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一元二次方程及二次函数知识点

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二次函数与一元二次方程(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)

二次函数与一元二次方程(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)

二次函数与一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记知识点一 利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数判别式 Δ＝b 2－ 4ac二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)图象图象与x 轴 的交点个数根的情况Δ>0a >0与x 轴有 2个交点有两个不相等的实数根a <0Δ＝0a >0与x 轴有 1个交点有两个相等的 实数根a <0Δ<0a >00个交点没有实数根a <0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．考点☀梳理解题指导：①确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋k ＝0的根的情况，可以利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－k 的图象的交点情况进行判断．②用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：(1)画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； (2)由图象交点的位置确定交点横坐标的范围； (3)估计方程的近似根．考点1：二次函数与一元二次方程的关系必备知识点：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．题型1 图形法确定一元二次方程的近似根例1．（2022·全国·九年级专题练习）下表是若干组二次函数25y x x c =-+的自变量x 与函数值y 的对应值： x …1.31.41.51.61.7…y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x 2﹣5x +c ＝0的一个近似根（精确到0.1）是（ ）A ．3.4 B ．3.5 C ．3.6 D ．3.7【答案】B【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由25y x x c =-+的对称轴为x =52得到方程250x x c -+=的另一个近似根（精确到0.1）是3.5【详解】解：∵二次函数25y x x c =-+， ∵对称轴为直线x ＝52，观察表格得：方程250x x c -+=的一个近似根（精确到0.1）是1.5， ∵另一个近似根m 满足 1.52m +＝52， ∵m ＝3.5， 故选：B.【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．＝ax 2+bx +c 的图象，并求得一个近似根为x ＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（ ）（精确到0.1）A ．x ＝4.3B ．x ＝3.3C ．x ＝2.3D ．x ＝1.3【答案】C【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1， ∵另一个交点坐标为：（2.3，0）， 则方程的另一个近似根为x ＝2.3，故选：C ．【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键．练习1．（2022·全国·九年级专题练习）根据表格中二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程 ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（ ）x 00.5 1 1.5 2 y ＝ax 2+bx +c 1-0.5-13.57A ．0＜x ＜0.5B ．0.5＜x ＜1C ．1＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2【答案】B【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【详解】解：观察表格可知：当x =0.5时，y =-0.5；当x =1时，y =1， ∵方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是0.5＜x ＜1． 故选：B ．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．练习2．（2022.浙江湖州.九年级期末）在二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（ ） x (1)1.11.2 1.3 1.4 … y …-1-0.490.040.591.16…A ．1＜x ＜1.1B ．1.1＜x ＜1.2C ．1.2＜x ＜1.3D ．1.3＜x ＜1.4【答案】B【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y =0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x ＝1.1时，y ＝－0.49. 当x ＝1.2时，y ＝0.04于是可得，当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为1.1＜x ＜1.2 故选B【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时自变量的取值即可．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）如表，是二次函数()y f x =的自变量x 与函数值y 的几组对应值．那么方程()0f x =的一个近似解是（ ）x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1.49-1-0.490.040.591.16A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3【答案】C【分析】由表格可得抛物线与x 轴的一个交点在(1.1,0)和(1.2,0)之间且距离(1.2,0)较近，进而求解． 【详解】解：由表格可得 1.1x =时，0y <， 1.2x =时，0y >，()0f x ∴=的一个解在1.1与1.2之间， |0.49|0.04>，()0f x ∴=的一个近似解是1.2，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．练习4．（2022·江苏·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程2350x x +-=的正数解在（ ）x－1 0 1 2 3 425x x +- －7 －5 －1 5 13 23A ．－1和0之间B ．0和1之间C ．1和2之间D ．2和3之间【答案】C【分析】令y =x 2＋3x －5根据x =﹣1和x =5时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：令y =x 2＋3x －5， 当1x =时，10y =-<， 当2x =时，50y =>，∴x 2＋3x －5=0的一个正数x 的取值范围为1＜x ＜2，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键． 例1．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()0,5-D ．()0,5【答案】B【分析】把x ＝0代入253y x x =-+-求得y 的值，即可得到答案． 【详解】解：∵当x ＝0时，253y x x =-+-＝﹣3， ∵抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）．故选：B例2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．函数图象与x 轴交点坐标为_____，与y 轴的交点坐标为__________；【答案】 （5，0），（1，0） （0，5）【分析】利用y =0解方程得到图象与轴的交点，利用x =0求图象与y 轴的交点即可． 【详解】把y ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得0＝x 2﹣6x +5， 解得x 1＝5，x 2＝1，∵抛物线与x 轴交点坐标为（5，0），（1，0）， 把x ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得y ＝5， ∵抛物线与y 轴交点坐标为（0，5）， 故答案为：（5，0），（1，0）；（0，5）．【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，正确掌握计算方法是解题的关键．练习1．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线y ＝23x +4x +2与x 轴的交点个数是_____． 【答案】0【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵Δ=24-4×3×2=-8＜0， ∵抛物线与x 轴没有交点． 故答案为：0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题关键是把求二次函数y =2ax +bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程的根的判别式的应用进行解决． 练习2．（2022·浙江温州·九年级期中）已知二次函数1y x k =--+的图象过点0,3．(1)求该二次函数的表达式．(2)求该二次函数图象与x 轴的交点坐标． 【答案】(1)()214y x =--+ (2)()1,0-，()3,0【分析】（1）把点()0,3代入函数解析式，求出k 的值即可得到函数表达式； （2）取y ＝0，得到()2140x --+=，求出x 的值，即可得到答案． （1）解：把()0,3代入()21y x k =--+得：()2013k --+=，解得：4k =，∵该二次函数的表达式是()214y x =--+； （2）当0y =时，()2140x --+=， 解得：11x =-或23x =，∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标是()1,0-，()3,0．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象与x 轴的交点等知识，熟练掌握方法是解题的关键．练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数223y ax x ++＝的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式和点B 的坐标； (2)直接写出y 的最大值为 .【答案】(1)2y x 2x 3=-++；B （3，0）； (2)4【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令y ＝0，解一元二次方程即可求得点B 的坐标； （2）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案． （1）∵抛物线223y ax x ++＝经过点A （﹣1，0）， ∵a ﹣2+3＝0， 解得：a ＝﹣1，∵二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++， 令y ＝0，得2230x x -++=， 解得：13x =，21x =- ∵B （3，0）； （2）∵()222314y x x x =-++=--+， ∵当x ＝1时，4y =最大值． 故答案为：4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x 轴交点坐标，二次函数最值等，难度较小，是常见的基础题．练习4．（2021·江西上饶·九年级阶段练习）如图，抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式； (2)求∵BOC 的面积． 【答案】(1)223y x x --+＝ (2)92【分析】（1）根据抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），即可得到关于a 、b 的方程，从而可以求得a 、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C 的坐标，然后再根据点B 的坐标，即可得到OC 和OB 的长，再根据三角形面积公式，即可求得∵BOC 的面积． （1）解：∵抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∵309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=-⎩，∵抛物线的解析式为223y x x --+＝． （2）解：由（1）知，223y x x --+＝，∵点C 的坐标为（0，3）， ∵OC ＝3，∵点B 的坐标为（﹣3，0）， ∵OB ＝3， ∵∵BOC ＝90°， ∵∵BOC 的面积是2OB OC ⋅＝33922⨯=． 【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 例1．（2022·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a ，b }＝(),().a a b b a b ⎧≤⎨>⎩若函数y ＝min{x ＋1，223x x -++ }，则该函数的最大值为___________.【答案】3【分析】根据定义画出函数图象，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【详解】解：依题意，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++， 联立直线与抛物线方程得2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，∵直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3）， 如图，∵x ≤-1时，y =223x x -++，函数最大值为y =0，-1＜x ≤2时，y =x +1，函数最大值为y =3， 当x ＞2时，y =223x x -++，y ＜3， ∵x =2时，函数取最大值为3， 故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 例2．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线223y x x =-，当1y =-时，自变量的值为_________． 【答案】1或12【分析】把y =1代入解析式中得到关于x 的方程，解方程即可 【详解】解：223y x x =-， 当1y =-时，2231x x -=-， 解得11x =，212x =， 故答案为：1或12．【点睛】本题考查函数值以及自变量，解题的关键是掌握函数值的计算方法．练习．（全国八年级课时练习）已知，当时，的值为；当时，y 的值等于9． 【答案】 3 0或6【分析】令y =0即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可；令y =9即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可．【详解】解：∵y =x 2-6x +9中的值为0， ∵令x 2-6x +9=0，解得x =3； ∵y =x 2-6x +9中的值为9， ∵令x 2-6x +9=9，即x 2-6x =0， 解得1206x x ==，． 故答案为：3；0或6．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x 的元二次方程，求出x 的值是解答此题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且点、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．【答案】2【分析】设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜，求出点P （m ，-（m -1）2），由抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形，建立方程｜x 2-x 1｜=2（m -1）2，根据根与系数关系可求得m 值． 【详解】解：设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜， 令y =0得22210x mx m -+-=，∵x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m -1，则｜x 2-x 1｜2=4m 2-8m +4=4（m -1）2，由抛物线2221y x mx m =-+-=（x -m ）2－（m -1）2得顶点坐标为P （m ，-（m -1）2）， 抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形， ∵｜x 2-x 1｜=2（m -1）2， 即4（m -1）2=4（m -1）4， 解得：m =2或m =0或m =1，∵抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧， ∵2m ＞0且m ≠1且2m -1＞0，即m ＞12且m ≠1， ∵m =2， 故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．意创造非凡、探索未来．某商店准备用2400元购进一批冰墩墩钥匙扣出售．假如每个钥匙扣的进价降低20%，则可以多买50个．(1)求每个冰墩墩钥匙扣的进价；(2)市场调查发现：当每个冰墩墩钥匙扣的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．设每个冰墩墩钥匙扣的售价是x 元（x 是大于20的正整数），每周总利润是w 元． ①求w 与x 的函数关系，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩钥匙扣的售价． 【答案】(1)每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元(2)①2105204800w x x =-+-，最大值为1960元；②每个冰墩墩钥匙扣的售价为24元或25元或26元或27元或28元【分析】（1）设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，根据题意列出分式方程，进而计算求解即可；（2）①根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最大利润即可；②根据题意列出方程，根据二次函数的性质求得x 的范围，根据题意取整数解即可．(1)设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，由题意得：()2400240050120%x x +=-，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解且符合题意，答：每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元；(2)①()()122001020w x x =---⎡⎤⎣⎦2105204800x x =-+-()210261960x =--+ ∵0a <且x 是大于20的正整数∵当26x =时，w 有最大值，最大值为1960元②由题意得，21052048001870x x -+-=，解得23x =或29∵抛物线开口向下，x 是大于20的正整数∵当2329x <<时，每周总利润大于1870元，∵售价为24元或25元或26元或27元或28元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程或关系式是解题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，已知二次函数的图象经过点．(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)点(,)Q m n 在该二次函数图象上；①当11n =时，求m 的值，②当m ＜x ＜m -3时，该二次函数有最小值2，请直接写出m 的取值范围． 【答案】(1)2a =；()1,2-(2)①4m =-或2；②41m -<-【分析】（1）将点P 的坐标代入二次函数解析式可得关于a 的方程，再解方程即可得出a 的值．将二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标；（2）①将点Q 的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m 的值；②根据当1x =-时，二次函数取最小值为2，得出13m m -≤+＜，解关于m 的不等式组即可．（1）解：∵二次函数21y x ax a =+++的图象经过点()2,3P -，∵()()23221a a =-+⨯-++．解得：a =2；∵二次函数的解析式为()222312y x x x =++=++．∵图象的顶点坐标是()1,2-．（2）①∵点(),Q m n 在该二次函数图象上，且n =11，∵21123m m =++．解得14m =-，22m =，∵m 的值为-4或2；②∵二次函数()222312y x x x =++=++的最小值为2，∵13m m -≤+＜，解得：41m -≤-＜，∵m 的取值范围是41m -≤-＜．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，能够正确应用数形结合思想是解题关键．题型4 根据二次函数系数求对应方程根的情况或与x 轴交点情况例1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(2,4)A -，(1,1)B ，则方程2ax bx c =+的解是________________.【答案】12x =-，21x =【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为2ax bx c =+的解：12x =-，21x =.【详解】解：抛物线 2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为 ()2,4A - ， ()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩ ，2211x y =⎧⎨=⎩ ， 即关于x 的方程 20ax bx c --=的解为12x =-，21x =，所以方程2ax bx c =+ 的解是 12x =-，21x =，故答案为： 12x =-，21x =．【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题．例2．（2022·福建南平·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，若点P 的坐标为()4,0，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为__________．【答案】124,2x x ==-【分析】根据函数的对称轴和点P 的坐标可以得出与x 轴的另一交点坐标，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为x ＝1，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，坐标为（4，0），∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（−2，0），∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为：124,2x x ==-．故答案为：124,2x x ==-．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用．练习1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线2y x bx c =++的部分图像如图所示，则方程20x bx c ++=的解是___________【答案】11x =-或23x =【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程20x bx c ++=的解．【详解】解：由图像可知抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线1x =，设抛物线与x 轴的另一个交点为2(,0)x ，则2112x -+=， 解得：23x =．∵方程20x bx c ++=的解为11x =-或23x =．故答案为：11x =-或23x =【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x 轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．练习2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线25y kx k =-+与它有三个公共点时，则k 值为______．【答案】222-+或53【分析】先确定A 、B 、C 三点坐标，y =kx -2k +5=k （x -2）+5，可得直线经过定点（2，5）画出图形，分别找到两个极限位置，求出k 的值．【详解】解：∵223y x x =--∵当y =0时，解得x =-1或x =3；当x =0时，解得y =3∵A （-1,0），B （3,0），C （0，3）∵y =kx -2k +5=k （x -2）+5∵直线25y kx k =-+必过定点（2，5）要使直线y =kx -2k +5与图像有三个公共点，则可得到如图所示的两个极限位置，①直线经过A 、N ，此时将点A （-1，0）代入可得：0=-k -2k +5，解得：k =53②直线经过点N 与抛物线相切时，由题意可得：22325x x kx k -++=-+整理得：2(2)220x k x k +--+=2(2)4(22)0k k ∆=---+=，解得222k =-±由图像可知，k ＞0，则222k =-+综上可知，25y kx k =-+与223y x x =--有三个公共点时，则k 值为222-+或53． 故答案为222-+或53．【点睛】本题主要考查了一次函数与抛物线的交点问题，根据题意找到恰好有3个公共点的位置以及数形结合思想的运用是解答本题的关键．练习3．（2020·北京房山·九年级期中）若二次函数23y kx x =--的图象与轴有交点，则k 的取值范围是_______．【答案】13k ≥-且0k ≠##k ≠0且k ≥13- 【分析】根据二次函数的定义可知0k ≠，由题意令0y =，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解．【详解】解：∵二次函数223y kx x =--的图象与x 轴有交点，令0y =，则2230kx x --=，∵4120k =+≥且0k ≠，解得13k ≥-且0k ≠． 故答案为：13k ≥-且0k ≠． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉0k ≠．练习．（全国九年级专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式2225m m -+=_____________． 【答案】15【分析】把点(,0)m 代入二次函数解析式可得25m m -=，然后问题可求解．【详解】解：把点(,0)m 代入二次函数解析式得：250m m --=，则有25m m -=，∵()222252515m m m m -+=-+=； 故答案为15．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)

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二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点

《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点

二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。

一元二次方程与二次函数必备知识点

一元二次方程与二次函数必备知识点

一元二次方程
1、根的辨别式：△=ac b 42-
（1）△＞0，有两个不相等的实数根。

（2）△=0，有两个相等的实数根。

（3）△＜0，没有实数根。

2、求根公式：a
ac b b x 242-±-=. 3、韦达定理：a b x x -=+21；a
c x x =⋅21.
二次函数
1、一般式：c bx ax y ++=2
已知三个点的坐标，带入解析式，可以求出a 、b 、c .
2、顶点式：k h x a y +-=2）
（ 将顶点坐标带入，再带入一个点的坐标，可以求出a .
3、顶点坐标（a
b 2-，a b a
c 442-） 其中，=x a
b 2-是对称轴，a b a
c 442-为最值。

4、当a ＞0时，抛物线开口向上，有最小值；当a ＜0时，抛物线开口向下，有最大值。

5、抛物线与y 轴的交点为（0，c ），交点在y 轴正半轴，c ＞0；交点在y 轴负半轴，c ＜0.
6、通过对称轴判断a 和b 的符号：对称轴在y 轴左边，a 、b 同号；对称轴在y 轴右边，a 、b 异号。

7、通过△判断抛物线与x 轴的交点个数：△＞0，与x 轴有两个交点；△=0，与x 轴有一个交点；△＜0，与x 轴没有交点。

高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结

高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结

高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结亲爱的同学们，大家好!在度过一个平安、愉快的暑假之后，我们满怀新的希望，迎来了生机勃勃的新学期！现在请跟着我，一起熟悉高一数学知识点梳理。

二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0，k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

二次函数与一元二次方程、不等式知识清单

二次函数与一元二次方程、不等式知识清单

二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0＝b2－4ac解不等式求方程f(x)＝0有两个不等的实有两个相等的实没有实数3.不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为>0<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为>0≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为<0<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为<0≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2(1)2+-＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)4a a a a---＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】（1）因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()(24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，由（1）()f x 在1(,2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，若12n ≤，显然不合题意；若12m n <≤，则3324m =，12m =，不合题意，所以12m ≥，2()33()2f m m f n n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根，3()2f x x =，即2312x x x -+=，25102x x -+=，112x =，22x =，所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当01a <<时，函数log a y x =单调递减，()21y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log a y x =单调递增，()21y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A．(－∞，8]B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞)D．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上，∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5]上为单调函数，∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C．【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⊆－b2a ，＋∞A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3-1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在0＜x≤3时，g （x）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥，实数a 的取值范围是1[,1]4【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(][),31,-∞--+∞ 【解析】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立；当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x ≤+-，又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax +≤，即21111ax ⎫≥+=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(][),31,-∞--+∞ .高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2]【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭.因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且-1,3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤;（2）若()(sin )g x f x =，求行数()g x 的值域【答案】（1）{}02x x x ≤≥或（2）()[0,4]g x ∈【解析】（1）由题意得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩14a b =-⎧∴⎨=⎩∴()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴{}02x x x ≤≥或，（2）令[]sin 1,1t x =∈-()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈∴()[]0,4g x ∈高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A 【解析】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x-+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B 则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a=+-联立252y ax a y x x =+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-=()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a <4a ∴=-()max 549b ∴=--=本题正确选项：A 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.高频考点八：二次函数的综合应用例8．（2016·上海市松江二中高三月考）设()2f x x x a x =-+(a ∈R)(1)若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2)若2a >，写出()f x 的单调区间；(3)若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t <<【解析】（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥,∴()f x 在R 上为增函数，∴()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f ==.（2）()()()222,{2,x a x x a f x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，∴()f x 在(),a +∞为增函数,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<,∴()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a+<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时，()228a a+的最大值为98,则918t <<.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围；【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠（2）52n - 【解析】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-,∴6()4(0)g x x x x=-+≠.（2）令ln x t =,∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt - 在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++ .令2641z t t =-++,1s t =,则12s - ,256412z s s =-++-,∴52n -.。

人教版九年级上册 22.2 二次函数和一元二次方程知识点及经典例题

人教版九年级上册 22.2 二次函数和一元二次方程知识点及经典例题

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个x 3-≥a例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。

3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a ca b x x x x =-=+2121，）① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x+-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+例6：若抛物线32-+=ax y x与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a③ 利用韦达定理求面积： 例7：抛物线m x y x++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ， （1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使s sABC ABD∆∆=，求点D 的坐标。

二次函数与一元二次方程知识点及经典例题(完整资料).doc

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【最新整理，下载后即可编辑】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x ②直接看方程③平移例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个x 3-≥a例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与Xx a 515-≤轴交点有（ ）个；例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根；（2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k的取什范围。

3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a c a b x x x x =-=+2121，）① 已知其中一个交点，求另一个交点：例5：若抛物线m x y x +-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）；② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+例6：若抛物线32-+=ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a③ 利用韦达定理求面积：例7：抛物线m x y x ++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使s s ABC ABD ∆∆=，求点D 的坐标。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（ ）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（ ）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（ ）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是 ．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是 ．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（ ）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（ ）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（ ）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（ ）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（ ）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 ．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是 ．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是 ．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围 ．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是 ．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是 ．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

一元二次方程与二次函数知识点总结归纳

一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

中考复习：二次函数与一元二次方程

中考复习：二次函数与一元二次方程

第15讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
命题角度： 1. 二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标， 与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系； 2. 图象上的特殊点与a，b，c的关系． 例4 [2012·重庆] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象如图15－4所示， 对称轴x＝－ .下列结论中，正确的 是( D )
第15讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)．
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1， (3，0) 0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
c＝0 c>0 c<0
第15讲┃ 考点聚焦
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均 可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
第15讲┃ 考点聚焦
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点 式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
2个
1个 没有
Δ>0
Δ＝0 Δ<0
第15讲┃ 考点聚焦
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特 征 开口向上 开口向下 对称轴为y 轴 对称轴在y 轴左侧 对称轴在y 轴右侧
a
a>0 a<0 b＝0
b

二次函数与一元二次方程题型归纳

二次函数与一元二次方程题型归纳

二次函数与一元二次方程-重难点题型二次函数的图象【题型1 抛物线与x轴的交点】【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（）A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为．【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为．【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（）A．2.18B．2.68C．﹣0.51D．2.45【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0﹣10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不等式ax2+bx+c＜3的解集为．【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：（1）a＝，b＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3B．−134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣3【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A．−254＜m＜3B．−254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A．h＞52B．0＜h≤52C．h＞2D．0＜h＜2【变式6-3】（2021•莱芜区模拟）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．1＜m＜158B．158＜m＜3C．1＜m＜3D．−18＜m＜1。

一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程重要知识点1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1）配方法：将方程整理成(x+p)2=q ，方程的根是x=-p ±q注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。

（2）公式法：2b x a -=（240b ac -≥）（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++⇒q x p x 3.一元二次方程根的判别（24b ac ∆=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a-； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式④“解”就是求出说列方程的解；⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程二次函数重要知识点1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2. 平移规律：（1）将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；（2）左加右减（h ）：x 值的变化，上加下减(k)：y 值的变化3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向(a)、对称轴(h)及顶点坐标(k)，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，4.二次函数2y ax bx c =++的性质(1)当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-． (2) 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-． 5.二次函数解析式求法(1)一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；需要三个坐标点(2) 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；顶点坐标和其他任一坐标6.二次函数的图象与各项系数之间的关系(1)a ：抛物线开口的方向（a 的正负）与大小（|a|）(2)b:在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴(2b x a=-)的位置(正负).对称轴在y 轴右侧，a 、b 符号相反；对称轴在y 轴左侧，a,b 符号相同。

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珍惜生命当天天头脑清醒， 勿忘安全须时时警钟常鸣!
亲们：回家探亲或出门旅游时要给单位、家里留下 联系电话，要尽量结伴而行；上放学的路上，要避 开危 险区域，要遵守交通规则；注意保管好自己 的贵重物品，以免丢失。！
y
0 x
一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数， ax²+bx+c=0（a 0） 未知数的最高次数是2。
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
因 式 分解法 化成A B 0 A 0或B 0
一 一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，
元
二
求 根 公式法
次 方
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
程
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
b
b
(5)增加性：当a>0,x< x的增大而增大；当a<
02,ax<时-，by随时x，的y增随大x的而增减大小而，增x>大- ，2xa时> y- 随b
时y随x的增大而减小。
2a
2a
(6)将
2a
一元二次方程根与系数的关系：当 >0时
b
x1 x2
a
一元二次方程的应用
x1
x2

c a
y=ax2+bx+c
y=a(x+
b 2a
)2+
4ac-b2 4a
对称轴： x= - b
2a
顶点坐标：（– b
2aLeabharlann ，4ac b2 4a）
(1)a确定抛物线的开口方向和形状大小：|a|越大，抛物线开口越小
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
向左或右平移h（h>0）个单位 , 向上或下平移k（k>0）个单位
得到解析式 y a(x b h)2 4ac b2 k
2a
4a
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