2017-2018学年高中数学 复习课(二)统计教学案 苏教版必修3

复习课(二) 统计抽样方法高考对抽样方法的考查主要是基础题，难度不大．系统抽样和分层抽样是考查的热点，考查形式以填空题为主．[考点精要]1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取．②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法．②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3.分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．[典例](1)(山东高考改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．(2)(江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为______．[解析] (1)抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939，落入区间[451,750]的有459,489，…，729共10人，即做B 卷的有10人．(2)设应从高二年级抽取x 名学生，则x 50＝310，∴x ＝15.(3)该地区中小学生人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取高中生近视眼人数为2 000×2%×50%＝20. [答案] (1)10 (2)15 (3)200,20 [类题通法](1)系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn 不是整数时，注意剔除．(2)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的．[题组训练]1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为________．解析：根据系统抽样的特点可知，分段间隔为1 00040＝25.答案：252．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．解析：抽样比为40150＋150＋400＋300＝4100.因此丙专业应抽取4100×400＝16(人)．答案：163．(北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为______.解析：设该样本中老年教师人数为x ，则有x 900＝3201 600，故x ＝180.答案：180高考对各种统计图表的考查主要是基础题，频率分布条形图和直方图是考查的热点，但也要注意关注茎叶图。

江苏考卷在这一部分的考查形式主要是填空题，解决这部分考题，关键要掌握各类图表构成的要件及意义．[考点精要]1．频率分布表的特点(1)表中所有频数之和等于样本容量． (2)表中所有频率之和为1. (3)各小组的频率＝各小组的频数样本容量.2．频率分布直方图特点(1)纵轴上的点表示频率除以组距．(2)每一个小矩形面积等于这一小组的频率． (3)所有小矩形面积之和为1. 3．茎叶图(1)所有信息都可以从图中得到． (2)同一组数据中的相同数据要一一列出．[典例] (1)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率是____________．统计图表的识读(2)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________.(3)(全国卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图．给出下列结论①逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著；②2007年我国治理二氧化硫排放显现成效；③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势．其中正确结论的序号为________．[解析](1)由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－50.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为22,22,27,29共4个，[答案](1)0.45(2)0.4(3)①②③[类题通法](1)解决该类问题时，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键．(2)各种统计图表的构成要熟悉；条形图和直方图不要混淆．[题组训练]1．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，得x＝0.004 4.(2)数据落在[100,250)内的频率可求得为0.7，∴月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4(2)702．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析：周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，故符合要求的树木有(0.15＋0.25)×60＝24.答案：243．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，则购物的人数在[30,35)上的班数有________个.解析：在[30,35)中有30,33,34共3个． 答案：3样本的数字特征也是各类考试的重点内容之一：其中方差及平均数是考查的热点，但也要适当关注众数、中位数等．江苏考卷这一部分内容都考基础题，难度不大，考查形式以填空题为主，处理时首先要熟记相关公式及相关特征数的作用，其次要注意运算的准确性．(2)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝______.样本的数字特征(3)(安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．[解析] (1)由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20＋202＝20.(2)由题意知：x －甲＝15(6＋7＋7＋8＋7)＝7，x －乙＝15(6＋7＋6＋7＋9)＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋(8－7)2]＝25，s 2乙＝15[(6－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2]＝65，∵25＜65，∴s 2＝25. (3)由样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差s ＝8，得s 2＝64，故数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.[答案] (1)20 (2)25(3)16[题组训练]1．(广东高考)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n＝5， 则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n n ＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.答案：112．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该数据的方差s 2＝________.解析：x ＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165.答案：1653．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则x 甲________x 乙，m 甲________m 乙(填“>”“<”).解析：可求x甲＝34516，x 乙＝45716，∴x 甲<x 乙，又可求m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲<m 乙． 答案：< <1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________．解析：由系统抽样的特点知，从号码003开始每间隔60050＝12人抽出1个， 设抽出的第n 个号码为a n ，则a n ＝3＋12(n －1)，n ∈N *， 由a n ≤300知n ≤25； 由a n ≤495知n ≤42，所以第一营区被抽取的人数为25，第二营区被抽取的人数为42－25＝17，第三营区被抽取的人数为50－42＝8.答案：25,17,82．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析：抽样比为624＝14，∴丙组中应抽取城市数为8×14＝2.答案：23．从总体中抽取的样本数据共有m 个a ，n 个b ，p 个c ，则总体的平均数x 的估计值为________．解析：因为总体平均数x 的估计值就是样本平均数，故x ＝ma ＋nb ＋pcm ＋n ＋p .答案：ma ＋nb ＋pcm ＋n ＋p4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a －b ＝________.解析：由茎叶图可知，a ＝19，b ＝11，∴a －b ＝8.答案：85．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是______________.解析：由茎叶图知中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.答案：46,45,566．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析：低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班学生人数是150.3＝50.答案：507．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为________，________.解析：∵中位数为5，∴5＝4＋x2，∴x ＝6.x ＝－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5，s 2＝16∑i ＝16 (x i －x )2＝16[(5＋1)2＋(5－0)2＋(5－4)2＋(5－6)2＋(5－7)2＋(5－14)2]＝2423.答案：5 24238．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二________．50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是________(填序号)．①众数 ②平均数 ③中位数 ④标准差解析：对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．答案：④10．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)解析：设x1≤x2≤x3≤x4，根据已知条件得到x1＋x2＋x3＋x4＝8，且x2＋x3＝4，所以x1＋x4＝4，又因为14[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2]＝1，所以(x1－2)2＋(x2－2)2＝2，又因为x1，x2，x3，x4是正整数，所以(x1－2)2＝(x2－2)2＝1，所以x1＝1，x2＝1，x3＝3，x4＝3.答案：1,1,3,311．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．解：(1)由已知可设每组的频率为2x,4x,17x,15x,9x,3x.则2x＋4x＋17x＋15x＋9x＋3x＝1，解得x＝0.02.则第二小组的频率为0.02×4＝0.08，样本容量为12÷0.08＝150.(2)次数在110次以上(含110次)的频率和为17×0.02＋15×0.02＋9×0.02＋3×0.02＝0.88.则高一学生的达标率约为0.88×100%＝88%.(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第四组．因为中位数为平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．12．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13， x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．13．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x ，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，可得x ＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．14．某种产品的广告支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应关系(1)假定y 与x (2)若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？解：(1)x ＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5， y ＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50， 5i ＝1x 2i ＝22＋42＋52＋62＋82＝145. 5i ＝1x i y i ＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380. ∴b ＝5i ＝1x i y i －5x y 5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －bx －＝50－6.5×5＝17.5，∴线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(2)由线性回归方程得y ^≥60，即6.5x ＋17.5≥60，∴x ≥8513≈6.54， ∴广告费用支出应不少于6.54百万元．。