B. 4C. 3.5D. 4.5由題意，『°匹⑴山二j 匕1(2+Q 如凭(2-"气由就可求定枳分的 E.解：由題意，J 3 [f (x) dx= J 11 (2+x) dx+ Q (2 ~ x) dx _ ( )| j 十11. -就 X >1q 若 f(x)」hh x<l (e 为自然对数的庇数)，则J 'o f Cx) dx =(A ・22+e 2 - eB. 12+eC.丄2-e 2+eD. 1-纸2 - e考点专定枳分的简单应用.501974• • •• 題分析(2x -丄2 1 1 2X丿 I 也2 ・ 2+4 ・ 2=3.5故选C.点本題考查定枳分的it 算，解題的关扯是利用定枳分的性质化为两个定枳分的和. 评：13. 设 f ( x ) =3 ・|x ・1|,呱 J / (x)dx=( )A. 7B. 8C. 7.5D. 6.5考点:定枳分的简单应用.501974 专趣：廿算臥分析：J / (x)dx=/ *(3・|x ・1|)dx,将 J* (3 ・|x ・1|)dx 转化成丿(2+x ) dx+ / ,2(4・x)dx,然后根曾定枳分的定义先求岀被枳函数的原函数，於后求解即可.解苔：丄，解：J 22f ( x ) dx= J -22 ( 3 - |x -1|) dx= f 2 ( 2+x ) dx+ f i 2 ( 4 - x ) dx= ( 2x+ 2x 2) | 丄2'+ ( 4x- 2X 2) h 2=7故选A.fii?：本趣壬要考查了定积分，定枳分运第是求导的逆运算，同时考査了转化与划IH 的思想，属于SMg. 14. 枳分 -aVa 2 ~ x 2<ix考点：定枳分的简单应用;定枳分.501974 专題：计算臥分析：J 2 _―2本蝕利用定枳分的几何意艾it 算定枳分，即求被枳因数x 与x 轴所围成的图形的面枳,围成的图象是半个亂解苔：r a A / 2 -― A V解：禺稠定枳分的几何意艾，则」-aVa x dx 表示岡心在原点，半径为3的岡的上半同的面枳，故J 爲需F 嗨"3兮兀/ 故选B.fiih 本小題主要考查定枳分、定枳分的几何意义、岡的面枳等基罐知识，考查考査数形结合思亂属于基妣題・15. 巳知因数1一齢1,0<x<l 的图象与x 轴所围成图形的面枳为（）A. 1/2B. 1C. 2D. 3/2考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专題：廿算题.分析：根据几何图形用定枳分表示岀所围成的封闻图形的面枳，求岀函数f （x ）的枳分，求岀所求即可.D.解 i J 彳（-x+1） d x+ J °JT cosxdx解：由題意图象与X轴所围戒图形的面枳为一厅=(・ 2* +x ) |0'+sinx 21=2+1=2点评：本題考査定枳分在求面枳中的应用，求解的关邃是正确利用定枳分的运算规则求岀定枳分的值，本题易因力对两个知识直不熟悉公述用猜而导致錯误，牢固拿捋好基隅知识很車雯.3兀16. 由因数y=cosx（0wxw2ii）的图象与頁线“巳及yT两围成的一个齐闭图形的而枳是（）A. 4B. 3兀-C.兀 *D. °考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专題:计算题.分: 丫』由题意可知函数*COSX(0WXW2TI)的图象与頁线"2及y卄围成的一个封囲图竺9形可利用定枳分进｛亍廿算，只要求门(1-cosx ) dx I!P nJ.然后根据枳分的运算公式进行求解即可.解答：__3兀解：由函数0cosx(owxw2ii )的图象与IS X=^~g y=1 围成的一个封用图形的面枳，3打3尺2 9就是：f c (1 - cosx ) dx= ( x - sinx ) |cSih本题考査余弦因数的图象，定枳分，考查廿算能力，解題的关进是两挟封冈图形的面枳之和规是上跚頁接枳分騷去下跚枳分.17. 曲Sy=x3在点(1, 1) ft的幼找与x轴员直线xT所围成的三角形的而枳为( )A. 1B. 1C. 1D. 112 6 3 2考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分析：徹帝所围应的三角形的ffiR,先求出在点(1, 1)处的幼找方棺，只须求岀貝斜率的值即可，故娶利用导数求出在XT 处的导函数值，再结合导数的几何恿义RP可求岀幼缆的料率，从而冋題解决.解苔：解：*,••y/x2,当XT时,y=3得tn线的斜率为3,所a k=3；所以曲裁在点(1,1)处的切找方f?力：y - 1=3x ( x -1 ),即3x - y - 2=0.2令y=O 得：X=3,・・・幼线与X轴、1«X=1 01围应的三角形的面枳为:2 Z 丄S=2x（1-3）x1=6故选B.自评：本小題壬要考查頁找的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上杲方样等基雷知识,属于基《|题.考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分ffi： U图象中知施掏找与頁线的交点坐标分别为（2,・2）, （8, 4）. 11 （2.・2）作x 轴的垂找把阴影甜分分为Si, S2两部分，利用定枳分的方法分别求出它*的面枳并相m即可得到阴影部分的面枳.解答：解：从图象中知擅物线与頁找的交找坐标分别为（2,・2）, （8, 4）.过（2, -2）作X轴的垂找把明黔册分分为&, S2两部分，分别求出它们的面枳A- A2：Al= j 02[V^ -（-伍）]dx=2 M'您dx=328A2= J 28[V2^- （x-4）]dx= 316 38Bi以阴静部分的面枳A=A,+A2= 3 3=18故选B.自评：本題考査定枳分在求面枳中的应用，解題是要连意分割，关樂是iiig在x轴下方的部分枳分为负（枳分的几阿恿义强関代数和），属干基陶题・考查学生利用定枳分求阴影面枳的方法的能力.19.如图中阴影跚分的面枳是（）A. 2V3 C. 32 D. 35考定枳分在求而枳屮的应用.501974& :专it算題.Si：分求阴影跚分的面枳，先要对阴影部分逍行分留到三个象限，分别对三跚分进行枳分求和ffi： I®可.解解：I y=2x与擅胸裁y=3・x2解得交点为（・3,・6）和（1, 2）§： M^Sy=3・x2与x轴负半轴交点（■循，0）设阴影部分面枳为s is二冗（3-X2-2X） d x+ J 1 苗（3- /）d x - ； °32xd x+ （3- x2） d —■|+2V5+9 - 2A/332 =3两以阴影部分的面枳为3,故选c.&本題考査定枳分在求而枳屮的应用，解题是要诜意分割，关扯是iilg在X轴下方的部评：分枳分为负（枳分的几何意义强调代数和），属干星础题・考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分桥:先禺据题恿酉出区域，然后依齬图形得到枳分下限为0,枳分上限力4 t U而利用定枳分表示出曲边梯形的面枳,量后用定枳分的定义求出Bi求即可.得到枳分上限为4 ,枳分下限力07T . x JT x 7T 3 兀・f兀、---- ui ri I v —----------------- J ----------- ui m I v — --------- J2-—2 -2^2・・・围成的而枳是 2Sih 本題主要考査了学生会求岀原函数的能力,UK 考查了数形结合的思想，冋时会利用定枳分求图形面枳的能力，解题的关进就是求原因数.k21.如图，P (3a, a)是反比网函y=x( k> 0 )与00的一个交点，图中明影册分的面枳为10n,囲反比例因数的解桥衣为(考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专题：计算題；数形结台. 分林：2根齬岡的对称性以及反比例函数的对怖性可得，阴影部分的面枳等干圆的面枳的4, 囿可求得阖的半径，再ffifiP 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可来得k 的值.解答：辭：设冏的半径是「，根齬圆的对称性以及反比侧函数的对林11可得：丄4nr 2=10n解得:r=2V10.k••点 P(3a, a)是gltN 函 y =^(k>0)与G>0 的一个交点.3a 2=k 討(3&)2 + 界=「 _L_:.a 2= 1 Ox ( 2^/10 ) 2=4.B. 10y-C. 12 y=xD. 27 y~y=xk=3x4=12,12则反比例函数的解桥衣是:y= «. 故选c.贞评:本S££考査反比傅函数图象的对称性的知识戌,解决本題的关谡是科用反比例函数的对称牧得到阴影部分与團之间的关系.。

定积分的概念与微积分基本定理-巩固练习

定积分的概念与微积分基本定理【巩固练习】一、选择题1．下列等于1的定积分是（）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰10212．()sin d 'bax x =⎰（）A ．sin xB ．―cos xC ．cos b―sin aD ．0 3．已知)(x f 为偶函数且8)(6=⎰dx x f ，则=⎰-66)(dx x f （）A ．0B ．4C ．8D ．164．设2,0()2,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则11()d f x x -⎰的值是（）A ．121d x x -⎰B ．112d x x -⎰C ．121d 2d x x x x -+⎰⎰ D ．01212d d x x x x -+⎰⎰5．在求由()x a x b a b ==，＜，()[()0]y f x f x =≥及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b]上等间隔地插入n―1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是（）①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．12|4|d xx -⎰=（）A ．103 B ．113 C ．123 D ．1337．定积分=---⎰dx x x 12))1(1(（）A ．42-π B ．12-πC ．41-π D ．21-π二、填空题 8．若1(2)d 2x k x +=⎰，则k=________．9．1⎰= .10．．若20cos d 1x x π=⎰，则由x=0，x=π，()sin f x x =及x 轴围成的图形的面积为________．11．设函数2()(0)f x ax c a =+≠．若100()d ()f x x f x =⎰，001x ≤≤，则x 0的值为________．三、解答题12．比较520sin d x x π⎰与20sin d x x π⎰的大小．13．设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求11()d f x x -⎰．14．已知1220()(2)d f a ax a x x =-⎰，求()f a 的最大值．15．已知()f x 是一次函数，其图象过点（1，4），且1()d 1f x x =⎰，求()f x 的解析式．【答案与解析】 1．【答案】C【解析】可以通过计算，也可以根据定积分的几何意义得到答案C 2．【答案】D 【解析】 ∵sin d cos cos cos bba ax x x a b =-=-⎰为实常数，所以()sin d '0b ax x =⎰．3．【答案】D【解析】)(x f 为偶函数，则666()2()16f x dx f x dx -==⎰⎰4．【答案】D【解析】分段函数的定积分问题，必须分段求．101012111()d =()d +()d =2d d x f x x f x x f x x x x x ---+⎰⎰⎰⎰⎰．5．【答案】D【解析】分段函数的定积分问题，必须分段求． 6．【答案】B【解析】 ∵111223000111|4|d (4)d 433x x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰．7．【答案】D【解析】⎰中的被积函数1)y x =≤≤恰是一个位于x 轴上方的半圆，其面积为2π，故2π=⎰，又1012xdx =⎰∴=---⎰dx x x 102))1(1(21-π8．【答案】1 【解析】 ∵112(2)d ()1x k x xkx k +=+=+⎰，∴1+k=2，则k=1．9．【答案】32ln4+ 【解析】原式=114222141(4)(22ln )32ln 41x xdx x x x x -++=++=+⎰10．【答案】2【解析】由正弦函数与余弦函数的图象，知()sin f x x =，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积等于()cos g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍，所以0sin d 2S x x π==⎰．11．【答案】03x = 【解析】12200()d ax c x ax c +=+⎰，∴23a ax =． ∵a≠0，∴2013x =．又0≤x 0≤1，∴03x =．12．【解析】∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0≤sin x ≤1， ∴sin 5x ≤sin x 。

2020年高考数学考点15 定积分与微积分基本定理必刷题理(含解析)

21．若，则的展开式中常数项为______．
【答案】
【解析】
因为；
所以的展开式的通项公式为:
，
令，则，所以常数项为。
故答案为．
22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组，解得或，
所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：
。
23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为，
所以所求概率为，选A。
7．已知，则多项式的展开式中的系数为( )
故选：B．
14．二次函数的图象如图所示，则定积分（）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数的零点为1，2
即方程的根为1,2坐标原点作曲线的切线 ,则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，137[答案] A [解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1[答案] B[解析] ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F (x )＝⎠⎛0x φ(t )d t 的导数F ′(x )＝φ(x )．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)[答案] D[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC＝22π＝1π. 9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.12[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13. 二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得， 4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

1定积分与微积分基本定理理含答案版

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40 [解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

大学数学期末复习专题：微积分问题经典例题解析

大学数学期末复习专题：微积分问题经典例题解析微积分作为数学的一个重要分支，是大学数学课程中的核心内容之一。

在期末复中，重点理解和掌握微积分的经典例题是非常重要的。

本文将对一些微积分经典例题进行解析，帮助同学们加深对这些题目的理解。

1.定积分问题例题1：已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上的定积分 $\int_0^2 f(x) dx$。

解析通过积分的定义，我们可以得到：int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0)$$其中 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数。

根据函数的求导规则，求得 $F(x)$ 的表达式为：F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C$$将 $x$ 的取值代入 $F(x)$ 中，我们可得：F(2) - F(0) = (4 - 8 + 2 + C) - (0 - 0 + 0 + C) = -2$$所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上的定积分为 $-2$。

例题2：已知函数 $f(x) = \sqrt{x+1}$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.3]$ 上的定积分 $\int_0^3 f(x) dx$。

解析首先，我们可以直接计算函数 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 如下：F(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C$$将 $x$ 的取值代入 $F(x)$，可得：F(3) - F(0) = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1)$$经过计算，得出定积分 $\int_0^3 f(x) dx$ 的值为$\frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1)$。

2.导数和极值问题例题3：已知函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$，求函数 $f(x)$ 的极值点和极值。

微积分公式与定积分计算练习

x(1) (2)微积分公式与定积分计算练习 (附加三角函数公式)、基本导数公式⑶ sin x = cosxsecx = secx tan xcscx = - cscx cot xcosx = -sin x2 ⑸ tanx 二 sec x2⑹ cot X i ；一 CSCXx x e =e ⑽『F |na(11)In x Jx (12) arcs in x二(13)1 _x2 arccosx 二-(14)1 _x 2(15) ‘ 1arcta n x 21 +x・ 1arccot x(16)1 x 2(17)X 1(18)12. x二、导数的四则运算法则 u u v 「uvuv = u v uvv 2三、高阶导数的运算法则 (1)|l u X —V X " =U X " —V X "(2)[cu (x )F )=cu (n X x )u (ax +b )=a n u(n *ax +b )(3)- (4))F )=£ c ；u (n p xv (k )(x )k=0四、基本初等函数的 n 阶导数公式 ax "bn二 a x|n naDosgx +b )丫)=a n cos' ax +b + n ?五、微分公式与微分运算法则2d cosx - -sin xdx ⑸ d tan x \-sec xdx1d In x = — dx (11) x1 d arcta nx2dx (15)1 x1 d arccot x2dx(16)1 x六、微分运算法则 ⑴ d u _v 二 du _ dvvdu 「udvd uv i ；二vdu udv⑶ 七、基本积分公式sin ax b= a n sin ax b n -I2 J1一lax +b j⑹ 卯n ■,n a n!=-1nr(ax +b )In ax b l'二⑺n 」a (n —1学 (-1) ' 'nax bd c =0⑶ d sin x j=cosxdxd secx =secx tanxdx⑻ d cscx 二-cscx cot xdxd log a x- dx (12) xl na(13)1d (arcs in x )= ,—dx (1 -x 21 d arccosx ：- - --------- = dx(14)亠 X 2⑴ kdx* c x'dx 二 x⑵xa x dx - c ⑷ In a e x dx =e x c ⑹.cosxdxfx c⑺sinxdx 一cosx c1 2 厂 dx 二 sec xdx 二 tan x c ⑻cos x2⑹ d cotx - - csc xdxd e x i=e x dx⑽ d a x 二 a x l nadx⑵ d cu 二 cdu2=csc xdx = - cot x c12 dx = arctan x c⑽T • xdx 二 arcs in x c八、补充积分公式ftanxdx = —In cosx +cJsecxdx = In secx + tanx +c Jcotxdx = In sinx +c Jcscxdx = In cscx - cot x + c1 , 1 x 二2 dx arcta n c a x a a(11)—dx*rcsin x c ,a 2-x 2a, , .^2 2 dx = In x x ±adx 二丄In十、分部积分法公式⑵形如arctanxdx，令u=arctanx, dv=x n dx形如X1 nxdx，令U = |nx , dv=x n dx⑶形如Qsinxdx，貴cosxdx令U宀in x’cosx均可。

定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结

定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121ii ax x x x x n x b 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n i i S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af n ξ=-∑，当x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限．需要注意以下几点：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()b af x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()b af x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质1 1ba dxb a =-⎰.性质2 ()()(0)b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）.性质3 1212[()()]()()b b ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰推广2 121()()()()kb c c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，或记为()()ba bf x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型1 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．例计算()12-1sin x x dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1 ()421dx x=⎰ A.-2ln 2 B. 2ln 2 C.-ln2 D. ln 2变式2 ()1(2)x e x dx +=⎰B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()100001f x dx f x x =≤≤⎰，则0x 的值为．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（）A.2ln 22+B. 2ln 21-C.2ln2D. 2ln 21+ 例根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰；（2）1-⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()4020x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．（1）()402x dx +⎰；（2）024x dx --⎰；（3）100sin xdx π⎰；（4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．例由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（） A.112 B.14 C.13 D.712解析由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ．变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（） A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题 1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（）A. -2B.163- D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π-3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b <<5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（）A,１ B. ２ C.21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（）A,12 B.１ C.33 7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为．8.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()22|1x |dx --=⎰ ．1-y xO图3-161110.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰；（２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；（３）11dx ⎰；（４）20cos 2x dx π⎰；（５）20cos 2cos sin x dx x xπ-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。

微积分题型总结

微积分题型总结微积分题型总结第一部分函数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。

特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②分段函数是一个函数而不是几个函数。

求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合）主要根据： ①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量1≤x定义域的定义域。

求函数例的定义域。

求函数例的 2x-1x2=y 3例yx 4)2y x (ln 2122+----=x x y例4 x x x y arccos )3ln(2++=在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。

3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。

4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。

指出xey 1arctansin =的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义。

注意分段函数不是初等函数。

二、典型例题类型题1、求函数定义域例1 求函数)1lg(4)(--=x x x f 的定义域. 解要使函数表达式有意义，x 要满足：⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x所以函数的定义域为（1，2）（2，4］. 例2 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解函数f(x)的定义域是[0，2].小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。

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