山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三数学下学期第三次四校联考试题 文

2016届高三年级第三次四校联考数学（文）试题命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集R U =，102x A xx⎧+⎫=≥⎨⎬-⎭⎩，}{0<=nx l x B ，则A B = A.}{12x x -≤≤ B.}{21<≤-x x C ．}{1x 2x x <-≥或 D ．}{20<<x x 2. 若2a ib i i-=+，其中,a b R ∈,i 是虚数单位，则b a +的值 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =A. 6B. 6-C. 9D. 9-4. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A. x 2y ±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±=5. 执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A. 5B. 7C. 9D. 12 6. 以下四个命题中，真命题的个数是① 若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1； ② 0=⋅是⊥的充要条件； ③ [)30,,0x x x ∀∈+∞+≥；④ 函数(1)y f x =+是奇函数，则()y f x =的图像关于(1,0)对称. A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣，若22cos sin ()cos(2)12x xf x x π⎡-⎢=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到函数()g x ，则函数()g x 解析式为A. (x)2cos 2x g =-B. (x)2sin 2x g =-C. (x)2sin(2x )6g π=-D. (x)2cos(2x )6g π=-- 8. 在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是A. 31B. 43C. 21D. 23 9. 若点P 在抛物线2x y =上，点Q （0,3），则|PQ|的最小值是A.2B.2C.310. 已知一个几何体的三图如图所示，则该几何体的体积为 A.8 B.173 C. 273D.7 11. 已知函数22(n )()n n f n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数（），且n ()(1)a f n f n =++，则=+⋅⋅⋅+++50321a a a aA.50B.60C. 70D.80 12. 若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13. 已知)1,(),1,1(),,2(s s =-==,若//，则与的夹角的余弦值为 .14. 已知变量y x ,满足2036020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最大值为 .15. 在四棱锥S ABCD -中，SA ABCD ⊥面,若四边形ABCD 为边长为2的正方形，3SA =,则此四棱锥外接球的表面积为 .16. 若定义在区间D 上的函数)(x f y =满足：对,,R M D x ∈∃∈∀使得M x f ≤)(恒成立，则称函数)(x f y =在区间D 上有界.则下列函数中有界的是： .①x y sin =；②x x y 1+=；③x y tan =；④xx xx e e e e y --+-=；⑤123+++=bx ax x y )44(≤≤-x ，其中R b a ∈,.正视图三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知223coscos 222A B b a c +=； （I ）求证：,,a c b 成等差数列；（II ）若,3C π=ABC ∆的面积为c .18.（本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（I ）求表中n, p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（II ）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，.60 =∠DAB（I ）证明：;PB AD ⊥（II ）若,3=PB 求四棱锥ABCD P -的体积.DCBA P20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，且抛物线y x 542-=的焦点是椭圆E 的一个焦点，以椭圆E 的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为6.（I ）求椭圆E 的方程;（II ）若斜率为23的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A 、,B 又点4(,2)3C ，求ABC ∆面积最大时对应的直线l 的方程.21. （本小题满分12分） 已知函数1ln )1()(2+++=x x a x f . （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）若对任意不相等的),0(,21+∞∈x x ，恒有21214)()(x x x f x f -≥-成立，求非负实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲 已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接FB ，FC . （I ）求证：FC FB =；（II ）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120=∠EAC ，33=BC ，求AD 的长.23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程; （II ）已知)2,0(),0,2(B A -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()|1||3|f x x x =--+ （I ）解不等式()2;f x >（II ）若不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范围.高三年级第三次四校联考 数 学 试 题 答 案（文）命题：忻州一中 长治二中 康杰中学 临汾一中（满分150分，考试时间为120分钟）BABCC DACBD AD13.14. 10 15. 17π 16.①④⑤三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． 17. 解（1）证明：由正弦定理得：22A B 3sin Bcos sin A os sin C 222c += 即1cos A 1cos B 3sin B sin A sin C 222++⋅+⋅= ∴sin B sin A sin Bcos A cos Bsin A 3sinC +++=……2分∴sinB sinA sin()3sinC A B +++=∴sinB sinA sinC 3sinC ++=……4分∴sinB sinA 2sinC += ∴2a b c += ……5分 ∴,,a c b 成等差数列. ……6分（2）1sinC 2S ab ===∴8ab = ……8分 222222cosC c a b ab a b ab =+-=+-22()3424a b ab c =+-=- ……10分∴28c =得c =……12分18.解：（1）因20÷M =0.25，所以M =80,所以625.08050==n ，310.250.6250.050.07540p =---==, 10.12558n a ===………3分中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15+x),则0.125x=0.25,所以x=2,所以学生参加社区服务次数的中位数为17次。

……6分 （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人. 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：524206=⨯和12446=⨯-------------------8分 记服务次数在[10,15)为,,,,,54321a a a a a 在[25,30)的为b . 从已抽取的6人中任选两人的所有可能为：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,)(,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(5454353432524232151413121b a b a a a b a a a a a b a a a a a a a b a a a a a a a a a共15种.设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括12131415232425343545(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a共10种. -------------------10分, 所以321510)(==A P -------------------12分 19.(1)证明：取AD 的中点,E 连接BE BD PE ,,，底面ABCD 为菱形，,60 =∠DAB ABD ∆∴为正三角形， 又E 为AD 的中点，;AD BE ⊥∴侧面PAD 为正三角形，E 为AD 的中点;AD PE ⊥∴⊥∴AD 面PBE ，⊥∴AD PB . ……6分（2）由（1）⊥AD 面PBE 得：面⊥ABCD 面PBE ，作BE PO ⊥于,E ⊥PO 面ABCD ; 由侧面PAD 为边长等于2的正三角形、ABD ∆为正三角形、E 为AD 的中点得：3==BE PE ,又 ,3=PB 设PB 的中点为,F ,2322=-=BF EB EF ……8分 ,2330sin ,30,21sin =⋅=∴=∠∴==∠∴ PB PO EBP EB EF EBP ……10分 DCBA P3233231=⨯⨯⨯=∴-ABCD P V……12分 20. (1)设1 222c b a +=由抛物线y x 542-=的焦点是椭圆E 的一个焦点得：5=c ，225b a -=6221=⨯⨯b a 即6=ab 即3622=b a ，36)5(22=+b b ，0)4)(9(22=-+b b ，42=b92=a ∴149:22=+x y E……4分 (2)设m x y l +=23:与149:22=+x y E 联立得：01826922=-++m mx x 0)182(363622>--=∆m m 得：182<m 9182,3222121-=-=+m x x m x x ，……6分)18(913)97294(413]9)9(894)[491(2222+-=+-=--+=m m m m AB)2,34(C 到m x y l +=23:的距离13214922m m d =++-= 24221831)18(3121m m m m d AB S +-=+-==……10分 当2m =9即3±=m 时，S 最大，对应的直线l 的方程为323±=x y ……12分 21.解：(Ⅰ)），的定义域为（∞+0)(x f xa x x x a x f 1221)(2++=++='∴）单调递增，在区间（时，当恒成立，时，当∞+=-≥∴>'≥+0)(10)(01x f y a x f a）上单调递增，；在区间（）上单调递减，在区间（时，函数当，若，时，若当∞++-+-=-<∴<'+-<<>'+-><+21210)(10)(210;0)(2101a a x f y a x f a x x f a x a ……4分(Ⅱ)不妨设21x x >，又0≥a ，）上单调递增，在区间（∞+=∴0)(x f y21214)()(x x x f x f -≥-恒成立，等价于212144)()(x x x f x f -≥-恒成立，即就是22114)(4)(x x f x x f -≥-恒成立令),0(,4)()(+∞∈-=x x x f x g ，则)(x g y =为单调递增函数 即就是0)(≥'x g 恒成立 ……8分0142)(2≥++-='xa x x x g令),0(,142)(2+∞∈++-=x a x x x h1)1()(min -==a h x h1≥∴a ……12分请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲已知AD 是∆ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交∆ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC. （I ）求证：FB ＝FC ；（II ）若AB 是∆ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝1200，BC＝AD 的长. （1）证明： AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC 四边形AFBC 内接于圆 ∴∠DAC ＝∠FBC. ∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB∴∠FBC ＝∠FCB ∴FB ＝FC. ……5分 （2） AB 是圆的直径 ∴∠ACB ＝∠ACD ＝900，∠EAC ＝1200，∴∠DAC ＝600，∴∠D ＝300,在Rt ∆ABC 中， BC ＝∴∠BAC=600，∴AC ＝3在Rt ∆ACD 中，∠D ＝300，AC ＝3 ∴AD ＝6. ……10分23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程;（II ）已知A （-2, 0），B （0,2），圆C 上任意一点M(x, y )，求∆ABM 面积的最大值. 解：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），∴圆C 的普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=……5分（2）易求直线AB 方程为20x y -+= ||AB =点M(x, y )到直线AB ：20x y -+=的距离为d ===∆ABM 的面积1|||2cos 2sin 9||sin()9|24S AB d πθθθ==-+=-+∴ ABM 的面积最大值为9+……10分24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲设()|1||3|f x x x =--+ （I ）解不等式()2;f x >（II ）若不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）|1||3|2x x --+>可转化为①31(3)2x x x <-⎧⎨---->⎩或②311(3)2x x x -≤<⎧⎨--+>⎩或③11(3)2x x x ≥⎧⎨--+>⎩解①得3x <-解②得32x -≤<- 解③得x ∈∅∴原不等式的解集为{|2}x x <-……5分（2）[3,1]x ∈--时，()1322f x x x x =-+--=--不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立， ∴221x kx --≤+在[3,1]--上恒成立 ∴32k x ≤--在[3,1]--上恒成立. 设3()2g x x=--， ()g x 在[3,1]--是上为增函数∴1()1g x -≤≤ ∴1k ≤-. ……10分。