高考理科数学一轮复习

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高三数学高考第一轮复习计划(10篇)

高三数学高考第一轮复习计划（10篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积

解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点，得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图

高三理科数学第一轮复习§12.2：排列与组合

第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
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解析
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合源自解析解析解析
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.2：排列与组合

2023年高考数学(理科)一轮复习—— 任意角和弧度制及任意角的三角函数

索引
考点二弧度制及其应用
例 1 (经典母题)一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积. 解由已知得 α＝π3，R＝10， ∴S 扇形＝21α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2).
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迁移 1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)，
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常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用. 3.象限角
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4.轴线角
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诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( ×) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( × ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
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分层训练巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级基础巩固
1.下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
解析 (1)锐角的取值范围是0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角.
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2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了___－__2_3π__弧度.
索引
3. 在－ 720° ～ 0° 范围内，所有与角 α ＝ 45° 终边相同的角 β 构成的集合为
_{_－__6__7_5_°__，___－__3_1_5_°___}_.
解析设 P(x，y)，由题设知 x＝－ 3，y＝m，所以 r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，即 r＝ 3＋m2，

2023年高考数学(理科)一轮复习——二项分布与正态分布

索引
5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
索引
法二事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
索引
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
索引
常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.

高三数学理科一轮复习试卷详解

高三数学理科一轮复习试卷详解第1页共14页高三单元滚动检测卷数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四三角函数、解三角形第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π32．(河南中原名校高三期中)已知sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－15B.15 C ．－75 D.753．(广西贵港市模拟)已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6 )等于( ) A ．－35B ．－45 C.45 D.354．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里第2页共14页C ．10海里D ．103海里5．(安庆市大观区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3c a，sin C ＝23sin B ，则tan A 等于( )A. 3B ．1 C.33 D ．－36．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A 0，ω0，|φ|π2 )的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π67．(泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3C.233D.4338．(湖北省教学合作联考)将函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈Z C ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增9．已知函数f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－32，则ω的值为( )A.34B.12第3页共14页C ．1 D.3210．(龙泉中学模拟)关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题：①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．其中真命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11．(徐州质检)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为( ) A.55B ．－1010C ．－210 D.1010 12．(上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b，则sin C sin A的值为( ) A ．2 B.13C ．2 3D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．第4页共14页15．(陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16．(湖南师大附中月考)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(惠州第三次考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 0，ω0，－π2φπ2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，求sin ∠MNP 的值．18.(12分)(北京)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．19．(12分)(醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.第5页共14页(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．20．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(|φ|π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3α5π12，且f (α)＝45，求cos 4α的值；(3)若0θπ8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4 )|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．第6页共14页21.(12分)(广雅中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 0，ω0,0φπ)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)．(1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．22．(12分)(河北正定中学月考)已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx ,0)(ω0)，函数f (x )＝a b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．第7页共14页答案解析1．B2．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，∴sin α＋cos α＝15，故选B.] 3．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.] 4．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．] 5．C [由sin C ＝23sin B ，变形得：sin C sin B＝23，利用正弦定理化简得：sin C sin B ＝c b＝23，即c ＝23b ，由a b ＝b ＋3c a，整理得：a 2－b 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°，则tan A ＝33，故选C.]6．C [由函数的图象可得A ＝2，根据14T ＝142πω＝56－13＝12，求得ω＝π. 再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，第8页共14页解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，∴由正弦定理AC sin B ＝AB sin C得：sin C ＝AB sin B AC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°，∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB AC sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )?π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.] 9．B [f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4) ＝[sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)][sin 2(ωx ＋π4)＋cos 2(ωx ＋π4)] ＝sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4) ＝－cos(2ωx ＋π2)＝sin 2ωx ，所以2ωx ∈[－2π3ω，π2ω]，所以满足－2π3ω≥－π2且－2π3ω＝－π3的ω＝12 ，故选B.] 10．C [f (x )＝sin(2x －π4)＝22(sin 2x －cos 2x )．①f (x )＝cos(2x ＋π4)＝22(cos 2x －sin 2x )．与原函数不是同一个函数，①错误．②x ＝－π8时，f (x )＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，函数取得最小值，所以直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴，第9页共14页②正确．③将g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到图象对应的解析式是y ＝sin 2(x －π4 )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，与f (x )不是同一个函数，③错误．④取α＝π2，f (x ＋α)＝f (x ＋π2)＝sin[2(x ＋π2)－π4]＝sin(2x ＋3π4)，f (x ＋3α)＝f (x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π2)－π4]＝sin(2x ＋3π－π4)＝sin(2x ＋2π＋π－π4)＝sin(2x ＋3π4)，所以存在α＝π2∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.] 12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3.] 13．0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α0，cos α0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 14．－14解析∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .第10页共14页代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 15．8解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.16.3π4解析函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4. 17．解(1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4. 又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2φπ2，所以－π4π4＋φ3π4，π4＋φ＝π2，φ＝π4. 所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)，|MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20，从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，第11页共14页得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45 . 18．解(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ????x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ????－3π4＝－1－22. 19．解(1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55，cos C ＝cos(π－A －B )＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B ＝－*****＋2255＝－1010. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝*****，由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C，即2522＝AB 31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，所以CD ＝5.20．解(1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，第12页共14页令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|π2，故φ＝－π6. (2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π22α－π62π3，故cos(2α－π6)＝－35，故sin 2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos 4α＝1－2sin 22α＝243－750. (3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6) ＝2sin(2θ＋π12)，因为0θπ8，所以π122θ＋π12π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)2×32＝62，故只需|m －4|≥62，即m ≤4－62或m ≥4＋62，即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)．21．解(1)因为函数f (x )的最大值是1，且A 0，所以A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期是2π，且ω0，所以T ＝2πω＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点M (0,1)，所以sin φ＝1.因为0φπ，所以φ＝π2. 所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . (2)由(1)得f (x )＝cos x ，第13页共14页所以f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513. 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝1213 . 因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以cos C ＝cos(π－(A ＋B ))＝－cos(A ＋B )，所以f (C )＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(35×513－45×1213)＝3365. 22．解(1)函数f (x )＝a b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx ＝23cos 2ωx －sin 2ωx＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3. 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12 ]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos 2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，第14页共14页∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。

高三理科数学第一轮复习§1.1：集合

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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第1节：集合
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第1节：集合
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

第五节曲线与方程高考理科数学第一轮基础复习

A.32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.32x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－32y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋32y2＝1(x＞0，y＞0)
【解析】设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则B→P＝(x，y－yB)，P→A＝(xA－x，－y)，∵B→P＝2P→A，
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2，
①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R， ②
将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12＞|O1O2|， ∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数 12，
所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆．
条直线上时，不合题意，故应除去两点．
【尝试解答】过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂足分别为A′、B′、O′.
∵|AO|＝|BO|， ∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8，设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝8，又|AB|＝4， ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上，设所求椭圆方程为xa22＋yb22＝1，则a2＝42＝16，b2＝42－22＝12，
【正解】由正弦定理得：c＋b＝2a＝8，
即|AB|＋|AC|＝8. 故A点的轨迹方程为以B，C为焦点的椭圆．
以BC为x轴，BC中点为原点建立坐标系．则椭圆方程为1x62＋1y22 ＝1，又∵A、B、C三点不能共线， ∴A点的轨迹方程为1x62＋1y22 ＝1(y≠0)．
1．(2012·阳江质检)设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若B→P＝2P→A，且O→Q·A→B＝1，则 P 点的轨迹方程是 ()

2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列

索引
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
索引
考点二离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
索引
6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
索引
考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
索引
P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
索引
感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

2022高三理科数学上学期一轮复习联考全国卷4pdf

2023届高三一轮复习联考（四）全国卷X 2 y 2 ，）9直线l:y＝瓦x与椭圆c::;-+—=1交于P,Q两点，F是椭圆C的右焦点，且PF·QF=a z,b20，则椭圆的离心率为A.4—2万B.2石—3C．石—1理科数学试题注意事项：l．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知A={xllx—11<2},B={xlx>l}，则AUE=A.{x I—l<x<3}B.{x I x>—1}C.{x l x>3}2．已知复数z满足z(2+i)=2—1，其中1为虚数单位，则z.z=1 _ 1A.——3 B. 23．下列命题中的假命题是迈A.:I x E R, s in x=—2C.'efxER,x2>0D.'efxER,3气＞0生等差数列{a n}中，a1—2a2=6,S3=—27，当S n取得最小值时，n的值为A.4或5B.5或6C.4D.55．函数J(x)=cos x+sin 2x的图象可能是y y y yA BXC.lB.:Ix E R, In x=—1cD.{x I l<x<3}D.2DX16．已知a=lg—,b=cos l,c=2了，则a,b,c的大小关系为2A.a <b<cB.a <c<bC.b<a <cD.b<c<a7．已知正数a,b满足矿＋2矿＝1，则a矿的最大值是1 A.—瓦忒13 B.—3c.—9 D.—98．已知平面向量a,b,c，其中a=(2,0),b=（—1,,/3),c＝入a+µb，且c与a和c与b的夹角相入等，则—=A.—1B.1C.—2D.2一轮复习联考（四）全国卷理科数学试题笫1页（共4页）昼2D穴10函数f(x) = 2sin xcos x +a cos五关千直线x=—对称，则函数f(x)的最大值为12A.2 B．点 C.2＋祁 D.2—屈11．如图所示，在正方体ABCD—儿B1C1D1中，0平分别为B D,AA1的中点，点P为棱BB1上的动点（不含端点），设二面角F—D心—P的平面角为a，直线O F与平面O PD1所成角为p，则B.a</3｀｀理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积以的雷；启命题F i勹t P/C公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖眼的开立圆术．祖睢A在求球体积时，使用一个原理：＂幕势既同，则积不容异”。

高三理科数学第一轮复习§12.5：古典概型

第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
解析
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
解析
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解析
解析பைடு நூலகம்
第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型
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第十二章：计数原理、概率、随机变量及其分布 §12.5：古典概型

2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明

索引
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提.

2023年高考数学(理科)一轮复习—— 离散型随机变量的均值与方差

P(X＝100)＝21×14×14＝312，
∴X 的分布列为
X 20 40 50 70 100
P
3 8
9 32
1 8
3 16
1 32
∴E(X)＝20×38＋40×392＋50×18＋70×136＋100×312＝1465.
索引
考点二二项分布的均值与方差
例2 (2021·东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
话费，求 X 的分布列与数学期望.
索引
解 ①由题意知 P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝12，获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，
70，100， P(X＝20)＝12×34＝38，P(X＝40)＝21×34×34＝392，
P(X＝50)＝12×14＝18，P(X＝70)＝21×34×14＋12×14×43＝136，
索引
P(X＝4)＝1304＝1080100. 故 X 的分布列为
X0
1
2
3
4
P
2 401 10 000
1 029 2 500
1 323 5 000
189 2 500
81 10 000
故 E(X)＝0×120400010＋1×12 052090＋2×15 302030＋3×2158090＋4×1080100 ＝65或E（X）＝4×130＝65.

2023年高考数学(理科)一轮复习——变量间的相关关系与统计案例

(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，其中___(_x－_，__－y_)__称为样本点的中心. (3)相关系数当r>0时，表明两个变量___正__相__关___；当r<0时，表明两个变量__负__相__关____. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性__越__强____.
索引
角度2 非线性回归方程及应用
例2 (2022·郑州调研)人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB(1 TB ＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年数据量更是高达1.82 ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：
(1)“ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关
系.( √ ) (2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) (4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.( √ )
索引
4.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度 x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发

2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲第一课时绝对值不等式

内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当__a_b_≥__0____时，等号成立. 定理 2 ：如果 a ， b ， c 是实数，那么 ___|_a_－__b_|≤__|_a_－__c_|＋__|c_－__b_|___ ，当且仅当 ____(a_－___c)_(_c_－__b_)≥__0__________时，等号成立.
索引
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值. 解 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，当且仅当x＝0，y＝3时等号成立，即|x－2y＋1|的最大值为5.
索引
感悟提升
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||. (3)利用零点分区间法.
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考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一绝对值不等式的解法
例1 (2022·西安五校联考)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋a|. (1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥3的解集；解当a＝－1时，f(x)≥3，即|x－3|＋|x－1|≥3， ∴x4≤ －12，x≥3或12<≥x3<3，或x2≥ x－3，4≥3，
索引
(2)求f(x)≥g(x)的解集. 解因为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点为(0，2)和(6，4)，结合函数图象可得f(x)≥g(x)的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞).

2023年高考数学一轮复习新课标版理科作业题组层级快练1-10

题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)} 答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.故选B.3．(2021·全国高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}答案 B解析由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}，故选B.4．(2022·江苏海安市摸底)若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．B B ．A C ．∅ D ．Z答案 D解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 5．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3答案 B解析 ∵A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m ＝m . ∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m＝1时，与集合中元素的互异性矛盾，故选B.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，所以M∪N＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．7．(2022·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案 D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．8．(2022·广东中山一中模拟)已知i为虚数单位，集合P＝{－1，1}，Q＝{i，i2}，若P∩Q ＝{z i}，则复数z等于()A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析因为Q＝{i，i2}＝{i，－1}，P＝{－1，1}，所以P∩Q＝{－1}，所以z i＝－1，所以z＝i，故选C.9．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1C．2 D．4答案 D10．设集合M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝() A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}答案 D解析∵M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．11．(2022·清华附中诊断性测试)已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，则A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x >3，∴A ＝(3，＋∞)，此时y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2， ∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.12．(2022·山东聊城模拟)已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ⊆P ⊆N ，则下列结论中不正确的是( ) A ．∁U N ⊆∁U P B ．∁U P ⊆∁U M C ．(∁U P )∩M ＝∅ D ．(∁U M )∩N ＝∅答案 D解析根据已知条件画出Venn 图结合各选项知，只有D 不正确．13．(2022·西安市经开一中模拟)集合A ＝{x |x <－1或x ≥3}，B ＝{x |ax ＋1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，1 B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－13，0∪(0，1) 答案 A 解析 ∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即ax ＋1≤0无解，此时a ＝0，满足题意． ②当B ≠∅时，即ax ＋1≤0有解，当a >0时，可得x ≤－1a ，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1a <－1，解得0<a <1.当a <0时，可得x ≥－1a，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a ≥3，解得－13≤a <0，综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，1.故选A. 14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A ⊆B ，所以|x |∈B ，又|x |≥0，结合集合中元素的互异性，知|x |＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．16．(2022·安徽省示范高中测试)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．答案[1，＋∞)解析集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.17．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为()A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5.故选D.18．已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论不正确的是() A．∃x0∈N，使得x0∈M B．∃x0∈N，使得x0∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案 D解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.【】题组层级快练(二)1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案 B解析命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 2．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b 是无理数，则ab 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B3．(2022·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题答案 C解析根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．命题“若m >－1，则m >－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m >－4，则m >－1”为假命题，故否命题也为假命题．故选B. 5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.故选A.6．(2020·天津)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析求解二次不等式a 2>a 可得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 7．(2022·苏锡常镇一模)“0<x <π4”是“0<sin x <π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A8．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.故选B. 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．10．(2022·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “x ≠y ”不能推出“cos x ≠cos y ”，但“cos x ≠cos y ”一定有“x ≠y ”． 11．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方法一：当a >b >0时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当a >0>b 时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当b <a <0时，a >b ⇔a |a |>b |b |，∴选C.方法二：构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．13．(2022·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x |＜1”，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B. 14．(1)“x >y >0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y ，则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)△ABC 中，若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tan A ＝tan B ，则充分性成立；若tan A ＝tan B ，则只能tan A ＝tan B ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立．15．(1)(2022·菏泽模拟)命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是________． (2)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(3，＋∞)解析 (1)全称命题的否定为特称命题，可得命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理数．(2)2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．(2021·贵阳模拟)下列不等式： ①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________．答案 ②③④17．(2022·潍坊一中月考)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a ，b 都为0”的必要条件是________； (2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________； (3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．答案 (1)①②③ (2)④ (3)①解析 ①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1，由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤12.【】题组层级快练(三)1．(2022·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0答案 C解析因为log 21＝0，cos 0＝1，所以A 、B 项均为真命题，因为02＝0，所以C 项为假命题，因为2x >0，所以D 项为真命题．2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数答案 C解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 3．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.4．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁R Q，x3∉Q”．5．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析若x>y，则－x<－y成立，即命题p为真命题，若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q为假命题，则綈p是假命题，綈q为真命题，故p∨q与p∧(綈q)是真命题，故选C. 6．(2022·河北保定模拟)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0 D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.7．若命题p：x∈A∩B，则綈p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B8．(2022·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出“綈p为真”．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．9．(2022·江南十校联考)已知命题p：复数z满足(1－i)z＝1＋i，则|z|＝1，命题q：复数z＝1－2i 在复平面内对应的点位于第二象限．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈p D ．q答案 B解析由(1－i)z ＝1＋i ，得z ＝i ，从而|z |＝1，故命题p 为真命题；复数z ＝1－2i 在复平面内对应的点位于第四象限，故命题q 为假命题．故p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．故选B.10．(2022·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1，2] D ．(－1，2)答案 C解析命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．(2022·山东聊城期末)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，0)，则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件答案 B解析当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；由|x |≤1，可得－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故“|x |≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，D 为假命题．12．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．①②C．②③D．③④答案 A解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p为真命题；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)的坐标满足不等式2x＋y≥9，所以命题p为真命题；点(7，0)的坐标不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.13．已知命题p：∃x0∈R，mx02＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≥2} B．{m|m≤－2}C．{m|m≤－2或m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由p：∃x0∈R，mx02＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.14．已知命题p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.15．(1)已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1. (2)若命题“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．16．(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C解析画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.17．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．在[－1，2]上，函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 【】题组层级快练(四)1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则图中能表示P 到Q 的函数的是( )答案 D解析 A 、B 中都有一个x 对应2个y 的情形，C 中1<x ≤2时，没有y 与之对应． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z B ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－vD ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) 答案 C3．函数y ＝|x |（x －1）的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0} D ．{x |x ＝0}答案 B解析由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D.15lg 2 答案 D 解析令x 5＝t ，则x ＝t 15(t >0)，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.5．(2021·皖南八校联考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D解析 y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}，故选D.6．(2022·德州一中模拟)已知函数f (x )＝x [x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，[2.1]＝2，则f (－2)的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 ∵[－2]＝－2，∴f (－2)＝－2×(－2)＝2 2.故选B.7．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (2x －1)＝2x 2，若f (m )＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1 答案 C解析本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t ，t ∈R ，可得x ＝12(t ＋1)，故f (t )＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f (m )＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.8．(2022·福州模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的大致图象是( )答案 C解析函数f (x )＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，故函数f (x )＝|x |sgn x 的图象为直线y ＝x .故选C.10．(2022·江南十校模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －3，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则不等式f (x )>2的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析当x ≤2时，f (x )＝x 2－4x －3>2，即x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5，故x <－1；当x >2时，f (x )＝log 2(x －1)>2，即log 2(x －1)>log 24，解得x >5，故x >5. 综上所述，不等式f (x )>2的解集是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．11．(2022·烟台调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，则关于函数f (x )的说法不正确的是( )A ．定义域为RB ．值域为(－3，＋∞)C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，∴f (x )的定义域为R ，值域为(－3，e －3)∪[0，＋∞)，且e －3<0，∴f (x )在R 上为增函数，且f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．故A 、C 、D 正确，B 不正确．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝________．答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1，∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时，2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3. 13．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________．答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是________．答案 1 215．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________，f (x )＝________．答案－1 14x 2－32x ＋54解析令2x ＋1＝3，则x ＝1，∴f (3)＝12－2×1＝－1.令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1＝14t 2－32t ＋54，∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. 16．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值．答案 c ＝60，A ＝16解析因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如：f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916，其中正确的为________．(填序号) 答案 ①③解析对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．18.如图，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在线段AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．答案 y ＝12x (3≤x ≤5)，图象见解析解析由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .连接BD ，因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5.故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的函数图象．【】专题层级快练(五)1．(2022·上海市杨浦区高三期末)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝|log 2x |答案 C解析函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)，故排除A ；函数y ＝2x 的值域为{y |y ≠0}，故排除B ；函数y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，故C 满足条件；函数y ＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)，故排除D.故选C. 2．函数y ＝1－|x |1＋|x |的值域为( )A ．(－1，1)B ．[－1，1)C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 C解析方法一(分离常数法)： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]．方法二(反解法)：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域为(－1，1]．故选C.3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2，2]答案 C解析要使函数有意义，则有－x 2＋4x ≥0， ∴x 2－4x ≤0，∴0≤x ≤4，即x ∈[0，4]． ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴0≤－(x －2)2＋4≤4，即0≤－x 2＋4x ≤2，∴－2≤－－x 2＋4x ≤0， ∴0≤2－－x 2＋4x ≤2， ∴0≤y ≤2，即y ∈[0，2]．故选C. 4．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B. 5．(2022·昆明第一中学摸底)函数y ＝ln x ＋1ln x 的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2] 答案 C解析当x >1时，y ＝ln x ＋1ln x≥2ln x ·1ln x＝2，当且仅当x ＝e 时等号成立；当0<x <1时，y ＝ln x ＋1ln x＝－⎣⎡⎦⎤（－ln x ）＋⎝⎛⎭⎫－1ln x ≤－2（－ln x ）·⎝⎛⎭⎫－1ln x ＝－2，当且仅当x ＝1e时等号成立，所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.6．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A ．[2，2] B ．[2，4] C ．[4，8] D ．[1，2]答案 A解析 ∵f (x )的值域为[1，2]，∴1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4，∴f (x )的定义域为[2，4]， ∴φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的自变量x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2.∴φ(x )的定义域为[2，2]．故选A.7．定义运算a *b ，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数y ＝1*2x 的值域为( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D.(]0，1答案 D解析当1≤2x ，即x ≥0时，函数y ＝1*2x ＝1，当1＞2x ，即x ＜0时，函数y ＝1*2x ＝2x ，由图知，函数y ＝1*2x 的值域为(0，1]．故选D. 8．下列函数中，值域为[2，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－x ＋94B ．y ＝x ＋1x (x ≥2)C ．y ＝e sin xD ．y ＝(x ＋1)－23答案 A解析 ∵y ＝x 2－x ＋94＝⎝⎛⎭⎫x －122＋2≥2，∴A 满足题意．∵y ＝x ＋1x ，当x ≥2时为增函数，∴y ≥52，∴排除B.∵－1≤sin x ≤1，∴y ＝e sin x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴排除C. ∵y ＝(x ＋1)－23＝13（x ＋1）2，值域为(0，＋∞)，∴排除D.9．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则不能改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10t B ．h (t )＝t 2 C ．h (t )＝sin t D ．h (t )＝log 2t答案 D10．下列函数中，同一同的是( ) A ．y ＝x ＋1＋1 B ．y ＝|ln x | C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1答案 D解析对于A ，定义域为[－1，＋∞)，值域为[1，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 11．(1)函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为________．(2)(2022·广东梅州市检测)函数y ＝x 2＋41－2x 2的值域是________．答案 (1)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)⎣⎡⎦⎤12，4 解析 (1)由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得x ≠0，y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0且不为1，∴y ＋1y －1>0且不为1.∴y <－1或y >1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)令t ＝1－2x 2，则x 2＝1－t 22，由x 2≥0和二次根式的非负性，得0≤t ≤1，则y ＝1－t 22＋4t ＝－12t 2＋4t ＋12，易得函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，4.12．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是________；y ＝x 4－x 2＋1的值域是________．答案 [1，＋∞) ⎣⎡⎭⎫34，＋∞13．(2022·沧衡八校联盟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为________．答案 (0，＋∞) 解析当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34；当x >1时，f (x )＝1x∈(0，1)，综上可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为(0，＋∞)．14．函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析方法一(判别式法)：由y ＝x 2＋x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0.∵x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0.解得y ≤－3或y ≥1. 当y ＝－3时，x ＝－2；当y ＝1时，x ＝0， ∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．方法二(分离常数法)：y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号；当x <－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≤－2，当且仅当x ＝－2时取等号， ∴y ≥1或y ≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．(2022·江西省顶级名校模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析当x ≤2时，f (x )＝6－x ≥4，当x >2时，f (x )＝3＋log a x ，当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2<3，不合题意，故实数a 的取值范围是1<a ≤2. 16．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞ (2)⎣⎡⎦⎤1，53 解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a ＞53或a <－1. ∴a <－1或a >53.若a 2－1＝0，则a ＝±1，当a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意；当a ＝1时，f (x )＝lg(2x ＋1)，不合题意． ∴a ≤－1或a >53.即a 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. (2)当a 2－1＝0时，a ＝1或－1，检验得a ＝1满足题意．当a 2－1≠0时，若f (x )的值域为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）≥0，解得1<a ≤53. 综上得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，53.17．(2022·山东枣庄市三中月考)已知函数f (x )＝32x －2·3x ＋2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中不正确的是( ) A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆(－∞，log 32] C ．log 32∈M D ．0∈M答案 A解析令t ＝3x (t >0)，则原函数等价于g (t )＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1(t >0)，由g (t )＝1，得t ＝1，即3x ＝1，得x ＝0；由g (t )＝2，得t ＝0(舍)或2，即x ＝log 32.根据g (t )的图象特征，知0∈M ，log 32∈M ，M ⊆(－∞，log 32]．A 错误，故选A.18．(2022·沧州七校联考)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{－1，0，1}D ．{－2，0}解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1，又2x >0，∴－12<f (x )<12.∴y ＝[f (x )]的值域为{－1，0}．【】题组层级快练(六)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 中，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 中，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 中，函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 中，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．若函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A3．函数f (x )＝x －2x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B 解析 f (x )＝1－1x －1，∴f (x )的图象可由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．函数f (x )＝x |x －2|的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析 f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，其图象如图，结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．故选A.5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即3＋m ＝1，∴m ＝－2.故选B.7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析由已知得⎪⎪⎪⎪1x >1⇒－1<x <0或0<x <1.故选C.8．(2022·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)>－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[2，3) D ．[0，3)答案 C解析 f (x )在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，∴f (2x －4)>－1可化为f (2x －4)>f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4≥0，2x －4<2，解得2≤x <3. 9．(2022·昆明诊断考试)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，则( ) A ．f (－2)<f (e)<f (5) B ．f (e)<f (－2)<f (5) C ．f (5)<f (e)<f (－2)D ．f (－2)<f (5)<f (e)解析因为f (x )定义域为R ，且f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．又当x >0时，f ′(x )＝e x －1e x >0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为2<5<e ，所以f (2)<f (5)<f (e)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (5)<f (e)．故选D.10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是( ) A ．该单位每月二氧化碳的处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20 000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损答案 D解析显然x >0，所以每吨的平均处理成本y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝2×200－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x 即x ＝400时，取等号．所以A 错误．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.所以每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损．D 正确．B 、C 错误． 11．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（－∞，0）； ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（0，＋∞）； ③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（－∞，0）； ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（0，＋∞）. 能使函数y ＝log a 1x 2为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析利用复合函数的性质知①④正确．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案 14解析令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，所以当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.13．函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________．答案 1 52解析因为f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．答案－6解析画图知函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6. 15．(2022·西安五校联考)若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析由f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．(2021·《高考调研》原创题)若log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，则( )A ．(x －1)2>(y －1)2B ．(x －1)2<(y －1)2C ．x 2<y 2D ．x 2>y 2答案 D解析由log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，得log 5x －e －x >log 5y －e －y ，令f (t )＝log 5t －e －t ，∵y ＝log 5t为(0，＋∞)上的增函数，y ＝－e－t为R 上的增函数，∴f (t )为(0，＋∞)上的增函数，∴由f (x )>f (y )，得x >y >0，∴x 2>y 2.故选D.17．(2021·沧州七校联考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4（a －3）4a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.【】题组层级快练(七)1．(2022·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝|x |＋1 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝ln x 2 D ．y ＝cos x x答案 B2．(2022·唐山市高三测试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减答案 A解析方法一：由条件可知，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f (－1)＝－f (1)，所以排除B 、D.易知f (1)<f (2)，所以排除C.故选A.3．(2022·浙江宁波十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )．若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ．令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，x ∈R ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.4．(2022·南昌市联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 6．(2022·皖南八校联考)设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 C解析因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析由题意得f (x )为奇函数，f (0)＝0，由f (3－x )＝f (x )，可得f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，。

高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质通项公式的推广：an＝am•________．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是A．3B．1c．0D．－13．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于A.27B.27c.27D.274．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a ＋8，则an等于A．8•32nB．8•23nc．8•32n－1D．8•23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.证明数列{an＋1}是等比数列；求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．求a2，a3的值；求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a11－qn1－q＝80，①a11－q2n1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1＝80，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q•qn＝81•a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1．[12分]【突破思维障碍】分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q•qn常和指数函数相联系．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn －1，Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：定义法：即证明an＋1an＝q．中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an•an＋2．3．等比数列的性质：an＝am•qn－m；若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak•al＝am•an；设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q ＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．一、选择题．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314c.334D.1722．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于A．－11B．－8c．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于A．33B．72c．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13c．T17D．T255．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于A．－3B．5c．－31D．33题号2345答案二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项；求数列{2an}的前n项和Sn.0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.求证：数列{an－1}是等比数列；求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.答案自主梳理．公比q 2.a1•qn－1 4.qn－m ak•al＝am•an递增递减常摆动 6.qn自我检测．D 2.B 3.B 4.c 5.－9课堂活动区例1 解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝121－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即2＝100，2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q>0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q>0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝122－1＝2n－1－12.变式迁移1 解由题意得a2•an－1＝a1•an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q ＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64•12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2•2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2 解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q．②a2n＋1＝anan＋2．证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2，故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．解由得an＋1＝6•2n－1，所以an＝6•2n－1－1，于是Sn＝6•1－2－n＝6•2n－n－6.变式迁移2 解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，∴a3＝8.证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝Sn－1＋2．②①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3 解∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.a1a2a3a4＝a1•a1q•a1q2•a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12•a1q13•a1q14•a1q15＝a41•q54＝8.②②÷①：a41•q54a41•q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40•a1q41•a1q42•a1q43＝a41•q166＝a41•q6•q160＝•10＝1•210＝1024.课后练习区．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q －1＝0.故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝41－12＝8＝314.]2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]3．c [由题可设等比数列的公比为q，则31－q＝21⇒1＋q＋q2＝7⇒q2＋q－6＝0 ⇒＝0，根据题意可知q>0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．c [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q>0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.7.1207解析∵S99＝30，即a1＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8＝4a17＝47×30＝1207.8．4n－1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.9．解由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………解得d＝1或d＝0．故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………0．证明设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………所以log2＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………解由可得an－1＝•2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………1．解由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴2＝．解得d＝2．……………………………………………………………………∴an＝1＋•2＝2n－1.………………………………………………………………又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3•3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………∴cn＝2bn＝2•3n－1．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3 2•3n－1.……………………………………………………………∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………。